1-1

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A. 基本能力題

1. 從下列各組數中，選出有理數與無理數。

(1) 1.41421，1.732，3.14159，π， 12 ， 40 ， 3² ， 2³ 。 (2) 12.1，1.2 1 ，1.21 ， 121 ， 1.21 ， 12.1 。

解：

^{註： 1.21 ＝} ₁₀₀ ^{121 ＝} ₁₀ ^{11； 12.1 ＝ 121} ₁₀ ^{＝ 11}

10 。

2. 寫出介於 1 5 與 1

4 之間且形如 k

200 之所有的有理數 ( k 是自然數 )。

解： ₅ ^1＝ ₂₀₀ ^{40 ＜} ₂₀₀ ^{k ＜} ₂₀₀ ^{50 ＝} ₄ ¹，k＝41，42，…，49。

3. 應用“實數的運算性質＂計算 536×0.52－364×0.48＋364×0.52－536×0.48。

解：原式＝( 536＋364 )×0.52－( 364＋536 )×0.48＝( 536＋364 ) ( 0.52－0.48 ) ＝900×0.04＝36。（運算律之活用）

4. 將下列循環小數表成最簡分數 m

n ( m 與 n 為自然數，且互質 )。

(1) 0. 5 。 (2) 1.36 。 (3) 0.358 。 解：(1) 0. 5 ＝5

9 。 (2) 1. 36 ＝1＋36

99 ＝15 11 。 (3) 0.358 ＝ 358－3

990 ＝ 355 990 ＝ 71

198 。

5. 計算下列各式，並將答案表成十進位數。

(1) 0. 3 ＋0. 6 。 (2) 0. 3 ×0. 6 。 解：(1) 0. 3 ＋0. 6 ＝3

9 ＋6

9 ＝1。 (2) 0. 3 ×0. 6 ＝3 9 ×

6 9 ＝1

3 × 2 3 ＝2

9 ＝0. 2 。

1-1 數 與 數 線

題號 有理數 無理數

(1) 1.41421，1.732，3.14159， 3² π， 12 ， 40 ， 2³ (2) 12.1，1.21¯，1.21¯¯， 121 ， 1.21 12.1

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B. 挑戰題

1. 設 a＝ 21 ，b＝ 21＋ 21 ，試問：

(1) a 最接近哪一個整數？說出道理。

(2) b 最接近哪一個整數？說出道理。

解：^{(1) 42＜a2＝21＜52}  4＜ 21 ＜5，又 ( 4＋5

2 )²＝( 4.5 )²＝20.25  4.5＜ 21 ＜5，a＝ 21 最接近 5。

(2) 21＋4 ＜b＝ 21＋ 21 ＜ 21＋5  5＜b＜ 26 ， 又 5.5²＝30.25＞26，故 5＜b＜ 26 ＜5.5，b 最接近 5。

2. 已知 2 是無理數，說明 5－3 2 仍是無理數。

［提示：設 a＝5－3 2 ，則 2 ＝1

3 ( 5－a )。］

解：若 5－3 2 是有理數，令 5－3 2 ＝a（a 是有理數），則 2 ＝ 5－a 3 ， 因 5－a

3 仍是有理數，導致“ 2 是有理數的矛盾結果＂，故 5－3 2 仍是無理數。

3. 下列敘述中，“正確的＂要說出道理，“不正確的＂要舉出反例。

(1) 若 r 是正無理數，則 r 是無理數。［提示：令 a＝ r ，則 r＝a²。］

(2) 若 r 是無理數，則 r 是無理數。

解：(1) 正確。若 r  ，則 r＝( r )² ，→←，故 r 是無理數。

(2) 不正確。如 10 是無理數，而 10 是有理數。

4. 設 x＞0，求 x＋1

x 之最小值及對應的 x 值。

解：^{由算幾不等式知 x＋} _x ^{1  2} x．1 x ＝2。

當 x＝1

x 時，即 x＝1 時，x＋1

x 的最小值為 2。