談數學競賽

談數 學競賽

徐正梅

(一)“問題”是數學的生命

法國著名數學家傅立業 (J. Fourier 1768 ∼ 1830) 說: 「數學的主要目的是大眾 的需要和自然現象的解釋」。 的確, 數學是我 們生活中用以說明數量、 形狀, 是大眾所需的 計算工具; 數學又是探求、 認識、 刻畫自然規 則的一門科學。

1980 年代, 世界數學的潮流以 「問題解 決」 為發展的主軸, 數學脫離了 「問題」 就失 去多釆的生命, 因此數學問題乃是這門學科 的核心。 如何提出問題? 如何解決問題? 成 為教育中重要的一環。

16、17 世紀, 有些數學家喜歡提出有趣 的問題, 向人類的智慧挑戰。 費馬(Fermat 1601∼1665) 是法國的律師, 業餘醉心於數 學的研究, 他曾提出一個著名的問題:

證明方程式: x⁴+ y⁴ = z⁴ 沒有正整數解 費 馬本人用自己得意的方法— 無窮遞降法解決 這個問題, 他又提出更一般性的結論:

在整數 n ≥ 3 時, 方程式 xⁿ+ yⁿ = zⁿ 沒有正整數解。

這 就 是費馬大定理。 費 馬 在 古 希 臘 數 學 家Diophantos 著作的一冊譯本裡寫道: 自 己發現了證明這個問題的妙法, 祇是書頁的 空白處不夠大, 無法記下證明。 結果費馬至死

都未提出他的妙法, 這個群賢束手的大難題 遂又名費馬最後定理。 三個世紀來, 它困惑了 許多傑出的數學家, 懸盪360年, 終於在1993 年 6月, 被美國普林斯頓高等研院的英國數學 家魏爾斯(Andrew Wiles) 在劍橋一個數學 討論會上宣佈解決, 震撼了數學界, 加上媒體 的報導, 成為全球矚目的焦點。 後來證明的過 程被檢視出一些瑕疵, 魏氏及其學生再經 14 個月的努力, 終於補全了長達 130 餘頁的證 明, 1994 年 9 月 19 日, 費馬最後定理終被人 類的智慧征服。 魏爾斯接受訪問時說:「解決 這個問題, 確實有一種自由的感覺, 在過去八 年中, 我過度投入這個問題, 無論是清晨醒來 或夜晚入睡, 這個問題總是縈繞於心, 如今漫 長解題之旅已了, 我心如止水」。 解決費馬最 後定理, 固然可以在數學史上留名, 但背後為 了解決這個難題, 歷代的數學家投入的研究、

築塔式地取得許多額外的成果, 帶動了數學 分支的發展, 更具實質的意義!

(二) 數學競賽

近代, 世界各國風行中學生數學競賽, 它 是一種解題的比賽, 試題的內容一般都不超 出中學課程所涵蓋的範圍:

(1) 數論 (2) 數列 (3) 多項式

37

38 數學傳播 ²²卷¹期 民⁸⁷年³月

(4) 不等式 (5) 幾何 (6) 組合數學 偶而也有一些問題是高等數學的背景, 融入 了中學數學的思想方法, 以通俗有趣的形式 呈現, 每一道試題, 都沒有固定的模式可套, 學生必須自己去探索、 嘗試、 通過觀察、 分 析、 思考 · · · 去發現一線曙光, 慢慢找到解 題的門徑。 有的試題, 依據題設條件, 從正面 去想, 浩瀚如海, 茫無頭緒, 此時從反面切入 就較易得手; 有的試題, 需用“類比”的方法, 從自己較熟悉的類比題去推敲; 有的試題, 必 須透過“轉換”的手法化成另一個問題, 纔易 於入手; 有的試題, 需要有高度的創造性去構 造一個輔助函數, 方能湊功· · ·, 總之, 數學競 賽的試題具備了

開放性、 靈活性、 探索性

三項特色, 讓資優的中學生可以在這個鬥智 的舞台中揮灑個人的才華。

建國高中, 去年十二月堂堂邁入建校一 百週年, 在台灣地區是一所古老中學, 更是 一所聚集菁英學子的名校。 春風吹放自由花, 培育了一批批的紅樓才子, 「赫赫黌宇、 髦士 三千」, 在全國各學科能力競賽中更是獨佔鰲 頭、 各領風騷。

從 1983年起, 建中每年辦一次全校性的 數學競試, 這是建中人一展長才、 悠游於高度 心智活動的一項大賽, 已蔚成風氣, 是一項別 具特色的傳統。 採自由報名與師長推荐兩種 管道, 筆試分三個階段篩選, 從 9 月中旬延續 到 10 月底, 試題分成 A、B 兩卷, A 卷測高 一新生, B 卷測高二與高三學生。

初試: 考察學生對中學基礎知識的掌握情況 (各年級選出 80 人∼100 人參加複試)。

複試: 考察學生運算能力、 分析能力、 空間能 力 · · · 等 (各年級選出 35 人∼50 人參 加決試)。

決試: 考察學生創造力, 靈活應用數學知識解 題的能力。

三個階段的成績按某種比例合併計分, 每一 個年級按總分之高低選出 20 人左右, 由學校 公開表揚並頒獎, 成績優異者, 建議教務處, 讓學期 (或學年) 給予“免修數學”的優待, 最 後我們再從成績較優的 12 人中透過 「口試」

選出 6 名, 代表學校參加校外數學競賽。 特別 值得一提的是: 建中數學科的同仁, 感情融 洽, 相處和諧, 像個大家庭, 其中有一群學養 深厚、 熱心奉獻的工作伙伴:

朱再發、 林礽堂、 蔡聰池、 江啟霖、

張文良、 許建志、 毛延宗、 李瑞、

陳麗如、 曾政清

與筆者計 11 人組成一個團隊, 負責命題、 閱 卷、 選拔、 培訓等工作。 長期以來, 他們自編 教材, 犧牲週末假期, 指導學生, 春風化雨, 數 年如一日, 他們所散發的光與熱, 啟發了學生, 當然, 我們亦在輔導中得到“成長” 並充滿了

「得天下英才而教育之」 的“喜悅”。

1992 年, 我國首次參加第 33 屆國際數 學奧林匹克 (簡稱 IMO), 地點在莫斯科, 6 位國手中, 建中學生佔了一半:

魏澤人、 吳宏五、 黃柏嶧

1993 年第 34 屆 IMO 在伊斯坦堡(土耳其) 舉行, 我國取得第五名, 由陳院長昭地領隊並 爭取到今年(1998 年) 第 39 屆 IMO 的主辦 權, 當年 6位國手中, 建中佔了三位

吳宏五、 單中杰、 黃景沂

談數學競賽 ³⁹

1994 年在香港舉行, 6 位國手中, 建中學生有 兩位:

單中杰、 陳和麟

1995 年在加拿大舉行, 6 位國手中, 建中學生 有三位:

陳和麟、 邱奕智、 卓士堯

1996 年在印度舉行, 建中林冠明入選國手, 1997 年在阿根廷舉行, 建中高一學生陳明揚 入選國手, 我們寄望今年有更多建中學生加 入國手的行列, 為地主國爭取最高的榮譽。

(三) 培訓工作

自從 1992 年我國首次參加 IMO 開始, 筆者每一年五月∼六月都參與國手的培訓工 作, 這是一項艱巨的任務:

1. 慎選 (或自編) 合適的題材。 每一題都應 有一個主旨, 比如說透過問題介紹某種數 學方法、 或某種數學概念, 或能拓展學生 的視野 · · · 等。

2. 仔細批閱學生的答題。 比如學生的 (1) 觀念是否清晰?

(2) 表達方式是否恰當?

(3) 邏輯推理是否出紕漏?

(4) 是否有其他解法?

(5) 可以推廣嗎?

(6) 學生從中學到什麼?

(7) 為什麼解不出來? 該往那個方向想

· · ·?

3. 紓解學生的壓力

4. 培養學生 「刻苦鑽研、 知難而進」 的解 題精神。 解題的成功固然取決於數學方法 的選擇及數學知識的靈活運用, 但必須有

「知難而進」 的頑強精神, 方能攀登高峰。

(四) 一些感想

指導資優學生, 重在“啟發”少做“長篇 講解”, 如果教師能審慎選擇一些合適的題材, 供資優生去閱讀、 思考、 或不惜花好幾小時去 苦苦思索一個問題, 學生將從中獲益良多。 在 數學競賽中必須培養 「勝不驕、 敗不餒」 的胸 襟, 獲勝自然會高興, 但更要謙虛, 方能求得 最大進步。 受挫了卻不需過分自責、 悲傷, 更 不必要對自己的數學能力產生懷疑, 甚至感 到失望。老實說要在數學競賽中獲勝, 是需要 一些機運與特殊的天賦, 而這種天賦對長期 做研究工作卓然有成的數學家而言, 不是必 要的! 在指定的時間內完整地答出問題, 本 身就是一種“限制”, 這種限制常使深思長考 型的人感到束手, 數學中許多重大的發現 (成 果), 並不是思維敏捷的產物, 而是經過長時 間靜靜思考, 精雕細琢的傑作, 費馬大定理的 解決, 不就是一個鮮活的見證嗎? 因此, 教 師在指導學生時, 以紮實根基為主, 熟練基礎 數學知識, 並能靈活應用, 掌握一些重要的數 學方法, 加強學生分析的能力即可。 所謂 「磨 刀不誤砍柴工」, 揠苗助長是培育人才中最忌 諱的事, 教師要有長遠的眼光, 以學生將來的 發展為培訓的首要目標, 不必太過計較近利

「金、 銀、 銅、 鐵」。

—本文作者任教於建中—