數學科

大考風向球

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_{陳清風／桃園高中}

2

4

戰地記者龍騰報導

近幾年來，學測儼然成為升上大學的主要管道，今年的試題難度適中，鑑別度高。

因而，這份學測試題更受到多方關注。

今年試題是採用 99 課綱的第四年，整體而言，題目靈活，文字閱讀量少，計算 量適中，只要掌握基本觀念就能作答，難度適中，出現好幾題不錯的題目（如第 6、

11、13、C、D、G 題），是一份有鑑別度的試題。這也意味著數學將是決定今年總級 分高低的關鍵科目。

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前言

甄選入學已成升大學主流，今年「繁星推薦入學」共有 69 所大學、1729 個學系參加，提供 1 萬 5735 個招生名額，另「個人申請入學」則有 71 所大學、1964 個學系參加，招生名額 5 萬 5732 個，兩 個管道總計招生名額超過 7 萬個，寫下歷年新高。臺大等多所頂尖大學甄選比率都超過五成，交大近 七成，清大近八成。使得這份學測試題受到多方的關注。

99 課綱將數學課程的內容簡化，102 年首次採用此課綱命題，一般預測考題會比往年簡單，但卻 是出乎大家意料之外的難。而 103 年第二次採用，則將難易度調回來了，是一份難易適中的試題。104 年第三次採用，又是意外的難。今年（105 年）第四次採用，再擺盪回適中的一方。

現就個人見解，針對今年的試題提出以下幾點分析與建議。

歷年題型分配

今年試題的題型沒有改變，仍然包含單選題、多選題及選填題三大題，各大題的題數略有更動，

但總題數（20 題）及配分（每題 5 分）則維持不變。

題型

年度 單選題 多選題 選填題 總題數 102 年 6 6 8 20 103 年 6 6 8 20 104 年 4 6 10 20 105 年 6 7 7 20

105 學測命題特色

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105學測試題分布

今年試題的分布如下表（單元名稱的劃分是依據 99 課綱）：

冊 章 單元名稱 題號 配分 小計

一

1 數與式 7,8 10

25 2 多項式函數 1,10 10

3 指數、對數函數 4 5

二

1 數列與級數 6 5

2 排列、組合 A 5 25

3 機率 13,F 10

4 數據分析 11 5

三

1 三角 2,12 10

25 2 直線與圓 3,E 10

3 平面向量 B 5

四

1 空間向量 無 0

2 空間中的平面與直線 5,9,G 15 25

3 矩陣 D 5

4 二次曲線 C 5

觀察上表後，有以下看法：

1. 若以冊來分類，配分相當平均，每一冊各占四分之一（各 25 分）。

2. 第四冊第一章空間向量雖然沒配到分，但其實在第 9，G 兩題的解題過程中，是需要用到它的。

3. 若以章來分類，試題的分布涵蓋每一單元，這應是歷年學測的命題原則。

試題評析

底下針對今年數學考題作評析：

1. 第 1 題：這個難度很適合放第 1 題。

2. 第 2 題：三角函數值結合中位數出題，很新穎。

3. 第 3 題：要多注意



^xy



^{2 1 }



^{x y 1}



^{x  y 1}



⁰這類方程式的圖形，這算 100 年學測題

「方程式

2 2 2 2

2 2 2 2 0

5 4 3 2

x y x y

  

  

  

   的圖形」的考古題吧！

4. 第 4 題：典型的半衰期考古題。

5. 第 5 題：只要能寫出直線的方程式，再進一步求出與平面的交點就可解出，是有鑑別度的一題。

6. 第 6 題：考等比級數求和公式，再結合估計的設計，有創意。

7. 第 7 題：這題型是第一冊第一章主要的重點，考生應都練習過，放在多選題的第一題，很合理。

8. 第 8 題：學測常會出現不需用到高中數學就可解出的生活題，此題就是。但若沒發現甲商場奇異果 的 5 顆裝單價低於 6 顆裝單價，應會錯兩個選項，此題就零分了。

9. 第 9 題：數據簡潔，能掌握既不平行也不相交的判定法就能解出。但若選項中能有對稱比例式及參 數式的出現，會更具廣度。

10. 第 10 題：具鑑別度的多項式函數考題。第 4 選項應是為第 5 選項而設計的吧？

11. 第 11 題：調分數的考題很多，但用對數函數調的題目卻不多見，很新穎。但第 5 選項要在短時間 內找到反例，很不容易，相信很多人是憑直覺回答的吧！

12. 第 12 題：SSA 型的題目，考生應不陌生。

13. 第 13 題：5 個選項共問了 10 個機率，真的要很細心、有耐心才能完全答對。

14. 第 A 題：這是有兩個限制條件的排列組合題目，除了解析中的解法外，也可以用排容原理解出。

15. 第 B 題：這是 99 課綱的新題目，也是龍騰版課本第三冊3-4例題6，只改數據的類似題。 16. 第 C 題：除了用橢圓的定義解外，也可使用正焦弦長的公式解得。

17. 第 D 題：此題的出現，會使常被忽視的「高斯消去法」受到大家的重視。

18. 第 E 題：出題者善用填充題格式的設計，提示a 不為負，降低題目的難度，很用心。

19. 第 F 題：不難，但要有系統、有耐心才能答對。

20. 第 G 題：設 C 為原點的坐標系，再利用截距式寫出平面 BDG 的方程式，可降低難度。或將長方體 視為邊長為 1 的正立方體，也可降低難度。

21. 缺「概念題」：往年都有那種「筆在手中轉轉就可答對的題目」，今年很缺乏。

22. 數據美化：數據的設計可看出命題者的用心。

23. 選項細膩：答案與選項相同的設計可避免考生誤答，如單選第 1,3 題。

24. 圖形題目較往年少。

25. 跨章節的題目夠多。

結語

整體而言，題目靈活，文字閱讀量少，計算量適中，只要掌握基本觀念就能作答，難度適中，出 現好幾題不錯的題目（如第 6、11、13、C、D、G 題），是一份有鑑別度的試題。這也意味著數學將 是決定今年總級分高低的關鍵科目。

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大考中心所列數學考科的測驗目標，為評量考生是否具備「概念性」、「程序性」及「解題能力」

等三方面的知識與能力。學測應以評量前二項為主，較偏向概念性知識與程序性知識。往年這三方面 知能的試題各約占三分之一，今年應符合這個組題原則。相信大考中心會審慎檢視這份試卷，讓來年 的試題都符合學測評量的目標。

在 99 課綱的框架內，對未來學測的命題趨勢有以下幾點看法：

1. 基本概念：著重基本概念的靈活應用，一直是學測命題的中心想法，加強基本概念的練習是必做的 基本功夫。

2. 情境題：生活化的試題年年都有，也是必然的命題趨勢，由於這類試題往往會比一般題目為長，所 以應培養仔細閱讀題目的耐性，以及加強將問題與教材連結的能力。

3. 熱門單元：有幾個預期會考的單元沒出現，反而可能會成為明年的大熱門，值得注意。例如：拉格 朗日插值法、迴歸直線、貝氏定理、轉移矩陣等。

4. 三星以下的單元：指考對標示三星以下的單元是不直接命題的，這些單元往往會出在學測，例如：

二次曲線（一星），數列與級數（二星），數與式（二星）等。

5. 跨章節題：學測從 14 個單元中命 20 題，必然會有幾題涵蓋兩個單元以上，也藉此提高試題的鑑別 度。因此，加強單元與單元之間的連結能力，多練習跨章節的題目，才能在眾多考生中勝出。

以上提出個人淺見供大家參考，尚祈前輩先進們不吝賜教。

未來命題趨勢

第壹部分：選擇題（占 65 分）

（此份試卷解題係依據大學考試中心於 105 年 1 月 23 日所公告之答案為主）

說明： 第1題至第 6 題﹐每題有 5 個選項﹐其中只有一個是正確或最適當的選項﹐請畫記在答案卡 之「選擇（填）題答案區」﹒各題答對者﹐得 5 分﹔答錯﹑未作答或畫記多於一個選項者﹐

該題以零分計算﹒

1

二次函數的最大值與最小值

設 f x 為二次實係數多項式﹐已知

 

^{f x 在}

 

^{x2時有最小值1且 f}

 

^{3 3﹒請問 f}

 

^{1 之值為下列}

哪一選項﹖

(1) 5 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5)條件不足﹐無法確定﹒

出 處：龍騰版《數學 1》第 2 章 多項式函數

《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 2 單元 多項式函數 解題觀念：能利用最小值設出多項式 f x ﹐再代點便可解出﹒

 

答 案：(3)

解 析：因為 ^{f x 在}

 

^x2時有最小值1﹐所以可設 ^{f x}

  

^{a x2}



^{21﹐a0﹒}

又因為 ^f

 

^{3   a 1 3﹐所以a2﹐即}

^{f x}

  

^{2 x2}



^21﹒

因此^f

 

^{1   2 1 3﹐故選(3)﹒}

一﹑單選題（占 30 分）

試題大剖析

2

^{正弦函數值的定義}

請問 sin 73﹐ sin146﹐ sin 219﹐ sin 292﹐ sin365這五個數值的中位數是哪一個﹖

(1) sin 73 (2) sin146 (3) sin 219 (4) sin 292 (5) sin365﹒

出 處：龍騰版《數學 3》第 1 章 三角

《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 8 單元 三角 解題觀念：知道正弦函數值及中位數的定義﹐便可解出﹒

答 案：(5)

解 析：利用換算公式﹐將角度化為銳角﹐得

 

sin146 sin 180   34 sin34﹐

 

sin 219 sin 180    39 sin39﹐

 

sin 292 sin 360    68 sin 68﹐

 

sin365 sin 360   5 sin5﹒

因為在 0～ 90的範圍內﹐正弦值為正且角度愈大值愈大﹐所以 sin73 sin146 sin365 sin 219 sin 292﹒

得知中位數為 sin365﹐故選(5)﹒

3

^{圓與直線的交點}

坐標平面上兩圖形₁﹐₂的方程式分別為﹕1 :



x1



²y²1﹐2 :



xy



² 1﹒請問₁﹐₂ 共有幾個交點﹖

(1)1個 (2) 2 個 (3) 3 個 (4) 4 個 (5) 0 個﹒

出 處：龍騰版《數學 3》第 2 章 直線與圓

《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 9 單元 直線與圓 解題觀念：能畫出₁與₂圖形就可解出﹒

答 案：(2)

解 析：由圓的標準式知﹐₁是圓心為



^1,0



^{﹐半徑為1的圓﹒}

因為



^xy



^{2    1 x y 1或x  y 1﹐}

所以₂為二平行直線x y 1與x  y 1﹒ 由右圖得知﹐兩圖形共有 2 個交點﹐

4

^{指數的應用}

放射性物質的半衰期 T 定義為每經過時間 T ﹐該物質的質量會衰退成原來的一半﹒鉛製容器中有 兩種放射性物質 A ﹐ B ﹐開始紀錄時容器中物質 A 的質量為物質 B 的兩倍﹐而120 小時後兩種物 質的質量相同﹒已知物質 A 的半衰期為 7.5 小時﹐請問物質 B 的半衰期為幾小時﹖

(1) 8 小時 (2)10 小時 (3)12 小時 (4)15 小時 (5) 20 小時﹒

出 處：龍騰版《數學 1》第 3 章 指數﹑對數函數

《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 3 單元 指數﹑對數函數 解題觀念：了解半衰期的定義﹐再利用指數的運算解出﹒

答 案：(1)

解 析：設 B 的半衰期為 T 小時﹐且開始記錄時 B 的質量為 n ﹒依題意﹐得

120 120

1 7.5 1

2 2 2

n    n   T ﹐ 約去 n ﹐得

16 120

1 1 2 2 2

   T

   

    

15 120

1 1 2 2

   T

   

    ﹐ 即 120

15 T ﹐解得T8﹐故選(1)﹒

5

空間中平面與直線的交點

坐標空間中一質點自點^P



^1,1,1



^{沿著方向 a }



^{1, 2, 2}



等速直線前進﹐經過 5 秒後剛好到達平面 3 28

x y z 上﹐立即轉向沿著方向 ^{b  }



^{2, 2, 1}



依同樣的速率等速直線前進﹒請問再經過幾秒 此質點會剛好到達平面x2上﹖

(1)1秒 (2) 2 秒 (3) 3 秒 (4) 4 秒 (5)永遠不會到達﹒

出 處：龍騰版《數學 4》第 2 章 空間中的平面與直線

《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 12 單元 空間中的平面與直線 解題觀念：能寫出直線的參數式﹐及求直線與平面的交點﹒

答 案：(2)

試題大剖析

解 析：設質點到達兩平面的點分別為 Q 與 R ﹐如右圖所示﹒

將參數式

1 : 1 2

1 2

x t

PQ y t

z t

  

  

  



（ t ）代入x y 3z28﹐得



^{1  t}

 

^{1 2t}

 

^{3 1 2 t}



^{283 5 t 28t5﹐}

即^Q



^6,11,11



^﹒

再將參數式

6 2 : 11 2

11

x s

QR y s

z s

  

  

  



（ s ）代入x2﹐得

6 2 s 2 s2﹐ 即^R



^2,15,9



^﹒

因為 6 2 15 5 QR

PQ   ﹐所以經過 2 5 2

 5 秒到達 R 點﹐

故選(2)﹒

6

^{等比級數的和}

設 a 為一等比數列﹒已知前十項的和為_n

10

1 k 80

k

a





 ﹐前五個奇數項的和為

1 3 5 7 9 120

a    a a a a  ﹐請選出首項a 的正確範圍﹒ ₁

(1)a₁80 (2)80 a₁ 90 (3)90 a₁ 100 (4)100 a₁ 110 (5)110a₁﹒ 出 處：龍騰版《數學 2》第 1 章 數列與級數

《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 4 單元 數列與級數 解題觀念：能使用等比級數的和公式﹒

答 案：(4)

解 析：設公比為 r ﹐利用等比級數的和公式﹐得

 

 

10 1

10 1

2

1 80 1

1 120 1

a r r a r r

 

 

 

 

 

 



﹐

兩式相除﹐得 2

1  r 3 1

r 3﹐因此

10

1

1 1

1 80 1

3 3

a        

10

1

1 320 1 3 3 a       ﹒

因為 1 10

1   1﹐所以 320 a  ﹐

說明： 第 7 題至第13 題﹐每題有 5 個選項﹐其中至少有一個是正確的選項﹐請將正確選項畫記在 答案卡之「選擇（填）題答案區」﹒各題之選項獨立判定﹐所有選項均答對者﹐得 5 分﹔答 錯1個選項者﹐得 3 分﹔答錯 2 個選項者﹐得1分﹔答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答 者﹐該題以零分計算﹒

7

^{數線上的幾何}

下列各方程式中﹐請選出有實數解的選項﹒

(1) x  x 5 1 (2) x   x 5 6 (3)x   x 5 1 (4) x  x 5 6 (5) x   x 5 1﹒

出 處：龍騰版《數學 1》第 1 章 數與式

《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 1 單元 數與式 解題觀念：要善用 a b 等於數線上^{A a 與}

 

^{B b 的距離﹒}

 

答 案：(2)(3)(5)

解 析：在數線上﹐ x  x 0 表^{P x 與}

 

^O

 

^{0 的距離﹔ x5 表P x 與}

 

^A

 

^{5 的距離﹒}

(1) 分兩種情形討論﹕

(i)若 P 在 OA 上﹐則 x   x 5 OA5﹒ (ii)若 P 在 OA 外﹐則 x  x 5 OA5﹒ 即 x   x 5 5﹐得知此選項錯﹒

(2) 當x 0.5或 5.5 時﹐滿足 x   x 5 6﹒ (3) 當x3時﹐滿足 x   x 5 1﹒

(4) 分兩種情形討論﹕

(i)若 P 在 OA 上﹐則 x   x 5 5﹒ (ii)若 P 在 OA 外﹐則 x  x 5 5或 5 ﹒ 得知此選項錯﹒

(5) 當x2時﹐滿足 x   x 5 1﹒ 故選(2)(3)(5)﹒

二﹑多選題（占 35 分）

(i) P 在 OA 上

(ii) P 在 OA 外

試題大剖析

8

^數的大小

下面是甲﹑乙兩個商場的奇異果以及蘋果不同包裝的價格表﹐例如﹕甲商場奇異果價格

「 35 元／一袋 2 顆」表示每一袋有 2 顆奇異果﹐價格 35 元﹒

甲商場售價

奇異果價格 20 元／一袋1顆 35 元／一袋 2 顆 80 元／一袋 5 顆 100 元／一袋 6 顆 蘋果價格 45 元／一袋1顆 130 元／一袋 3 顆 260 元／一袋 6 顆 340 元／一袋 8 顆 乙商場售價

奇異果價格 18 元／一袋1顆 50 元／一袋 3 顆 65 元／一袋 4 顆 95 元／一袋 6 顆 蘋果價格 50 元／一袋1顆 190 元／一袋 4 顆 280 元／一袋 6 顆 420 元／一袋10 顆 依據上述數據﹐請選出正確的選項﹒

(1) 在甲商場買一袋 3 顆裝的蘋果所需金額低於買三袋1顆裝的蘋果 (2) 乙商場的奇異果售價﹐一袋裝愈多顆者﹐其每顆單價愈低

(3) 若只想買奇異果﹐則在甲商場花 500 元最多可以買到 30 顆奇異果

(4) 如果要買12 顆奇異果和 4 顆蘋果﹐在甲商場所需最少金額低於在乙商場所需最少金額 (5) 無論要買多少顆蘋果﹐在甲商場所需最少金額都低於在乙商場所需最少金額﹒

出 處：龍騰版《數學 1》第 1 章 數與式

《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 1 單元 數與式 解題觀念：計算出每一顆水果的單價後﹐再作分析﹒

答 案：(1)(2)(4)

解 析：計算每一包裝一顆水果的價錢（依題中的順序﹐四捨五入至小數第一位）﹕

甲商場 乙商場

奇異果 20 17.5 16 16.7 奇異果 18 16.7 16.3 15.8 蘋果 45 43.3 43.3 42.5 蘋果 50 47.5 46.7 42 結論﹕除甲的奇異果 5 顆裝較 6 顆裝便宜及甲的蘋果 3 顆裝與 6 顆裝每顆單價相同外﹐

一袋裝愈多顆者其每顆單價愈低﹒

(1) 一袋 3 顆裝130 元低於三袋1顆裝 3 45 135  （元）﹒

(2) 由乙商場的分析表得知﹐此選項正確﹒

(3) 買 5 顆裝六袋及1顆裝一袋﹐需 6 80 1 20   500（元）﹐可買 31顆﹒

(4) 甲﹕最少需



^{2 80 1 35  }

 

^{ 1 130 1 45 }



^{370（元）﹒}

乙﹕最少需 2 95 1 190 380    （元）﹒

得知甲低於乙﹒

(5) 錯﹗當買 40 顆蘋果時﹐甲最少需 5 340 1700  （元）﹐乙最少需 4 420 1680  （元）﹐

此時甲高於乙﹒

9

^{歪斜線的判定}

下列各直線中﹐請選出和 z 軸互為歪斜線的選項﹒

(1) ₁ 0 : 0 L x

z

 

  (2) ₂ 0

: 1

L y

x z

 

  

 (3) ₃ 0

: 1

L z

x y

 

  

 (4) ₄ 1 : 1 L x

y

 

  (5) ₅ 1 : 1 L y

z

 

  ﹒

出 處：龍騰版《數學 4》第 2 章 空間中的平面與直線

《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 12 單元 空間中的平面與直線 解題觀念：空間中﹐若兩直線既不平行也不相交﹐則兩直線歪斜﹒

答 案：(3)(5)

解 析：將 z 軸及 5 個選項的方程式均改寫為參數式﹕

z 軸﹕

0 0 x y z t

 

 

 

（ t ）﹐L ﹕_{1 1} 0 0 x y t z

 

 

 

（t₁ ）﹐L ﹕₂

2

2

0 1 x t y z t

 

 

  



（t₂ ）﹐

L ﹕3 3

1 3

0 x t

y t

z

 

  

 



（t₃ ）﹐L ﹕₄

4

1 1 x y z t

 

 

 

（t₄ ）﹐L ﹕₅

5

1 1 x t y z

 

 

 

（t₅ ）﹒

(1) z 軸與L 聯立﹐解得₁ x0﹐y0﹐z0﹐即交一點



^{0,0,0 ﹒}



(2) z 軸與L 聯立﹐解得₂ x0﹐y0﹐z1﹐即交一點



^{0,0,1 ﹒}



(3) z 軸與L 聯立﹐無解﹐即不相交﹒ ₃

又方向向量vz 



^0,0,1



與v3 



1, 1,0



不平行﹐所以歪斜﹒

(4) 因為方向向量 vz 



^0,0,1



與 v4 



0,0,1



平行﹐所以不是歪斜﹒

(5) z 軸與L 聯立﹐無解﹐即不相交﹐ ₅

又方向向量vz 



^0,0,1



與v5 



1,0,0



不平行﹐所以歪斜﹒

故選(3)(5)﹒

試題大剖析

10

^{多項式方程式}

設 a ﹐ b ﹐ c 皆為正整數﹐考慮多項式 ^{f x}

 

^{x4ax3bx2cx2}﹒請選出正確的選項﹒

(1) ^{f x}

 

^{0無正根 (2) f x}

 

^{0一定有實根 (3)f x}

 

^{0一定有虛根}

(4) ^f

 

^{1  f}

 

^1 的值是偶數 (5)若a  c b 3﹐則 ^{f x}

 

^{0有一根介於 1 與 0 之間﹒}

出 處：龍騰版《數學 1》第 2 章 多項式函數

《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 2 單元 多項式函數 解題觀念：了解根的意義及勘根定理便可解出﹒

答 案：(1)(4)(5)

解 析：(1) 若r0﹐則 ^{f r}

 

^{r4ar3br2 cr 2}恆正﹐即必不等於 0 ﹒ 因此 ^{f x}

 

^{0無正根﹒}

(2) 錯﹗如 ^{f x}

 

^



^{x2 x 1}



^x22



^{0的四根為 1 3}

2

  i

﹐ 2i﹐沒有實根﹒

(3) 錯﹗如 ^{f x}

  

^{ x1}

 

^{3 x2}



^{0的四根為 1 ﹐ 1 ﹐ 1 ﹐ 2 ﹐沒有虛根﹒}

(4) ^f

 

^{1  f}

  

          ^{1 1 a b c 2}

 

^{1 a b c 2}



 ^{6 2b}為偶數﹒

(5) 因為 ^f

 

      ^{1 1 a b c 2}



^b ³

 

^{a c} 



⁰且 ^f

 

^{0  2 0﹐}

所以根據勘根定理得知﹐在 1 與 0 之間至少有一實根﹒

故選(1)(4)(5)﹒

11

對數函數及一維數據分析

一個 41人的班級某次數學考試﹐每個人的成績都未超過 59 分﹒老師決定以下列方式調整成績﹕原 始成績為 x 分的學生﹐新成績調整為 ₁₀ 1

40log 60 10 x

  

 

  分（四捨五入到整數）﹒請選出正確的選項﹒

(1) 若某人原始成績是 9 分﹐則新成績為 60 分

(2) 若某人原始成績超過 20 分﹐則其新成績超過 70 分 (3) 調整後全班成績的全距比原始成績的全距大

(4) 已知小文的原始成績恰等於全班原始成績的中位數﹐則小文的新成績仍然等於調整後全班成績 的中位數

(5) 已知小美的原始成績恰等於全班原始成績的平均﹐則小美的新成績仍然等於調整後全班成績的 平均（四捨五入到整數）﹒

出 處：龍騰版《數學 2》第 4 章 數據分析

解題觀念：了解對數函數圖形的性質﹐及數據分析的名詞之意義就可解出﹒

答 案：(1)(2)(4)

解 析：令新成績為 y 分﹐利用對數的運算公式﹐得

^{40log 1 60 40 log}

 

¹



^log10



⁶⁰

10

y x   x   ^40log



^{x 1}



^20﹒

(1) 若x9﹐則y40log10 20 60﹒ (2) 若x20﹐則

y40log 21 20 40 log3 log7







20 40 0.4771 0.8451







2072.888﹒ (3) 錯﹗如班上最低分 9 分最高分 39 分﹐則調整後成績的全距為



40log 40 20

 

 40log10 20



40 log 40 log10







40log 440 0.6020 24.08﹐ 小於原始成績的全距 39 9 30  ﹒

(4) 因為函數^y40log



^{x 1}



²⁰為嚴格遞增函數﹐所以調整前後每人的名次不變﹐因此小 文的新成績仍為中位數﹒

(5) 錯﹗如班上原始成績為

0 分 8 人﹐ 9 分 21人﹐15 分12 人﹐平均 9 分﹐

則調整後的成績為

20 分 8 人﹐ 60 分 21人﹐ 40log16 20 68  分12 人﹐平均約 55 分﹒

此時若小美原成績 9 分（等於平均）﹐但新成績 60 分卻不是新成績的平均﹒

故選(1)(2)(4)﹒

12

^解三角形

在△ABC中﹐已知  A 20 ﹐AB5﹐BC4﹒請選出正確的選項﹒

(1)可以確定B的餘弦值 (2)可以確定 C 的正弦值 (3)可以確定△ABC的面積 (4)可以確定△ABC的內切圓半徑 (5)可以確定△ABC的外接圓半徑﹒

出 處：龍騰版《數學 3》第 1 章 三角

《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 8 單元 三角 解題觀念：知道 SSA 不能唯一決定三角形﹒

答 案：(2)(5)

解 析：滿足條件的三角形共有△ABC₁與△ABC₂兩個三角形﹐如下圖﹕

試題大剖析

設AC B₂ ﹐則ABC₂ 160 ﹐AC B₁ 180 ﹐ABC₁   20 ﹒ (1) 因為^{cos 160}



^{ }



^{不恆等於cos}



^{ 20}



﹐所以 cos B 的值不確定﹒

(2) 因為^{sin 180}



^{ }



^{sin﹐即}sinAC B1 sinAC B2 ﹐所以 sinC 的值確定﹒

(3) 由圖知﹐△ABC₁的面積小於△ABC₂的面積﹒

(4) 由圖知﹐△ABC₁的內切圓半徑小於△ABC₂的內切圓半徑﹒

(5) 根據正弦定理﹐兩個三角形的外接圓半徑均為 4 2sin 20﹒ 故選(2)(5)﹒

13

^機率

甲﹑乙﹑丙﹑丁四位男生各騎一台機車約 A ﹐ B ﹐ C ﹐ D 四位女生一起出遊﹐他們約定讓四位女 生依照 A ﹐B ﹐C ﹐D 的順序抽鑰匙來決定搭乘哪位男生的機車﹒其中除了 B 認得甲的機車鑰匙﹐

並且絕對不會選取之外﹐每個女生選取這些鑰匙的機會都均等﹒請選出正確的選項﹒

(1) A 抽到甲的鑰匙的機率大於 C 抽到甲的鑰匙的機率 (2) C 抽到甲的鑰匙的機率大於 D 抽到甲的鑰匙的機率 (3) A 抽到乙的鑰匙的機率大於 B 抽到乙的鑰匙的機率 (4) B 抽到丙的鑰匙的機率大於 C 抽到丙的鑰匙的機率 (5) C 抽到甲的鑰匙的機率大於 C 抽到乙的鑰匙的機率﹒

出 處：龍騰版《數學 2》第 3 章 機率

《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 6 單元 機率 解題觀念：找出樣本空間﹐再比較各機率﹒

答 案：(4)(5)

解 析：因為 B 認得甲的鑰匙﹐所以 (1)

 

⁼¹

P A 抽到甲 4﹐

 

^{=3 1 1 3}

4 2 8 P C抽到甲    ﹒ (2)

 

⁼³

P C 抽到甲 8﹐

 

^{=3 1 1 1 3}

4 2 8 P D抽到甲     ﹒

(3)

 

⁼¹

P A 抽到乙 4﹐

 

^{= 1 1 2 1 1}

4 3 4 2 3

A A

P B        

抽到甲 沒抽到甲

抽到乙 ﹒

(4)

  

⁼



⁼¹

P B抽到丙 P B抽到乙 3﹐

 

^{= 1 2 1 2 1 1 5}

4 3 2 4 2 2 24

A A

P C          

抽到甲 沒抽到甲

抽到丙 ﹒

(5)

 

⁼³

P C 抽到甲 8﹐

  

⁼



^{= 5}

P C抽到乙 P C抽到丙 24﹒

第貳部分：選填題（占 35 分）

說明： 1.第 A 至 G 題﹐將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（14 － 31）﹒

2.每題完全答對給 5 分﹐答錯不倒扣﹐未完全答對不給分﹒

A

^{排列組合與矩陣的相等}

考慮每個元（或稱元素）只能是 0 或1的 2 3 階矩陣﹐且它的第一列與第二列不相同且各列的元素 不能全為零﹐這樣的矩陣共有 個﹒

出 處：龍騰版《數學 2》第 2 章 排列﹑組合 《數學 4》第 3 章 矩陣

《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》 第 5 單元 排列﹑組合 第 13 單元 矩陣 解題觀念：了解矩陣相等的定義﹐及乘法原理便可解出﹒

答 案：42

解 析：因為 2 3 階矩陣 a b c d e f

 

 

 有二列三行﹐所以有 6 個元﹒

先排第一列﹐並排除皆排 0 ﹐有2³ 1 7 種﹐再排第二列﹐並排除皆排 0 ﹐也有2³ 1 7種﹐

因此共有 7 7 49  種﹒

又當排完第一列時﹐若第二列與第一列排相同﹐則兩列相同﹐因此兩列相同的排法有 7 種﹒

故所求的排法共有 49 7 42  種﹒

B

^{二階行列式的應用}

坐標平面上 O 為原點﹐設 ^{u }

 

^{1, 2 ﹐ v }

 

^{3, 4 ﹒令為滿足 OPx uy v 的所有點 P 所形成}

的區域﹐其中1

2 x 1﹐ 1 3 y 2

   ﹐則的面積為 平方單位﹒（化成最簡分數）

出 處：龍騰版《數學 3》第 3 章 平面向量

《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 10 單元 平面向量 解題觀念：會使用二階行列式求平行四邊形的面積﹒

答 案：7 2

解 析：如圖所示﹐的面積等於 u 與 v 所張出之 平行四邊形面積的1 1 7

4  2 3 4倍﹐即 7 1 2   7 7﹒

○¹⁶

○¹⁷

○¹⁴○¹⁵

試題大剖析

C

^{橢圓的定義}

從橢圓的兩焦點分別作垂直於長軸的直線﹐交橢圓於四點﹒已知連此四點得一個邊長為 2 的正 方形﹐則的長軸長為  ﹒

出 處：龍騰版《數學 4》第 4 章 二次曲線

《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 14 單元 二次曲線 解題觀念：了解橢圓的定義就可解出﹒

答 案：1 5

解 析：如右圖﹐根據畢氏定理﹐得 PF₂  2² 1² 5﹒ 由橢圓的定義﹐得長軸長為 PF₁PF₂  1 5﹒

D

^{高斯消去法}

線性方程組

2 3 0 2 3 6

6

2 8

x y z x y z x y x y z

  

   

  

   



經高斯消去法計算後﹐其增廣矩陣可化簡為 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 a b c d

 

 

 

 

 

 

 

﹐則

a ﹐ b ﹐ c ﹐ d  ﹒ 出 處：龍騰版《數學 4》第 3 章 矩陣

《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 13 單元 矩陣 解題觀念：會使用高斯消去法解聯立方程式就可解出﹒

答 案：a1﹐b4﹐c1﹐d 2 解 析：使用高斯消去法﹐得

1 2 3 0 2 1 3 6 1 1 0 6 1 2 1 8

 

 

 

  

 

 

 

 

1 2 3 0 0 3 3 6 0 3 3 6 0 4 4 8

 

   

 

   

 

 

 

 

1 2 3 0 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2

 

  

 

  

 

  

 

1 2 3 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0

 

  

 

 

 

 

 

1 0 1 4 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0

 

  

 

 

 

 

 

﹐

○¹⁸ ○¹⁹

○²⁰ ○²¹ ○²² ○²³○²⁴

E

^{二元一次不等式的圖形}

設 a 為一實數﹐已知在第一象限滿足聯立不等式 3 2 14 x y a x y

 

  

 的所有點所形成之區域面積為213 5 平 方單位﹐則 a ﹒

出 處：龍騰版《數學 3》第 2 章 直線與圓

《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 9 單元 直線與圓 解題觀念：畫出二元一次不等式的圖形就可解出﹒

答 案： 6

解 析：當a0時﹐x3y0與x2y14的交點為 42 14 5 , 5

 

 

 ﹐ 得區域面積為1 42 147

2 7 5  5 ﹐小於213

5 ﹐得知 a 為正數﹒

（也可以由答案格式的提示知 a 不為負﹒）

如右圖﹐解 3 2 14 x y a x y

 

  

 ﹐得交點 P 的 y 坐標為14 5

a

﹒

因為區域面積為213

5 ﹐所以

^{1 14 7 1}



¹⁴



^{14 213}

2 2 5 5

a a

       ﹐





14



² 213 49 10 5

a

 





^14a



^{2 64}

a6或 22 （不合）﹒

F

^條件機率

投擲一公正骰子三次﹐所得的點數依序為 a ﹐b ﹐ c ﹒在 b 為奇數的條件下﹐行列式 a b 0 b c  的機

率為 ﹒（化成最簡分數）

出 處：龍騰版《數學 2》第 3 章 機率

《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 6 單元 機率 解題觀念：了解條件機率及行列式的定義就可解出﹒

○²⁵

○²⁶○²⁷

○²⁸○²⁹

試題大剖析

答 案：19 36

解 析：因為a b 0

b c  ﹐所以ac b ² 0﹐即b²ac﹒當 b 為奇數時﹐列表討論如下﹕

b 1 3 5

b 2 1 9 25

a 1 2～6 2 3 4 5 6 5 6

c 2～6 1～6 5～6 4～6 3～6 2～6 2～6 6 5～6

個數 5 30 2 3 4 5 5 1 2

合計共 5 30 2 3 4 5 5 1 2 57         （個）﹒

根據條件機率的定義﹐得

   

 

2

2 57 19

| 6 3 6 36

n b b ac P b ac b

n b

    

  為奇 為奇且

為奇 ﹒

G

^{平面方程式}

如 右 圖 所 示 ﹐ ABCD EFGH 為 一 長 方 體 ﹒ 若 平 面 BDG 上 一 點 P 滿 足 1 2

A P3 A B A D a A E﹐則實數 a ﹒（化成最簡分數）

出 處：龍騰版《數學 4》第 2 章 空間中的平面與直線方程式

《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 12 單元 空間中的平面與直線 解題觀念：建立坐標系﹐再使用平面的截距式解出﹒

答 案：4 3

解 析：如右圖﹐建立坐標系﹐各點坐標為

^C



^0,0,0



^{﹐D d}



^,0,0



^﹐B



^{0, ,0b}



^﹐G



^{0,0,g ﹐}



則^{A d b}



^{, ,0}



^{﹐E d b g ﹐}



^{, ,}



由截距式﹐得平面 BDG 的方程式為 x y z 1 d   b g ﹒ 設點 P 的坐標為



^{x y z ﹐ , ,}



因為 1 3 2

AP AB ADa AE﹐所以



^{, ,}



¹



^,0,0

 

^{2 0, ,0}

 

^0,0,



^{, 2 ,}

3 3

xd y b z  d  b a g d  b ag﹐

得 2 3

x d ﹐ y b﹐ zag﹐即 P 的坐標為 2 , , 3

d b ag

  

 

 ﹒

○³⁰

○³¹

參考公式及可能用到的數值

1. 首項為 a ﹐公差為 d 的等差數列前 n 項之和為



²



¹

 

2 n a n d

S  

 ﹔

首項為 a ﹐公比為 r （r1）的等比數列前 n 項之和為



¹



1 a rn

S r

 

 ﹒ 2. 三角函數的和角公式﹕^sin



^{A B}



^{sin cosA Bcos sinA B﹐}

^cos



^{A B}



^{cos cosA Bsin sinA B﹐}

^tan

 

^{tan tan}

1 tan tan

A B

A B A B

  

 ﹒

3. ABC 的正弦定理﹕ 2

sin sin sin

a b c

A B C  R（ R 為 ABC 外接圓半徑）

ABC 的餘弦定理﹕c²a² b² 2abcosC﹒ 4. 一維數據 X ﹕x ﹐₁ x ﹐…﹐₂ x ﹐ _n

算術平均數



1 2



1

1 1 ⁿ

X n i

i

x x x x

n n





    



^﹐

標準差

 

²

1

1 ⁿ

X i X

i

n x

 







 ^{2 2}

1

1 ⁿ

i X

i

x n

n 



  

   

 





^﹒

5. 二維數據



^{X Y ﹕,}

 

x y ﹐1, 1

 

x y2, 2



﹐…﹐



x yn^, n



﹐ 相關係數

  

1 ,

n

i X i Y

i X Y

X Y

x y

r n

 

  

 





﹐

迴歸直線（最適合直線）方程式 ,

 

Y

Y X Y X

X

y  r  x 

    ﹒

6. 參考數值﹕ 2 1.414 ﹐ 3 1.732 ﹐ 52.236﹐ 62.449﹐ 3.142﹒ 7. 對數值﹕log 2₁₀ 0.3010﹐log 3₁₀ 0.4771﹐log 5₁₀ 0.6990﹐log 7₁₀ 0.8451﹒