全等

■MPB 三角形 P10∼12

配套指示器

■7 小時

理解全等三 角 形 的 意 義 與 符 號 的記法。

■特別強調兩個三角 形全等時，必須是 對應邊與對應角才 會相等。

■在初學全等三角形 的記號時，須依照 對應相等的順序來 記，例如△ABC 與

△DEF 全等，其中 A 和 D、B 和 E、

C 和 F 是三組對應 頂點，可記為

「△ABC＝^∼△ 教學眉批 活動1

教學時數

DEF」。

■（ D ）若△ABC △DEF，且 A 和 D 為對應點，B 和 E 為對應點，

則下列敘述何者正確？

A ∠A＝∠F B ∠C＝∠E C BC ＝DE D AC ＝DF

＝∼ 補充問題

補充問題

■類題熟練本 P34 配套指示器

1 △ABC △PQR，且 A 和 P、B 和 Q、C 和 R 是三組對應頂點。若∠A＝40°，

∠Q＝60°，AB＝6 公分，求：

1 ∠C 及∠P。

2 PQ 的長。

1∠C＝80°，∠P＝40°；2 6 公分

2 △ABC △PQR，∠A＝90°，PQ＝5 公分，△ABC 的面積為 30 平方公分，

求△ABC 的周長。

30 公分

＝∼

＝∼ 補充問題 補充問題

■三角形的全等可經 由全等性質判別，

但多邊形的全等，

則必須符合下列條 件：

1每組對應邊相等 2每組對應角相等 以上兩個條件缺一 不可。因此證明多 邊形全等是比較困 難的，不宜讓學生 練習。

教學眉批

■類題熟練本 P34 配套指示器

已知三角形 的 三 邊 ， 利 用 尺 規 畫 出 此 三 角 形 ， 並 驗 證 「 若 有 兩 個 三 角 形 的 三 邊 對 應 相 等 ， 則 此 兩 個 三 角 形必全等」，即 SSS 全等性質。

■SSS 全等從作圖教 起，並利用隨堂練 習從不同的邊開始 作圖，讓學生彼此 互相比較，看看所 畫出來的三角形是 否全等。

■SSS 作圖不宜只是 記憶全等的規則，

應讓學生經由作圖 過程，了解兩個三 角形會全等。

■教師可以利用課堂 上任意畫一個三角 形，要求學生利用 尺規作圖的方法畫 出一個三角形，使 它的三邊長分別與 原三角形的三邊長 相等，並檢驗這兩 個 三 角 形 是 否 全 等。

■隨堂練習應讓學生 操作，印象才會深 刻。

教學眉批 活動2

■給定線段 a、b、c，利用尺規作圖畫出一個△ABC，使得△ABC 的三邊長分別為 a、b、c。

補充問題 補充問題

B L A

a C b

c

■類題熟練本 P34

■十分鐘輕鬆考基礎篇 第 23 回

配套指示器

全等

在 幾 何 上 ， 若 兩 個 幾 何 圖 形 的 形 狀 及 大 小 完 全 相 同 ， 則 稱 這 兩 個 圖 形 是 全 等 的 圖 形 。 全 等 是 相 似 的 一 種 特 例 ， 當 相 似 的 比 例為 1 時，兩圖形 全等。

補充資料

■已知△ABC，利用 SSS 作圖，作一△DEF，

使得△DEF △ABC。

作法：（作圖在右頁）

1 畫一直線 L，並在 L 上取一點 E。

2 以 E 為圓心，BC 為半徑畫弧，交 L 於 F。

3 分別以 E、F 為圓心，AB 及 AC 為半徑畫弧，交於 D 點。

4 連接 DE、DF，則△DEF 即為所求。

＝∼ 補充問題 補充問題

A

B C

■SSS 作圖是全等作 圖中最基礎的，宜 讓學生多加練習。

教學眉批

已知三角形 的 兩 邊 及 其 夾 角 ， 利 用 尺 規 畫 出 此 三 角 形 ， 並 驗 證 「 若 有 兩 個 三 角 形 的 兩 邊 及 其 夾 角 對 應 相 等 ， 則 此 兩 個 三 角 形必全等」，即 SAS 全等性質。

■SAS 全等從作圖教 起，並利用隨堂練 習從不同的邊開始 作圖，讓學生彼此 互相比較，看看所 畫出來的三角形是 否全等。

■SAS 作圖不宜只是 記憶全等的規則，

應讓學生經由作圖 過程，了解兩個三 角形會全等。

教學眉批 活動3

■類題熟練本 P35 配套指示器

1 3

2 4

F D

F E E

L F

D

E E L

■類題熟練本 P35 配套指示器

■教師可以利用課堂 上任意畫兩個線段 和一個角，利用上 述作法畫出一個三 角形，使得它的兩 邊分別等於已知線 段，夾角等於已知 角。再用不同的次 序 作 出 一 個 三 角 形，並比較這兩個 三角形是否全等。

■隨堂練習應讓學生 操作，印象才會深 刻。

教學眉批

■如右圖，△ABC 與△DEF 是否全等？若全等，則是根據哪一個全等性質？

是，根據 SAS 全等性質。

補充問題 補充問題

5 公分 7 公分

5 公分 7 公分

50°

50°

A

B C

F

D E

■類題熟練本 P35

■歷屆基測試題 P40 配套指示器

全等變換

不 改 變 圖 形 形 狀 、 大 小 的 幾 何 變 換 稱 為 全 等 變 換 。 其 中 包 括 平 移 、 旋 轉、軸對稱。

1平 移 ： 將 一 個 圖 形 按 一 定 的 方 向 移 動 一 定 的 距 離。

2旋 轉 ： 將 一 個 圖 形 繞 一 個 頂 點 轉 動一定的角度。

3軸 對 稱 ： 將 一 圖 形 上 的 所 有 點 以 一 直 線 為 對 稱 軸 做 對 稱 點 ， 則 對 稱 點 所 形 成 的 圖 形 ， 就 稱 為 原 圖 形 的 軸 對 稱 圖 形。

補充資料

■如下圖，△ABC 與△PQR 是否全等？若全等，則是根據哪一個全等性質？

是，根據 SAS 全等性質。

補充問題 補充問題

■97 基測 I 第 31 題

！

A

B C

R

P

Q 3 3

4

4

30°

30°

■類題熟練本 P35 配套指示器

已知三角形 的 兩 角 及 其 夾 邊 ， 利 用 尺 規 畫 出 此 三 角 形 ， 並 驗 證 「 若 有 兩 個 三 角 形 的 兩 角 及 其 夾 邊 對 應 相 等 ， 則 此 兩 個 三 角 形必全等」，即 ASA 全等性質。

■ASA 全等從作圖教 起，並利用隨堂練 習從不同的角開始 作圖，讓學生彼此 互相比較，看看所 畫出來的三角形是 否全等。

■ASA 作圖不宜只是 記憶全等的規則，

應讓學生經由作圖 過程，了解兩個三 角形會全等。

■隨堂練習應讓學生 操作，印象才會深 刻。

教學眉批 活動 4

■已知線段 a，利用 ASA 作圖，畫一以 a 為斜邊的等腰直角三角形。

作法：

1畫一直線 L，並在 L 上取 P、Q 兩點，使得 PQ＝a。

2分別過 P、Q 兩點作 L 的垂線。

3於 L 的同側，分別作∠P、∠Q 的角平分線，

並交於 R 點，則△PQR 即為所求。

補充問題 補充問題

a

P Q L

R

■類題熟練本 P35

■十分鐘輕鬆考基礎篇 第 24 回

配套指示器

■教師可以利用課堂 上任意畫兩個角和 一個線段，利用上 述作法畫出一個三 角形，使得它的兩 個角分別等於已知 角，兩角所夾的邊 長等於已知線段。

再依不同的次序作 出另一個三角形，

並比較這兩個三角 形是否全等。

教學眉批

■如右圖，△ABC 與△DEF 是否全等？

若全等，則是根據哪一個全等性質？

是，根據 ASA 全等性質。

補充問題 補充問題

50° 7 公分

60°

7 公分 50°

60°

A

B C

E

F D

■類題熟練本 P36 配套指示器

從三角形的 內 角 和 定 理 推 得

「若有兩個三角形的 兩 角 及 其 中 一 角 的 對 邊 對 應 相 等 ， 則 此 兩 個 三 角 形 必 全 等」，即 AAS 全等性 質。

■利用三角形的內角 和為 180 度與 ASA 全等性質，來說明 AAS全等性質。

教學眉批 活動5

■如下圖，已知一個三角形的兩個角分別等於 給定的∠1 和∠2，且∠2 對邊的長等於給定 的長度 a，利用尺規作圖畫出這個三角形。

補充問題 補充問題

作法：

1 作∠3＝180°－∠1－∠2。

（接下頁）

AAS作圖

a

1 2 2 1

3

■類題熟練本 P36 配套指示器

2 畫一直線 L，在 L 上作 PQ，

使 PQ＝a。

（承上頁）

3 分別以 P、Q 為頂點，PQ 為一邊，在 L 的同側 作∠P＝∠1，∠Q＝∠3。令∠P 和∠Q 的另一 邊相交於 R，則△PQR 就是所求的三角形。

R

P Q L

P Q L

■第 2 題另有一種作 圖 方 法 ， 如 下 所 示：

1 畫一直線 L，在 L上 作 P Q ， 使 PQ＝ a。

2分別以 P、Q 為 頂點，PQ 為一 邊，在 L 的同側 作

∠P＝∠1＝ 40°，

∠Q＝2∠1＝80°。 令 ∠P 和 ∠Q 的 另 一 邊 相 交 於 R，則 △PQR 就 是 所 求 的 三 角 形。

教學眉批

R

Q L

P

■類題熟練本 P36 配套指示器

推得「若兩 個 直 角 三 角 形 的 斜 邊 和 一 股 對 應 相 等 ， 則 此 兩 個 三 角 形必全等」，即 RHS 全等性質。

■利 用 勾 股 定 理 與 SSS 全等性質，來 說 明 RHS 全 等 性 質。

教學眉批 活動6

■如圖，給定兩個線段 a、b，利用尺規作圖 畫出一個直角三角形，使得此直角三角形 的斜邊長等於線段 a ，一股長等於 b。

補充問題 補充問題

作法：

1畫一直線 L，並在 L 上取 P、Q 兩點，使得 PQ＝b。

2過 P 點作一直線垂直 L。

3以 Q 點為圓心，a 長為半徑畫弧，交垂線於 R。

4連接 QR，則△PQR 就是所求的三角形。

a b

RHS作圖

1

Q L P

（接下頁）

■十分鐘輕鬆考基礎篇 第 25 回

■歷屆基測試題 P38 配套指示器

■SSA 不一定全等，

可以分幾個部分來 討論：

給定一個角∠1 與 兩 線 段 長 a、 b，

利用尺規作圖畫出 一個三角形，使得 它的兩邊分別等於 a 和 b，且邊長 b 所對的角等於∠1。

1 a＞b，有兩個交 點，可形成兩個 三角形。

〔課本說明〕

2 a＜ b（b 夠長）， 有唯一交點，可 形 成 一 個 三 角 形。

〔動動腦2〕

3 a＞b（b 太短），

沒有交點，無法 形 成 一 個 三 角 形。

〔動動腦1〕

教學眉批

Q L

P L

P Q

2 3 4

R

Q L P

R

（承上頁）

■93 基測 I 第 24 題

！

■教學掛圖 4B-

■類題熟練本 P37 配套指示器 教具指示器

應用全等三 角形的性質解題。

■在說明兩三角形全 等時，可依循以下 步驟：

1先找出欲說明全 等 的 兩 個 三 角 形。

2於兩個三角形上 標記已知條件。

3判別適用的全等 性質。

教學眉批 活動7

6 ^■如右圖，五邊形 ABCDE 為正五邊形，M、N 分別為 BC、CD 的中點。說明△ABM △BCN。

說明：

因為∠ABM＝∠BCN，

AB＝BC（五邊形ABCDE 為正五邊形），

BM＝ BC＝ CD＝CN（M、N分別為 BC、CD 的中點），

根據 SAS 全等性質，△ABM △BCN。

補充問題

補充問題 A

B

C D

M N

E

1 2

1 2

＝∼

＝∼

■類題熟練本 P37

■歷屆基測試題 P28、40

配套指示器

■寫出下列每一小題所根據的全等性質：

1 2 3

補充問題 補充問題

AAS 全等性質。 ASA 全等性質。 SAS 全等性質。

×

×

×

× ○

○ ○

○

○

■97 基測 II 第 10 題

■98 基測 I 第 23 題

！

■利 用 「 三 角 形 全 等 ， 則 對 應 邊 相 等」的性質來說明 一線段的垂直平分 線上的點到此線段 的兩端距離相等。

教學眉批

○

■類題熟練本 P38 配套指示器

■利用隨堂練習來說 明中垂線性質的逆 定理，並藉此來說 明等腰三角形的兩 底角相等，也讓學 生理解敘述與逆敘 述之間的關係。

教學眉批

■如右圖，△ABC 中，AB＝AC 且∠1＝∠2。

1在右圖的△DBC 與△ECB中，依照上述條件，將 各組相等的對應邊與對應角用記號標出來。

2哪一個全等性質可以說明△DBC △ECB。

□SSS □SAS ■ASA □AAS □RHS 3BD 和 CE 是否相等？為什麼？

是，對應邊相等 補充問題 補充問題

＝∼

A

B

B C

C

B C

D

D

E

E

1 2

× ×

○ ○

■類題熟練本 P38 配套指示器

■透過例題 5，可推 得「等腰三角形的 頂角角平分線會垂 直平分底邊」此性 質，教師宜向學生 補充。

教學眉批

■如右圖，已知 BD 交 CE 於 A 點，且∠D＝∠E，

AD＝AE 。

1哪一個性質可以說明△ABE △ACD？

□SSS □SAS ■ASA □AAS □RHS 2AB 和 AC 是否相等？為什麼？

是，對應邊相等

3△ABC 為何種三角形？等腰三角形 補充問題

補充問題

■哪個數字最懶惰？

哪個數字最勤快？

1 最懶惰，

2 最勤快。

因 為 「 一 不 做 ， 二不休」。

趣味數學

B

D

C A E

＝∼

■類題熟練本 P38、39

■歷屆基測試題 P37、42

配套指示器

■如右圖，直線 PA 是∠BAC 的角平分線，且 PH⊥AB ， Q、R 在 AC 上，四邊形 PQRS 為正方形，若 PH＝5，

求四邊形 PQRS 的面積。

25

補充問題 補充問題

■92 基測 II 第 26 題

■98 基測 I 第 20 題

！

■利用三角形全等的 性質來說明角平分 線上的點到角的兩 邊距離相等，其逆 定理也是成立的。

教學眉批

A

B

C P

Q R

S H

■類題熟練本 P39

■十分鐘輕鬆考基礎篇 第 26、27 回

■歷屆基測試題 P37∼39

配套指示器

■如右圖，△ABC 與△BDE 皆為正三角形。

1哪一個全等性質可以說明△ABE △CBD？

□SSS ■SAS □ASA □AAS □RHS 2CD 和 AE 是否相等？為什麼？

是，對應邊相等 補充問題 補充問題

■94 基測 II 第 6 題

！

■90 基測 I 第 25 題

■94 基測 II 第 39 題

！

■教師可增加利用全 等後線段或角度會 相等的相關問題。

教學眉批

A

E

B C

D

＝∼

■無敵大補帖基礎篇 P20∼22

配套指示器

■類題熟練本 P40

■考前衝刺 P14、15

■考前 100 分 P14、15

■歷屆基測試題 3-2 配套指示器

1 已知△ABC △DEF，若 AB＝（2x＋3）公分，BC＝（4x－2）公分，AC＝（3x）公 分， DE＝（x＋8）公分，求：

1x 2△DEF 的周長 15； 246 公分

2 △ABC △FDE，且 AB＝FD，AC＝EF，若∠A＝80°，∠B＝70°，求：

1∠D 2∠E 170°； 230°

補充問題 補充問題

■97 基測 II 第 19 題

■99 基測 II 第 16 題

！

■第 1 題，教師宜提 醒學生，黑色不在 判別的範圍內。

■第 2 題是利用全等 三 角 形 對 應 邊 相 等、對應角相等的 觀念解題。

教學眉批

＝∼

＝∼

■類題熟練本 P40 配套指示器

■利用已知條件判別 兩三角形全等的相 關題型，不宜讓學 生寫出全部的說明 過程，可適時的輔 以填空題，且讓學 生填寫原因即可。

教學眉批

A B

C D

1 2

3 4

■如右圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4。

1哪一個全等性質可以說明△ABD △ABC？

□SSS □SAS ■ASA □RHS 2AC 和 AD 是否相等？為什麼？

是，對應邊相等 補充問題 補充問題

＝∼

■類題熟練本 P40

■十分鐘輕鬆考進階篇 第 11 回

■無敵大補帖進階篇 P17、18

配套指示器

■如右圖，AD 平分 ∠BAC，DE 、DF 分別垂直於 AC、AB ，已知 AB ＝6，AC ＝8，且 △ABC 面積 為 14，則 DE ＝ 。

補充問題 補充問題

2

B A

D C

E

F

■第 7 題的作法供教 師參考，不宜要求 學生全部寫出。

教學眉批