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數學科

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Academic year: 2022

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(1)

大考風向球

數學科

陳清風/桃園高中

2

4

戰地記者龍騰報導

近幾年來,學測儼然成為升上大學的主要管道,今年的試題難度適中,鑑別度高。

因而,這份學測試題更受到多方關注。

今年試題是採用 99 課綱的第四年,整體而言,題目靈活,文字閱讀量少,計算 量適中,只要掌握基本觀念就能作答,難度適中,出現好幾題不錯的題目(如第 6、

11、13、C、D、G 題),是一份有鑑別度的試題。這也意味著數學將是決定今年總級 分高低的關鍵科目。

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(2)

前言

甄選入學已成升大學主流,今年「繁星推薦入學」共有 69 所大學、1729 個學系參加,提供 1 萬 5735 個招生名額,另「個人申請入學」則有 71 所大學、1964 個學系參加,招生名額 5 萬 5732 個,兩 個管道總計招生名額超過 7 萬個,寫下歷年新高。臺大等多所頂尖大學甄選比率都超過五成,交大近 七成,清大近八成。使得這份學測試題受到多方的關注。

99 課綱將數學課程的內容簡化,102 年首次採用此課綱命題,一般預測考題會比往年簡單,但卻 是出乎大家意料之外的難。而 103 年第二次採用,則將難易度調回來了,是一份難易適中的試題。104 年第三次採用,又是意外的難。今年(105 年)第四次採用,再擺盪回適中的一方。

現就個人見解,針對今年的試題提出以下幾點分析與建議。

歷年題型分配

今年試題的題型沒有改變,仍然包含單選題、多選題及選填題三大題,各大題的題數略有更動,

但總題數(20 題)及配分(每題 5 分)則維持不變。

題型

年度 單選題 多選題 選填題 總題數 102 年 6 6 8 20 103 年 6 6 8 20 104 年 4 6 10 20 105 年 6 7 7 20

105 學測命題特色

(3)

大考風向球

105學測試題分布

今年試題的分布如下表(單元名稱的劃分是依據 99 課綱):

冊 章 單元名稱 題號 配分 小計

1 數與式 7,8 10

25 2 多項式函數 1,10 10

3 指數、對數函數 4 5

1 數列與級數 6 5

2 排列、組合 A 5 25

3 機率 13,F 10

4 數據分析 11 5

1 三角 2,12 10

25 2 直線與圓 3,E 10

3 平面向量 B 5

1 空間向量 無 0

2 空間中的平面與直線 5,9,G 15 25

3 矩陣 D 5

4 二次曲線 C 5

觀察上表後,有以下看法:

1. 若以冊來分類,配分相當平均,每一冊各占四分之一(各 25 分)。

2. 第四冊第一章空間向量雖然沒配到分,但其實在第 9,G 兩題的解題過程中,是需要用到它的。

3. 若以章來分類,試題的分布涵蓋每一單元,這應是歷年學測的命題原則。

試題評析

底下針對今年數學考題作評析:

1. 第 1 題:這個難度很適合放第 1 題。

2. 第 2 題:三角函數值結合中位數出題,很新穎。

3. 第 3 題:要多注意

xy

2 1

x y 1



x  y 1

0這類方程式的圖形,這算 100 年學測題

「方程式

2 2 2 2

2 2 2 2 0

5 4 3 2

x y x y

  

  

  

   的圖形」的考古題吧!

4. 第 4 題:典型的半衰期考古題。

5. 第 5 題:只要能寫出直線的方程式,再進一步求出與平面的交點就可解出,是有鑑別度的一題。

6. 第 6 題:考等比級數求和公式,再結合估計的設計,有創意。

7. 第 7 題:這題型是第一冊第一章主要的重點,考生應都練習過,放在多選題的第一題,很合理。

(4)

8. 第 8 題:學測常會出現不需用到高中數學就可解出的生活題,此題就是。但若沒發現甲商場奇異果 的 5 顆裝單價低於 6 顆裝單價,應會錯兩個選項,此題就零分了。

9. 第 9 題:數據簡潔,能掌握既不平行也不相交的判定法就能解出。但若選項中能有對稱比例式及參 數式的出現,會更具廣度。

10. 第 10 題:具鑑別度的多項式函數考題。第 4 選項應是為第 5 選項而設計的吧?

11. 第 11 題:調分數的考題很多,但用對數函數調的題目卻不多見,很新穎。但第 5 選項要在短時間 內找到反例,很不容易,相信很多人是憑直覺回答的吧!

12. 第 12 題:SSA 型的題目,考生應不陌生。

13. 第 13 題:5 個選項共問了 10 個機率,真的要很細心、有耐心才能完全答對。

14. 第 A 題:這是有兩個限制條件的排列組合題目,除了解析中的解法外,也可以用排容原理解出。

15. 第 B 題:這是 99 課綱的新題目,也是龍騰版課本第三冊3-4例題6,只改數據的類似題。 16. 第 C 題:除了用橢圓的定義解外,也可使用正焦弦長的公式解得。

17. 第 D 題:此題的出現,會使常被忽視的「高斯消去法」受到大家的重視。

18. 第 E 題:出題者善用填充題格式的設計,提示a 不為負,降低題目的難度,很用心。

19. 第 F 題:不難,但要有系統、有耐心才能答對。

20. 第 G 題:設 C 為原點的坐標系,再利用截距式寫出平面 BDG 的方程式,可降低難度。或將長方體 視為邊長為 1 的正立方體,也可降低難度。

21. 缺「概念題」:往年都有那種「筆在手中轉轉就可答對的題目」,今年很缺乏。

22. 數據美化:數據的設計可看出命題者的用心。

23. 選項細膩:答案與選項相同的設計可避免考生誤答,如單選第 1,3 題。

24. 圖形題目較往年少。

25. 跨章節的題目夠多。

結語

整體而言,題目靈活,文字閱讀量少,計算量適中,只要掌握基本觀念就能作答,難度適中,出 現好幾題不錯的題目(如第 6、11、13、C、D、G 題),是一份有鑑別度的試題。這也意味著數學將 是決定今年總級分高低的關鍵科目。

(5)

大考風向球

大考中心所列數學考科的測驗目標,為評量考生是否具備「概念性」、「程序性」及「解題能力」

等三方面的知識與能力。學測應以評量前二項為主,較偏向概念性知識與程序性知識。往年這三方面 知能的試題各約占三分之一,今年應符合這個組題原則。相信大考中心會審慎檢視這份試卷,讓來年 的試題都符合學測評量的目標。

在 99 課綱的框架內,對未來學測的命題趨勢有以下幾點看法:

1. 基本概念:著重基本概念的靈活應用,一直是學測命題的中心想法,加強基本概念的練習是必做的 基本功夫。

2. 情境題:生活化的試題年年都有,也是必然的命題趨勢,由於這類試題往往會比一般題目為長,所 以應培養仔細閱讀題目的耐性,以及加強將問題與教材連結的能力。

3. 熱門單元:有幾個預期會考的單元沒出現,反而可能會成為明年的大熱門,值得注意。例如:拉格 朗日插值法、迴歸直線、貝氏定理、轉移矩陣等。

4. 三星以下的單元:指考對標示三星以下的單元是不直接命題的,這些單元往往會出在學測,例如:

二次曲線(一星),數列與級數(二星),數與式(二星)等。

5. 跨章節題:學測從 14 個單元中命 20 題,必然會有幾題涵蓋兩個單元以上,也藉此提高試題的鑑別 度。因此,加強單元與單元之間的連結能力,多練習跨章節的題目,才能在眾多考生中勝出。

以上提出個人淺見供大家參考,尚祈前輩先進們不吝賜教。

未來命題趨勢

(6)

第壹部分:選擇題(占 65 分)

(此份試卷解題係依據大學考試中心於 105 年 1 月 23 日所公告之答案為主)

說明: 第1題至第 6 題﹐每題有 5 個選項﹐其中只有一個是正確或最適當的選項﹐請畫記在答案卡 之「選擇(填)題答案區」﹒各題答對者﹐得 5 分﹔答錯﹑未作答或畫記多於一個選項者﹐

該題以零分計算﹒

1

二次函數的最大值與最小值

f x 為二次實係數多項式﹐已知

 

f x 在

 

x2時有最小值1且 f

 

3 3﹒請問 f

 

1 之值為下列

哪一選項﹖

(1) 5 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5)條件不足﹐無法確定﹒

出 處:龍騰版《數學 1》第 2 章 多項式函數

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 2 單元 多項式函數 解題觀念:能利用最小值設出多項式 f x ﹐再代點便可解出﹒

 

答 案:(3)

解 析:因為 f x 在

 

x2時有最小值1﹐所以可設 f x

  

a x2

21a0

又因為 f

 

3   a 1 3﹐所以a2﹐即

f x

  

2 x2

21

因此f

 

1   2 1 3﹐故選(3)﹒

一﹑單選題(占 30 分)

(7)

試題大剖析

2

正弦函數值的定義

請問 sin 73﹐ sin146﹐ sin 219﹐ sin 292﹐ sin365這五個數值的中位數是哪一個﹖

(1) sin 73 (2) sin146 (3) sin 219 (4) sin 292 (5) sin365﹒

出 處:龍騰版《數學 3》第 1 章 三角

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 8 單元 三角 解題觀念:知道正弦函數值及中位數的定義﹐便可解出﹒

答 案:(5)

解 析:利用換算公式﹐將角度化為銳角﹐得

 

sin146 sin 180   34 sin34﹐

 

sin 219 sin 180    39 sin39﹐

 

sin 292 sin 360    68 sin 68﹐

 

sin365 sin 360   5 sin5﹒

因為在 0~ 90的範圍內﹐正弦值為正且角度愈大值愈大﹐所以 sin73 sin146 sin365 sin 219 sin 292﹒

得知中位數為 sin365﹐故選(5)﹒

3

圓與直線的交點

坐標平面上兩圖形1﹐2的方程式分別為﹕1 :

x1

2y21﹐2 :

xy

2 1﹒請問1﹐2 共有幾個交點﹖

(1)1個 (2) 2 個 (3) 3 個 (4) 4 個 (5) 0 個﹒

出 處:龍騰版《數學 3》第 2 章 直線與圓

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 9 單元 直線與圓 解題觀念:能畫出1與2圖形就可解出﹒

答 案:(2)

解 析:由圓的標準式知﹐1是圓心為

1,0

﹐半徑為1的圓﹒

因為

xy

2    1 x y 1x  y 1

所以2為二平行直線x y 1與x  y 1﹒ 由右圖得知﹐兩圖形共有 2 個交點﹐

(8)

4

指數的應用

放射性物質的半衰期 T 定義為每經過時間 T ﹐該物質的質量會衰退成原來的一半﹒鉛製容器中有 兩種放射性物質 A ﹐ B ﹐開始紀錄時容器中物質 A 的質量為物質 B 的兩倍﹐而120 小時後兩種物 質的質量相同﹒已知物質 A 的半衰期為 7.5 小時﹐請問物質 B 的半衰期為幾小時﹖

(1) 8 小時 (2)10 小時 (3)12 小時 (4)15 小時 (5) 20 小時﹒

出 處:龍騰版《數學 1》第 3 章 指數﹑對數函數

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 3 單元 指數﹑對數函數 解題觀念:了解半衰期的定義﹐再利用指數的運算解出﹒

答 案:(1)

解 析:設 B 的半衰期為 T 小時﹐且開始記錄時 B 的質量為 n ﹒依題意﹐得

120 120

1 7.5 1

2 2 2

n    n   T約去 n ﹐得

16 120

1 1 2 2 2

   T

   

    

15 120

1 1 2 2

   T

   

    ﹐ 即 120

15 T ﹐解得T8﹐故選(1)﹒

5

空間中平面與直線的交點

坐標空間中一質點自點P

1,1,1

沿著方向 a

1, 2, 2

等速直線前進﹐經過 5 秒後剛好到達平面 3 28

x y z 上﹐立即轉向沿著方向 b  

2, 2, 1

依同樣的速率等速直線前進﹒請問再經過幾秒 此質點會剛好到達平面x2上﹖

(1)1秒 (2) 2 秒 (3) 3 秒 (4) 4 秒 (5)永遠不會到達﹒

出 處:龍騰版《數學 4》第 2 章 空間中的平面與直線

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 12 單元 空間中的平面與直線 解題觀念:能寫出直線的參數式﹐及求直線與平面的交點﹒

答 案:(2)

(9)

試題大剖析

解 析:設質點到達兩平面的點分別為 Q 與 R ﹐如右圖所示﹒

將參數式

1 : 1 2

1 2

x t

PQ y t

z t

  

  

  

( t )代入x y 3z28﹐得

1  t

 

1 2t

 

3 1 2 t

283 5 t 28t5

Q

6,11,11

再將參數式

6 2 : 11 2

11

x s

QR y s

z s

  

  

  

( s )代入x2﹐得

6 2 s 2 s2﹐ 即R

2,15,9

因為 6 2 15 5 QR

PQ   ﹐所以經過 2 5 2

 5 秒到達 R 點﹐

故選(2)﹒

6

等比級數的和

a 為一等比數列﹒已知前十項的和為n

10

1 k 80

k

a

 ﹐前五個奇數項的和為

1 3 5 7 9 120

a    a a a a  ﹐請選出首項a 的正確範圍﹒ 1

(1)a180 (2)80 a1 90 (3)90 a1 100 (4)100 a1 110 (5)110a1﹒ 出 處:龍騰版《數學 2》第 1 章 數列與級數

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 4 單元 數列與級數 解題觀念:能使用等比級數的和公式﹒

答 案:(4)

解 析:設公比為 r ﹐利用等比級數的和公式﹐得

 

 

10 1

10 1

2

1 80 1

1 120 1

a r r a r r

 

 

 

 

 

 

兩式相除﹐得 2

1  r 3 1

r 3﹐因此

10

1

1 1

1 80 1

3 3

a        

10

1

1 320 1 3 3 a       ﹒

因為 1 10

1   1﹐所以 320 a  ﹐

(10)

說明: 第 7 題至第13 題﹐每題有 5 個選項﹐其中至少有一個是正確的選項﹐請將正確選項畫記在 答案卡之「選擇(填)題答案區」﹒各題之選項獨立判定﹐所有選項均答對者﹐得 5 分﹔答 錯1個選項者﹐得 3 分﹔答錯 2 個選項者﹐得1分﹔答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答 者﹐該題以零分計算﹒

7

數線上的幾何

下列各方程式中﹐請選出有實數解的選項﹒

(1) x  x 5 1 (2) x   x 5 6 (3)x   x 5 1 (4) x  x 5 6 (5) x   x 5 1﹒

出 處:龍騰版《數學 1》第 1 章 數與式

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 1 單元 數與式 解題觀念:要善用 a b 等於數線上A a 與

 

B b 的距離﹒

 

答 案:(2)(3)(5)

解 析:在數線上﹐ x  x 0 表P x 與

 

O

 

0 的距離﹔ x5 P x 與

 

A

 

5 的距離﹒

(1) 分兩種情形討論﹕

(i)若 P 在 OA 上﹐則 x   x 5 OA5﹒ (ii)若 P 在 OA 外﹐則 x  x 5 OA5﹒ 即 x   x 5 5﹐得知此選項錯﹒

(2) 當x 0.5或 5.5 時﹐滿足 x   x 5 6﹒ (3) 當x3時﹐滿足 x   x 5 1﹒

(4) 分兩種情形討論﹕

(i)若 P 在 OA 上﹐則 x   x 5 5﹒ (ii)若 P 在 OA 外﹐則 x  x 5 5或 5 ﹒ 得知此選項錯﹒

(5) 當x2時﹐滿足 x   x 5 1﹒ 故選(2)(3)(5)﹒

二﹑多選題(占 35 分)

(i) P 在 OA 上

(ii) P 在 OA 外

(11)

試題大剖析

8

數的大小

下面是甲﹑乙兩個商場的奇異果以及蘋果不同包裝的價格表﹐例如﹕甲商場奇異果價格

「 35 元/一袋 2 顆」表示每一袋有 2 顆奇異果﹐價格 35 元﹒

甲商場售價

奇異果價格 20 元/一袋1顆 35 元/一袋 2 顆 80 元/一袋 5 顆 100 元/一袋 6 顆 蘋果價格 45 元/一袋1顆 130 元/一袋 3 顆 260 元/一袋 6 顆 340 元/一袋 8 顆 乙商場售價

奇異果價格 18 元/一袋1顆 50 元/一袋 3 顆 65 元/一袋 4 顆 95 元/一袋 6 顆 蘋果價格 50 元/一袋1顆 190 元/一袋 4 顆 280 元/一袋 6 顆 420 元/一袋10 顆 依據上述數據﹐請選出正確的選項﹒

(1) 在甲商場買一袋 3 顆裝的蘋果所需金額低於買三袋1顆裝的蘋果 (2) 乙商場的奇異果售價﹐一袋裝愈多顆者﹐其每顆單價愈低

(3) 若只想買奇異果﹐則在甲商場花 500 元最多可以買到 30 顆奇異果

(4) 如果要買12 顆奇異果和 4 顆蘋果﹐在甲商場所需最少金額低於在乙商場所需最少金額 (5) 無論要買多少顆蘋果﹐在甲商場所需最少金額都低於在乙商場所需最少金額﹒

出 處:龍騰版《數學 1》第 1 章 數與式

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 1 單元 數與式 解題觀念:計算出每一顆水果的單價後﹐再作分析﹒

答 案:(1)(2)(4)

解 析:計算每一包裝一顆水果的價錢(依題中的順序﹐四捨五入至小數第一位)﹕

甲商場 乙商場

奇異果 20 17.5 16 16.7 奇異果 18 16.7 16.3 15.8 蘋果 45 43.3 43.3 42.5 蘋果 50 47.5 46.7 42 結論﹕除甲的奇異果 5 顆裝較 6 顆裝便宜及甲的蘋果 3 顆裝與 6 顆裝每顆單價相同外﹐

一袋裝愈多顆者其每顆單價愈低﹒

(1) 一袋 3 顆裝130 元低於三袋1顆裝 3 45 135  (元)﹒

(2) 由乙商場的分析表得知﹐此選項正確﹒

(3) 買 5 顆裝六袋及1顆裝一袋﹐需 6 80 1 20   500(元)﹐可買 31顆﹒

(4) 甲﹕最少需

2 80 1 35  

 

 1 130 1 45 

370(元)﹒

乙﹕最少需 2 95 1 190 380    (元)﹒

得知甲低於乙﹒

(5) 錯﹗當買 40 顆蘋果時﹐甲最少需 5 340 1700  (元)﹐乙最少需 4 420 1680  (元)﹐

此時甲高於乙﹒

(12)

9

歪斜線的判定

下列各直線中﹐請選出和 z 軸互為歪斜線的選項﹒

(1) 1 0 : 0 L x

z

 

  (2) 2 0

: 1

L y

x z

 

  

 (3) 3 0

: 1

L z

x y

 

  

 (4) 4 1 : 1 L x

y

 

  (5) 5 1 : 1 L y

z

 

  ﹒

出 處:龍騰版《數學 4》第 2 章 空間中的平面與直線

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 12 單元 空間中的平面與直線 解題觀念:空間中﹐若兩直線既不平行也不相交﹐則兩直線歪斜﹒

答 案:(3)(5)

解 析:將 z 軸及 5 個選項的方程式均改寫為參數式﹕

z 軸﹕

0 0 x y z t

 

 

 

( t )﹐L ﹕1 1 0 0 x y t z

 

 

 

t1 )﹐L ﹕2

2

2

0 1 x t y z t

 

 

  

t2 )﹐

L ﹕3 3

1 3

0 x t

y t

z

 

  

 

t3 )﹐L ﹕4

4

1 1 x y z t

 

 

 

t4 )﹐L ﹕5

5

1 1 x t y z

 

 

 

t5 )﹒

(1) z 軸與L 聯立﹐解得1 x0﹐y0﹐z0﹐即交一點

0,0,0 ﹒

(2) z 軸與L 聯立﹐解得2 x0﹐y0﹐z1﹐即交一點

0,0,1 ﹒

(3) z 軸與L 聯立﹐無解﹐即不相交﹒ 3

又方向向量vz

0,0,1

v3

1, 1,0

不平行﹐所以歪斜﹒

(4) 因為方向向量 vz

0,0,1

v4

0,0,1

平行﹐所以不是歪斜﹒

(5) z 軸與L 聯立﹐無解﹐即不相交﹐ 5

又方向向量vz

0,0,1

v5

1,0,0

不平行﹐所以歪斜﹒

故選(3)(5)﹒

(13)

試題大剖析

10

多項式方程式

設 a ﹐ b ﹐ c 皆為正整數﹐考慮多項式 f x

 

x4ax3bx2cx2﹒請選出正確的選項﹒

(1) f x

 

0無正根 (2) f x

 

0一定有實根 (3)f x

 

0一定有虛根

(4) f

 

1 f

 

1 的值是偶數 (5)若a  c b 3﹐則 f x

 

0有一根介於 1 與 0 之間﹒

出 處:龍騰版《數學 1》第 2 章 多項式函數

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 2 單元 多項式函數 解題觀念:了解根的意義及勘根定理便可解出﹒

答 案:(1)(4)(5)

解 析:(1) 若r0﹐則 f r

 

r4ar3br2 cr 2恆正﹐即必不等於 0 ﹒ 因此 f x

 

0無正根﹒

(2) 錯﹗如 f x

 

x2 x 1



x22

0的四根為 1 3

2

  i

﹐ 2i﹐沒有實根﹒

(3) 錯﹗如 f x

  

x1

 

3 x2

0的四根為 1 ﹐ 1 ﹐ 1 ﹐ 2 ﹐沒有虛根﹒

(4) f

 

1 f

  

          1 1 a b c 2

 

1 a b c 2

 6 2b為偶數﹒

(5) 因為 f

 

      1 1 a b c 2

b 3

 

a c 

0f

 

0  2 0

所以根據勘根定理得知﹐在 1 與 0 之間至少有一實根﹒

故選(1)(4)(5)﹒

11

對數函數及一維數據分析

一個 41人的班級某次數學考試﹐每個人的成績都未超過 59 分﹒老師決定以下列方式調整成績﹕原 始成績為 x 分的學生﹐新成績調整為 10 1

40log 60 10 x

  

 

  分(四捨五入到整數)﹒請選出正確的選項﹒

(1) 若某人原始成績是 9 分﹐則新成績為 60 分

(2) 若某人原始成績超過 20 分﹐則其新成績超過 70 分 (3) 調整後全班成績的全距比原始成績的全距大

(4) 已知小文的原始成績恰等於全班原始成績的中位數﹐則小文的新成績仍然等於調整後全班成績 的中位數

(5) 已知小美的原始成績恰等於全班原始成績的平均﹐則小美的新成績仍然等於調整後全班成績的 平均(四捨五入到整數)﹒

出 處:龍騰版《數學 2》第 4 章 數據分析

(14)

解題觀念:了解對數函數圖形的性質﹐及數據分析的名詞之意義就可解出﹒

答 案:(1)(2)(4)

解 析:令新成績為 y 分﹐利用對數的運算公式﹐得

40log 1 60 40 log

 

1

log10

60

10

y x   x   40log

x 1

20

(1) 若x9﹐則y40log10 20 60﹒ (2) 若x20﹐則

y40log 21 20 40 log3 log7

20 40 0.4771 0.8451

2072.888﹒ (3) 錯﹗如班上最低分 9 分最高分 39 分﹐則調整後成績的全距為

40log 40 20

 

 40log10 20

40 log 40 log10

40log 440 0.6020 24.08﹐ 小於原始成績的全距 39 9 30  ﹒

(4) 因為函數y40log

x 1

20為嚴格遞增函數﹐所以調整前後每人的名次不變﹐因此小 文的新成績仍為中位數﹒

(5) 錯﹗如班上原始成績為

0 分 8 人﹐ 9 分 21人﹐15 分12 人﹐平均 9 分﹐

則調整後的成績為

20 分 8 人﹐ 60 分 21人﹐ 40log16 20 68  分12 人﹐平均約 55 分﹒

此時若小美原成績 9 分(等於平均)﹐但新成績 60 分卻不是新成績的平均﹒

故選(1)(2)(4)﹒

12

解三角形

在△ABC中﹐已知  A 20 ﹐AB5﹐BC4﹒請選出正確的選項﹒

(1)可以確定B的餘弦值 (2)可以確定 C 的正弦值 (3)可以確定△ABC的面積 (4)可以確定△ABC的內切圓半徑 (5)可以確定△ABC的外接圓半徑﹒

出 處:龍騰版《數學 3》第 1 章 三角

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 8 單元 三角 解題觀念:知道 SSA 不能唯一決定三角形﹒

答 案:(2)(5)

解 析:滿足條件的三角形共有△ABC1與△ABC2兩個三角形﹐如下圖﹕

(15)

試題大剖析

設AC B2 ﹐則ABC2 160 ﹐AC B1 180 ﹐ABC1   20 ﹒ (1) 因為cos 160

 

不恆等於cos

 20

﹐所以 cos B 的值不確定﹒

(2) 因為sin 180

 

sin﹐即sinAC B1 sinAC B2 ﹐所以 sinC 的值確定﹒

(3) 由圖知﹐△ABC1的面積小於△ABC2的面積﹒

(4) 由圖知﹐△ABC1的內切圓半徑小於△ABC2的內切圓半徑﹒

(5) 根據正弦定理﹐兩個三角形的外接圓半徑均為 4 2sin 20﹒ 故選(2)(5)﹒

13

機率

甲﹑乙﹑丙﹑丁四位男生各騎一台機車約 A ﹐ B ﹐ C ﹐ D 四位女生一起出遊﹐他們約定讓四位女 生依照 A ﹐B ﹐C ﹐D 的順序抽鑰匙來決定搭乘哪位男生的機車﹒其中除了 B 認得甲的機車鑰匙﹐

並且絕對不會選取之外﹐每個女生選取這些鑰匙的機會都均等﹒請選出正確的選項﹒

(1) A 抽到甲的鑰匙的機率大於 C 抽到甲的鑰匙的機率 (2) C 抽到甲的鑰匙的機率大於 D 抽到甲的鑰匙的機率 (3) A 抽到乙的鑰匙的機率大於 B 抽到乙的鑰匙的機率 (4) B 抽到丙的鑰匙的機率大於 C 抽到丙的鑰匙的機率 (5) C 抽到甲的鑰匙的機率大於 C 抽到乙的鑰匙的機率﹒

出 處:龍騰版《數學 2》第 3 章 機率

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 6 單元 機率 解題觀念:找出樣本空間﹐再比較各機率﹒

答 案:(4)(5)

解 析:因為 B 認得甲的鑰匙﹐所以 (1)

 

=1

P A 抽到甲 4﹐

 

=3 1 1 3

4 2 8 P C抽到甲    ﹒ (2)

 

=3

P C 抽到甲 8﹐

 

=3 1 1 1 3

4 2 8 P D抽到甲     ﹒

(3)

 

=1

P A 抽到乙 4﹐

 

= 1 1 2 1 1

4 3 4 2 3

A A

P B        

抽到甲 沒抽到甲

抽到乙 ﹒

(4)

  

=

=1

P B抽到丙 P B抽到乙 3﹐

 

= 1 2 1 2 1 1 5

4 3 2 4 2 2 24

A A

P C          

抽到甲 沒抽到甲

抽到丙 ﹒

(5)

 

=3

P C 抽到甲 8﹐

  

=

= 5

P C抽到乙 P C抽到丙 24﹒

(16)

第貳部分:選填題(占 35 分)

說明: 1.第 A 至 G 題﹐將答案畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」所標示的列號(14 - 31)﹒

2.每題完全答對給 5 分﹐答錯不倒扣﹐未完全答對不給分﹒

A

排列組合與矩陣的相等

考慮每個元(或稱元素)只能是 0 或1的 2 3 階矩陣﹐且它的第一列與第二列不相同且各列的元素 不能全為零﹐這樣的矩陣共有 個﹒

出 處:龍騰版《數學 2》第 2 章 排列﹑組合 《數學 4》第 3 章 矩陣

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》 第 5 單元 排列﹑組合 第 13 單元 矩陣 解題觀念:了解矩陣相等的定義﹐及乘法原理便可解出﹒

答 案:42

解 析:因為 2 3 階矩陣 a b c d e f

 

 

 有二列三行﹐所以有 6 個元﹒

先排第一列﹐並排除皆排 0 ﹐有23 1 7 種﹐再排第二列﹐並排除皆排 0 ﹐也有23 1 7種﹐

因此共有 7 7 49  種﹒

又當排完第一列時﹐若第二列與第一列排相同﹐則兩列相同﹐因此兩列相同的排法有 7 種﹒

故所求的排法共有 49 7 42  種﹒

B

二階行列式的應用

坐標平面上 O 為原點﹐設 u

 

1, 2 v

 

3, 4 ﹒令為滿足 OPx uy v 的所有點 P 所形成

的區域﹐其中1

2 x 1﹐ 1 3 y 2

   ﹐則的面積為 平方單位﹒(化成最簡分數)

出 處:龍騰版《數學 3》第 3 章 平面向量

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 10 單元 平面向量 解題觀念:會使用二階行列式求平行四邊形的面積﹒

答 案:7 2

解 析:如圖所示﹐的面積等於 u 與 v 所張出之 平行四邊形面積的1 1 7

4  2 3 4倍﹐即 7 1 2   7 7﹒

16

17

1415

(17)

試題大剖析

C

橢圓的定義

從橢圓的兩焦點分別作垂直於長軸的直線﹐交橢圓於四點﹒已知連此四點得一個邊長為 2 的正 方形﹐則的長軸長為  ﹒

出 處:龍騰版《數學 4》第 4 章 二次曲線

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 14 單元 二次曲線 解題觀念:了解橢圓的定義就可解出﹒

答 案:1 5

解 析:如右圖﹐根據畢氏定理﹐得 PF2  22 12 5﹒ 由橢圓的定義﹐得長軸長為 PF1PF2  1 5﹒

D

高斯消去法

線性方程組

2 3 0 2 3 6

6

2 8

x y z x y z x y x y z

  

   

  

   



經高斯消去法計算後﹐其增廣矩陣可化簡為 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 a b c d

 

 

 

 

 

 

 

﹐則

a ﹐ b ﹐ c ﹐ d  ﹒ 出 處:龍騰版《數學 4》第 3 章 矩陣

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 13 單元 矩陣 解題觀念:會使用高斯消去法解聯立方程式就可解出﹒

答 案:a1﹐b4﹐c1﹐d 2 解 析:使用高斯消去法﹐得

1 2 3 0 2 1 3 6 1 1 0 6 1 2 1 8

 

 

 

  

 

 

 

 

1 2 3 0 0 3 3 6 0 3 3 6 0 4 4 8

 

   

 

   

 

 

 

 

1 2 3 0 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2

 

  

 

  

 

  

 

1 2 3 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0

 

  

 

 

 

 

 

1 0 1 4 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0

 

  

 

 

 

 

 

1819

2021222324

(18)

E

二元一次不等式的圖形

設 a 為一實數﹐已知在第一象限滿足聯立不等式 3 2 14 x y a x y

 

  

 的所有點所形成之區域面積為213 5 平 方單位﹐則 a ﹒

出 處:龍騰版《數學 3》第 2 章 直線與圓

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 9 單元 直線與圓 解題觀念:畫出二元一次不等式的圖形就可解出﹒

答 案: 6

解 析:當a0時﹐x3y0與x2y14的交點為 42 14 5 , 5

 

 

 ﹐ 得區域面積為1 42 147

2 7 5  5 ﹐小於213

5 ﹐得知 a 為正數﹒

(也可以由答案格式的提示知 a 不為負﹒)

如右圖﹐解 3 2 14 x y a x y

 

  

﹐得交點 P 的 y 坐標為14 5

a

因為區域面積為213

5 ﹐所以

1 14 7 1

14

14 213

2 2 5 5

aa

       ﹐

14

2 213 49 10 5

a

 

14a

2 64

a6或 22 (不合)﹒

F

條件機率

投擲一公正骰子三次﹐所得的點數依序為 a ﹐b ﹐ c ﹒在 b 為奇數的條件下﹐行列式 a b 0 b c  的機

率為 ﹒(化成最簡分數)

出 處:龍騰版《數學 2》第 3 章 機率

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 6 單元 機率 解題觀念:了解條件機率及行列式的定義就可解出﹒

25

2627

2829

(19)

試題大剖析

答 案:19 36

解 析:因為a b 0

b c  ﹐所以ac b2 0﹐即b2ac﹒當 b 為奇數時﹐列表討論如下﹕

b 1 3 5

b 2 1 9 25

a 1 2~6 2 3 4 5 6 5 6

c 2~6 1~6 5~6 4~6 3~6 2~6 2~6 6 5~6

個數 5 30 2 3 4 5 5 1 2

合計共 5 30 2 3 4 5 5 1 2 57         (個)﹒

根據條件機率的定義﹐得

   

 

2

2 57 19

| 6 3 6 36

n b b ac P b ac b

n b

    

  為奇 為奇且

為奇 ﹒

G

平面方程式

如 右 圖 所 示 ﹐ ABCD EFGH為 一 長 方 體 ﹒ 若 平 面 BDG 上 一 點 P 滿 足 1 2

A P3 A BA Da A E﹐則實數 a ﹒(化成最簡分數)

出 處:龍騰版《數學 4》第 2 章 空間中的平面與直線方程式

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 12 單元 空間中的平面與直線 解題觀念:建立坐標系﹐再使用平面的截距式解出﹒

答 案:4 3

解 析:如右圖﹐建立坐標系﹐各點坐標為

C

0,0,0

D d

,0,0

B

0, ,0b

G

0,0,g ﹐

A d b

, ,0

E d b g ﹐

, ,

由截距式﹐得平面 BDG 的方程式為 x y z 1 d   b g設點 P 的坐標為

x y z ﹐ , ,

因為 1 3 2

APABADa AE﹐所以

, ,

1

,0,0

 

2 0, ,0

 

0,0,

, 2 ,

3 3

xd y b z  d  ba g db ag﹐

得 2 3

xd ﹐ y b﹐ zag﹐即 P 的坐標為 2 , , 3

d b ag

  

 

 ﹒

30

31

(20)

參考公式及可能用到的數值

1. 首項為 a ﹐公差為 d 的等差數列前 n 項之和為

2

1

 

2 n a n d

S  

 ﹔

首項為 a ﹐公比為 r (r1)的等比數列前 n 項之和為

1

1 a rn

S r

 

 ﹒ 2. 三角函數的和角公式﹕sin

A B

sin cosA Bcos sinA B

cos

A B

cos cosA Bsin sinA B

tan

 

tan tan

1 tan tan

A B

A B A B

  

 ﹒

3. ABC 的正弦定理﹕ 2

sin sin sin

a b c

ABCR( R 為 ABC 外接圓半徑)

ABC 的餘弦定理﹕c2a2 b2 2abcosC﹒ 4. 一維數據 X ﹕x ﹐1 x ﹐…﹐2 x ﹐ n

算術平均數

1 2

1

1 1 n

X n i

i

x x x x

n n

    

標準差

 

2

1

1 n

X i X

i

n x

 

2 2

1

1 n

i X

i

x n

n

  

   

 

5. 二維數據

X Y ﹕,

 

x y ﹐1, 1

 

x y2, 2

﹐…﹐

x yn, n

﹐ 相關係數

  

1 ,

n

i X i Y

i X Y

X Y

x y

r n

 

 

 

迴歸直線(最適合直線)方程式 ,

 

Y

Y X Y X

X

yrx

    ﹒

6. 參考數值﹕ 2 1.414 ﹐ 3 1.732 ﹐ 52.236﹐ 62.449﹐ 3.142﹒ 7. 對數值﹕log 210 0.3010﹐log 310 0.4771﹐log 510 0.6990﹐log 710 0.8451﹒

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