九十七學年度工程數學(一)期中會考參考題庫 97.11.03

Department of Mechanical Engineering Kun Shan University

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九十七學年度工程數學(一)期中會考參考題庫

97.11.03

1. 求下列各題之微分(Differentiation)：

(1)

( ⁴

⁷ ) 8

d x

dx x

−

+

d [sin (3

2 )]

x x

dx −

(3)

( ^{sin cos} ) sin cos

+

−

d x x

dx x x (4) ( ) 1 cos

d x

dx − x

(5)

d [ln(

3 8)]

x x

dx + +

d [2sin(ln )]

dx x

d (

)

dx e

d (3

2

4 )

x x x

dx − +

(9)

⁷

4 d dx x

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

d ( sin

)

x x

dx

2. 求下列各題之積分(Integration)：

(1) ∫ ( x

+ x dx )

∫ ^x ln ^xdx

+x

∫

∫

(5)

∫ ( x + 3)

dx

∫

(7)

4(ln ) x

x dx

∫

∫ 2 sin x x dx

∫ tan x dx

∫ 1+ ^x _x ^dx

3. 求下列可分離方程式的一般解(General Solution)。

(1) 2 xydx + + (1 x dy

) = 0

¹ 1 xy 1

′ + y =

+

2 cos 2 xdx + 3 y

sin 2

xdy = 0

yy ' = e

x y (

+ y dx ) + y x (

− x dy ) = 0

sin y y ⋅ = ' x cos x

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4. 解下列可分離方程式之初始值問題(Initial Value Problem)。

(1) dy ; (1) 1

x y xy y

dx = + =

2 yy ′ = x sec(2 ) ; y y (1) = 0

dy 3

2 ; (0) 0

y y y

dx − = + =

(2 1) ' cos , ( ) 1 y ₊ y ₌ x y π 2 ₌

5. 利用變數變換法(令u ^y

= x

)，求解下列常微分方程式。

(1) y ^{x y} x

′ = +

y

xy′ = x e x +y

(3)

y

xy y

′ = − x

dy 3

sec( ) ; (1) 0

x y x y x y

dx = + =

6. 判斷給定之方程式是否為正合的(Exact)？若為正合的，請求解之。

(1)

(3 ³ x y ) y ³ 3

y ′ x

− + + = −

(2 x + 4 xy dx ) + (2 x

+ 2 ) y dy = 0

(3)

(2 x + ye

) dx + + (1 xe

) dy = 0

( cos y x + cos ) y dx + (sin x − x sin ) y dy = 0

(2 cos x y + 3 x y

+ 1) dx + ( x

− x

sin y − y dy ) = 0

(6)

3 2 2

2 1

' 3 ^y

y xy

x y e

− −

= + (7)

2 2

3

2 3

' 2 2

y x y

y xy x

+ +

= − −

7. 解下列正合方程式之初始值問題。

(1) ( e

+ y dx ) + (2 + + x ye dy

) = 0 ; y (0) = 1

(2)

( y

cos x − 3 x y

− 2 ) x dx + (2 sin y x − x

+ ln ) y dy = 0 ; y (0) = e

8. 求

k 之值，使得下列方程式為正合的；並求方程式之一般解。

(6 xy

+ cos y + 1) dx + (2 kx y

− x sin y + 1) dy = 0

9. 若

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2 3 3

( cx ye

+ 2 cos y + 1) dx + ( x e y

+ x e

+ kx sin y + 1) dy = 0 為正合方程式，則請 求出 c 及 k 之值。

10. 求下列方程式之積分因子(Integrating Factor)；並求方程式之一般解。

(1) 2 dx + (2 x e −

) dy = 0

2 y + xy + xy′ = 0

(3)

( x

+ y

+ 1) dx + xydy = 0

(3 x

− 3 y dy

) − 2 xydx = 0

xy

dx + ( x

y

− 1 ) dy = 0

11. 求下列一階線性微分方程式的一般解。

(1) ^dy y e

dx − =

x y

′ = − 2 xy

y ′ + y tan x = cos x

dy 2 2

xy x dx + =

(

1) dy 2 3

x xy x

+ dx + =

12. 解下列一階線性微分方程之初始值問題。

(1) dy (tan ) sin ; (0) 1

x y x y

dx − = =

dy 2 3 ; (2) 1

x y x y

dx + = =

(3)

dy 2 4 ; (0) 2

xy x y

dx + = =