九十四年指定科目考試數學的一疑題

數學傳播

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, pp. 36-39

九十四年指定科目考試數學的一疑題

以 明

近年來樂透大流行, 使一般小老百姓都很會猜數字, 沒想到這股歪風也吹到指定科目上。 今 年數學甲的指定科目考試, 主考官出了一個一般人沒辦法全盤解出的題目, 還好是一選擇題, 沒 概念也可以瞎猜, 猜對了可以得到 8 分, 猜錯了會倒扣 4 分, 差距 12 分, 足以從台大電機系掉 到台大大氣科學系 (只是打個比喻)。

更好玩的是考試後, 補教界公佈的答案與大考中心的幾乎沒有交集, 除一明確公認是對的 選項外, 其他三選項你有我無, 我有你無。 在承認大考中心的答案沒錯的前提下, 也有人用超出 高中數學課程範圍的手法, 找到對稱軸不在 y-軸的拋物線。

筆者看過兩種解法, 一個是明顯錯誤的, 居然設定方程式是 (x + 3y)²+ ax + by + c = 0 的形式, 另一個超出課程範圍。 現提出的解法限制在高中程度, 計算上比較複雜。

一 . 題目

引起爭議性的題目如下:

有一條拋物線位於坐標平面之上半面 (即其 y 坐標 ≥ 0), 並與 x-軸、 直線 y = x−1、 直線 y = −x − 1 相切。 下列敘述何者正確:

(1) 此拋物線的對稱軸必為 y-軸。

(2) 若此拋物線對稱軸為 y-軸, 則其焦距為 1。 (註: 拋物線的焦距為焦點到頂點的 距離)

(3) 此拋物線的頂點必在 x-軸上。

(4) 有不只一條拋物線滿足此條件。

上面選項 (2) 確定是對的。 又 (1), (3) 與 (4) 是兩組互不相容的選項, 答案只有兩種可 能, (1)(2)(3) 或 (2)(4)。 選前者的人頭腦比較簡單, 以為拋物線的方程式不是 x² = 4py 就是

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y² = 4px; 而選後者的人頭腦比較好, 但也沒有好到足以解出整個題目。 底下是筆者用了一個 下午的時間所得到的解法。

注意到拋物線在上半平面的條件是多餘的, 因拋物線與 x-軸相切, 故不是在上半平面就是 下半平面, 又與另外兩直線 y = x − 1 與 y = −x − 1 相切, 非得在上半平面不可。

二 . 解答

現以分段式解答如下:

(一) 拋物線與三直線 y = 0, y = x − 1 與 y = −x − 1 相切。 方程式的二次項是完全平方數 且 x² 的係數不為零, 可設定方程式為

(x + λy)²+ 2ax + 2by + c = 0。

又 b = aλ 時, 方程式為

(x + λy)²+ 2a(x + λy) + c = 0, 表示退化的拋物線, 故 b 6= aλ。

(二) 拋物線與 x-軸相切, y = 0 代入時, 方程式

x²+ 2ax + c = 0 有等根, 因此 c = a², 而可進一步設方程式為

(x + λy)²+ 2ax + 2by + a² = 0, b6= aλ。

(三) 拋物線與直線 y = x − 1 相切。 現 y = x − 1 代入得

(1 + λ)²x²+ 2(a + b − λ(1 + λ))x + (λ²+ a²−2b) = 0。

上面是二次方程式且有等根, 故 λ 6= −1 且

[a + b − λ(1 + λ)]² = (1 + λ)²(λ²+ a²−2b)。

整理得出

(a + b)²−2λ(1 + λ)(a + b) = (1 + λ)²(a²−2b)。 (1)

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(四) 另由拋物線與直線 y = −x − 1 相切, 得出 λ 6= 1 且

(a − b)²−2λ(1 − λ)(a − b) = (1 − λ)²(a²−2b)。 (2) (1) + (2), (1) − (2), 去常數因數得出

a²+ b² −2λ(a + bλ) = (1 + λ²)(a²−2b) (3) ab− λ(b + aλ) = λ(a²−2b)。 (4) 整理 (4) 得出 b(a + λ) = aλ(a + λ), (b − aλ)(a + λ) = 0, 但 b 6= aλ, 故 a = −λ。

(五) 以 a = −λ 代入 (3), 整理得

b²+ 2b = λ⁴−2λ² 或 (b + 1)² = (λ²−1)²,

解出 b = λ²−2 或 b = −λ²。 但 b = −λ² 時又使 b = aλ, 是退化的情形。 當 a = −λ, b = λ²−2, 得出拋物線方程式為

x²+ 2λxy + λ²y²−2λx + 2(λ²−2)y + λ² = 0, λ 6= ±1。

特別是 λ = 0, 得出方程式為 x² = 4y, 是以 y-軸為對稱軸的拋物線。 當然, 滿足三相切條件 的拋物線不只一條。

三 . 用常識判斷

其實二次曲線的方程式是二元二次方程式, 形如

Ax²+ 2Bxy + Cy²+ 2Dx + 2Ey + F = 0。

五個條件才足以決定出六個係數 A, B, C, D, E, F 的比值。 現所給的條件只是 (1) 拋物線, 即 B² = AC。

(2) y = 0, y = x − 1, y = −x − 1 分別代入, 得出的二次方程式有等根, 這只提供 3 個條 件。

故少了一個條件, 所得到的解帶有一參數。

現回到原先的問題上面, (2) 的選項是對的。 當拋物線的對稱軸是 y 軸且與 x 軸相切時, 方程式必是 y = ax² 的形式, 又與直線 y = x − 1 相切, 二次方程

ax² = x − 1, ax²− x+ 1 = 0

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有等根, 而解出 a = ¹₄。 拋物線是 x² = 4y, 頂點在 (0,0), 焦點在 (0,1) 之間的距離是 1。

要是 (4) 的選項是對的話, (1)(3)的選項就不成立. 想拉出一拋物線時與三直線相切, 並 不容易, 較省力的方式在一般式

(x + λy)²+ 2ax + 2by + a² = 0, b6= aλ

中設定 λ, a, b 之一是定值, 但這樣做有冒險性, 萬一沒有解時需重新設定, 而重新再來一次, 故 倒不如一開始就不設定。

四 . 試題好不好

很顯然, 這不是一公平的考題, 大部份的考生不會有充分的時間去解出整個問題, 取代的 方式只是去猜, 考試的方式到這種地步, 是不是有些出題人員對高中數學太生疏? 不會創造新題 目, 也該有辦法用現有的題目更改數據。 早期大專聯考有人去抄襲日本的試題, 連數據也一成不 變, 這當然不能再發生, 但像這樣連高中老師都解不出的題目, 最好留著自己先研究研究, 待自 己有了研究成果才拿出來考試, 否則補教界上門討標準答案, 若提不出令人心服口服的解法, 恐 怕會使數學界招架不住。