四技二專

(1)

四技二專

統一入學測驗

數學（Ｂ）

一、試題分析

1. 難易適中：

這幾年的統測試題都相當穩定，著重在概念之理解，不需太複雜的運算。

2. 試題生活化，重視數學素養：

108 課綱所強調的素養走向，在這份試題中也能窺探一二，例如：手機的詢價、

分針的轉角、獲利的期望值以及統計資料的判讀，這些都說明數學與生活之結合應用，也將會是未來命題的主流。

3. 提升閱讀能力，刻不容緩：

從這次試題中應該不難發現：題目的鋪陳相當完整！如果沒有好的閱讀能力，就無法抓到題目的核心，這會直接影響到作答的正確率以及間接影響作答的穩定度。

4. 章節分布，大致平均：

不知是否受108 課綱之影響，拋物線、橢圓、雙曲線這次皆沒有入題，而正、餘弦定理為往年命題之熱門方向，但今年也未出現！其他各章節都有出題，分布還算平均！

二、配分比例表

單元名稱題數單元名稱題數

直線方程式 3 不等式及其應用 2

三角函數 3 排列組合 2

向量 1 機率 2

指數與對數及其運算 2 統計 2

數列與級數 1 三角函數的應用 1

式的運算 1 二次曲線 1

方程式 2 微積分及其應用 2

108 年

(2)

數學B 參考公式

1. 首項為 a ，公比為r （r ）的等比數列前 n 項之和為1



¹



1 a rn

S r

 

 2. 若、 為一元二次方程式ax²bx c  的兩根，則0 b

   ^a 、 c

  a 3. 相異物的直線排列數

 ^! ^!

n r

P n

 n r

 、不可重複的組合數

 ^! 

! !

n r

C n

r n r

  、重複組合數Hⁿ_r C^{r n}_r^{ }¹

4. ^sin^{ }^ ^^{sin cos}^ ^ ^^{cos sin}^ ^^、^cos^{ }^ ^^{cos cos}^ ^ ^^{sin sin}^ ^

單選題（每題 4 分，共 100 分）

( ) 1. 甲同學想要網購某支特定手機，上網逛了 7 家購物網站後，告訴好友說：「該款手機的價差不大，在100 元以內」。試問甲所說的話中，應用了下列哪一種統計量？

(A)四分位距 (B)全距 (C)標準差 (D)百分位數。

( ) 2. 假設分針原始指在時鐘12 的位置，現將分針依順時針的方向轉了 2019。試問下列敘述何者正確？

(A)分針指在9 跟10 之間 (B)分針指在 7 跟8之間 (C)分針指在5 跟 6 之間 (D)分針指在3跟 4 之間。

( ) 3. 下列何值與log 5 相等？ ₂ (A) log5 log 2 (B) 5

log 2

  

  (C)log50

log 20 (D)log 25 log 4 。 ( ) 4. 若方程式3x²39x k  的兩根為連續整數，則 k  0

(A)168 (B)126 (C)84 (D) 42 。

( ) 5. 已知直線 L 之斜率為 2 ， x 截距為 3。試問 L 與兩坐標軸所包圍三角形之面 積為何？

(A)9

4 (B)9

2 (C) 6 (D)9 。

總分

108

學年度四技二專統一入學測驗

數學 (B)

(3)

( ) 6. 設 f x 為三次多項式，已知  ^f  ^{  且}¹ ⁴ ^f  ^{ }² ^f  ¹ ^ ^f  ³ ^{ 。試問}⁰ ^{f x} 

除以x 之餘式為何？ 2

(A) 6 (B) 2 (C)3 (D)5 。

( ) 7. 設 x 、y 為實數，且x2y10。試問 ^{f x y} ^, ^^x²^ ^y²^{之最小值為何？}

(A) 25 (B) 20 (C)17 (D)16 。 ( ) 8. 設

 

³^m ³ ^⁷²⁹^且⁴^{n m}^ ^ ₂₅₆¹ ^，則^{m n}^{ }

(A) 1 (B)0 (C)1 (D) 2 。

( ) 9. 若asin，則下列敘述何者恆為正確？

(A)^sin^ ^{  }⁹⁰  ^a ^(B)^cos^ ^{  }⁹⁰  ^a

(C)^sin^ ^¹⁸⁰^{  } ^a ^(D)^cos^ ^¹⁸⁰^{   。} ^a

( ) 10. 當角度 由15上升至75 時，關於 tan之值的變化，下列敘述何者正確？

(A)一直上升 (B)一直下降 (C)先上升後下降 (D)先下降後上升。

( ) 11. 一顆雞蛋從生產到運送至超市販售，所需的成本為 4 元，在超市的售價為5 元，其獲利由蛋農與超市平分；但運送過程中破裂或超過保存期限等因素，

超市會將雞蛋銷毀，雞蛋即無法成功銷售，超市亦不付蛋農任何款項。若一顆雞蛋無法成功銷售的機率為0.006，則蛋農一顆雞蛋之獲利的期望值為多少元？

(A)0.473 (B)0.5 (C)0.967 (D)0.97。

( ) 12. 在理想環境下，將一球自離地面 30 公尺處垂直落下，球只會上下垂直來回彈跳。若每次反彈高度為前一次高度的2

5，則此球靜止前所經過的路程為多少公尺？

(A)50 (B)60 (C)70 (D)80。

( ) 13. 某校校長想知道全校學生贊成取消早自習的比例 p，並將 p 在95% 的信心水 準下之信賴區間簡稱95% 信賴區間，現從所有學生中隨機抽取樣本數為 36 的一組樣本，利用這36 位學生的意見求得p 之95% 信賴區間為



0.642,0.914 。



若學生對早自習是否取消的意見是固定不變的，則下列何者為正確解讀？

(A) 該校約有95% 的學生贊成取消早自習 (B) p 落在 64.2% 與91.4% 之間的機率為95%

(C) 若進行1000 次抽樣調查，每次皆隨機抽取樣本數為36 的一組樣本，共可算得1000 個p 之95% 信賴區間，其中約有950 個區間會包含 p

(D) 若進行1000 次抽樣調查，每次皆隨機抽取樣本數為36 的一組樣本，共可算得1000 個學生贊成取消早自習的樣本比例，其中約有 950 個會落在

64.2% 與 91.4% 之間。

(4)

( ) 14. 若拋物線y ax ² 之開口向上且與 x 軸沒有交點，則下列敘述何者正確？ b (A)a ，0 b (B)0 a ，0 b (C)0 a ，0 b (D)0 a ，0 b 。 0 ( ) 15. 已知直線L 為₁ y m x ₁ 、直線L 為₂ y m x ₂ 。若m 、₁ m 的值皆為 2、₂ 1

2或 1

2 三種數字之一，彼此取值互為獨立，且三種數字出現的機率相同，則L 和₁ L₂ 相互垂直的機率為何？

(A)4

9 (B)1

3 (C)2

9 (D)1 9。

( ) 16. 如圖(一)所示，使用8種不同顏色塗在圖中標號 A、B、C 、 D 、 E 的5 個格子內，顏色不可重複使用，若規定同一格 子僅塗同一顏色，則共可塗出幾種不同的著色樣式？

(A)P ⁸₅ (B)C ⁸₅ (C)5 ⁶ (D)6 。 ⁵

( ) 17. 若實數 x 滿足行列式

1 2 0

4 6 2 2 4

0 3 1

x



  ，則

2 3 1

0 6 2

1 1 1

x x





  

(A) 4 (B) 4 (C)8 (D) 8 。

( ) 18. 設函數 ^{f x} ^³^x²^²^x^{ 。試問曲線}¹ ^y^ ^{f x} ^在^x^{ 及}¹ ^x^{ 之間與 x 軸所}²

包圍之區域的面積為何？

(A)5 (B) 7 (C)9 (D)11。

( ) 19. 設函數 ^{f x} ^^x³^^x²^{  。試問}^x ² ^f^ ¹ ^ ^f^ ¹ ^{之值為何？}

(A)1 (B) 2 (C) 4 (D) 6 。

( ) 20. 小明在平地上測得某一直立高樓的頂端之仰角為 45。他面向該高樓向前直行30 公尺之後，測得高樓頂端之仰角為 60。試問小明第二次測仰角時，距離高樓的底部約多少公尺？

(A)30 (B)¹⁵



^{3 1}^{ (C)}



¹⁵



^{3 1} (D) 45。



( ) 21. 設 ^{x y 滿足}^, ^y^{ 、 0}⁰ ^{  、 2}^x ⁴ ^{  }^x ²^y^{ ，試問}² ^{f x y} ^, ^{  之最大}^{x y}

值為何？

(A)1 (B) 2 (C)3 (D) 4 。

圖(一)

(5)

( ) 22. 全班共 40 位同學（座號1至 40 號），導師想挑選 7 位學生進行家庭訪問，先以簡單隨機抽樣從1到 6 號抽出1個號碼，再依系統抽樣每間隔 6 號找出次一位學生，若超出40 號以上，則41號就是1號， 42 號就是 2 號，依此類推。

試問2 號被抽中的機率為多少？

(A)1

3 (B) 7

40 (C)1

6 (D)1 7。

( ) 23. 如圖(二)所示，以O 為原點的直角坐標系上有四 點，由左至右依序為A、 B 、C 、 D ，其中 A落在 第二象限，B 、C 、 D 落在第一象限，且直線 BC 與直線OD 的交點落在 O 、 D 兩點之間。已知

90

AOD ，且 BC



與OD



的內積為0。若向量OD



分別與向量OA



、OB



、OC



及OD



求內積，依次得到a 、b 、 c 及 d 四個數值，則下列何者正確？

(A)b a c d   (B)b c d a   (C) a b c d   (D) d b c a   。 ( ) 24. 已知向量 a



、



b

、



c 及



d

分別自 ^{1,0 、} ^{0,1 或} 1,1 三向量中選取出來，

例如：



^a ^ ^1,0

、



^b ^ ^0,1

、



^c ^ ^0,1

、



^d ^ ^1,1

，或



^a ^ ^1,1

、



^b ^ ^0,1

、

 ^1,0

c 



、



^d ^ ^1,0

等等皆屬可能的選取情形。若計算

   

a  b c d 所有可能的情形後，則可得到幾種不同的結果？

(A)10 (B)15 (C) 20 (D)3^。

( ) 25. 已知一圓方程式x²y²2x6y  。若直線 y b9 0  與該圓有交點，則下列敘述何者正確？

(A)b (B)5 b  (C) 14    (D) 2b 1   。 b 4

圖(二)

(6)

108 年統一入學測驗數學 (B)

本試題答案係依據統一入學測驗中心公布之標準答案

1.

(1) 理解各項統計量的意義 (2) 全距= 最大值 最小值

甲同學上網比價之結論為「價差在100 元以內」，表示甲同學之詢價的最高與最低差距小於100 ，由此可知：甲應用了統計中的全距之概念。

2.

(1) 鐘面上有 60 小格，每格所對之圓心角

  6

(2) 最小正同界角之概念

∵2019 360 5219

∴最小正同界角219 而219     6 36 3

表示分針最後停在36 ～ 37 格

分針指在 7 與8 之間

3.

熟悉log 之運算規則

(A) 5 ₂

log5 log 2 log log 5

  2 (B) 5 ₂

log log 5 2

(C) log50 ₂₀ ₂ log 50 log 5 log 20 

(D) 2

2

4 2 2

log 25

log 25 log 5 log 5 log 4   

4.

二次方程式的根與係數關係：

若ax²bx c  的兩根為0 、 ，則

(1) b

   ^a (2) c

 a

方程式3x²39x k  的兩根和為 0



³⁹



₁₃

3

   ，兩根積為 3 k 又∵兩根為連續整數

∴令兩根為a 、a 1

^a^



^a^{ }¹



¹³^^a^⁶

可知兩根為6 、 7

∴ 6 7 126 3

k    k

5.

(1) 理解x 截距

(2) 已知斜率與x 截距，求直線方程式

∵x 截距為 3 ∴直線通過點

 

^3,0

又∵直線斜率為2

∴直線L 之方程式為^y^{ }^{0 2}



^x^³



 2x y   （如圖） 6 0 3 0

0 6 x

y 

可知 3 6

2 9 OAB 

  

1.B 2.B 3.D 4.B 5.D 6.B 7.B 8.B 9.C 10.A 11.A 12.C 13.C 14.A 15.C 16.A 17.A 18.D 19.D 20.C 21.C 22.A 23.D 24.B 25.D

(7)

6.

(1) 因式定理與餘式定理 (2) ^{f x 的假設方式}

 

令 ^{f x}

  

^^{k x}^²



^x^¹



^x^³



∵ ^f

 

^{ }¹ ⁴

∴^k



^{ }^{1 2}



^{ }^{1 1}



^{  }^{1 3}



⁴

 1 k  2

得

 

¹



²



¹



³



f x 2 x x x

由餘式定理知： ^{f x 除以}

 

^x^{ 之餘式為}²

 

² ¹



2 2 2 1 2 3

  

2 f 2     

7.

柯西不等式：



^a²^^b²



^c²^^d²



^

^

^{ac bd}^

^

²

由柯西不等式知：



^x²^^y²



^_¹²^{ }

^{ }

² ²^_^

^

^x^²^y

^

²





^x²^^y²



^{ }^{5 10}²

x²y²20

故x²y²之最小值為20

8.

(1) 指數律之運用 (2) 解聯立方程組

 

³^m ³^⁷²⁹^³³^m^³⁶

3m 6

  2

   m 又⁴^{n m}^ ^₂₅₆¹ ^

 

²² ^{n m}^ ^²^⁸

 

2 n m 8

    4

     n m 由可得：m 且2 n  2

∴m n  0

9.

三角函數廣義角之簡化公式

(A) ^sin



^^{  }⁹⁰



^cos^

(B) ^cos



^^{   }⁹⁰



^sin^ ^{ }^a

(C) ^sin



^^¹⁸⁰^{  }



^sin^^{ }^a

(D) ^cos



^^¹⁸⁰^{  }



^cos^ 10.

理解ytan中，與y 之變化關係

∵15    為第一象限角且 tan 75 為遞增函數

∴tan之值會隨著角度之增加而持續變大

11.

(1) 數學與生活之結合，務必仔細閱讀題目 (2) 數學期望值之概念

如果雞蛋順利賣出，蛋農獲利5 4 2 0.5

  （元）

若破裂或過期，蛋農損失4 元（如表）

0.5 4 0.994 0.006

 

所得機率

∴期望值^^{0.5 0.994}^ ^{  }

 

⁴ ^0.006

0.473（元）

12.

(1) 理解題目之意義，最好畫圖呈現

(2) 由於公比介於 1 與1之間，路程總長可以使用收斂之無窮等比級數和公式得之路程之分析如圖：

(8)

∴路程長

2 2 2

30 2 30 30

5 5

   

        

   

 

30 2

30 2 5 70 1 2

5

    



（公尺）

13.

(1) 理解信心水準與信賴區間之意義 (2) 數學與生活之結合

95% 的信賴區間所代表的意義是：如果不斷重複作同樣的抽樣調查，得到很多個區間，

則其中有95% 會包含真正的母體比例p ，而 本題以1000 次調查為例，意思就是其中 950 個區間會包含p ，故選(C)

14.

(1) 理解二次函數式各項係數之意義 (2) 能繪製二次函數之圖形

∵拋物線之開口向上 ∴a  0 又∵拋物線之頂點為

 

0,b 且與 x 軸沒有交點

∴圖形都在x 軸上方b  0 由知：a ，0 b 0

15.

(1) 理解兩線垂直之斜率關係 (2) 機率之應用

由於m 、₁ m 均有 3 種選擇且互為獨立 ₂

∴樣本空間有3 3 9  個數對樣本

又∵L₁ ∴L₂ m m₁ ₂  1





1 2



, 2, 1 m m  2

 或 1 2,2

 

 

 

由知：其機率為2 9

16.

理解排列組合之概念

∵使用8 種「不同」顏色塗在 5 個「不同」

區域

∴其著色方式有P 種 ⁸₅

17.

理解行列式之運算規則

1 2 0

4 6 2 2 4

0 3 1

x



 



¹ ^x



^{6 2}^x

 

^{6 1} ^x



^{8 4}

       6 8x 2x2 6 6x 12 0

       2x2 2x 12 0

    x²   x 6 0



^x ³



^x ²



⁰

   

∴x 或 23  (1) x 時 3

2 3 1 2 0 1

0 6 2 0 6 2

1 1 1 2 1 1

x x





     

12 12 4 4

     (2) x  時 2

2 3 1 2 5 1 0 6 2 0 6 2

1 1 1 3 1 1

x x





    

12 30 18 4 4

      由(1)(2)知：行列式值為 4

18.

(1) 能繪製二次函數之圖形 (2) 理解積分值與面積之關係

∵3 0 且2²    4 3 1 0

∴ ^{f x}

 

^³^x²^²^x 之圖形都在 x 軸上方 ¹ （如圖）

(9)

則所求之面積為斜線區域之面積，其值為

   

²

2 2 3 2

1 3x 2x1 dx x x x 1





²³ ¹³

 

²² ¹²

 ^

^{2 1}

^

         7 3 1 11

19.

能熟悉微分公式

∵ ^{f x}

 

^^x³^^x²^{ }^x ²

∴ ^{f x}^

 

^³^x²^²^x^{ ，且}¹ ^f^

 

^x ^⁶^x^²

所求 ^f^

 

¹ ^ ^f^

  

¹ ^{    }^{3 2 1}

 

^{6 2}



^⁶ 20.

(1) 數學與生活之結合

(2) 能將文字敘述正確轉為圖像 (3) 能使用三角函數之概念

如圖，令CD x

∵△ABC是等腰直角三角形

∴BCAC30 x

又△BCD是30     60 90 之直角三角形

∴ 1 1

3 30 3

CD x

BC   x 



 

3 30 30 15 3 1 x x x 3 1

      



21.

(1) 繪製二元一次聯立不等式之圖形 (2) 理解線性規劃之意義

滿足不等式之區域如圖

將斜線區域的5 個頂點

 

^{0,0 、}

 

^{0,1 、}

 

^{2,0 、}

 

^{4,3 、}

 

^4,1

分別代入 ^{f x y}

 

^, ^{  （如表）}^{x y}

           

 

, 0,0 0,1 2,0 4,3 4,1

, 0 1 2 1 3

x y f x y

x y 

 

∴x y 之最大值為 3

22.

(1) 理解系統抽樣之方式 (2) 機率之應用

依據系統抽樣，每間隔6 號抽出1個號碼，

則6 種方式如下：

(1) 1、7、13、19、25、31、37 (2) 2、8、14、20、26、32、38 (3) 3、9、15、21、27、33、39 (4) 4、10、16、22、28、34、40 (5) 5、11、17、23、29、35、1 (6) 6、12、18、24、30、36、2

∴2 號被抽中之機率 2 1 6 3

 

23.

理解向量內積之意義

設BC



與OD 之交點為K （如圖）

 

cos 0

a OD OA OD OA

   

  AOD 

 

cos

b OD OB

   

 OD OB BOD OD OK



 

 

cos

c OD OC

   

 OD OC COD OD OK



 

(10)

2

cos0 d OD OD

   

  OD OD   OD



由上可知：d b c a  

24.

能正確運用排列組合之概念

設

 

^{1,0 被選了}^{A 次，}

 

^{0,1 被選了}^{B 次，}

 

^{1,1 被選了}^{C 次}

而

   

a  b  c  d 所有可能結果之方法數可以視為「A B C   ，求非負整數解」 4

∴H³₄C⁶₄15

25.

(1) 圓方程式之性質 (2) 圓與直線之相交情形

2 2 2 6 9 0

x y  x y 



^x ¹

 

² ^y ³



² ¹

     （如圖）

其圓心為

 

^{1,3 且半徑 1}^

而y b 為水平線

若直線與圓有交點（如圖）

則2  b 4