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國立空中大學 106 學年度下學期期末考試題【正參】048

科目：統計學 ^{一律橫式作答 共 3 頁}

一、簡答題(40%，每題 10%) 1. 何謂中央極限定理？

[答：第 7 章，7.4 節，課本 P. 233]

2. 請說明「母體平均數可信區間」的意義。

[答：第 8 章，8.1 節，課本 P. 252]

3. 請說明「型 I 誤差」與「型 II 誤差」的意義。

[答：第 8 章，8.3 節，課本 P. 259、P. 261]

4. 相關係數與最小平方直線之斜率有何關係？

[答：第 11 章，11.6 節，課本 P. 416]

二、計算題(60%，任選三題作答，每題 20%)

1. 令 Y 為某種股票的報酬率，X 為市場投資報酬率，請利用最小平方法求出迴歸直線方程 式。

X -2 -1 0 1 2

Y 3 2 1 5 4

𝑦̂ = 3 + 0.5𝑥

[答：第 11 章，11.2 節，課本 P. 405]

解答：

𝑥_𝑖 𝑦_𝑖 𝑥_𝑖² 𝑥_𝑖𝑦_𝑖

-2 3 4 -6

-1 2 1 -2

0 1 0 0

1 5 1 5

2 4 4 8

總和 ∑ 𝑥_𝑖 = 0 ∑ 𝑦_𝑖 = 15 ∑ 𝑥_𝑖² = 10 ∑ 𝑥_𝑖𝑦_𝑖 = 5

𝑆𝑆_𝑥𝑦 = ∑ 𝑥_𝑖𝑦_𝑖−∑ 𝑥_𝑖∑ 𝑦_𝑖

5 = 5 −(0)(15) 5 = 5 𝑆𝑆_𝑥𝑥 = ∑ 𝑥_𝑖²−(∑ 𝑥_𝑖)²

5 = 10 −(0)² 5 = 10 𝛽̂ =𝑆𝑆_𝑥𝑦

𝑆𝑆_𝑥𝑥 = 5

10= 0.5 𝛼̂ = 𝑦 − 𝛽̂𝑥 =∑ 𝑦_𝑖

5 − 𝛽̂∑ 𝑥_𝑖 5 = 15

5 = 3 所以，迴歸直線方程式為

𝑦̂ = 3 + 0.5𝑥

2. 假設在 0.90 的信賴係數下，欲估計兩個母體比例值差異之誤差範圍在 0.04 之內，又假設

這兩個母體比例值近似於 0.4，且希望抽出相同的樣本大小，問應抽出多少的 n1 與 n2？

𝑛₁ = 𝑛₂ = 812

[答：第 10 章，10.2 節，課本 P. 372]

解答：

因為(1 − 𝛼) = 0.9，所以𝑍_{𝛼 2⁄} = 𝑍_0.05 = 1.645，再令𝑝₁ = 𝑝₂ = 0.4與𝑛₁ = 𝑛₂ = 𝑛，利用下列 方程式求出所需樣本個數

𝑍𝛼 2√𝑝₁𝑞₁

𝑛 +𝑝₂𝑞₂ 𝑛 = 𝐵

(1.645) × √(0.4)(0.6)

𝑛 +(0.4)(0.6)

𝑛 = 0.04 解出

𝑛 =2 × (0.4) × (0.6) ( 0.04

1.645)²

= 811.8075 ≅ 812

3. 由平均數為 200，標準差為 20 的母體中抽出大小為 49 個觀察值的隨機樣本，求出下列

機率：

(1) 205 ≤ 𝑥 ≤ 210

[0.0399]

(2) 𝑥 ≤ 200 [0.5]

[答：第 7 章，7.4 節，課本 P. 238]

解答：𝑥抽樣分配為𝑥~𝑁(200,²⁰²

49) (1) 𝑃(205 ≤ 𝑥 ≤ 210) = 𝑃 (^205−20020

7

≤ ^𝑥−20020 7

≤ ^210−20020 7

) = 𝑃(1.75 ≤ 𝑍 ≤ 3.5) =

0.0399

7

≤ ^200−20020 7

) = 𝑃(𝑍 ≤ 0) = 0.5

4. 某醫學院宣稱發展出一種新的延長癌症末期病人的治療方法，根據醫學雜誌指出過去所 用的傳統治療法平均可延長病人生命 4.2 年。為了解新治療法的有效性，隨機抽出 80 位 病人進行實驗，發現生存期間平均為 4.5 年，標準差為 1.1 年。以α = 0.05檢定是否支持 新的治療法？

𝑧 = 2.44 > 𝑧_0.05= 1.645，拒絕虛無假設，新治療方法有效 [答：第 8 章，8.3 節，課本 P. 269]

解答：欲檢定新方法在延長病人生存時間比舊方法好，假設𝑥為病人生存時間 (1) 建立以下假設

{𝐻₀: 𝜇 = 4.2 𝐻₁: 𝜇 > 4.2 (2) 測驗統計量

𝑍 =𝑥 − 4.2

𝜎_𝑋 = 4.5 − 4.2 1.1

√80

= 0.3

0.1230 = 2.4390 ≅ 2.44

(3) 因為𝑧 = 2.44 > 𝑧_0.05= 1.645，落在拒絕區域內，故拒絕虛無假設，新治療方法有效