1 微積分的起源與極限的概念
微積分是在十七世紀末，由牛頓和萊布尼茲所發明的。其實這樣講，並 不是說他們獨自從頭建立起整個微積分學說。事實上，微積分的概念，早 在古希臘時代便已萌芽。在十七世紀時，數學逐漸開始高度發展，許多數 學家致力於微分學與積分學的工作。後來由牛頓與萊布尼茲，集其大成，
形成微積分學說。
微積分的思想源流，最早可推溯到公元前五世紀的希臘數學家 Eudoxus
（Εὔδοξος），他用了窮盡法，將圓視為內接多邊形的極限。後來公元前三世 紀的阿基米德（Archimedes Ἀρχιµήδης），也用窮盡法來處理一些體積與面 積的問題。
到了大約十六、十七世紀的時候，人們開始想對於物理問題，做一些 定量的研究。在此之前，流行的是亞里斯多德的物理學。對於物理問題是 以定性的探討為主，而且當中有很多描述，與我們現在物理學上的認知是 有出入的。譬如說，物體的重量越大，其趨向天然位置的傾向也越大，所 以其下落的速度也越大；天體是由特殊質料構成的，具有特殊性質。天體 是神靈們的處所，所以天體的運動是沿著最完美的曲線，也就是圓周，且 是以最完美的速度，也就是等速運動來作運動。在中世紀的歐洲，亞里斯 多德的著作甚至是應試碩士班學位的必讀書目。後來十六世紀中期開始，
興起了一股反對亞里斯多德學說的思潮，他們對於阿基米德的方法大為崇 拜。譬如說十六世紀末物理學家伽利略，他就希望能有別於這種定性的、
原因方面的探討，作些定量上的、現象方面的描述。於是在比薩斜塔做了 落體實驗，發現重球與輕球看起來是同時落地的。這個時期，就是歷史課 本上所說的科學革命。在此期間，科學研究開始快速發展。在當時的物理 與數學中，啟發接下來微積分快速發展的，有四大問題：
1. 研究物理中的非等速運動 2. 作出曲線的切線與法線 3. 找出函數的極大值、極小值
4. 求曲線所圍出的面積，及曲線的弧長
我們先來看第四個問題。多邊形的面積我們都會計算，可是一但一個幾 何形狀不是由直線圍成的，而是由曲線圍成的，那該怎麼辦呢？曲線所圍 面積之中，最常見最基本的例子就是圓的面積。如前面所述，早在西元前
六世紀的 Eudoxus 和前三世紀的阿基米德，就用窮盡法來求圓周率及圓面
積。後來西元三世紀，三國時代的劉徽也做了類似的事。他用割圓術逼近 圓的面積，其內涵是透過內接正多邊形的方式來逼近圓。
Figure 1: 圓內接多邊形
我們在圖1 可見，圓內接正18 邊形看起來就已經跟圓相當接近了。而 實際上劉徽用到正 96 邊形，到了南北朝的祖沖之更是內接正 24576 邊形
1。我們用數學式子把這件事寫下來：
設 A 為我們要計算的圓面積，A3 為圓內接正三角形面積，A4 為圓 內接正方形面積。以此類推，An 為圓內接正 n 邊形面積。於是當 n 越來越大、越來越大，無止盡地大下去。換句話說，當 n 趨近於 無窮大的時候，圓內接正 n 邊形趨近到圓，An 便會趨近於圓面積 A。若用數學式子表示，便是：
n→∞limAn = A (1)
1祖沖之所估計的圓周率已經精確到小數點後七位，相當於千萬分之一的誤差，這已是 相當難得的。
式子 1 是極限的數學寫法，將英文字 limit 去掉後兩個字母，然後掛在 An
的左邊，用以表示 An 的極限。下面標示 n→ ∞，用意是告訴人家，足碼
(index number) 是誰。在這裡我們的足碼是 n，接著表達這個極限是將足碼
n 趨近無窮大。
羅馬人常用一千這數字來代表「多」。而在羅馬數字中，1000 是 C|Ɔ。
後來十七世紀，微積分先鋒之一的英國數學家 John Wallis，他將 C|Ɔ 略作 變形，寫成 ∞ 以表示無窮大。
積分學就是源自求曲線下所圍面積的問題，其所用的就是這種類似割圓 術的辦法。我們這裡只是先作很粗略的介紹，先讓你看看積分學是在探討 什麼問題，暫時不正式地去討論積分。
接 著 我 們 來 看 第 二 個 問 題， 求 曲 線 的 切 線。如 果 在 曲 線 中 取 兩 個 點， 將 兩 點 之 間 拉 出 一 條 割 線，那 麼 這 條 割 線 的 斜 率 我 們 都 會 做，就 是 △ y
△ x。但 如 果 是 給 定 一 個 點當作切點，並作過此切點 的切線，應該如何求此切線 的斜率呢？我們先看一下右 圖，圖中的 A 點為切點，過 它有一條深藍色的切線。若 將 A 點依序與 B、C、D、E 都拉出割線，我們可發現這
些割線越來越靠近深藍色切 Figure 2: 割線逼近切線 線。
這就是微分學的想法了，微分就是在做曲線上的切線斜率。其想法 是，利用我們會算的割線斜率，去趨近到切線斜率。如果切點的座標是 (x1, y1)，然後先找附近一個點 (x2, y2)，拉出割線斜率 △ y
△ x。接著我們將切 點 (x1, y1) 固定不動，讓 (x2, y2) 趨近到切點 (x1, y1)。於是割線斜率就會越
來越趨近到切線斜率了。我把這個想法整理如下：
若 P 點是 y = f (x) 上的一點，L 是以 P 當切點所作的切線，而 P2
是 y = f (x) 上的一動點。如果
Plim2→p
△ y
△ x (2)
這個極限是存在的，其值等於 m，那麼 m 就是切線 L 的斜率。
這裡也只是先很粗略介紹什麼是微分，你看懂看不懂都無所謂，我們現 在暫不實際去求切線斜率。
總結以上，微分學來自求切線問題，而積分學則來自求面積問題。兩者 看似截然不同，但這當中卻隱含著重要的關係：
它們事實上是反問題！
當數學家們不斷地在微分學上與積分學上有一些突破時，慢慢開始有人看 出二者間的關係。最後是由牛頓與萊布尼茲，他們都看出微分與積分的互 逆性，將微積分集大成。所以，大家公認是由他們倆發明微積分。
在以上的介紹當中，微分與積分都牽涉到極限。極限的概念是微積分的 基礎，所以各家微積分教科書，一定是從極限開始作介紹。讓讀者先明白 何謂極限，並且能自己動手計算極限，接著才繼續介紹微分以及積分。
在此也先作點簡單介紹，我們先介紹數列的極限。在式子 1 中，便有 An 這項數列，代表圓內接正 n 邊形面積。如果說當 n 越來越大、以致無 窮大時，An 會越來越接近圓面積 A。那麼我們便說：「當 n 趨近無窮大 時，數列 An的極限是 A。」這件事若以數學式來表達，就是
nlim→∞An = A
求 lim
n→∞
1 n
分母越大，整個數便越小。現在分母 n 會不斷地大下去，以致無窮。
於是整個數便無止盡小下去，趨近到 0。因此，lim
n→∞
1 n = 0
此例也顯示，極限值與數列的取值是不太一樣的概念。無論你 n 代什 麼數進去，1
n 都絕無可能是 0。然而我們現在取極限，卻看到當 n → ∞ 時，極限值是 0。
極限不一定是存在的。譬如說這個數列，{an} = (−1)n。它的值會在 −1 與 1 之間跳來跳去。於是當 n 趨近無限大時，an 並不會趨近到一個定值。
所以我們會說，極限 lim
n→∞an 不存在。
另一種狀況，也是極限不存在，但它是另一種情況的不存在。例如 {an} = n + 3，當 n 趨近無窮大，n + 3 也是趨近到無窮大。我們便寫成，
n→∞liman = ∞。∞ 並不是一個數，它只是用以表示無止盡地大的概念，所以 我們不能說極限值存在。但它也不是跳來跳去的那種不存在，就是說，極 限不存在有兩種情況。一種是來回震盪，不趨近到定值；一種是跑到正無 窮大或負無窮大去了。
總結上述介紹，數列的極限，便是在看一個無窮數列，它的每一項是否 會越來越趨近到某個值。有可能不會，像來回震盪，或是趨近到正負無窮 大。也有可能會，那我們可能會想計算究竟趨近到何值。而計算的方法，
有難有易，容後再提。
相較於數列的極限，函數也可以取極限。函數取極限的情況稍較複雜 些，但也不會很難懂。但同樣要注意的是，極限值與函數取值是不一樣的 概念。
函數 f (x) 同樣可以讓 x 趨近到無限大，看這是否會使得 f (x) 趨近到某 個定值。以函數 f (x) = 2
3+ x2 為例，這一樣也是分母越來越大、以致無 窮，於是整個數趨近到 0。所以我們可以寫
x→∞lim 2 3+ x2 = 0
看起來，函數極限與數列極限，似乎是幾乎一樣，其實還是有差的。差 別之一是，數列 an 一定是考慮 n 趨近到無窮大。但函數 f (x)，我們可以 讓 x 趨近到任何實數，來看 f (x) 是否會跟著越來越靠近某個值。譬如說 f (x) = 4 + 2x，當 x 越來越接近 3 的時候， f (x) 會越來越接近 10。所以我 們可以說 lim
x→3 f (x)= 10，x 不一定要趨近無窮大，它可以趨近 3。
不過我剛剛這樣講不是很正確，精確地說應該是，我們可以讓 x 趨近 到「定義域內」的任何實數。
舉例來說， f (x)= √
(x− 1)(x − 7)。它的定義域，由於根號內須為非負，
所以是閉區間 [1, 7]。那你當然就不能求 lim
x→∞f (x)，或是 lim
x→−3 f (x)。
如果函數 f (x) 的定義域是整個實數，那麼我要讓 x 趨近到任何實數都 可以。也包括負的無窮大， lim
n→−∞ f (x)。
limx→3x3− 2
x 越 來 越 靠 近 3 的 時 候，x3 − 2 就 越 來 越 靠 近 33 − 2 = 25，所 以 limx→3x3− 2 = 25。
極限值與函數取值是不一樣的概念，但此例卻又剛好等於函數值。初學 者容易有個誤解，覺得遇到極限問題，代下去就對了。的確很多時候可以 直接代入，但也有很多時候不可以，因為極限值與函數取值是不一樣的！
只是有時會剛好相等。
