數學統測最前線

統測數學 A 考情趨勢與考題剖析

108 年統測數學 A 考情趨勢

一、試題分析

108 年數學(A)各章節出題分配算歷年來最平均的一屆，唯同學最害怕的對數（ log ） 一題都沒有，對認真且付出大量時間去弄懂此部分的同學算是一大遺憾！整份試卷的 難度較去年差異不大，但有些題目是以往統測，甚至坊間參考書少見的題型，看似不 難，但實際計算會發現程度中等以下的學生難以在時間內做完！所以平均分數可能會 較去年下降 4～6 分左右。

基本公式題：

第1題：向量的基本公式代入求解。

第 7 題：簡單的直線排列與機率的結合。

第8題：常態分布。

第11題：扇形弧長及面積公式的使用。

第13 題：多項式乘法，最簡單的一題。

第16 題：利用斜率公式及兩直線垂直斜率相乘為  。 1 第 22 題：簡單的組合題型。

第 23題：利用圓外一點到圓的切線段長公式求解。

第 25題：利用  的公式及等差、等比級數求和的公式即可解題。

數學統測最前線

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◆ 108 年統測數學 A 考情趨勢與考題剖析（P.1）

◆ 108 年統測數學 B 考情趨勢與考題剖析（P.13）

◆ 108 年統測數學 C 考情趨勢與考題剖析（P.23）

108 年

基本概念題：

第 3題：基本的任意角三角函數求值。

第 5 題：倍數與次方的應用。

第 9 題：圖表的判讀。

第14 題：最常見的排列題型，只需注意個位數為0 與個位數非0 要分開算即可求解。

稍微有點變化題：

第 2 題：利用根與係數的關係求解。

第 4 題：利用兩點求向量的觀念即可解題。

第10 題：因式分解後，利用 sin  的值域判斷即可。

第12 題：利用除法原理及餘式定理解題。

第18 題：利用相異兩點在直線同側或異側公式解題。

第 21題：列出所有可能情形即可。

第 24 題：等比數列公式。

需思考與計算較難的題目：

第 6 題：利用圓周上的點與 x 軸距離長短判斷。

第15 題：利用正三角形三邊長相等的觀念解題。

第17 題：二次函數恆負的條件。

第19 題：繪出二元一次不等式圖形後，利用可行解區域求出目標函數的最大值。

第 20 題：二次方程式根的性質與立方差公式。

二、配分比例表

單元名稱 題數 單元名稱 題數

直線方程式 2 圓與直線 2

三角函數及其應用 3 數列與級數 2

向量 2 排列組合 2

式的運算 4 機率 2

指數與對數及其運算 1 統計 2

不等式及其應用 3

數學 A 參考公式

1. 若  、  為一元二次方程式 ax

²

 bx c   的兩根，則 0 b

    ^ a 、 c

  。 a 2. 首項為 a ，公差為 d 的等差數列，前 n 項之和為

₁

 2

1

 1  

n

2

n a n d

S  

 。

3. 首項為 a ，公比為 r （

₁

r  ）的等比數列，前 n 項之和為 1

¹

 ¹ 

1 a r

n

S r

 

 。 4. 常態分配：

單選題（每題 4 分，共 100 分）

( ) 1. 設  ^{a }   ^3,1

、  ^{b  }  ^1,2 

、  ^{c }   ^3,8

，且    c  x a  y b

，則 x y   (A) 7 (B)5 (C)3 (D) 2 。

( ) 2. 已知 a、b 為一元二次方程式 x

²

 7 x  15 0  的兩根，則下列何者是以 2a、2b 為兩根的方程式？

(A) x

²

 14 x  30 0  (B) x

²

 14 x  60 0  (C) x

²

 14 x  30 0  (D) x

²

 14 x  60 0  。

( ) 3. ^{tan 225   sec 30}  ^{  }  ^{csc120  }

(A)1 (B) 1  (C) 4 3

1  3 (D) 4 3 1 3

  。

總 分

108 統測數學 A 考題剖析

( ) 4. 若 A、B 為直線3 x  4 y  上相異的兩點，且向量 5 ^AB  ^   ^{a b ,}

，則 6 a  8 b   5 (A) 10  (B) 5  (C)5 (D)10 。

( ) 5. 同學在細菌培養的實驗中，發現 A 細菌從開始經 3 小時數目由 500 成長至 600 ，假設 A細菌呈指數函數成長，試問從開始經 9 小時， A細菌的數目最 接近下列哪一個數？

(A) 720 (B)864 (C)1037 (D)1800 。 ( ) 6. 平面上三個圓方程式，分別為

圓 A： x

²

 y

²

 4 x  8 y  16 0  ， 圓 B ： x

²

 y

²

 4 x  10 y  19 0  ， 圓C ：  ^{x  1}  

²

^{ y  3} 

²

^{ ， 4}

設三圓的圓心同時以相同速率往 x 軸方向做垂直移動，且 a 、 b 、 c 分別表 示圓 A、 B 、C 最早碰觸 x 軸所需時間，則下列何者正確？

(A) a b c   (B) a c b   (C)b a c   (D)c b a   。

( ) 7. 幼兒園中從大、中、小班各派二位小朋友共六位，由左向右排成一列玩遊 戲，若每位小朋友排在任一位置機率相同，則同班小朋友均相鄰的機率為 何？

(A) 1

120 (B) 1

90 (C) 1

30 (D) 1 15 。

( ) 8. 某校高三有 2000 位學生，數學段考成績呈常態分布，平均成績 65分，標準 差8分，小明預估成績在高三數學排名介在3至50 名之間，則合乎他預估分 數的最接近區間為何？

(A)  ^65,81  ^(B)  ^57,73  ^(C)  ^81,89  ^(D)  ^{87,95 。} 

( ) 9. 國內自101年至105 年藥妝零售業每年銷售額的長條圖，如圖(一)，而其中 105 年藥妝零售業銷售分配圓形圖，如圖(二)，求該年銷售分配比重最高的 前二類銷售金額差距為何？（單位：億元）

圖(一) 圖(二)

(A) 411.6 (B)394.8 (C) 284.6 (D)176.4。

( ) 10. 已知 sin

²

  cos

²

  3sin   ，且 0 1

2

 

  ，則   (A)15 (B)30 (C) 45 (D)60 。

( ) 11. 若一扇形的面積為 27 2

 ，弧長為 9 2

 ，則此扇形的圓心角為何？

(A) 4

 (B) 3

 (C) 2 3

 (D) 3 4

 。

( ) 12. 已知多項式 ^{f x 除以}   ^{x  得到商式 1 g x 以及餘數}   ^{3，且 g x 除以}   ^{x  得到 2}

餘數 6 ，則 ^{f x 除以}   ^{x  的餘數為何？ 2}

(A) 6 (B)9 (C)15 (D) 21。

( ) 13. 將  ^x

⁵

^{ x}

⁴

^{ x}

³

^{ x}

²

^{  x 1}  ^x

²

  展開，可得下列何式？ ^{x 1} 

(A) x

⁷

 x

⁶

 x

⁵

 x

⁴

 x

³

 x

²

  x 1 (B) x

⁷

 x

⁶

 x

⁵

 x

⁴

 x

³

 x

²

  x 1

(C) x

⁷

 2 x

⁶

 3 x

⁵

 3 x

⁴

 3 x

³

 3 x

²

 2 x  1 (D) x

⁷

 2 x

⁶

 3 x

⁵

 3 x

⁴

 3 x

³

 3 x

²

 2 x  。 1

( ) 14. 由 0、1、2、3、4、5、 6 七個數字中取三個相異數字排成三位數的偶數，

則方法有幾種？

(A) 60 (B)90 (C)105 (D)120 。

( ) 15. 已知正三角形 ABC 的三個頂點分別為 ^{A a b 、}   ^{, B}  ^{ 1,1}  ^{、 C}  ^{1, 1}  ，則 ab  

(A)1 (B) 2 (C)3 (D) 4 。

( ) 16. 設直線 L 通過 ^{A k}  ^{ ,2}  ^{、 B}  ^{1,2 k 兩點，且與直線}  L

2

: x  5 y   互相垂直， 5 0 則 k 

(A) 7

 (B) 3 3

 (C) 7 9

11 (D) 11 9 。

( ) 17. 設 a 為實數，若 ax

²

 2 ax  2 a   的解為任意實數，則下列何者正確？ 3 0 (A) a   (B) 3 3    (C) 0 a 0   (D) a 3 a  。 3

( ) 18. 已知兩直線 L

₁

: x  2 y   和 3 0 L

₂

: 2 x y    ，若 A、 B 二點在 1 0 L 的異側

₁

且 A、C 二點在 L 的同側，其中

₂

A、B、C 三點坐標分別為 ^A  ^{ 2, k}  ^{、 B k}   ^,3

和 ^C    ，則實數 k 的範圍為何？ ^{k k ,} 

(A) 1 1 3 k 2

   或3   (B) k 5 1

2   (C) k 5 1

k   3 或 k  (D)無解。 3

( ) 19. 某飼料工廠製造一包豬飼料需要大豆5 公斤、玉米 2 公斤；製造一包雞飼料 需要大豆 2 公斤、玉米3公斤；此工廠共有大豆 200 公斤、玉米180 公斤，若 每包豬飼料可獲利 22 元，且每包雞飼料可獲利 44 元，試求其可獲得之最大 利潤為何？

(A) 2310 元 (B) 2480 元 (C) 2560 元 (D) 2640 元。

( ) 20. 已知 a 為實數，若一元二次方程式  ^{a  1}  ^x

²

^{ a x}

³

^  ^a

²

   的解為兩相 ^{a 1}  ⁰

同實根，則 a 

(A) 3 (B)

³

3 (C) 2 (D)

³

2 。

( ) 21. 甲生忘了金融卡密碼的最後三個數字 abc ，但他記得 a b c   ，均為 1、2、

3、4、5、6 中的數字，且其和 a b c   為5 的倍數，若甲生依上述條件猜測 一組密碼，則甲生猜中的機率為何？

(A) 1

30 (B) 1

5 (C) 1

4 (D) 1 3 。

( ) 22. 由十男十女共二十人中選出十人，其中三個是男生，七個是女生，則有多 少種選法？

(A)120 (B)14400 (C) C

₁₀²⁰

(D) 7! 3!  。

( ) 23. 若點 ^P   ^{3,4 到圓 2 x}

²

^{ 2 y}

²

^{ 4 x  6 y}   之切線段長度為 ^{1 0} 14 2

a ，則 a  (A) 7 (B)5 (C)3 (D) 2 。

( ) 24. 設 a 為公比

_k

 的等比數列，已知 2 a a

_{1 3}

 12 ，則 a

₁²

 a

₂²

 a

₃²

 a

₄²

 (A) 219 (B) 237 (C) 246 (D) 255 。

( ) 25.

¹⁰

 

1

2

^k

3 2

k

k



  



(A) 2229 (B) 2230 (C) 2231 (D) 2232 。

108 年 統 一 入 學 測 驗 數 學 (A)

本試題答案係依據統一入學測驗中心於 108 年 5 月 6 日公布之標準答案

1.

若



A 



a a1, 2



，



B 



b b1, 2



(1) r



A 



ra ra1, 2



（

r

為實數）

(2)

 

A B 



a1b a1, 2b2



(3)

 

A  B

，則a₁ 且b₁ a₂ b₂

∵

  

c x a y b

∴

    

^{3,8 x 3,1 y 1,2}

 

^{ 3x y x , 2y}



3 3 2

2 8 3

x y x

x y y

  

 

     故x y    2 3 5

2.

根與係數的關係：

若、 為ax²bx c  之兩根，則 0 : +

:

b a c a

 

 

  



  



兩根和 兩根積

∵a 、 b 為x²7x15 0 的兩根 由根與係數的關係得：

7 15 a b a b

  

   



若一方程式的兩根為2a 、 2b 則 ^{2 2 2}

 

¹⁴

2 2 4 60 a b a b a b ab

     



   



故方程式為^{x2 }



¹⁴

 

^{x 60}



^{ 0}

即x²14x60 0

3.

三角函數值的正負判斷：

 

tan 225 sec 30  csc120



¹



¹

tan 45

cos 30 sin120

   

  

2 2

1 1

3 3

   

4.

若A x y 、



1, 1



B x y ，則



2, 2





2 1, 2 1



AB x x y y



設A x y 、



1, 1



B x y



2, 2



則AB







x2x y1, 2y1



∵A 、 B 在 3x4y 上 5

∴ ^{1 1}

2 2

3 4 5 3 4 5

x y x y

 

  













  得



2 1

 

2 1



3 x x 4 y y  0

∵^AB



^

 

^{a b,}

∴3a4b 0 6a 8b 0

   6a8b     5 0 5 5

1.B 2.D 3.A 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.B

11.D 12.B 13.D 14.C 15.C 16.A 17.A 18.A 19.D 20.D

21.C 22.B 23.C 24.D 25.C

5.

倍數與次方的概念

A 細菌每3 小時成長600 6 500 倍 5

∴A 細菌 9 小時後成長

6 3 216 5 125

  

   倍 故A 細菌數量為 216

500 864

125  個

6.

向x 軸做垂直移動就是 y 坐標的移動，圓周 上的點靠x 軸愈近則愈快碰觸到 x 軸

圓方程式：

(1)



^{x h}

 

^{2 y k}



^{2 ，圓心r2}

 

^{h k ， ,}

半徑r

(2) x²y²dx ey   ， f 0 圓心 ,

2 2 d e

  

 

 ，半徑為1 ^{2 2} 2 d  e 4f

圓A ：x²y²4x8y16 0 



^x2

 

^{2 y4}



^{2 4}

圓B ：x²y²4x10y19 0 



^x2

 

^{2 y5}



^210

圓C ：



^x1

 

^{2 y3}



^{2 4}

∴圓A 的圓心M 為₁



^2,4



^，半徑r₁^{ 2}

圓B 的圓心M 為₂

 

^{2,5 ，半徑}r2 10 圓C 的圓心M 為₃



^{1, 3 ，半徑}



r3 2

由圖得知圓A 、 B 、C 與 x 軸最近距離分別 為2 、 5 10 、1

∵向x 軸做垂直移動且碰觸 x 軸

且1 5  10 2 （距離愈遠需時愈久）

∴a b c 

7.

n 個相異物做直線排列的方法數為n! 3! 2! 2! 2! 48 1

6! 720 15 P   

  

8.

常態分布中，在平均數 個標準差之間的人2 數占全體的95% ，在平均數 3 個標準差之 間的人數占全體的99.7%

∵第50 名 50 2000 2.5%

  ，

1 2 2.5% 95%   且第3 名 3

0.15%

2000 ， 1 2 0.15% 99.7%  

∴小明分數介於平均成績加2 個標準差及平 均成績加3 個標準差之間

即小明的分數應介於65 2 8 81   分及 65 3 8 89   分之間

故選(C)

9.

直方圖與圓餅圖的圖表判斷

105 年銷售分配比重最高的前二類分別為

「化妝保養品」、「藥品及醫療用品」

∴銷售金額差距為

 

1960 47% 26% 411.6億元

10.

三角函數的平方關係：sin²cos²  ， 1 其中 1 sin 1

2 2

sin cos 3sin 1

 

2 2

sin  1 sin  3sin 1

    

2sin2 3sin 2 0

   



^{2sin 1 sin}



^{ 2}



⁰

   

sin 1

 2

  或 2 （不合， 1 sin   ） 1

∵0

2

 

 

∴  30

11.

(1) 扇形弧長 半徑 圓心角 (2) 扇形面積 1 ²

( )

 2 半徑 圓心角

扇形面積 1 ²

( )

 2 半徑 圓心角 1

2 (

 半徑 半徑 圓心角) 

1

=2半徑 弧長

∵27 1

2    半徑2 9 2



∴半徑 6

又弧長 半徑 圓心角

∴9

2   圓心角圓心角為6 3 4

12.

(1) 除法原理： ^{f x}

   

^{g x Q x}

 

^{R x}

 

^{ f x}

 

^{g x}

   

^{Q x R x}

 

(2) 餘式定理： ^{f x}

  

^{ x a}



^{的餘式為f a}

 

由除法原理知

  

¹

  

³

f x  x g x  又∵^{g x}

  

^{ x2}

  

^{q x  6}

∴^g

 

^{2  6}

由餘式定理知

  

²



f x  x 的餘式為 ^f

 

²

∴ ^f

  

^{2  2 1 }

  

^{g 2  3 g}

 

^{2  3}

6 3 9

  

13.

逐項展開再同類項合併



^{x5x4x3x2 x 1}



^{x2  x 1}



7 6 5 4 3 2

x x x x x x

     

6 5 4 3 2

x x x x x x

     

5 4 3 2 1

x x x x x

     

7 2 6 3 5 3 4 3 3 3 2 2 1

x x x x x x x

        故選(D)

14.

乘法原理：完成一件事有k 步驟 第一步：m 種方法 ₁

第二步：m 種方法 ₂ 

第k 步：m 種方法 _k

可知完成這件事共有m m₁ ₂  m_k種方法

〈法一〉

(i) 個位數為 0 時：

：6 5 30  種 (ii) 個位數分別為 2 或 4 或6 時：

：5 5 3 75   種 30 75 105  種

〈法二〉

任意排列：6 6 5 180   種

奇數排列： ：5 5 3 75   種 偶數排列 任意排列  奇數排列  180 75 105  種

15.

兩點之距離公式：設A x y 、



1, 1



B x y 為



2, 2



相異兩點，則AB



x2x1

 

² y2y1



²

∵△ABC為正三角形

∴AB AC BC 



^{a 1}

 

^{2 b 1}



²



^{a 1}

 

^{2 b 1}



²

       

 

^{2 2 22}

  

即

   

   

2 2

2 2

1 1 8

1 1 8

a b

a b

    



   



 ^{2 2}

2 2

2 2 6 2 2 6

a b a b

a b a b

    



   













  4a4b  a b0 



  ²



^a2b2



^{12a2b2 6}

又∵a b

∴2a² 6 a² 3 a  3 b

∴^{ab }

 

^{3 2 3}

16.

(1) 通過P x y 、



1, 1



Q x y 兩點的直線斜率



2, 2



為 ^{2 1}

2 1

y y x x



 （其中x₁ ） x₂ (2) 若兩直線L 與₁ L 垂直，則₂

1 2 1

L L

m m  

∵LL₂

∴m_Lm_L2   1 即^{12 k}

 

^{k2  } ^15^{ 1}

2 2 1 5

k k

 

  2k  2 5 5k

 3 k  7 7 k  3

17.

若y ax ²bx c 恆為負數，則 (1)a (2)0 b²4ac 0

∵^ax22ax



^2a  的解為任意實數 ³



⁰

即^ax22ax



^{2a  恆成立 3}



⁰

故 a 0

 判別式^{D }



^2a



^{24 2a a}



^{  3}



⁰

4a²8a²12a 0 4a²12a 0 ^4a²3a 0 ^{a a}



^{  3}



⁰

得a  或3 a 0 由得a  3

18.

(1) P x y 、



1, 1



Q x y 在直線



2, 2



: 0

L ax by c   的同側，則



^ax₁^by₁^{c ax}



₂^by₂^c



^{ 0}

(2) ^{P x y 、}



₁^, ₁



^{Q x y 在直線}



₂^, ₂



: 0

L ax by c   的異側，則



ax1by1c ax



2by2  c



0

∵A 、 B 在L 的異側 ₁

∴



^{ 2 2k3}

 

^{k   }



^{2 3}



³



⁰





^{ 2k 1}



^{k  3}



⁰





^2k1



^{k  3}



⁰

 1

k 或2 k  3 又∵A 、 C 在L 的同側 ₂

∴

 

^{2 }

 

²



^{ k 1}

 

     ^2k

^{ }

^{k 1}



⁰





^k5



^{   3k 1}



⁰





^{k5 3}



^{k  1}



⁰

 1 3 k 5

   

由

得 1 1

3 k 2

   或 3  k 5

19.

線性規劃的解法：

(1) 圖解聯立不等式，畫出可行解區域，並求 出圖形之各頂點坐標

(2) 目標函數之最大值與最小值必發生在可 行解區域之各頂點坐標上，將每一頂點分 別代入目標函數中，即可求得其最大值與 最小值

設製造豬飼料x 包，製造雞飼料 y 包

則 0 0

5 2 200 2 3 180 x

y x y x y

 

 

  

  



利潤函數為 ^{f x y}

 

^{, 22x44y}

其可行解區域圖形為：

頂點 ^{x y , A} ^{0,0 B}^40,0 ^{240 500}, 11 11

C  

 

  ^D^0,60

 ^,

22 44 f x y

x y

  0 880 2480 2640

得知最大利潤為2640 元

20.

(1) a ，0 ax²bx c  有相等實根，則判0 別式D b ²4ac 0

(2) ^{a3 1}



^a1

 

^{a2  a 1}



∵是相同實根

∴判別式^D

 

^{a3 24}

^

^a1

^ 

^{a2   a 1}



⁰

^a64



^{a3  1}



⁰

a⁶4a³  4 0



 

^{a3 24a3  4 0}





^a32



^{2 0}

a³ 2 即a³2

21.

列出所有可能之情形

∵a b c 

且a b c  為 5 的倍數 符合條件的



a b c 情形有： ^{, ,}



 

 

 

1,3,6 10 1,4,5 2,3,5 a b c



   



 



15 4,5,6 a b c  

共四種情形

∴甲生猜中密碼的機率為1 4

（從4 種情形中找出1種正確的）

22.

組合：n 中取 m 的組合方法數（C ） ⁿ_m

10 10

3 7 120 120 14400 C C   

23.

圓方程式：x²y²dx ey   ， f 0



₁^, ₁



P x y 為圓外一點，則 P 到圓的切線段長 為 x₁²y₁²dx₁ey₁ f

∵圓： ^{2 2} 1

2 3 0

x y  x y  2

∴切線段長

2 2 1

3 4 2 3 3 4

       2 9 16 6 12 1

     2

63 126 3 14 14

= 2 2 2 2

  a

∴a 3

24.

等比數列第n 項公式：a_n a r₁ ^n1

∵a a₁ ₃ 12

∴a a1  1

 

2 ²12

a₁² 3

則a₁²a₂²a₃²a₄²

 

²

   

^{2 2}

2 2 3

1 1 1 1

a a r a r a r

   

2 2 2 2 4 2 6

1 1 1 1

a a r a r a r

   

 

²

 

⁴

 

⁶

3 3 2 3 2 3 2

          3 12 48 192

   

255

25.

(1)

 

1 1 1

n n n

k k k k

k k k

a b a b

  

  

  

(2)

1 n k

c n c





  ^{（c 為常數）}

(3) 2 1 1

 

1 1 1 1

1 1

n

n a r

a a r a r a r

r

  

    

  (4) _{1 2}



¹



2 n  n n

   

 

10 1

2^k 3 2

k

k



 



10 10 10

1 1 1

2^k 3 2

k k k

k

  















^{21 22 210}



^{3 1 2}

^

¹⁰

^

        

  10 2



¹⁰

  

2 2 1 1 10 10

3 20

2 1 2

   

   



2046 165 20

  

2231

統測數學 B 考情趨勢與考題剖析

108 統測數學 B 考情趨勢

一、試題分析

1. 難易適中：

這幾年的統測試題都相當穩定，著重在概念之理解，不需太複雜的運算。

2. 試題生活化，重視數學素養：

108 課綱所強調的素養走向，在這份試題中也能窺探一二，例如：手機的詢價、

分針的轉角、獲利的期望值以及統計資料的判讀，這些都說明數學與生活之結合 應用，也將會是未來命題的主流。

3. 提升閱讀能力，刻不容緩：

從這次試題中應該不難發現：題目的鋪陳相當完整！如果沒有好的閱讀能力，就 無法抓到題目的核心，這會直接影響到作答的正確率以及間接影響作答的穩定 度。

4. 章節分布，大致平均：

不知是否受 108 課綱之影響，拋物線、橢圓、雙曲線這次皆沒有入題，而正、餘 弦定理為往年命題之熱門方向，但今年也未出現！其他各章節都有出題，分布還 算平均！

二、配分比例表

單元名稱 題數 單元名稱 題數

直線方程式 3 不等式及其應用 2

三角函數 3 排列組合 2

向量 1 機率 2

指數與對數及其運算 2 統計 2

數列與級數 1 三角函數的應用 1

式的運算 1 二次曲線 1

方程式 2 微積分及其應用 2

108 年

數學 B 參考公式

1. 首項為 a ，公比為 r （ r  ）的等比數列前 n 項之和為 1  ¹ 

1 a r

n

S r

 

 2. 若  、  為一元二次方程式 ax

²

 bx c   的兩根，則 0 b

    ^ a 、 c

  a 3. 相異物的直線排列數

 ^!  ^!

n r

P n

 n r

 、不可重複的組合數

 ^! 

! !

n r

C n

r n r

  、 重複組合數 H

ⁿ_r

 C

^{r n}_r^{ 1}

4. ^sin  ^{  }  ^{ sin cos    cos sin   、 cos}  ^{  }  ^{ cos cos    sin sin  }

單選題（每題 4 分，共 100 分）

( ) 1. 甲同學想要網購某支特定手機，上網逛了 7 家購物網站後，告訴好友說： 「該 款手機的價差不大，在100 元以內」。試問甲所說的話中，應用了下列哪一 種統計量？

(A)四分位距 (B)全距 (C)標準差 (D)百分位數。

( ) 2. 假設分針原始指在時鐘12 的位置，現將分針依順時針的方向轉了 2019。試 問下列敘述何者正確？

(A)分針指在9 跟10 之間 (B)分針指在 7 跟8之間 (C)分針指在5 跟 6 之間 (D)分針指在3跟 4 之間。

( ) 3. 下列何值與 log 5 相等？

₂

(A) log5 log 2  (B) 5

log 2

   

  (C) log50

log 20 (D) log 25 log 4 。 ( ) 4. 若方程式 3 x

²

 39 x k   的兩根為連續整數，則 k  0

(A)168 (B)126 (C)84 (D) 42 。

( ) 5. 已知直線 L 之斜率為 2 ， x 截距為 3。試問 L 與兩坐標軸所包圍三角形之面 積為何？

(A) 9

4 (B) 9

2 (C) 6 (D)9 。

總 分

108 統測數學 B 考題剖析

( ) 6. 設 f x 為三次多項式，已知   ^f   ^{  且 1 4 f}   ^{  2 f}   ^{1  f}   ^{3  。試問 0 f x}  

除以 x  之餘式為何？ 2

(A) 6  (B) 2  (C)3 (D)5 。

( ) 7. 設 x 、 y 為實數，且 x  2 y  10 。試問 ^{f x y}   ^{,  x}

²

^{ y}

²

^{之最小值為何？}

(A) 25 (B) 20 (C)17 (D)16 。 ( ) 8. 設   ³

^{m 3}

^{ 729 且 4}

^{n m}

^ ₂₅₆ ^{1 ，則 m n  }

(A) 1  (B)0 (C)1 (D) 2 。

( ) 9. 若 a  sin  ，則下列敘述何者恆為正確？

(A) ^sin  ^{    90}  ^{a (B) cos}  ^{    90}  ^a

(C) ^sin  ^{  180   }  ^{a (D) cos}  ^{  180    。}  ^a

( ) 10. 當角度  由15上升至75 時，關於 tan  之值的變化，下列敘述何者正確？

(A)一直上升 (B)一直下降 (C)先上升後下降 (D)先下降後上升。

( ) 11. 一顆雞蛋從生產到運送至超市販售，所需的成本為 4 元，在超市的售價為5 元，其獲利由蛋農與超市平分；但運送過程中破裂或超過保存期限等因素，

超市會將雞蛋銷毀，雞蛋即無法成功銷售，超市亦不付蛋農任何款項。若 一顆雞蛋無法成功銷售的機率為 0.006，則蛋農一顆雞蛋之獲利的期望值為 多少元？

(A)0.473 (B)0.5 (C)0.967 (D)0.97。

( ) 12. 在理想環境下，將一球自離地面 30 公尺處垂直落下，球只會上下垂直來回 彈跳。若每次反彈高度為前一次高度的 2

5 ，則此球靜止前所經過的路程為多 少公尺？

(A)50 (B)60 (C)70 (D)80。

( ) 13. 某校校長想知道全校學生贊成取消早自習的比例 p，並將 p 在95% 的信心水 準下之信賴區間簡稱 95% 信賴區間，現從所有學生中隨機抽取樣本數為 36 的一組樣本，利用這 36 位學生的意見求得 p 之95% 信賴區間為  0.642,0.914 。 

若學生對早自習是否取消的意見是固定不變的，則下列何者為正確解讀？

(A) 該校約有95% 的學生贊成取消早自習 (B) p 落在 64.2% 與91.4% 之間的機率為95%

(C) 若進行1000 次抽樣調查，每次皆隨機抽取樣本數為36 的一組樣本，共可 算得1000 個 p 之95% 信賴區間，其中約有950 個區間會包含 p

(D) 若進行1000 次抽樣調查，每次皆隨機抽取樣本數為36 的一組樣本，共可 算得1000 個學生贊成取消早自習的樣本比例，其中約有 950 個會落在

64.2% 與 91.4% 之間。

( ) 14. 若拋物線 y ax 

²

 之開口向上且與 x 軸沒有交點，則下列敘述何者正確？ b (A) a  ， 0 b  (B) 0 a  ， 0 b  (C) 0 a  ， 0 b  (D) 0 a  ， 0 b  。 0 ( ) 15. 已知直線 L 為

₁

y m x 

₁

、直線 L 為

₂

y m x 

₂

。若 m 、

₁

m 的值皆為 2、

₂

1

2 或 1

 2 三種數字之一，彼此取值互為獨立，且三種數字出現的機率相同，則 L 和

₁

L

₂

相互垂直的機率為何？

(A) 4

9 (B) 1

3 (C) 2

9 (D) 1 9 。

( ) 16. 如圖(一)所示，使用8種不同顏色塗在圖中標號 A、B、C 、 D 、 E 的5 個格子內，顏色不可重複使用，若規定同一格 子僅塗同一顏色，則共可塗出幾種不同的著色樣式？

(A) P

⁸₅

(B) C

⁸₅

(C) 5

⁶

(D) 6 。

⁵

( ) 17. 若實數 x 滿足行列式

1 2 0

4 6 2 2 4

0 3 1

x

x



  ，則

2 3 1

0 6 2

1 1 1

x x





  

(A) 4 (B) 4  (C)8 (D) 8  。

( ) 18. 設函數 ^{f x}   ^{ 3 x}

²

^{ 2 x  。試問曲線 1 y  f x}   ^{在 x  及 1 x  之間與 x 軸所 2}

包圍之區域的面積為何？

(A)5 (B) 7 (C)9 (D)11。

( ) 19. 設函數 ^{f x}   ^{ x}

³

^{ x}

²

^{  。試問 x 2 f }   ^{1  f }   ^{1 之值為何？}

(A)1 (B) 2 (C) 4 (D) 6 。

( ) 20. 小明在平地上測得某一直立高樓的頂端之仰角為 45。他面向該高樓向前直 行30 公尺之後，測得高樓頂端之仰角為 60。試問小明第二次測仰角時，距 離高樓的底部約多少公尺？

(A)30 (B) ¹⁵  ^{3 1  (C)}  ¹⁵  ^{3 1}  (D) 45。 

( ) 21. 設   ^{x y 滿足 , y  、 0 0   、 2 x 4    x 2 y  ，試問 2 f x y}   ^{,   之最大 x y}

值為何？

(A)1 (B) 2 (C)3 (D) 4 。

圖(一)

( ) 22. 全班共 40 位同學（座號1至 40 號），導師想挑選 7 位學生進行家庭訪問，先 以簡單隨機抽樣從1到 6 號抽出1個號碼，再依系統抽樣每間隔 6 號找出次一 位學生，若超出 40 號以上，則 41號就是1號， 42 號就是 2 號，依此類推。

試問 2 號被抽中的機率為多少？

(A) 1

3 (B) 7

40 (C) 1

6 (D) 1 7 。

( ) 23. 如圖(二)所示，以O 為原點的直角坐標系上有四 點，由左至右依序為 A、 B 、C 、 D ，其中 A落在 第二象限， B 、C 、 D 落在第一象限，且直線 BC 與直線 OD 的交點落在 O 、 D 兩點之間。已知

90

 AOD  ，且 BC 

與 OD 

的內積為 0。若向量 OD 

分別與向量OA 

、 OB 

、 OC 

及 OD 

求內積，依次得 到 a 、b 、 c 及 d 四個數值，則下列何者正確？

(A)b a c d    (B)b c d a    (C) a b c d    (D) d b c a    。 ( ) 24. 已知向量 a 

、  b

、  c 及  d

分別自   ^{1,0 、}   ^{0,1 或}   1,1 三向量中選取出來，

例如：  ^{a }   ^1,0

、  ^{b }   ^0,1

、  ^{c }   ^0,1

、  ^{d }   ^1,1

，或  ^{a }   ^1,1

、  ^{b }   ^0,1

、

  ^1,0

c 

 、  ^{d }   ^1,0

等等皆屬可能的選取情形。若計算     a    b c d 所有 可能的情形後，則可得到幾種不同的結果？

(A)10 (B)15 (C) 20 (D)3

^

。

( ) 25. 已知一圓方程式 x

²

 y

²

 2 x  6 y   。若直線 y b 9 0  與該圓有交點，則下 列敘述何者正確？

(A) b  (B) 5 b   (C) 1 4    (D) 2 b 1   。 b 4

圖(二)

108 年 統 一 入 學 測 驗 數 學 (B)

本試題答案係依據統一入學測驗中心於 108 年 5 月 6 日公布之標準答案

1.

(1) 理解各項統計量的意義 (2) 全距= 最大值 最小值

甲同學上網比價之結論為「價差在100 元以 內」，表示甲同學之詢價的最高與最低差距小 於100 ，由此可知：甲應用了統計中的全距 之概念。

2.

(1) 鐘面上有 60 小格，每格所對之圓心角

  6

(2) 最小正同界角之概念

∵2019 360 5219

∴最小正同界角219 而219     6 36 3

表示分針最後停在36 ～ 37 格

分針指在 7 與8 之間

3.

熟悉log 之運算規則

(A) 5 ₂

log5 log 2 log log 5

  2 (B) 5 ₂

log log 5 2

(C) log50 _{20 2} log 50 log 5 log 20 

(D) 2

2

4 2 2

log 25

log 25 log 5 log 5 log 4   

4.

二次方程式的根與係數關係：

若ax²bx c  的兩根為0 、 ，則

(1) b

   ^a (2) c

 a

方程式3x²39x k  的兩根和為 0



³⁹



₁₃

3

   ，兩根積為 3 k

又∵兩根為連續整數

∴令兩根為a 、a 1

^a



^{a 1}



^{13a 6}

可知兩根為6 、 7

∴ 6 7 126 3

k    k

5.

(1) 理解x 截距

(2) 已知斜率與x 截距，求直線方程式

∵x 截距為 3 ∴直線通過點

 

^3,0

又∵直線斜率為2

∴直線L 之方程式為^{y 0 2}



^{x 3}



 2x y   （如圖） 6 0 3 0

0 6 x

y 

可知 3 6

2 9 OAB 

  

1.B 2.B 3.D 4.B 5.D 6.B 7.B 8.B 9.C 10.A

11.A 12.C 13.C 14.A 15.C 16.A 17.A 18.D 19.D 20.C

21.C 22.A 23.D 24.B 25.D

6.

(1) 因式定理與餘式定理 (2) ^{f x 的假設方式}

 

令 ^{f x}

  

^{k x2}



^x1



^{x 3}



∵ ^f

 

^{  1 4}

∴^k



^{ 1 2}



^{ 1 1}



^{   1 3}



⁴

 1 k  2

得

 

¹



²



¹



³



f x 2 x x x

由餘式定理知： ^{f x 除以}

 

^{x 之餘式為 2}

 

^{2 1}



2 2 2 1 2 3

  

2 f 2     

7.

柯西不等式：



^a2b2



^c2d2



^

^

^{ac bd}

^

²

由柯西不等式知：



^x2y2



^_^{12 }

^{ }

^{2 2}_^

^

^x2y

^

²





^x2y2



^{ 5 102}

x²y²20

故x²y²之最小值為20

8.

(1) 指數律之運用 (2) 解聯立方程組

 

^{3m 372933m 36}

3m 6

  2

   m 又^{4n m }₂₅₆^{1 }

 

^{22 n m 28}

 

2 n m 8

    4

     n m 由可得：m 且2 n  2

∴m n  0

9.

三角函數廣義角之簡化公式

(A) ^sin



^{  90}



^cos

(B) ^cos



^{   90}



^{sin   a}

(C) ^sin



^{180  }



^{sin  a}

(D) ^cos



^{180  }



^cos

10.

理解ytan中，與y 之變化關係

∵15    為第一象限角且 tan 75 為遞增 函數

∴tan之值會隨著角度之增加而持續變大

11.

(1) 數學與生活之結合，務必仔細閱讀題目 (2) 數學期望值之概念

如果雞蛋順利賣出，蛋農獲利5 4 2 0.5

  （元）

若破裂或過期，蛋農損失4 元（如表）

0.5 4 0.994 0.006

 

所得 機率

∴期望值^{0.5 0.994   }

 

^{4 0.006}

0.473（元）

12.

(1) 理解題目之意義，最好畫圖呈現

(2) 由於公比介於 1 與1之間，路程總長可以 使用收斂之無窮等比級數和公式得之 路程之分析如圖：

∴路程長

2 2 2

30 2 30 30

5 5

   

        

   

 

30 2

30 2 5 70 1 2

5

    



（公尺）

13.

(1) 理解信心水準與信賴區間之意義 (2) 數學與生活之結合

95% 的信賴區間所代表的意義是：如果不斷 重複作同樣的抽樣調查，得到很多個區間，

則其中有95% 會包含真正的母體比例p ，而 本題以1000 次調查為例，意思就是其中 950 個區間會包含p ，故選(C)

14.

(1) 理解二次函數式各項係數之意義 (2) 能繪製二次函數之圖形

∵拋物線之開口向上 ∴a  0 又∵拋物線之頂點為

 

0,b 且與 x 軸沒有交 點

∴圖形都在x 軸上方b  0 由知：a ，0 b 0

15.

(1) 理解兩線垂直之斜率關係 (2) 機率之應用

由於m 、₁ m 均有 3 種選擇且互為獨立 ₂

∴樣本空間有3 3 9  個數對樣本

又∵L₁ ∴L₂ m m₁ ₂  1





1 2



, 2, 1 m m  2

 或 1 2,2

 

 

 

由知：其機率為2 9

16.

理解排列組合之概念

∵使用8 種「不同」顏色塗在 5 個「不同」

區域

∴其著色方式有P 種 ⁸₅

17.

理解行列式之運算規則

1 2 0

4 6 2 2 4

0 3 1

x

x



 



^{1 x}



^{6 2x}

 

^{6 1 x}



^{8 4}

       6 8x 2x2 6 6x 12 0

       2x2 2x 12 0

    x²   x 6 0



^{x 3}



^{x 2}



⁰

   

∴x 或 23  (1) x 時 3

2 3 1 2 0 1

0 6 2 0 6 2

1 1 1 2 1 1

x

x





     

12 12 4 4

     (2) x  時 2

2 3 1 2 5 1

0 6 2 0 6 2

1 1 1 3 1 1

x

x





    

12 30 18 4 4

      由(1)(2)知：行列式值為 4

18.

(1) 能繪製二次函數之圖形 (2) 理解積分值與面積之關係

∵3 0 且2²    4 3 1 0

∴ ^{f x}

 

^3x22x 之圖形都在 x 軸上方 ¹ （如圖）