有朋自遠方來一一專訪
Tommaso Ruggeri 教授
策 劃 : 劉太平
訪 問 : 劉太平、 河承烈 (Seung Yeal Ha) 時 間 : 民國 108 年 12 月 18 日
地 點 : 中央研究院數學研究所 整 理 : 編輯室
Tommaso Ruggeri教授 1947 年 7 月 31 日 出生於義大利西西里島 Messina 市, 1969 年於 Messina 大學得碩士, 即於該校任助理教授。 1973 年起任教 Bologna 大學, 現為 Bologna 大學榮譽退休教授。 Ruggeri 教授在理性力學和雙曲型偏微分 方程有傑出貢獻, 為 Accademia Nazionale dei Lincei 院士。 Ruggeri 教授為人 熱誠, 本訪談對其獨特研究歷程和見解, 以及義大利學術發展有生動描述。
劉太平 (以下簡稱 「劉」): 我想請教一個腦海裡盤旋的問題: 在義大利, 我們知道你們有伽利 略1、 費米 (Fermi)2 以及其他許多物理界巨擘。 三次多項式3也是義大利解出來的。 義大利 在物理和數學上有著輝煌的傳統, 而你的專業涉及理論物理、 數學物理; 這有著源遠流長的 傳統, 對吧?
Tommaso Ruggeri (以下簡稱 「R」): 某種意義下, 義大利或許頗為特別, 因為我們有所謂的
1Galileo Galilei (1564∼1642), 出生於比薩, 改進望遠鏡, 支持哥白尼地動說, 發表慣性原理, 做實驗證明引力作用下的物體做等加 速運動。 有現代科學之父的美稱。
2Enrico Fermi (1901∼1954), 出生於羅馬的美籍物理學家。 因研究中子轟擊產生的放射現象及發現超鈾元素, 1938 年獲諾貝爾物 理獎, 並於曼哈頓計畫期間領導做出舉世首個核子反應爐。
3十六世紀早期, 義大利數學家 Scipione del Ferro 發現一元三次方程的解法。
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理性力學4 (Rational Mechanics)。 理性力學是數學、 物理和工程科系學生的必修科目, 有 著悠久的傳統。 早在 17 世紀末, 義大利就出現相關書籍。 國際間最廣為人知的義大利理性 力學文本, 或許是 Levi-Civita5及 Amaldi6的著作7, 初版於 1923 年問世。 理性力學採用 數學上的數學演繹法。 我們認為伽利略是義大利理性力學的鼻祖。 有了 Lagrange8 的分析 力學 (Analytical Mechanics) 及 Hamilton9 的 Hamiltonian 力學之後, 該領域於近代 登峰造極。 起初理論物理和數學物理之間的差異非常 · · ·
劉: 微妙。
R: 微妙, 因為對我而言, Landau10 是物理學家的典範。 Landau 是個天才, 但如果你檢視 他的書, 沒有一個證明是嚴謹的, 且時有疏漏。 他寫的是物理直覺。 他們會說, 喔! 這一 項沒有重要功用, 所以我們可以刪除它。 但數學物理全然不同, 它像所有的數學一樣嚴謹, 且定理就是要證明。 義大利目前有一群數學物理學家, 隸屬於國家高等數學研究所 (Isti- tuto Nazionale di Alta Matematica11(INdAM)) 的國家數學物理團隊12 (Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica, GNFM)。 他們分為四組 : 分析、 數值分析 (成立 較晚)、 幾何與代數, 以及數學物理。 而我曾擔任 GNFM 所長二十餘年。
但數學物理在美國的涵義與我們有些不同。 在美國, 數學物理指的是數學上有適切面向的 場論 (field theory)。 而義大利的數學物理, 是理性力學的方法學在其他領域的擴展; 在 這些領域中, 由一般公理出發的數學模型的建構也極為重要。 這種由理性力學衍伸來的數 學物理傳統也見諸法國; 請記得 1921 年 Paul Appell13的著作 《Trait´e de M´ecanique Rationnell》。 而美國的理性力學是 Clifford Truesdell14所引進。
理性力學的重要性也見諸義大利猞猁之眼國家科學院15 (Accademia dei Lincei); 它是世 界上最古老的學院, 有兩個數學部門 : 其一為純數; 另一個則為力學及其應用。
劉: 你方才提到 Truesdell。 他創辦 《Archive for Rational Mechanics and Analysis》, 選
4以數學基本概念和嚴格邏輯推理來研究力學問題。 強調概念的確切性和數學證明的嚴格性, 並力圖用公理體系來演繹力學理論。
5Tullio Levi-Civita (1873∼1941), 義大利數學家, 與 Gregorio Ricci Curbastro 合作發展張量分析, 對三體問題、 Hamilton- Jacobi方程, 及流體動力學有重大貢獻。
6Ugo Amaldi (1875∼1957), 義大利數學家, 對作用在三維空間的無限維李群的分類有重大貢獻。
7Tullio Levi-Civita and Ugo Amaldi Lezioni di meccanica razionale, Bologna: N. Zanichelli, 1923.
8Joseph-Louis Lagrange (1736∼1813), 法國籍義大利裔, 變分法的奠基者, 創立 Lagrange 力學。
9William Rowan Hamilton(1805∼1865), 愛爾蘭數學家, 創立 Hamiltonian 力學, 發明四元數。
10Lev Davidovich Landau(1908∼1968), 蘇聯物理學家。 因發展超流動性 (superfluidity) 的數學理論, 獲 1962 年諾貝爾物理 學獎。
11National Institute of Higher Mathematics of Italy,由義大利政府建立的非營利研究機構。 主要目的為促進數學及其應用領 域的研究和高等數學教育的普及。
12National Groups of Mathematical Physics,在數學物理的各個領域推廣和協調科學和應用活動。
13Paul Appell (1855∼1930), 法國數學家和巴黎大學校長, 研究領域涵蓋代數函數、 微分方程、 力學、 最佳運輸及 Fourier 係數。
14Clifford Ambrose Truesdell III (1919∼2000), 出生於洛杉磯, 創辦 《Rational Mechanic and Analysis》。
151603年設立於義大利羅馬的科技研究機構, 現在是義大利國家級科技研究機構。 該學院參與早期歐洲科學革命, 學院以 「猞猁之眼」
冠名, 其敏銳的洞察力象徵人們對科技不懈探索的精神。
用的語言之一是拉丁文。
R: 沒錯, 拉丁文。
劉: Truesdell 一定感覺義大利在某種程度上是他的心靈歸宿, 為什麼呢?
R: 是的, 對於義大利在連續體力學16(Continuum Mechanics) 的研究的傳播, Truesdell 始 終是位重要人物。 他初抵達義大利時, 對義大利及其文化充滿著熱情, 並開始學習義大利文, 因而能夠閱讀許多文章, 特別是 Antonio Signorini17及其學派的文章。 1909 年, Signorini 在 Gian Antonio Maggi18、 Luigi Bianchi19 及 Tullio Levi-Civita 的指導下, 自比薩 高等師範學校20 (Scuola Normale Superiore) 數學所畢業。 他和他的門生對非線性彈性 理論做出重要貢獻。 Truesdell 發現, 許多他認為是原創的結果, 之前已由 Signorini 建構。
Truesdell 對此予以肯定。
劉: 是這樣。
R: 因此, 如果你查閱 Handbook of Physics 系列叢書, 會發現裡頭充斥著義大利名字。 他非 常喜歡義大利, 特別是 Bologna21, 因為 Bologna 這個城市很均衡。 Bologna 所以會最為 均衡, 或許是因為最古老的大學在那裡。 所以他決定在那兒買房子。
劉: 他可真是很投入。
R: 我很榮幸能在 Bologna 與他初識。 記得當時我給了他一篇很重要的文章, 是用義大利文寫 的, 當時我還不會寫半句英文。 他很喜歡那篇文章, 讓它發表在 《Annali di Mathematica Pura ed Applicata》, 這是義大利非常重要的數學期刊。
劉: 你提到了 Levi-Civita。 他也是位傑出的幾何學家, 對吧?
R: Levi-Civita曾是 Ricci-Curbastro22的學生。 Ricci-Curbastro 建立了所謂的絕對微分 學 (absolute differential calculus)23。 如你所知, 愛因斯坦對廣義相對論有些直覺時, 數 學工具付諸闕如。 於是愛因斯坦求助於好友 Marcel Grossmann24; 這位蘇黎世聯邦理工 學院 (Zurich Polytechnic) 的同儕, 引他注意到 Ricci-Curbastro 的工作, 廣義相對論
16力學中的一個分支, 處理包括固體和流體在內的 「連續介質」 宏觀性質的力學。
17Antonio Signorini (1888∼1963), 義大利數學物理學家, 以彈性力學及熱彈性力學的研究而著稱。
18Gian Antonio Maggi (1856∼1937), 義大利數學物理學家, 研究分析力學, 涉及彈性理論。
19Luigi Bianchi (1856∼1928), 義大利數學家。 義大利幾何學派的領導者, 推導出黎曼張量的 Bianchi 恆等式, 並對黎曼流形的三 維等距李群進行分類。
20在義大利比薩的公立高等教育及研究機構, 為比薩大學系統的一部分, 由拿破崙於 1810 年仿照巴黎高等師範學校創建。
21一座義大利城市, 位於北部波河與亞平寧山脈之間, 是 Emina-Romagna 的首府。 Bologna 也是義大利最發達的城市之一, 擁有世 界最古老的大學 — Bologna 大學, 設立於 1088 年。
22Gregorio Ricci Curbastro(1853∼1925), 義大利數學家, 與 Levi-Civita 合作發展張量分析。 Ricci 曲率張量以他的名字命名。
23又稱張量分析。
24Marcell Grossmann (1878∼1936), 瑞士數學家, 愛因斯坦的大學同窗好友, 與愛因斯坦合作完成 1913 年的開創性論文。
從而誕生。 在描述重力的著名方程式中, 出現一個名為 Ricci 張量的數學量, 致使 Ricci- Curbastro 和他傑出的學生 Tullio Levi-Civita 廣為人知, 獲得應得的肯定。
在義大利的數學物理界, 有兩個重要的團隊, 其一受到分析的強力影響, 另一則深受幾何影 響。 這些人本質上與微分幾何更有淵源, 因為義大利有優秀的幾何傳統。
劉: 在代數幾何尚未被形式化地表述之前, 我曾聽到該領域的人提到 「偉大的義大利幾何學家 們」。 義大利學派比較直觀。
R: 沒錯, 在代數幾何, 我們有堅強的義大利學派, 有諸如 Castelnuovo25、 Enriques26 和 Severi27 等; 至於微分幾何領域, 也有 Bianchi 等。
劉: 你提到了數學物理的分析面向。
R: 是混雜著的, 因為分析和幾何當然是不一樣的。 Levi-Civita 最著名的成果是黎曼幾何的平 移 (parallel transport) 概念。
劉: De Giorgi28等人所謂的幾何測度論 (geometric measure theory) 結合了幾何和分析。
R: 沒錯。
劉: 你何以進入理性力學這領域呢?
R: 喔, 這可有趣了! 如同許多人, 我的人生是一系列分岔點。 每個人的人生都可以類比為一個 混沌動力系統, 隨處都是分岔點。 有一部著名的電影叫 「雙面情人29 (Sliding Doors)」, 你 知道它嗎?
劉: 人生像是個 「滑動門」 嗎?
R: 這部電影的情節非常有趣, 是在兩個故事情節中切換。 主角的人生有兩條路徑可循, 取決於 她是否趕上火車。 她匆忙地趕往地下的火車, 卻在車門關上之際錯過了。 但隨即電影倒帶, 場景重播, 但這回她剛好趕上車。 影片繼續進行, 在兩個情節中交替, 其中發生了截然不同 的後續事件。
劉: 嗯。
R: 我的人生充滿著滑動門。 高中和國中時期的我, 是個非常糟糕的學生, 對念書沒什麼興趣。
然而, 不知何故, 數學對我來說總是很簡單。 我記得國中時, 老師們在教室討論著學生的成
25Guido Castelnuovo (1865∼1952), 義大利數學家, 研究代數曲線的幾何、 代數曲面, 並從雙有理不變量的角度來看平面曲線的線 性系統。
26Federigo Enriques (1871∼1946), 義大利數學家, 被認為是第一個在雙有理幾何中對代數曲面進行分類的人。
27Francesco Severi (1879∼1961), 義大利數學家, 以對雙有理幾何、 模空間理論及多複變函數理論有重大貢獻。
28Ennio De Giorgi (1928∼1996), 義大利偉大數學家, 1990 年獲頒 Wolf 獎。 他於 1950 年代解出 Hilbert 第 19 問題, 1960 年代建構出極小曲面正則理論, 1969 年與 Bombieri 及 Giusti 提出極小曲面 Bernstein 問題在八維空間之反例, 1970 年代後 致力推展 Γ-收斂的理論。
291998年首映的浪漫愛情電影, 以平行時空 (Parallel universe) 講述一個女人不一樣的命運 。
績, 所有老師都認為我是最差的學生, 然而數學教授帶著幾分尷尬聲稱我是最好的學生。 所 以我那當軍醫的父親非常擔心。 在我高中畢業時, 他說 : 「Tommaso, 你很聰明, 但不喜歡 念書。」 接著, 他建議我從軍。 這個建議讓我很焦急, 對父親說 : 「我想試著上大學。 如果第 一年沒成功, 我就聽從你的建議, 去軍中做一名軍官。 現在我打算念工程, 電子工程。」 當時 Messina30只有ㄧ般工程學系前兩年的課程, 與數學及物理的學生相同。
劉: 修同樣的課。
R: 頭兩年, 我毫不費力地以最高分通過考試, 讓我父親大為震驚! 但若要繼續上後三年的工程 學課程, 我必須轉到北方的大學。 原先我計畫去 Padua31, 因為有位叔叔在那裡, 但我的父 母開始試圖說服我待在 Messina : 「你要去哪裡? 北方很冷, Padua 離西西里 (Sicily) 很 遠, 為什麼你不改念數學或物理呢?」 我的物理滑動門就此出現! 故事變得滑稽許多。 我母親 不情願地給了我 1 萬里拉, 是讓我從 Messina 大學32轉到 Padua 所需的費用。 但當我在 辦公室準備付款時, 發現從工程科系轉到物理系只需要 5000 里拉。 那扇滑動門值 5000 里 拉!
於是我開始學物理, 也喜歡上這個學科。 理論物理學著重於量子力學, 儘管成果斐然, 但從 公理層面來看, 卻不很清晰, 所以我不怎麼喜歡量子力學。 我反倒對古典物理非常感興趣, 譬如連續體力學或數學物理學家教授的相對論。 因此我選修了這個學門的課。 有位教授閱 卷時十分賞識我; 他告訴我: 如果我可以在第四年第一學期的六月畢業, 他就可以提供我理 性力學的助理職位。 當時我還很年輕, 因為我小學只念五年, 通常需要六年。 於是我非常努 力用功, 21 歲就取得碩士學位。 1969年, 我年僅 22 歲, 十分年輕, 還沒有博士學位, 就擔 任助理一職。 這是終身職。
但我面臨的問題是如何開始做研究。 這位數學物理教授人很好, 但他並非一位傑出的學者。
他在當地勢力龐大, 周遭的助理都被迫去聽他上課。 我與他首次發生衝突, 是我想發表第一 篇論文時。 事實上, 這篇文章是我獨立完成的學位論文。 我將手稿交給他之後的幾個月, 他 僅關心過導論部份。 當時的做法是, 所有助理都須獲得教授的批准; 獲准的話, 文章會被發 表在當地科學院的某期刊, 而後在 Messina 之外將乏人問津。 然而, 我在圖書館發現各式各 樣的國際期刊, 因此請人幫我將這篇文章翻譯成英文後, 決定將它投寄到 《Mathematical Physics》。 很幸運地, 這篇文章被接受了!
劉: 太好了!
R: 那位教授很生氣。 此外, 因為我違反規定, 團隊掀起一場革命, 因此我被孤立了。 這讓我吃 了許多苦。 接著我的第二扇滑動門出現了! 1970 年, 我決定參加在 Bressanone 的暑期學
30義大利西西里島上第三大的城市, 也是 Messina 省的首府。
31位於義大利北部, 為 Messina 省的首府以及經濟和交通要衝。
32一所位於義大利 Messina 省 Messina 市的公立大學, 1678 年學校因為抵抗西班牙人而關閉, 1838 年重新開放。
校; Bressanone 位於義大利和奧地利接壤的 South Tyrol 省, 是 Bolzano 附近的一個小 鎮。 暑期學校由 Carlo Cattaneo33主辦, 主題是 「相對流體力學」, 講師群包括法國著名數 學家 A. Lichnerowicz34, 他用分佈論 (distribution theory) 講解震波 (shock waves), 另有 A.H. Taub 35提出變分問題及 J. Ehlers36講授相對動力學理論。 我懂的不多, 但意 識到了做研究是怎麼一回事。 而我也對這些議題深感興趣。 隨後對這些議題做了些貢獻。
抵達 Bressanone 車站時, 只有一輛計程車。 我從一側坐上那輛車, 一位年輕的法國男子 從另一側上車。 我倆異口同聲說要前往同一地方。 這是我研究生涯一個很重要的時刻, 因 為他是 Lichnerowicz 在巴黎指導的學生 Guy Boillat37, 非常有獨創性。 他撰寫博士論 文時, 首先造訪了北方許多國家, 包括挪威和丹麥, 同時也和一位日本應用數學家 Tosiya Taniuti38保持聯繫。 Taniuti 曾就讀 Courant 數學研究所, 將 Boillat 介紹給 Peter Lax39。 Boillat是首位以一致方式研究一般一階雙曲系統不連續波的演化的人, 這些關於 博士論文的研究工作都被收錄在名為 《La Propagation des ondes (1965)》 的小書中。 我 開始研讀這本小書, 很快就和他成了好朋友, 發表了許多關於非線性波傳播的著作。 我體會 到參加研討會的重要。
兩年後, 我再度參加這個暑期學校, 這次是由 Bologna 知名教授 Dario Graffi40及他以前 的學生 Luigi Caprioli41籌畫的; 後者也是 Bologna 的教授。 我給了場簡短的演講, 當時 Caprioli是 Bologna 的第一位工學院正教授。 工學院有些數學教授找到工作後試圖轉到理 學院, 讓工學院感到不悅, 因此意圖設立應用數學研究所, 提供穩定的數學家群組。 Caprioli 一直在尋找可以組成第一個群組的數學家, 因此問我是否能到 Bologna。 我非常開心, 又一 次地, 這是扇對我有利的滑動門。
然而, 當我抵達 Bologna, 遇上了個大難題。 Caprioli 不再積極做研究, 而與我年紀相仿的 年輕助理們, 對泛函分析、 微分幾何, 以及其他我不認識的數學工具, 都準備地比我好太多。
我再次感到孤單。
接著, 又是一次暑期學校, 我遇到 Yvonne Choquet-Bruhat42;如你所知, 她是首位法蘭西
33Carlo Catt`aneo (1911∼1979), 義大利學者, 為廣義相對論理數學物理學家, 對廣義相對論、 流體力學和彈性理論貢獻卓著。
34Andr´e Lichnerowicz (1915∼1998), 法國微分幾何學家, 研究廣義相對論、 動態系統、 無限維李代數。
35Abraham Haskel Taub (1911∼1999), 美國數學家, 對廣義相對論、 相對震波理論有重要貢獻。
36J¨urgen Ehlers (1929∼2008), 德國物理學家, 對愛因斯坦方程的精確解做分類, 且將廣義相對論應用於宇宙學。
37Guy Boillat, Bologna大學數學系教授, 研究涵蓋相對氣體、 雙曲守恆律、 震波、 波傳導。
38谷內俊彌 (Tosiya Taniuti, 1924∼), 日本中部大學物理系教授, 研究非線性波、 震波。
39Peter Lax(1926∼), 匈牙利裔美國數學家, 任教於紐約大學 Courant 學院, 1987 年及 2015 年獲頒 Wolf 獎及 Abel 獎。 他對 可積系統、 雙曲守恆律、 流體動力學、 震波及孤立子等領域有重大貢獻。 參見本刊 2002 年第 26 卷第 4 期 「有朋自遠方來」 專訪。
40Dario Graffi (1905∼1990), 義大利數學物理學家, 對盧森堡效應提出數學解釋, 為包括 Navier-Stokes 方程在內的流體動力學 方程的解證明一個重要的唯一性定理, 對連續力學的研究及對振動理論也有重要貢獻。
41Luigi Caprioli,任教於 Bologna 大學數學系。
42Yvonne Choquet-Bruhat (1923∼), 法國數學家和物理學家。 1952 年率先證明愛因斯坦方程的適定性, 1981 年證明 3 + 1 維 中的 Yang-Mills、 Higgs 及 Spinor 場方程的整體解的存在, 1984 年率先研究超重力的數學理論。
學術院43(Academy of France) 的女性院士, 也是首位證明愛因斯坦方程的存在性定理的 人。 這次我發表了雙曲系統對稱化的演講, 該對稱性符合我最近告訴你的熵原理。 Choquet- Bruhat 很欣賞這份研究, 將它發表在 《Ann. Inst. H. Poincar`e》。 隨後我們開始合作, 先是在 Bologna, 接著到巴黎。 對於廣義相對論的愛因斯坦方程, 我們的合作獲致很好的結 果。 如你所知, 在愛因斯坦方程組中, 一些是演化方程, 另一些用以限制初始參數。 如果初 始參數相容, 則在後續的時間都會滿足這些約束。 但仍存在自由量; 一個是 g00, 稱為時移 (lapse),為時間的度量, 而 g0i (i = 1, 2, 3) 是所謂的偏移 (shift)。 通常物理學家和數值分 析學者會設 g0i = 0及 g00 = 1, 但這樣會造成柯西問題的不適定性 (not well-posed)。 所 以我們的想法是: 不先固定時移, 而是先將演化方程與限制方程結合起來, 於是對適當選取 的時移, 系統是對稱的, 且柯西問題有適定性。 我們將這篇文章發表於 《Communications in Mathematical Physics》。 這是我研究生涯中很重要的一篇論文, 被廣泛地引用。
滑動門第三次現身, 是我在偶發狀況下認識 Ingo M¨uller44時。 有位來自 Ferrara45的同儕 邀請 M¨uller 擔任客座教授, 就熱力學給一系列講座, 同時也邀請我到 Ferrara 聽演講。
第一場會議中, Ingo M¨uller 介紹藉由 Lagrange 乘子的技巧得到的熵原理, 而我立刻明 確表示 : 該技巧與我發現的對稱化雙曲系統的技巧全然相似, 而乘子與我用來對稱化系統 的所謂的 「main field」 相符。 會議結束後, 我馬上與他討論, 他對這樣的相似很感興奮。
因此之故, Ingo 幾乎每天都從 Ferrara 到 Bologna 和我討論。 某種意義下, 這是我人生 第三個重要時刻, 因為我們實際上是從這些討論開始, 引介現代的擴展熱力學 (Extended Thermodynamics)。 而由於我們共同撰寫的書46廣受歡迎, 我得到了最大的認可。
我試圖找出最好的情況。 但我在某種程度上很幸運, 因為總是碰上能幫助我的重要人物; 另 一方面, 我也樂於付出, 所以我們相互受益。 我的研究生涯非常美好。 我很高興能在 32 歲 時成為正教授, 52 歲時被提名為猞猁之眼國家科學院的院士。
劉: 這真是有趣又不尋常, 因為基本上你是自力推進的。 沒有人保護你、 指引你, 你就只是一往 直前。
R: 我很樂觀, 所以喜歡享受生活。 我儘量不讓自己停滯, 試著成長、 好奇。 長久以來, 我喜歡傾 聽來自不同領域的人講話。
另一方面, 我不知道我到底是怎麼樣的研究員, 因為某種意義下, 我的研究處於三個不同主 題的前沿: 連續體力學、 雙曲守恆定律及動力學。 我認識這三種領域的許多人, 他們經常邀 請我參加研討會, 但我卻不屬於這三個群體中的任何一個。 對純數學家而言, 我或許是物理
43法國學術機構, 為法蘭西學會下的五個學術院之一, 是五個學術院中歷史最悠久、 名氣最大的學術權威機構, 當選法蘭西學院院士是極 高的榮譽。
44Ingo M¨uller, (1936∼), 德國物理學家, 建立了先進的理性熱力學, 從而提供了一種流體的數學描述, 其中的流體 (與 Navier- Stokes不同) 不會以無限的速度傳播。
45義大利東北部的城市。
46Ingo M¨uller and Tommaso Ruggeri, Extended thermodynamics, Springer, New York, 1993.
學家; 而對物理學家而言, 我又是個數學家。 我記得曾和 Costas Dafermos47談到這件事, 他諷刺地說 :「Tommaso, 別擔心, 你會是最後一位自然哲學家!」 雖然他是開玩笑地說, 但 我很喜歡這個說法, 因為對我而言, 一個真的數學物理學家確實就是個自然哲學家。
劉: 談到哲學, 你演講中談到: 有人試圖從牛頓粒子系統等等推導出波茲曼方程。 這是極為困難 的事, 至今尚未成功。 但你的觀點是: 或許我們不應該有一個大一統的理論。 對於給定的情 況, 有個適合的模型; 而對另一種情況, 用不同尺度, 有不同模型, 沒有道理將它們連結起 來。
R: 這是我的看法, 因為沒有一個完美的數學模型, 每個模型各自在既定的範圍和尺度下具其有 效性。 所以, 宣稱由牛頓粒子力學可推導出連續體力學或波茲曼方程, 就如同承認牛頓力學 是個完美的模型! 當然, 研究奇異極限 (singular limit) 來找出不同尺度的理論之間的連繫 很有趣, 但在我看來, 宣稱這樣一個模型是精確的, 就是個矛盾。 即使正如伽利略所言: 數 學是自然的語言, 這模型也並非物理現實。 因此, 很奇妙地, 我教學生: 我們有可能建立一個 數學模型來描述自然, 並預見尚未發生的未來。 我們發射衛星之類的物體, 且僅從初始條件 就清楚知道它稍後將如何移動。
劉: 一種預測能力。
R: 沒錯, 預測未來。 遺憾的是, Lorenz48發現的確定性的混沌 (deterministic chaos), 沉重打 擊了啟蒙運動的下述信念 : 人類能夠在初始時刻之後的每一刻, 唯一地預測未來事件的發 展。 現在我們知道 : 很遺憾地, 我們的預測僅在有限時間內有效, 然而, 正如我們所知, 每 個模型在特定條件下都有其有效性; 例如, 在物體不會太小且運動不會太快的情況下, 牛頓 力學最為適用; 但當粒子速度接近光速時, 牛頓力學就被愛因斯坦相對論所取代; 而若粒子 很小, 就必須用量子力學模型。 而且愛因斯坦關於統一理論的夢想從未實現。
每天都會有某些情況, 迫使我們去建立一個比既有的更有效的數學模型。 我總銘記著 Paul Dirac49給研究人員的指南, 遵循他的教誨。 Dirac 說 :「研究工作者在努力以數學形式表 現自然基本定律時, 首要的是去追求數學之美。 他仍應以從屬的方式考慮簡單性 (simplic- ity)。 經常發生的是, 簡單與美的要求是一致的, 但一旦兩者衝突, 後者必須優先。」
對我來說, 承烈是另一個滑動門的例子!
劉: 哇。
R: 這就要怪你了。 因為有次劉教授邀請河教授、 我, 以及其他科學家到史丹佛大學。 當我抵達
47Constantine Dafermos (1941∼), 生於希臘雅典, 任教於布朗大學應用數學系, 在雙曲型守恆律、 震波理論及其與力學之關連有 卓越貢獻。 參見本刊 2018 年第 42 卷第 1 期 「有朋自遠方來」 專訪。
48Edward Norton Lorenz (1917∼2008), 美國數學暨氣象學家, 1963 年提出 Lorenz 吸子的數學模型, 描述混沌系統的不可預 測性。
49Paul Dirac(1902∼1984), 英國理論物理學家, 量子力學及量子電動力學的奠基者之一。 Dirac 方程描述費米子的行為且預測出反 物質的存在。 1933 年獲諾貝爾物理獎。
時, 馬上明白為什麼這所大學如此有名。 一早當我們齊聚在系館時, 有違常理, 竟沒有安排 我們的演講。 劉教授開始說 :「誰想給演講呢? 黑板在這裡!」 但這很奇妙, 有些人一說就是 三小時, 其他人只講了十分鐘, 所以每件事對我來說都很奇怪。 但造訪史丹佛大學對我來說 確實是碩果累累。 河承烈講解了 Cucker-Smale 的群集模型 (flocking model), 我立即意 識到這個模型與混合流體的等溫模型之間存在類比。 與他討論時, 我們考慮到這個類比, 從 而建立了一個新的群集模型, 其中還考慮了粒子內能 (溫度)。 這種合作卓有成效, 產生了 幾篇論文, 發表在很好的國際期刊上。
我在史丹佛大學的另一個收穫是, 透過和 Laurent Desvillettes50的交談, 我學到多原子 氣體的動力理論, 這讓我解決了一個懸宕二十年的問題, 並與 Masaru Sugiyama51及其他 合作者一同理解多原子氣體的擴展熱力學, 因此為非平衡熱力學帶來嶄新且重要的貢獻。 所 以, 史丹佛大學和劉太平可說是我的滑動門的另一個例子。 雖然我現在退休了, 但仍勤奮用 功且仍進行很多合作。 有些人想為我申請名譽教授, 但這在 Bologna 是非常困難的。
劉: 了解。
R: 每年經過複雜的程序, 自學校所有學科中, 僅篩選幾位教授 (7∼8位)。 這程序包含四個步 驟: 第一步, 你需要三封來自仍在職的教授的推薦信, 其中至少一位必須是外國人。 第二步, 你所在的部門須至少有五十位教授簽名連署提出你的任命案。 第三步, 人事部門需一致投票 贊同該提案。 最後, 第四步也就是最後一步, 校長和名譽教授組成的委員會必須選出名譽教 授。 部長必須簽署任命。
劉: 好。
R: 2020年 2 月 5 日, 學校將舉行一場正式典禮, 校長將授予我榮譽教授的證書, 真是太好了。
河承烈 (以下簡稱 「河」): 容我問一個問題。 我知道你大學時修過物理, 接著, 不知怎的就多少 學了些數學物理。 對物理系學生而言, 這是自然的發展嗎?
R: 不是的。 但義大利的數學物理領域, 約50%的學者是來做物理, 因為物理是一種動機; 之後 他們可能會學些數學工具。 數學家要成為數學物理學家, 就不是那麼簡單了, 因為他們不知 道物理的動機。 根據傳統, 一些國家的數學物理隸屬於數學, 但對義大利而言, 50%在做數 學; 50%在做物理, 我就是個例子。
河: 沒錯。
50Laurent Desvillettes,巴黎第七大學數學系教授, 主要研究動力學方程及反應擴散方程。
51Masaru Sugiyama,日本名古屋工業大學教授, 主要研究多原子氣體的擴展熱力學、 晶格中的熱力學。
R: 很多這種案例, 你知道的 Gallavotti52、 Pulvirenti53、 Marchioro54、 Presutti55和其他 許多人都有物理背景。
河: 在義大利, 數學物理是傳統的強項之一。
R: 沒錯, 理性力學是義大利所有數學家、 物理學家和工程師的必修科目。 不幸地, 現在工學院 課程已經刪除理性力學, 且最重要的是, 分析學者也都開始著手於應用。 因此數學物理的人 數大量減少, 即使還保有不錯的品質。
河: 是的。
R: 過去受到 Bourbaki 的影響, 數學家著重於純數。
河: 嗯嗯。
R: 做應用不被認為是好事。
河: 是的, 沒錯。
R: 如今電腦改變了這情況。
河: 沒錯。
R: 今非昔比。 現在如果你想獲得獎助, 就得從事應用, 所以很多分析學者已成為應用數學家。
因此我們失去了很多力道。
河: 沒錯。
劉: 有個非常聰明的人, 名叫 Parisi56。
R: Parisi 目前是義大利猞猁之眼國家科學院院長。 他是位理論物理學家, 2002 年諾貝爾物理 學獎的候選人, 你知道的, 諾貝爾獎, 如果你不是美國人, 可能性就 · · ·
河: 非常低。
R: 屈指可數。 根據 Google, 他的 H 指數為118。 他是位非常出色的物理學家, 但對數學很感 興趣, 例如他發表了一篇重要的論文, 用統計物理模型處理群集問題。
河: 是的。
R: Parisi做出重要貢獻的另一個領域是所謂的自旋玻璃 (spin glass)。
52Giovanni Gallavotti (1941∼), 義大利數學物理學家。 對平衡及非平衡統計力學、 量子場論、 經典力學和混沌系統貢獻卓著。
53Mario Pulvirenti(1946∼), 義大利數學家。 羅馬大學榮譽教授, 研究波茲曼方程、 統計力學及流體力學。
54Carlo Marchioro,羅馬大學數學系教授, 研究流體力學。
55Errico Presutti (1942∼), 羅馬第二大學數學系榮譽教授, 研究統計力學、 連續體力學。
56Giorgio Parisi(1948∼), 義大利理論物理學家, 提出自旋玻璃的 Sherrington-Kirkpatrick 模型的精確解, 及描述成長界面動態 縮放的 Kardar-Parisi-Zhang 方程, 對鳥群的研究也有重要貢獻。
另一位橫跨理論物理和數學物理的知名學者是 Giovanni Jona-Lasinio57。 他是自發對稱 破缺 (spontaneous symmetry breaking) 理論的研究先驅, 該理論有以他的名字命名的 Nambu-Jona-Lasinio 模型。 Nambu58獲頒 2008 年諾貝爾物理學獎。
數學物理起初只涉及剛體 (rigid body)、 連續體力學、 相對論及擴散理論。 直到最近, 多虧 對數學感興趣的理論物理學家, 數學物理得以被其他領域所充實。 例如,
Giovanni Gallavotti 的涉入, 使統計力學成為數學物理的一部分; 動力學理論受惠於 Carlo Cercignani59;量子力學則多虧了 Sandro Graffi60。
劉: 理性力學的現況如何?
R: 現在? 對數學家來說仍是必修, 對物理學家也是如此, 但陳述方式全然不同。 比如說 Lan- dau 是從最小作用開始。 當然, 學生並無理解變分法的工具, 但從物理的觀點來看, 他們喜 歡這樣的陳述方式。 數學系的力學往往就只是動態系統。 很多大學採用 Arnold 的一本書;
雖然那是本好書, 但並不是我所知道的理性力學。
河: 動態系統, 沒錯。
R: 對我們而言, 理性力學的第一部分涵蓋物體的幾何模型 (點、 剛體、 有限自由度的系統), 其 次是力學公理, 接著是大篇幅的動力學和靜力學, 而後我們會探討分析力學及 Hamilton 的 方程, 根據學生狀況而有所差異, 譬如土木工程的學生對靜力學比對動力學更有興趣。 我和 三位同儕一起寫了一本理性力學的書 (Springer), 主要就是針對工科學生。 這本書被許多 大學採用, 每年都銷售超過一千冊。
劉: 我在 Maryland 時, 因為 Stuart Antman61而接觸到這些。 他曾是 《Archive for Rational Mechanics and Analysis》 的主編。
R: 遺憾的是, 這份期刊改變很大。 如你所知, 它是由 Truesdell 創辦的, 過去很多文章也本著 理性力學及建模的精神, 但如今, 或許有較多的分析。
劉: 是呀! 說到這個, 我今天剛收到電子郵件; 《Archive for Rational Mechanics and Anal- ysis》 多年來的主編是 John Ball62和 Dick James63, 但現在已經更改了。
R: 它改變了!
57Giovanni Jona-Lasinio (1932∼), 義大利理論物理學家, 羅馬大學物理系教授, 開啟自發對稱破缺的研究, 有以他的名字命名的 Nambu-Jona-Lasinio模型。
58南部陽一郎 (Yoichiro Nambu, 1921∼2015), 日裔美國物理學家, 因自發對稱破缺性的理論獲 2008 年諾貝爾物理獎。
59Carlo Cercignani (1939∼2010), 義大利數學家, 以氣體動力學方面的研究著稱, 有以他的名字命名的 Cercignani 猜想。
60Sandro Graffi (1943∼), 義大利數學物理學家, Bologna 大學數學物理教授, 主要研究 Schr¨odinger 算子。
61Stuart Sheldon Antman(1939∼), 美國數學家, Maryland 大學榮譽退休教授, 研究涉及連體力學、 彈性和非線性偏微分方程。
62John Ball (1948∼), 在彈性力學、 變分法, 以及材料力學的應用有重要的貢獻。 參見本刊 2018 年第 42 卷第 1 期 「有朋自遠方 來」 專訪。
63Richard D. James (1952∼), 美國 Minnisota 大學航空工程系教授, 以材料科學、 相變的研究著稱。
劉: 是的, 改成 Sverak64。 R: 他的名字是?
河: Sverak, 做 Navier-Stokes 的那位。
R: 喔, 我知道了。
劉: 沒錯, 所以你說分析較多; 另外一位是 Otto65。
R: 對, Felix Otto。 我曾在猞猁之眼國家科學院某獎項的委員會; 我們將這個獎項頒給他, 他 是做分析的。
劉: 所以現在主編是這兩人。
R: 可惜的是, 某種意義下, 這期刊失去了昔日的部分價值。 起初, Truesdell 本人、Noll66、 Ericksen67、 M¨uller、 Gurtin68、 Joseph69和其他人發表了一些數學上嚴謹的論文, 主要 目的是以理性力學的精神來提出合理的物理模型。 對我們許多人來說, 現在很難找到適合 的期刊了。 《Continuum Mechanics and Thermodynamics, (CMT)》 是 Ingo M¨uller 創辦的, 但目前已朝工程學方面發展。 我現在都將期刊投到一些相當好的物理期刊上, 像是 Physical Review、 Annals of Physics、 Journal of Statistical Physics 和 Physics of Fluids,他們也接受數學形式主義的著作。
劉: 嗯, 但我們持續向前走。 你做得很好呀!
R: 這種情況致使科學變得貧瘠。 一些優秀的數學家對物理模型了解甚少; 很多發表於 《Archive for Rational Mechanics and Analysis》 和 《Communication in Mathematical Physics》
等一流期刊的文章, 從物理的角度來看, 所做的假設都非常薄弱。 我知道一些相對論流體的 數學問題方面的著作, 使用了不適當的組成方程 (constitutive equation), 把它們視為非 相對論的例子。 因此之故, 我認為數學物理與分析之間的合作頗具成效, 我與承烈的合作就 是個例子。 他比我了解分析, 而我比他了解模型。
劉: 但我想, 我們的困境肇因於人的能力有限, 所以你說我們需要一個平衡, 需要與其他專業人 士合作。
64Vladimer Sverak, 捷克數學家, 美國 Minnisota 大學數學系教授, 研究彈性力學, 提出 rank-one convexity 但不為 quasi- convex的例子。
65Felix Otto (1966∼), 德國數學家, 目前擔任萊比錫 Max Planck 研究所的所長, 研究重心是分析來自材料科學及流體力學的模 型。
66Walter Noll (1925∼2017), 德裔美國數學家, 對連續體力學、 古典力學及熱力學有傑出貢獻。
67Jerald LaVerne Ericksen (1924∼), 美國數學家, 在連續體力學、 液晶 (liquid crystal) 等領域有根本性的貢獻。
68Morton E. Gurtin (1934∼), 卡內基美侖大學數學科學榮譽教授, 研究非線性連續體力學及熱力學, 著重於材料科學方面的應用。
69Daniel D. Joseph (1929∼2011), 美國流體力學專家, 研究流體流動的穩定性, 粘性和粘彈性流體的無旋運動, 以及固液流動的直 接數值模擬。
R: 以我的方式做, 能力將會增長許多!
劉: 能與他人交談, 是一種並非每個人都有的素質。
河: 在我的世代, 有極其廣泛的預備課程, 但不夠深入, 不足以做出高品質的研究。 我記得畢業 時, 對相對論、 連續體力學略知一二, 也熟悉古典力學和微分幾何, 但無法得知最新的研究。
另一方面, 現在有些年輕人只深入了解一個主題, 就得以立即在好的期刊上發表文章, 然而 一旦轉移到其他主題, 他們就一無所知也不感興趣。 論文是如此, 書也是。
R: 沒錯。 當前的另一個問題是文獻計量指標, 像是 h-index 或期刊的 IF。 如果我今天建議我 的學生發表在 《猞猁之眼國家科學院學報 (I Rendiconti dell’Accademia dei Lincei)》, 他會馬上拒絕並選擇另一個更重要的期刊, 因為這對他的研究生涯毫無用處。 如我們所知, 現今這些參數困擾著同一審查系統; 例如, 拒絕一篇你所廣泛引用的文章會帶給你諸多不 便, 因此你拒絕前要先三思。 另一方面, 如果你投了文章, 或許審稿人會要求你多次引用他 的作品, 且威脅你: 如果你不這樣做, 文章就會被拒絕。 在義大利, 同樣的文獻計量指標也 用於資格審核。
劉: 我們日前訪談一位日本老教授, 是位數論學家。 他說 : 他年輕時, 甚至不需要博士學位, 就 可以成為教授。
R: 是啊! 即使在義大利, 也是相當晚近博士學位才存在。 即使沒有任何著作, 如果有教授賞識 你, 光憑碩士論文就可以擔任助理。
劉: 好的。
R: 在我的年代, 大學只有兩種職位: 助理和正教授。 因為戰後的經濟榮景, 職缺很多。
劉: 當時職缺很多。 1973年, 爆發第一次石油危機, 所以很難找到工作, 但我在沒有投寄任何論 文的情況下找到了工作。 在那段時期這不比尋常。 當時的心態是 : 好吧, 博士論文不錯, 審 查之後也無異議, 那麼就給他工作吧。
R: 好吧, 至少在我們這代, 唯一的優勢就是優秀有天賦的人都成為教授。 但也許有些不那麼優 秀的人也成為教授。
劉: 了解。 承烈, 你要提問最後一個問題嗎?
河: 你對你的研究領域的未來有什麼期待?
R: 就數學物理而言, 我並不那麼樂觀, 因為就如同熵原理, 所有文化或許都趨向均質化及均衡 化。 我舉個例子來說明我的意思。 從前義大利是由許多地區所組成, 每個地區各有自己的語 言, 都是豐富多彩的方言。 譬如我學義大利語之前, 就先學了西西里語, 是非常豐富多彩的 語言, 因為融合了西西里歷代諸多征服者的語言。 如果我用西西里語和 Bologna 人交談, 他
將茫然不解。 無法告訴你它們有多麼不同。 但我們現在都說義大利語, 已經忘了我們的母語。
同樣的事情也發生在英語; 我們每個人都說通用的英語, 但並非莎士比亞的英語。 我認為數 學也如是。 藉由製造一般水準的應用數學家, 我們逐漸失去每個人在其領域擁有的技能。 此 外, 數學的語言常無法與外界交流, 因而不合適的例子常被援用。 例如, Alessio Figalli70獲 頒菲爾茲獎後, 報章雜誌將他描述為研究雲層運動的人 (嘆氣)。
劉: 沒錯。 我告訴你一個故事。 Andrew Wiles71解決了費馬最後定理後, 到史丹佛大學進行公 開演講, 聽眾中有人問了一個問題 : 「Wiles 先生, 既然你已經解決了最困難的數學問題, 也許你有時間思考一下大腦是如何運作的。」 Andrew 說 : 「我只知道如何解這個方程式」。
如今數學的重要性、 中心性已極明顯, 且被公眾認可。 所以任何嚴肅的議題, 如果沒能做為 研究課題來延續, 就應當成為一般教育科目。
R: 另一方面, 存在下述的困難: 對自然的描述已更為複雜, 需要日益繁複的模型。 例如, 審視我 們熟知的議題 — 黎曼問題, 我們僅知空間是一維時的理論, 對更高維度幾乎一無所知。 但 物理實體是三維的。 數值分析學家每天都在模擬與黎曼問題類似的東西。 建模者與分析者之 間, 往往隔閡甚遠。 有次我和 Ingo M¨uller 談到劉太平, 他告訴我 : 「我非常敬重他, 他無 疑是位傑出的數學家, 但很遺憾, 他只知道如何研究 Burgers 方程。」
另一方面, 如果我們給某位分析學家擴展熱力學的複雜方程, 他會立刻放棄藉由定性分析提 出嚴肅的看法。 我們需考慮到 : 自然界通常是由非線性系統所描述, 而我們在數學上對此所 知甚少。 以 Navier-Stokes 方程為例, 在相同函數空間證明存在唯一性的一百萬元問題, 至 今未解, 但工程師和電腦程式設計者, 每天都在用這方程式。 因此我認為, 某種意義下, 隔閡 仍然存在。 一方面是現實模型的描述, 另一方面是數學、 分析、 幾何工具, 而它們尚不足以 做出嚴謹的研究, 這是我的觀點。
另一方面, 我同意你的看法, 數學之所以受青睞, 是因為現在人們知道數學與生活息息相關。
你開車用 GPS 為你指路, 其中需要數學; 你做斷層掃描 (CT scan), 裡頭也是數學; 單是 輸入個密碼也是數學。 於是人們開始了解, 數學不僅是一門深奧且抽象的學科。 另一方面, 哲學家 Giovanbattista Vico72曾說, 科學和歷史具有週期性。 在某個時代數學是科學的中 心, 1900 年開始了物理時代, 目前生物蔚為風潮, 人工智慧可能即將當道。
劉: 關於人工智慧和數值計算, 讓我引用我在 Maryland 的老同事 Babuˇska73 的話。 他是有 限元素 (finite element) 方面的重要人物。 他曾說, 工程師不介意只有 20% 的計算是正確 的。 然而困難的是去明白 20% 在哪。 我們需要一些數學才能對此有所了解。
70Alessio Figalli(1984∼), 義大利數學家, 2017 年獲費爾茲獎, 研究涵蓋最優運輸理論、 Hamilton-Jacobi 方程。
71Andrew John Wiles(1953∼), 英國數學家, 證明費馬最後定理, 1996 年及 2016 年分別獲 Wolf 獎及 Abel 獎。
72Giovanni Battista Vico (1668∼1744), 義大利政治哲學家、 歷史學家和法理學家, 以巨著 《新科學》 聞名於世。
73Ivo M. Babuˇska (1926∼), 美籍捷克數學家, 在有限元領域有重要貢獻。
R: 是, 是, 的確。
劉: 人工智慧也是如此, AlphaGo 之所以重要, 人工智慧之所以會在 AlphaGo 之後突然發跡, 原因是它們可與圍棋大師對弈, 進行測試。 圍棋大師李世乭 (Lee Sedol) 被視為傳奇人物, 因為他贏過如此多場比賽。 因此他代表一個基準, 而 AlphaGo 卻打敗了他, 因此人們會說:
好吧, 我們知道這是真實不虛的!
R: 沒錯。 看看統計學, 很長一段時間不受重視。 如今每個人都需求統計, 尤其是大數據專家; 他 們還須具備扎實又堅強的數學知識。 這領域目前在每個國家都很熱門。 我兒子修碩士時攻讀 電腦工程, 現在正在修博士, 做的是人工智慧和機器學習, 同時也學習大量統計。
劉: 很精彩的交談, 從你學到東西。 謝謝。
—本文訪問者劉太平任職中央研究院數學研究所, 河承烈 (Seung Yeal Ha) 任教首爾國立大 學數學科學系—
