− + 55 18

Chapter1 三角函數

01

section 弧度量

焦點一 弧度

………P.4 1.

【答案】：

− + 55 18

π

【解析】： 55 57.3− × ° = −3151.5° ， 3151.5 180− ° ÷ ° ≈ −17.5∴ = − +

θ

55 18

π

2.

【答案】：2 1 2

π

−

【解析】：優弧 

AR

=2π −1 2 1

APR π

2−

⇒ ∠ = 3.

【答案】：(3)

【解析】： 57

57 : 180 :

x π x

180

π

° = ° ⇒ = 4.

【答案】：(3)(5)

【解析】：(1) sin180° <sin 3.14° (2) cos180° <cos 3.14° (3) tan180° <tan 3.14° 5.

【答案】： a> >

c b

【解析】：

a

=sin 57.3° > ，0

b

=cos114.6° < ，0

c

=tan171.9° ≈0∴ > >

a c b

6.

【答案】：

64

π

− 200

；

62

π

− 200

【解析】： ( 200)− ÷ ≈

π

63.66

⇒

最小正同界角 64=

π

−200；最大負同界角 62=

π

−200 7.

【答案】：43 60

π

【解析】：分針 8.5 分鐘走 17 8.5 30 60

π π

× = ；秒針 30 秒走 17 43

60 60

π

⇒ −

π π

=

π

8.

【答案】：(1) 72

π

(2) 3

θ

= (3)6 點 22 分

π

【解析】：(1)弧長 1

5 ( ) 6 60 72

r θ π π

= = × × =

(2)由餘弦定理

2 2 2

5 8 7 40 1

cos 2 5 8 80 2 3

θ

^{+ −}

θ π

⇒ = = = ⇒ =

⋅ ⋅

(3)設六點

x

分時兩針距離為 7 公分，即兩針夾角為 3

π

240 21.8 22

360 30 3 11

x π x π π x

π

⇒ + ⋅ − ⋅ = ⇒ = = ≈

焦點二 弧長與扇形面積

………P.9 1.

【答案】：4 3

π

+8 3

【解析】：①設圓半徑 r 1

sin 4

6 12 2

r r

r

⇒

π

= = ⇒ =

−

②斜線面積= 直角三角形 1

− 圓6 1 1 ² 8

4 3 4 4 8 3

2 6

π

3

π

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = −

③所求 1

= 扇形2 1

− 圓2

+

斜線面積 1 ² 1 ² 8 4

12 4 (8 3 ) 8 3

2 6 2 3 3

π π π π

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + − = + 2.

【答案】：21

【解析】：①設圓心角 COD∠ = ，弧長 2

θ

=

θ

= ⇒ = 4

θ

2

②斜線面積= 大扇形

−

小扇形 1 1 ²

5 2 2 2 21

2 2

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =2

3.

【答案】：2 3

π

【解析】：所求 4= × 弧長 2 4 1 6 3

π π

= × × = 4.

【答案】：

π

− 2

【解析】：所求= 扇形

−

直角三角形 1 ² 1

2 2 2 2

2 2 2

π π

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = −

………P.10 1.

【答案】： 9 9 3 3π− +

【解析】：①所求 4= × 弓形

+

正方形

②弓形= 扇形

−

三角形 1 ² 1 ² 3 9 3 3 sin

2 6 2 6 4 4

π π π

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = −

③設正方形邊長為

x

，由餘弦定理 ² 3² 3² 2 3 3 cos 18 9 3

x π

6

⇒ = + − × × × = − ， 即正方形面積 18 9 3= −

④所求 3 9

4( ) 18 9 3 3 9 9 3

4

π

4

π

= − + − = + −

2.

【答案】： 5π −6 3

【解析】：連接 AP ，所求為大圓弓形

+

小圓弓形

大圓弓形

¹ (3 2)

²

¹ (3 2) sin

²

3 ^{9 3}

2 3 2 3 2

π π π

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = −

小圓弓形

¹ ( 6)

²

^{2 1} ( 6) sin

²

² 2 ^{3 3}

2 3 2 3 2

π π π

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = −

所求 5= π−6 3

r

6



12 r − _r

P O

1

O

2

A 3 2

6

⁶



焦點三 直圓錐

………P.13 1.

【答案】： 8 10 2+

【解析】：設扇形半徑 r ，面積 1 ² 2

r θ

40

= ⋅ ⋅ = ，周長 2r r= +

θ

由算幾不等式 2

2 2 2 2 80 8 10 2

r r

r r r r

θ θ θ

⇒ + ≥ ⋅ ⇒ + ≥ × =

等號成立時

⇒ 2 r = r

θ

⇒ =

θ

2, r = 40 = 2 10 ⇒ + = m

θ

8 10 + 2

2.

【答案】： 2 67

【解析】：剪開直圓錐得扇形如右圖，且圓周長 6=

π

設圓心角

θ

， '

CC 弧長 18

6

3

θ π θ π

= = ⇒ =

由餘弦定理 ² 4² 18² 2 4 18 cos 268 2 67

CD π

3

CD

⇒ = + − × × × = ⇒ =

3.

【答案】： 6

π

【解析】：①扇形半徑

= 2

²

+ ( 5)

²

= 3

②扇形弧長= 圓周長 4

3 4

θ π θ

3

π

⇒ = ⇒ =

③扇形面積 1 ² 4

3 6

2 3

π π

= ⋅ ⋅ = 4.

【答案】：(1) 4

π

(2)4 3 6

【解析】：(1)

AB = (3 3)

²

+ 3

²

= 6

，由餘弦定理

2 2 2

(2 3) (2 3) 6 12 1 2

cos

AOB

2 2 3 2 3+ − −24 2

AOB

3π

⇒ ∠ = = = − ⇒ ∠ =

× ×

扇形面積 1 ² 2

(2 3) 4

2 3

π π

= ⋅ ⋅ =

(2)扇形弧長= 圓周長

2 3 ² 2 ^{2 3} 3

π

r

π

r 3

⇒ × = ⇒ = ⇒

高

(2 3)

²

( ^{2 3} )

²

^{96 4 6}

3 9 3

= − = =

5.

【答案】： 6

π

【解析】：①扇形弧長= 圓周長⇒

r θ

=6

π

②設扇形半徑 r ，側表面積= 扇形面積 = 1 ²

15 3 15 5

2⋅ ⋅ =

r θ π

⇒

π r

=

π

⇒ =

r

③直圓錐的高= 5²−3² = ，所求4 1 ²

(3 ) 4 12

3

π π

= × × =

A D

C

C′

4 18

14

02

section 三角函數的圖形

焦點一 三角函數的定義

………P.16 1.

【答案】：(4)

【解析】：

cot 3 tan ¹ sin ¹

3 10

A = ⇒ A = ⇒ A =

， 3 10

cos sec

10 3

A

= ⇒

A

= ， csc

A

= 10

所求

1 3

2 1 6 7

10 10

10 40 50 3 10 4 10

3

+ ⋅ +

= = =

⋅ + +

2.

【答案】：(2)

【解析】：(1)同界角表示兩角度相差 360° 的整數倍 (2)正確

(3) 270 360 360 360 135 180 180 180

k θ k k θ

2

k

° + ° < < ° + ° ⇒ ° + ° < < ° + ° 當

k

= 時，1350 180

2

° < <

θ

° ， 2

θ

為第二象限角

當

k

= 時， 3151 360 2

° < <

θ

° ， 2

θ

為第四象限角

(4)sin

θ

> ， tan0

θ

< ⇒ 為第二象限角 0

θ

(5)cot

θ

< ⇒ 為第二或第四象限角 0

θ

3.

【答案】：(1)(2)(3)(4)

【解析】：(1)

tan

₁

^{1 1} tan 30

₁

30

2 3

θ

= < = ° ⇒

θ

< °

(2)值相等

⇒

參考角相同⇒ +θ θ_{1 2} = +θ₁ (180° −θ₁)=180° (3)正確

(4)正確

(5)θ θ₄− ₃=(360° −θ₁) (180− ° +θ₁)=180° −2θ₁>120° 4.

【答案】：(5)

【解析】：如圖，設塔高 h ，則

1

cot 200

x

θ

=

h

⁺ ， ₂ 100

cot

x

θ

=

h

⁺ ，cot ₃

x

θ

= 成等差數列

h

5.

【答案】：(3)

【解析】： cos 2.6

π

=cos 0.6

π

=cos108° = −cos 72° = −  0.

(1)(5) sin108 , csc108° ° > (2) tan1080 ° = −tan 72° < − 1

(4) 1

sec108 sec 72 1 cos 72

° = − ° = − < −

° (3) 1

cot108 cot 72 0.

tan 72

° = − ° = − = −

° 

h

x

100 100

1 ₂ ₃

………P.17 1.

【答案】： sec

A

: sec

B

: sec

C

【解析】：如圖， cos

y

A

=

CH

， cos

x B

=

CH

1 1

: cos : cos : sec : sec cos cos

x y B A A B

A B

⇒ = = =

同理 :

y z

= sec

B

: sec

C

⇒

x y z

: : = sec

A

: sec

B

: sec

C

2.

【答案】：(3)

【解析】：設塔高 h ，

OA

= ⋅

h

cot14° ，

OB

= ⋅

h

cot18.5° 由畢氏定理

2

2 2 2 2

2 2

65 ( cot14 ) ( cot18.5 ) 65

cot 14 cot 18.5

h h h

⇒ = ⋅ ° + ⋅ ° ⇒ =

° + °

所求為斜邊上的高 cot14 cot18.5 65

h

⋅ °⋅ ⋅

h

°

=

2

2 2 2 2

65 cot14 cot18.5 65

4 3 31.2

cot 14 cot 18.5 65 4 3

= × °⋅ ≈ × ⋅ =

° + ° +

焦點二 三角函數的圖形

………P.21 1.

【答案】：3

【解析】：

2.

【答案】：7

【解析】：

3.

【答案】：2

【解析】：

A

F

B D C

y E z H

x B A

1

− 4.5

2 1 10 y = x −





− 2 

2 

cos y = x

5.5

− 1

1 4

y = x

 2 

− 1

4 

− 2 

− 4 

sin y = x

 ₂ 

5 y =

tan

y = x

焦點三 函數圖形的伸縮、平移

………P.25 1.

【答案】：(B)(C)(D)

【解析】：(A)對稱

y

軸 (

x

= 0)

(B) ( )

f x

=2 sin 3

x

最大值或最小值發生位置即為對稱軸 5

x

6

π

= 代入

( ) ( ⁵ ) 2 sin ⁵ 2 sin 2

6 2 2

f x f

π π π

⇒ = = =

為最大值

(C) 5

x

= −12

π

代入得

tan 2 ( ⁵ ) tan( )

12 3 2

y = ^   ⋅ −

π

+

π

^   = −

π 不存在，故為漸近線 (D)週期 2

π π

2

= =

− 2.

【答案】：(A)(C)(D)

【解析】：(A)

2 8

x

₌

n π π

_{+ 代入得}

tan 2 ( ) tan( )

2 8 4 2

y = ^   ⋅ n

π π

+ +

π

^   = n

π

+

π 不存在，故

2 8

x

_≠

n π π

₊

(B)週期

| 2 | 2

π π

= =

(C)對稱點為

y

座標為 0 的點 9

x

= −8

π

代入得

tan 2 ( ⁹ ) tan( 2 ) 0

8 4

y = ^   ⋅ −

π

+

π

^   = −

π

=

，故為對稱點 (D) 13

x

8

π

= 代入得

tan 2 ( ¹³ ) tan ¹⁴ tan ³

8 4 4 2

y = ^   ⋅

π

+

π

^   =

π

=

π 不存在，故為漸近線 (E)僅部分位置遞增

3.

【答案】：(A)(B)(C)(D)(E)

【解析】：(A)由震幅得 2− ≤

f x

( )≤ 2 (B) 2

x

₌ 3

π

代入得

( ² ) 2 cos 2 2

f 3

π

=

π

=

為最大值 (C)週期 2

3

=

π

(D) (2)

f

=2 cos 6≈2 cos 343.8> 0

(E) ( )

f x

=2 cos 3

x

最大值或最小值發生位置即為對稱軸，由(B)得 2

x

₌ 3

π

為對稱軸 4.

【答案】：(B)(D)

【解析】：

sin( ) cos

y ₌ x ₋

π

2 _{= −} x

5.

【答案】：4

【解析】：

6.

【答案】：(1) 4

π

(2)π

【解析】：(1)週期 2

= 2=4

| |1 4

π

÷

π

(2)週期不變

=

π

………P.26 1.

【答案】：(B)(D)

【解析】：(A)週期 2

= =6

| |1 3

π π

(B)週期

=

π (C)週期不變 =2

π

(D)週期 = 2

π

(E)不為週期函數

sin

y = x

− 2  _{− 1}

− 2 1 2

−   ₂ 

2 sin( ) y = x +  4

−  2

2

 ₃

2 

 ₂ 

| tan | y = x

1

2 

− 1

− 2  −   2

sin | sin | y = x + x

1

2 

− 1

− 2 

−   1

2  2

2 

−  −  

03

section 三角的和差角公式

焦點一 正餘弦和差角公式

………P.31 1.

【答案】：33 65

【解析】： 5 12 4 3

sin cos , sin cos

13 13 5 5

α

= ⇒

α

=

β

= − ⇒

β

= −

5 3 12 4 33

sin( ) sin cos cos sin ( ) ( )

13 5 13 5 65

α β

− =

α β

−

α β

= ⋅ − − ⋅ − =

2.

【答案】：(1) 44

125 (2 117

−125

【解析】： 3 4

cos sin

5 5

α

= ⇒

α

= ， 24 7

sin cos

25 25

β

= ⇒

β

= −

(1)

sin( ) sin cos cos sin ⁴ ( ⁷ ) ^{3 24 44} 5 25 5 25 125

α β

+ =

α β

+

α β

= ⋅ − + ⋅ =

(2)

cos( ) cos cos sin sin ³ ( ⁷ ) ^{4 24 117} 5 25 5 25 125

α β

+ =

α β

−

α β

= ⋅ − − ⋅ = −

3.

【答案】：60

【解析】：

cos ⁴ sin ³ , cos ² sin ¹

5 5 5 5

B = ⇒ B = C = ⇒ C =

3 2 4 1 2

sin sin( ) sin cos cos sin

5 5 5 5 5

A = B + C = B C + B C = ⋅ + ⋅ =

由正弦定理

²⁰ 6 5

2 3 1

5 5 5

b c

⇒ = = ⇒ = b

，

10 ¹ 6 5 10 ² 60

2 5

c = ⇒ ∆ ABC = ⋅ ⋅ ⋅ =

4.

【答案】： 45°

【解析】：

sin ³ cos ⁴ , tan 7 sin ⁷ , cos ¹

5 5 5 2 5 2

A = ⇒ A = B = − ⇒ B = B = −

3 1 4 7 25 1

sin sin( ) sin cos cos sin ( ) 45

5 5 2 5 5 2 25 2 2

C = A + B = A B + A B = ⋅ − + ⋅ = ⇒ ∠ = C °

5.

【答案】：25 72

【解析】： ^{2 2 2} 9

(cos cos ) cos 2 cos cos cos

α

+

β

=

α

+

α β

+

β

= 4

2 2 2 4

(sin sin ) sin 2 sin sin sin

α

+

β

=

α

+

α β

+

β

= 9

兩式相加 97 25

2 2(cos cos sin sin ) cos cos sin sin

36 72

α β α β α β α β

⇒ + + = ⇒ + =

cos( ) 25

α β

72

⇒ − =

6.

【答案】：24 25

【解析】：設 ABC∠ = ∠

ACB

= ，

α

4

sin cos

BCD β α β

5

∠ = ⇒ = = ， 3

cos sin

α

=

β

= 5

所求 3 4 4 3 24

cos cos( ) cos cos sin sin

5 5 5 5 25

ACD α β α β α β

∠ = − = + = ⋅ + ⋅ =

7.

【答案】：56 65

【解析】：設 COB∠ = ，

α

3

sin 5

ROQ β α

∠ = ⇒ = ， 4

cos

α

= ，5 5

sin

β

=13， 12 cos

β

=13

所求 3 12 4 5 56

sin sin( ) sin cos cos sin

5 13 5 13 65

COQ α β α β α β

∠ = + = + = ⋅ + ⋅ =

8.

【答案】：24 5

【解析】：設 CAB∠ = ∠

EAC

=

α

所求

sin 5 sin( ) 5 (sin cos cos sin ) 5 ( ^{3 4 4 3} ) ²⁴ 5 5 5 5 5

AE EAF

α α α α α α

= ⋅ ∠ = ⋅ + = ⋅ + = ⋅ ⋅ + ⋅ =

9.

【答案】： 3 4 3+

【解析】：設 CAB∠ =

θ

3 sin

θ

5

⇒ = ， 4

cos

θ

= 5

則

sin sin( 60 ) sin cos 60 cos sin 60 ^{3 1 4 3 3 4 3}

5 2 5 2 10

CAD

θ θ θ

⁺

∠ = + ° = ° + ° = ⋅ + ⋅ =

1 3 4 3

5 4 3 4 3

2 10

ACD +

⇒ ∆ = ⋅ ⋅ ⋅ = +

10.

【答案】：(D)(E)

【解析】：(A)(B)(E)設 BCP∠ = ，

α ACP β

∠ =

cos cos( ) cos cos sin sin h h x y h

²

xy

C

α β α β α β

a b a b ab ⁻

⇒ = + = − = ⋅ − ⋅ =

(C) cos

C

= −cos(

A B

+ ) (D)即餘弦定理

11.

【答案】：(1)20 (2)12

【解析】：(1) 4 3

sin cos

5 5

BCD BCD

∠ = ⇒ ∠ = ，

由餘弦定理 ^{2 2 2} 3

25 15 2 25 15 400 20

BD

5

BD

⇒ = + − × × × = ⇒ =

(2)設∠

ABC

= ，

α

24 sin 25

DBC β α

∠ = ⇒ = ， 7

cos

α

=25， 3

sin

β

= ，5 4 cos

β

= 5 7 4 24 3 100 4 cos cos( ) cos cos sin sin

25 5 25 5 125 5

ABD α β α β α β

⇒ ∠ = − = + = ⋅ + ⋅ = =

由餘弦定理 ^{2 2 2} 4

16 20 2 16 20 144 12

AD

5

AD

⇒ = + − × × × = ⇒ =

A D

B C

15 25

20

16

………P.33 1.

【答案】：0

【解析】：①(sinα+2 sin )β ² = −( 3sin )γ ²⇒sin²α +4 sinαsinβ+4 sin²β =9 sin²γ

2 2 2 2 2

(cosα+2 cos )β = −( 3cos )γ ⇒cos α+4 cosαcosβ+4 cos β =9 cos γ 兩式相加⇒ +1 4(sin

α

sin

β

+cos cos ) 4

α β

+ = ⇒9 sin

α

sin

β

+cos cos

α β

=1

cos(

α β

) 1

⇒ − =

②(2 sinβ+3sin )γ ² = −( sin )α ² ⇒4 sin²β+12 sinβsinγ +9 sin²γ =sin²α

2 2 2 2 2

(2 cosβ+3cos )γ = −( cos )α ⇒4 cos β+12 cosβcosγ +9 cos γ =cos α 兩式相加⇒ +4 12(sin

β

sin

γ

+cos

β

cos ) 9 1

γ

+ = ⇒sin

β

sin

γ

+cos

β

cos

γ

= − 1

cos(

β γ

) 1

⇒ − = −

所求 cos(=

α β

− ) cos(+

β γ

− ) 1 ( 1)= + − = 0 2.

【答案】：

a a

²−4

b

【解析】：由根與係數 sin sin sin sin

a b

α β

α β

+ = −

⇒  ⋅ =

所求 sin(=

α β

+ ) sin(⋅

α β

− )=(sin

α

cos

β

+cos sin ) (sin

α β

⋅

α

cos

β

−cos sin )

α β

2 2 2 2 2 2 2 2

(sinαcos )β (cosαsin )β sin α(1 sin β) (1 sin α) sin β sin α sin β

= − = − − − = −

(sin

α

sin )(sin

β α

sin )

β

= + −

又(sinα −sin )β ² =(sinα+sin )β ²−4 sinαsinβ =

a

²−4

b

sin

α

sin

β a

2 4

b

⇒ − = − − (

α β

< ) 所求

= − ( a )( − a

²

− 4 ) b = a a

²

− 4 b

焦點二 正切和差角公式

………P.37 1.

【答案】：1 2

【解析】： tan tan 3 1 1

tan tan( )

1 tan tan 1 3 1 2

DEA BEA

DEB DEA BEA

DEA BEA

∠ − ∠ −

∠ = ∠ − ∠ = = =

+ ∠ ⋅ ∠ + ⋅

2.

【答案】：2

【解析】：原式

^{cos( ) (cos cos sin} sin ) / (cos cos ) 1 tan tan 1 2 3 sin( ) (sin cos cos sin ) / (cos cos ) tan tan 2 3 5

A B A B A B A B A B

A B A B A B A B A B

+ − − − ⋅

⇒ = = = =

− − − −

3.

【答案】： 1−

【解析】：由 tan 58 tan13

tan 45 tan(58 13 ) 1 tan 58 tan13 1 tan 58 tan13 1 tan 58 tan13

° − °

° = ° − ° = = ⇒ ° − ° = + ° °

+ ° °

tan 58 tan13 tan 58 tan13 1

⇒ ° ° − ° + ° = −

4.

【答案】： 1

− 3

【解析】：

^{tan tan} [ ^{( )} ] ^{tan tan( ) 1 2 1}

1 tan tan( ) 1 1 2 3

α α β

β α α β

α α β

− − −

= − − = = = −

+ − + ⋅

5.

【答案】：

45°

【解析】：

1 1

tan tan 3 5 8 4 tan( )

1 tan tan 1 1 14 7 1 3 5

α β

α β α β

+ +

+ = = = =

− − ⋅

1 1

tan tan 7 8 15 3 tan( )

1 tan tan 1 1 55 11 1 7 8

γ δ

γ δ γ δ

+ +

+ = = = =

− − ⋅

[ ]

4 3 65 tan( ) tan( ) 7 11 77

tan ( ) ( ) 1

4 3 65 1 tan( ) tan( )

1 7 11 77

α β γ δ

α β γ δ

α β γ δ

+ + + +

+ + + = = = =

− + + − ⋅

又 0° <

α β γ δ

, , , < ° ，故45

α β γ δ

+ + + = ° 45 6.

【答案】： 1 15

【解析】：

32 28 4 32 32 32 1 tan 32 28 60 15

1 .

32 32 32

θ

= ⁻ = =

+ 7.

【答案】： 1

− 2

【解析】：已知∠

ADC

= ° ，45 ∠

ACD

= °，又90

tan ∠ BEC = 3

所求^=tan

^θ

^{=tan 360}

[

^{° −(45° + ° + ∠90}

^BEC

⁾

]

^{=tan(225° − ∠}

^BEC

⁾

tan 225 tan 1 3 1 1 tan 225 tan 1 1 3 2

BEC BEC

° − ∠ −

= = = −

+ ° ∠ + ⋅

8.

【答案】：56 33

【解析】：設 CAB∠ = ，

α

4

tan 3

CAD β α

∠ = ⇒ = ， 12

tan

β

= 5 所求^tan∠

^EAD

^{=tan 180}

[

^{° −(}

^{α β}

^{+ )}

]

^{= −tan(}

^{α β}

^{+ )}

tan tan 1 tan tan

α β

α β

= − +

−

4 12 56 3 5 15 56

4 12 33 33 1 3 5 15

= − + = − =

− ⋅ −

9.

【答案】： 1

− 7

【解析】：已知 BAD∠ = ∠

EAD

=

β

⇒ + = ° 且

α β

45 1 tan

β

= 2

1 1 tan 45 tan 1 2 2 1 tan tan(45 )

1 3

1 tan 45 tan 3

1 1 2 2

α β β

β

° − −

⇒ = ° − = = = =

+ ° + ⋅

1 1 1

tan tan 3 2 6 1 tan( )

1 1 7

1 tan tan 1 7

3 2 6

α β

α β α β

− −

⇒ − = − = = = −

+ + ⋅

10.

【答案】：(2)

【解析】：由圖，^{tan 10 2, tan}

(

^{' '}

)

^{20 2 ' '}

15 3 30 3

α

= =

α β

+ = = ⇒ = +

α α β

………P.39 1.

【答案】：3 4

【解析】：設

AB = AC = 3, BC = 3 2

，由餘弦定理

2 2 2

3 ( 2) 2 3 2 cos 45 5 5

AP AP AR

⇒ = + − × × × ° = ⇒ = =

2 2 2

( 5) ( 5) ( 2) 8 4 3

cos tan

10 5 4

2 5 5

PAR

+ −

PAR

⇒ ∠ = = = ⇒ ∠ =

⋅ ⋅ 2.

【答案】：

9 3

【解析】：

∆ ABC

中， tan

A

+tan

B

+tan

C

=tan

A

tan

B

tan

C

=3 3 由算幾不等式 tan tan tan ³

tan tan tan 3

A B C

A B C

+ +

⇒ ≥

3 3 tan

A

tan

B

tan

C

3 3 tan

A

tan

B

tan

C

⇒ ≥ ⇒ ≥

等號成立時⇒tan

A

=tan

B

=tan

C

= 3⇒ ∠ = ∠ = ∠ = °

A B C

60 故

∆ ABC

為正三角形且邊長為 6，則

∆ ABC

面積

³ 6

²

9 3

= 4 ⋅ =

3.

【答案】：5 2

【解析】：①由根與係數

tan tan 5 3 tan tan 1

3

α β

α β

 + =

⇒  

 =



②所求

( )

5 tan tan 3 5 tan 1 tan tan 1 2

1 3

α β

α β α β

= + = + = =

− −

4.

【答案】：(1) 1− (2)1

2 (3)9 2

【解析】：(1)由根與係數 tan tan 4 tan tan 3

α β

α β + = −

⇒  = − ，所求

tan( ) ^{tan tan 4} 1 1 tan tan 1 ( 3)

α β

α β α β

+ −

= + = = = −

− − −

(2)

^tan ( ) ^{1 cos( ) 2 cos (}

²

^{) 1}

2 2

α β

+ = − ⇒

α β

+ = ± ⇒

α β

+ =

(3)原式提出cos (² α β+ )

2 2 1 2 1 9

cos ( ) 2 tan ( ) 3 tan( ) 4 2( 1) 3( 1) 4 9

2 2 2

α β



α β α β

  

⇒ +  + − + + = × − − − + = × = 5.

【答案】： 2−

【解析】：由

tan 45 tan( ) ^{tan tan} 1 tan tan 1 tan tan 1 tan tan

α β

α β α β α β

α β

° = − = − = ⇒ − = +

+

tan

α

tan

β

−tan

α

+tan

β

= − 1

所求 (tan=

α

+1)(tan

β

− =1) tan

α

tan

β

−tan

α

+tan

β

− = − − = − 1 1 1 2 焦點三 倍角公式

………P.45 1.

【答案】：

( ^{7 24} , ) 25 25

−

【解析】：已知 4

sin

θ

= ，5 3 cos

θ

= 5

4 3 24 sin 2 sin cos 2

5 5 25

θ θ θ

⇒ 2 = = ⋅ ⋅ = ， ² 3 ² 7

cos 2 2 cos 1 2 ( ) 1

5 25

θ

=

θ

− = ⋅ − = − 所求

( cos 2 , sin 2 ) ( ^{7 24} , )

25 25

R r

θ

r

θ

⇒ = −

2.

【答案】：12 25

【解析】：設∠

AOB

= ∠

BOC

= ⇒ ∠

θ AOC

=2

θ

則 1 3 3

1 1 sin sin

2 10 5

OAB θ θ

∆ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ = ， 4 3 4 24

cos sin 2 2 sin cos 2

5 5 5 25

θ

= ⇒

θ

=

θ θ

= ⋅ ⋅ =

1 1 24 12

1 1 sin 2

2 2 25 25

OAC θ

⇒ ∆ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = 3.

【答案】：(1)17

25 (2)3 5

【解析】：(1)

cos 2 2 cos

²

1 1 2 sin

²

³ cos ²

5 5

θ

=

θ

− = −

θ

= ⇒

θ

= ±

，

sin ¹

θ

= ± 5

所求 ^{4 4} 2 ⁴ 1 ⁴ 17

cos sin ( ) ( ) 5 5 25

θ θ

= + = ± + ± =

(2)所求 ^{2 2 2 2 2 2} 3

(cos sin )(cos sin ) cos sin cos 2

θ

+

θ θ

−

θ

=

θ

−

θ

=

θ

= 5