4 微分的應用

4 ^{微分的應用}

4.1 _{最大值與最小值}

最大值與最小值

微分最大的應用在於極值問題(optimization problems)。如 果我們可以將問題參數化，接著就是詢問怎麼要找尋這些參 數的函數最大值或者最小值。

函數最大值或最小值最直觀的找法便是觀察函數圖形。例如 下圖一是一個函數的圖形。

從圖上可以觀察，最大值發生在 x=3 此時 f(3) = 5。同樣的，

最小值為 f(6) = 2 。

最大值與最小值

我們稱 f(3) = 5 是 f 的最大值 (absolute maximum) ， f(6) = 2 為 f 的最小值 (absolute minimum)，定義如下

一般來說，最大值跟最小值，我們會特別稱為全域上的最大 值 (global maximum) 跟全域上的最小值 (global minimum) 。 與之相比，若有一些在小區域上的最大值或最小值，但不一 定是整個定義域上的最值，則我們稱為極值 (extreme value)

[定義] 假設 c 為 f 定義域 D 中的一點。我們定義

* f(c) 為最大值，表示對任意 D 中的 x ，有 f(c) ≥ f(x) 。

* f(c) 為最小值，表示對任意 D 中的 x ，有 f(c) ≤ f(x) 。

最大值與最小值

下圖二的函數圖形，顯示了 f 在 a 有最小值，在 d 有最大值。

但同時若我們只考慮 b 附近的小區 域，可以看到 f(b) 是在 b 附近的最 大值。為了區分，我們把 f(b) 稱為 f 的局部最大值 / 極大值 (local

maximum) 。同樣 f(c) 也是局部的 最小值 / 極小值 (local minimum)

注意到全域的最大值一定是局部的 最大值，但反過來並不一定。

Abs min f(a), abs max f(d)

loc min f(c), f(e), loc max f(b), f(d)

最大值與最小值

一般來說我們定義如下：

在這個定義中，我們說 「對任意在 c 附近的 x 」是指，對某 個包含 c 的開區間 (p,q) 上的任意點 x 。

[定義] 給定函數 f ， c 為定義域中一點

* f(c) 為(局部)極大值，表示 f(c) ≥ f(x) ，對任意在 c 附近的 x

* f(c) 為(局部)極小值，表示 f(c) ≤ f(x) ，對任意在 c 附近的 x

最大值與最小值

舉例說明，下圖三我們可以看出 f(4) = 5 是一個局部極小值，

由於 f(4) 是在 4 附近的區間上 I = (3,5) 的最小值。

但 f(4) 不是全域的最小值，因為 f(12) = 3 的値更小。

而 f(12) 同時是全域的最小值，也是局部的最小值。

圖三

範例一

試求 f(x) = cos x 的最大與最小值。

解:

函數 f(x) = cos x 有無窮多個點會碰到最大值 1 ，因為對任 一整數 n ， cos 2n





同樣的到李 cos(2n + 1)



最大值與最小值

下面這個定理保證函數一定可以取到極值。

[極值定理]

若 f 為閉區間 [a,b] 上的連續函數，則 f 存在最大值以及最小 值，即：

存在 c, d 使得 f(c) 為最大值， f(d) 為最小值。

最大值與最小值

要求函數連續是必要的條件。注意到最大、最小值可能不只 一個。

圖七

最大值與最小值

以下分別是函數不連續，以及定義域不是閉區間，因此可能 不存在最大、最小值的情況。

f(2) 是最小值，但沒有最大值。 g(x) 在靠近 2 的時候趨近無窮大，

沒有最大值。

最大值與最小值

極值定理雖然保證連續函數在閉區間上一定會有極值，但這 並未說明函數在哪裡取得極值。

右圖十，標出了函數 在 c 有極大值，在 d 有極小值。

可以觀察到，在極值 點上的切線，似乎都 是水平線。

圗十

最大值與最小值

下面這個定理說明剛剛觀察到的這個事實

[費馬定理]

若 f(x) 在 c 有 (局部) 極大值或極小值，且 f’(c) 存在，則 f’(c)

= 0 。

範例五

但反過來並不一定是這麼回事，考慮這個例子：

f(x) = x³ 則 f

(x) = 3x

(0) = 0 。

範例六

另一個例子是絕對值函數 f(x) = |x| ，如下圖。

雖然可以看出來在 x = 0 時有最小值，但 f(x) 在 x = 0 並不 可微，在該點也沒有切線。

最大值與最小值

前述的範例五正好說明了費馬(Fermat)定理的逆敘述不成立，

以及範例六說明了 f 在極值點可微分的必要性，也提供了其 實極值點就算存在也不一定可微的例子。

所以接下來我們反過來利用費馬定理，以及範例六這個極值 點微分也不一定存在的這個想法，反過來推斷可能有極值的 極值點。

最大值與最小值

我們利用這個想法定義所謂的臨界點 (critical point) 。

利用臨界點這個定義我們改寫費馬定理：

[定義]

f 的定義域中一點 c 被稱為 f 的臨界點，表示 f’(c) = 0 或 者 f’(c) 不存在。

[定理]

若 f 在 c 有局部極大或極小值，則 c 為 f 的一臨界點。

最大值與最小值

由於極值定理保證了連續函數在閉區間上一定有最大或最小 值的存在，根據費馬定理，這些點若不是臨界點 (包含不可 微分的點) ，那就是閉區間的端點。於是我們可以寫下挑選 極值點的流程如下：

1. 考慮在 (a,b) 上 f 的臨界點，即: f 可微分，其導數為 0 的 點以及不可微分的點。

2. 考慮 f 在端點 a, b 的値。

3. 整理出前面兩個步驟的點，計算 f 分別在這些點的值。最 後，值最大者便是 f 的全域最大值，而值最小者便是全域 最小值。