中華大學

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中華大學碩士論文

奈米流體飽和多孔性介質之熱對流研究 Convective Heat Transfer in Nanofluid-Saturated

Porous Medium

系所別：機械工程學系碩士班學號姓名：M09808016 張永杰指導教授：許隆結博士

中華民國 100 年 8 月

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摘要

本論文針對奈米流體在飽和多孔性介質內進行流場分析，假設流體為牛頓流體同時滿足 Boussinesq 近似，並且考慮以達西(Darcy)模型來描述流體的動量方程式。因為多孔性介質固體與液體處於熱不帄衡狀態，把固體與液體溫度分開表述，所以要加入固液之間的熱傳；液體溫度分布除了一般的能量方程式之外，還加入影響奈米粒子移動的布朗運動(Brownian Motion)和熱泳效應(Thermophoresis)。

文中將探討各種不同參數，如達西熱雷里數(Thermal Rayleigh-Darcy Number, Ra)，濃度雷里數(Concentration Rayleigh Number,Rn)，尼爾德數(Nield Number, NHS)，修正擴散率比值(Modified Diffusivity Ratio, N_A)，修正奈米粒子密度增加量 (Modified Particle-Density Increment, N_B)，對奈米流體於多孔性介質中流場之影響。

由模擬的結果顯示，在不同的達西熱雷里數(Ra)下，會讓溫度梯度產生的浮力隨著Ra值增大而變大，使流體的熱對流效應變強，此對流會攪拌奈米粒子，使其分散均勻。而濃度對流會讓奈米粒子呈現層狀分布，越靠近底板奈米粒子濃度越高，同時濃度雷里數Rn的增大，會使流場有分岔的現象。

固液處於熱不帄衡狀態，因此流體與固體溫度場才會有差異，但隨著尼爾德數 (N_HS)的增大，流體與固體溫度場會趨於一致，形成熱帄衡狀態。修正擴散率比值(N_A)，

則會使奈米粒子更快速的往溫度梯度方向移動，使低溫面和底板的濃度升高。修正奈米粒子密度增加量(N_B)，會直接影響流體溫度場的變化，因此N_B影響熱對流的流場分布很大，而對濃度對流的流場影響則相當小。

關鍵字: 奈米流體、多孔性介質、熱泳

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ABSTRACT

This paper investigated convective flow pattern in a Newtonian nanofluid-saturated porous medium. The Darcy model and the Boussinesq approximation are utilized in the momentum equation to simulate flow velocity in the porous media. A local non-equilibrium model is applied to describe the fluid/solid interface heat transfer by using two equations to describe the temperatures of the solid and fluid separately. The transport of nanoparticle due to both Brownian motion and thermophoretic effect are considered in the fluid energy equation.

The effects of various mechanisms on the flow pattern is discussed in terms of dimensionless parameters such as Thermal Rayleigh-Darcy Number (Ra ), Concentration Rayleigh Number (Rn), Nield Number (N_HS), Modified Diffusivity Ratio (N_A), and Modified Particle-Density Increment (N_B). Simulations indicate that the increase of thermal buoyancy has the effect to stir the flow which results in a uniform dispersion of nanoparticles. On the contrast, the increase of concentration buoyancy makes a bottom-heavy stratification of nanoparticles. Flow bifurcations occur as Rn increases.

There is local temperature difference between solid and fluid phases under local non-equilibrium model. As the Nield Number increases to infinity, solid and liquid come to the same temperature to achieve a local thermal equilibrium. The increase of N_A indicates an increase of thermophoretic force to move nanoparticles to the low-temperature plate. Hence, with concentration convection, the nanoparticels aggregate on the low-temperature and bottom plates as N_A increases. The direct impact of N_B on the system is to affect the fluid temperature. As a result, N_B has a strong influence on thermal convection while shows tiny influence on concentration convection.

Keywords: nanofluid、porous medium、thermophisis

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誌謝

研究生的生活跟大學時期真的天差地遠，剛入實驗室時多虧了學長龍治偉、李安城、許翔硯、黃俊嘉、陳正文的帶領，讓我了解實驗室的準則規範不誤觸地雷，也傳授一些上課經驗供我參考，使我課業不致落後。

這兩年裡，陳俊宏老師和許隆結老師除了在課業上為我解惑外，更是不時請我們實驗室的同學一起吃飯，並認識一些教授和朋友，從他們言談間學習到很多社會倫理和工作上的經驗，這對將來入職場、出社會受益良多。

在碩士學業途上，真的很感謝恩師許隆結教授的引導，設立一道道的關卡，讓我一步一步的闖過，在完成一次次的階段任務中，不知不覺間碩士論文也就接近完成，

並在最後就論文內容一節一節的討論和修改臻致大成。

實驗室的每一天，除了第一年的學長，第二年新進的學弟，還有其它間實驗室成員，更重要的則是同一年進入實驗室的藍煒智同學，不管在生活瑣事、遊戲育樂上給予種種的幫助，才使我碩士生活多采多姿、順順利利。

在大學和碩士學業上的七年，大部分的時間都待在新竹很少回家，但家裡不時打來關懷的電話，背後給予的支持使我備感窩心，成為我進步的動力，真的謝謝我最愛的家人。

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圖目錄

【圖一】多孔性介質物理模型 ... 5

【圖二】Ra=1、Rn=1、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1 條件下的(a)流線圖，

(b)濃度分布圖，(c)流體溫度分布圖，(d)固體溫度分布圖。 ... 14

【圖三】Ra=100、Rn=1、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1 條件下的(a)流線圖，

【圖四】Ra=500、Rn=1、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1 條件下的(a)流線圖，

【圖五】Ra=1000、Rn=1、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1 條件下的(a)流線圖，

【圖六】Ra=1、Rn=1-1250、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1 流場走勢圖 .... 20

【圖七】Ra=1-1000、Rn=600、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1 流場走勢圖 .. 20

【圖八】Ra=1-1000、Rn=1250、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1 流場走勢圖 . 20

【圖九】Ra=1、Rn=10、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1 條件下的(a)流線圖，

【圖十】Ra=1、Rn=100、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1 條件下的(a)流線圖，

【圖十一】Ra=1、Rn=600、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1 條件下的(a)流線圖，

【圖十二】Ra=1、Rn=1250、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1 條件下的(a)流線圖，

【圖十三】Ra=100、Rn=600、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1 條件下的(a)流線圖，

【圖十四】Ra=500、Rn=600、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1 條件下的(a)流線圖，

(7)

【圖十五】Ra=1000、Rn=600、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1 條件下的

(a)流線圖，(b)濃度分布圖，(c)流體溫度分布圖，(d)固體溫度分布圖。 ... 27

【圖十六】Ra=1、Rn=600、N_HS=1、N_A=1、N_B=1、Le=1 條件下的(a)流線圖，

【圖十七】Ra=1、Rn=600、N_HS=100、N_A=1、N_B=1、Le=1 條件下的(a)流線圖，

【圖十八】Ra=1、Rn=600、N_HS=500、N_A=1、N_B=1、Le=1 條件下的(a)流線圖，

【圖十九】Ra=100、Rn=1、N_HS=10、N_B=1、Le=10，不同N_A條件下的濃度分布圖(a) N_A=1，(b) N_A=5，(c) N_A=10，(d) N_A=15。 ... 33

【圖廿】Ra=100、Rn=1、N_HS=10、N_B=1、Le=10，不同N_A條件下的流體溫度分布圖(a) N_A=1，(b) N_A=5，(c) N_A=10，(d) N_A=15。 ... 34

【圖廿一】Ra=500、Rn=1、N_HS=10、N_A=1、N_B=5、Le=1 條件下的(a)流線圖，

【圖廿二】Ra=500、Rn=1、N_HS=10、N_A=1、N_B=10、Le=1 條件下的(a)流線圖，

【圖廿三】Ra=500、Rn=1、N_HS=10、N_A=1、N_B=15、Le=1 條件下的(a)流線圖，

【圖廿四】Ra=1、Rn=600、N_HS=10、N_A=1、N_B=5、Le=1 條件下的(a)流線圖，

【圖廿五】Ra=1、Rn=600、N_HS=10、N_A=1、N_B=10、Le=1 條件下的(a)流線圖，

【圖廿六】Ra=1、Rn=600、N_HS=10、N_A=1、N_B=15、Le=1 條件下的(a)流線圖，

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符號說明

c

奈米流體在固定壓力下的比熱 (Nanofluid Specific Heat at Constant Pressure)。

cp 奈米粒子比熱(Specific Heat of Nanoparticle Material)。

dp 奈米粒子直徑(Diameter of Nanoparticle)。

DB 布朗擴散係數(Brownian Diffusion Coefficient)。

DT 熱泳擴散係數(Thermophoretic Diffusion Coefficient)。

hfs 固液之間的熱傳係數(Fluid/Solid-Matrix Interface Heat Transfer Coefficient)

hp 奈米粒子比焓(Specific Enthalpy of Nanoparticle Material)。

H 二維層深度(Dimensional Layer Depth)。

j_p 奈米粒子的擴散通量(Diffusion Mass Flux for Nanoparticles)。

j_{p B},

布朗擴散通量(Brownian Diffusion)。

j_{p T}, 熱泳擴散通量(Thermophoretic Diffusion)。

k 奈米流體的熱傳導係數(Thermal Conductivity of Nanofluid)。

kB 波茲曼常數(Boltzmann’s Constant)。

kf 流體的熱傳導係數(Thermal Conductivity of Fluid Material)。

kp 奈米粒子的熱傳導係數(Thermal Conductivity of Nanoparticle Material)。

L 多孔性介質層寬度(Width of Porous Media)。

Le 路易斯數(Lewis Number)。

(9)

NA 修正擴散率比值(Modified Diffusivity Ratio)。

NB 修正奈米粒子密度增加量(Modified Particle Density Increment)。

NHS

流體與固體交界面的尼爾德數 (Nield Number for Fluid/Solid-Matrix Interface)。

p* 壓力(Pressure)。

p 無因次壓力(Dimensionless Pressure)。

q

相對於奈米流體速度的能量通量(Energy Flux Relative to a Frame Moving with Nanofluid Velocity v)。

Ra 達西熱雷里數(Thermal Rayleigh Darcy Number)。

Rm 基本密度雷里數(Basic Density Rayleigh Number)。

Rn 濃度雷里數(Concentration Rayleigh Number)。

t

* 時間(Time)。

t

無因次時間(Dimensionless Time)。

T* 奈米流體溫度(Nanofluid Temperature)。

T 無因次溫度(Dimensionless Temperature)。

*

TH 左邊壁面溫度(Temperature at Left wall)。

*

TL 右邊壁面溫度(Temperature at Right wall)。

u 無因次 x 方向達西速度(Dimensionless Darcy Velocity in x-directions)。

v 無因次 y 方向達西速度(Dimensionless Darcy Velocity in y-directions)。

v 奈米流體速度(Nanofluid Velocity)。

v_D 達西速度(Darcy Velocity)。

v*_D 無因次達西速度(Dimensional Darcy Velocity)。

(10)

V_T 熱泳速度(Thermophoretic Velocity)。

x

x 方向 (x-directions)。

y y 方向 (y-directions)。

希臘符號

f 流體熱擴散係數(Thermal Diffusivity of Fluid)。

 比例因子(Proportionality Factor)。

s 修正比熱容量(Modified Thermal Capacity Ratio)。

 孔隙度(Porosity)。

s 修正熱擴散率(Modified Thermal Diffusivity Ratio)。

K 滲透率(Permeability)。

 流體的黏滯性(Viscosity of Fluid)。

 奈米流體密度(Density of Nanofluid)。

f 流體密度(Density of Fluid)。

p 奈米粒子的質量密度(Mass Density of Nanoparticle)。

* 奈米粒子的體積比(Volume Fraction of Nanoparticle)。

 相對奈米粒子的體積比(Relative Nanoparticle Volume Fraction)。

 無因次流線(Dimensionless Stream)。

上標

* 有因次參數(Dimensional Variable)。

下標

f 液體的物理性質

(11)

S 固體的物理性質

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第一章緒論

1.1 研究動機

奈米技術應用已是二十一世紀產業的重要發展方向，全球各國致力於投入相關技術的研發，希望能在這個領域取得技術領先。目前，不管在食品、醫療、服飾等等…

都有各式各樣的奈米產品問市。

紡織業運用奈米技術製作的奈米衣，就是將奈米銀粒子加到衣料上面，利用銀離子抗菌除臭的特性，使衣服產生相同的效果；如果加入疏水性的奈米粒子，使衣料表面形成奈米結構，便可製造出不沾塵、不沾油、不沾水的奈米衣。

奈米食品方面，則有奈米鈣牛乳的推出，應用奈米科技將碳酸鈣超微粒化，將其粒徑減小到一百至兩百奈米左右，在液態產品中大幅提高其分散性及懸浮性，使產品更順口，並添加維生素「D3」於牛乳中，促進鈣質吸收，維持骨骼及牙齒健康。

在醫療方面則有奈米藥物的開發。奈米藥物具有顆粒小、比表面積大、表面反應活性高、吸附能力強等特性，在保證藥效的前提下，減少藥用量，減輕或消除毒副作用；為了達到上述目的，將奈米藥物傳輸到身體病灶部位，奈米藥物傳輸技術發展更是關鍵。

流體裡也有奈米的應用，在有機溶液裡加入奈米大小的金屬粒子，也就是奈米流體。目前有許多奈米流體的研究，但絕大多數都朝向奈米流體的特性或引起反應的機制進行探討，或者一些研究不同的有機溶液和奈米粒子或粒徑大小的組合，有什麼不同的效果產生。對於奈米流體在封閉容器內的流場分析研究也有，但對奈米流體在多孔性介質內卻只見穩定性分析，流場分析卻還未見，所以此論文將對奈米流體在多孔性介質裡，因其參數所造成流場的變化與影響進行探討。

奈米流體有熱傳導效率提高的特性，可應用在任何液體散熱的系統中。另外奈米藥物的傳輸，把奈米藥物投入血液中的治療不就是一種奈米流體的例子，所以透過本論文的研究，奈米流體的流場分析有助於藥物投遞治療或者散熱系統的設計進行了解與改進。

(13)

1.2 文獻回顧

Masuda et al. [1]早在 1993 年便提出在液體中分布亞微觀級的固體粒子，會有熱傳導率提高的現象。但「奈米流體」 (Nanofluid)一詞卻是在 1995 年由 Choi et al. [2]

率先提出，並定義一種基礎液體中分散著奈米級的顆粒(1-100nm)即稱為奈米流體。

文獻中奈米流體具有下列三個特性：

1. 熱傳導率異常增加的現象。Eastman et al. [3]提出在乙烯乙二醇中加入 0.3%體積分率，直徑 10nm 的銅奈米粒子，熱傳導率就提高了 40%。Das et al. [4]也有在水中加入 1-4%體積分率的鋁奈米粒子，熱傳導率提高 10-25%的研究。

2. 黏滯性異常增加的現象。Pak 和 Cho [5]量測粒徑 13nm，體積分率 1-10%鋁 -水和鈦-水的奈米流體，發現奈米流體的黏滯性比單純的水還高，遠遠超出了傳統的 Brikman-Einstein’s [6]或 Batchelor’s [7]所預測黏滯性模型。Wang et al. [8]作的粒徑 28nm，3%鋁-水的奈米流體實驗，黏滯度比水增加 25%。Maïga et al. [9]作的實驗數據跟 Wang [8]和 Lee [10]做比較，也得到相同的結果。Roy et al. [11]實驗 36nm 和 47nm 粒徑，3%鋁-水的奈米流體，黏滯度分別提升 25%和 45%。

3. 異常熱對流率增強。Pak 和 Cho [5]提出圓管裡紊流狀態下鋁-水和鈦-水的奈米流體跟 Dittus-Boelter 比較，Nusselt numbers 超過 30%的提升。Xuan 和 Li [12]

所做的銅-水紊流狀態下的奈米流體跟 Dittus-Boelter 比較，Nusselt numbers 也有超過 30%的提升現象。Pak 和 Cho [5]，Xuan 和 Li [12]，Xuan 和 Roetzel [13]假設熱對流的增強和加入流體裡分散的奈米粒子有關。

文獻[14-16]提到影響奈米粒子在流體中移動特性的機制可歸類出七個，分別為慣性 (Inertia) 、布朗擴散 (Brownian Diffusion) 、熱泳 (Thermophoresis) 、濃度擴散 (Diffusiophoresis)、Magnus Effect、引流管效應(Fluid Drainage)和重力(Gravity)，但只有布朗擴散和熱泳作用最大，其它影響有限可忽略。奈米流體的守恆方程式由 Buongiorno [16]和 Tzou [17-18]文獻中作了簡單的闡述與公式推導。

奈米流體應用於封閉容器內自然對流熱傳現象研究。Cerbino et al. [19]使用粒徑

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22nm 的矽膠-水奈米流體於圓柱模型中，進行頂部加熱底層冷卻的實驗，觀察到熱泳擴散所造成的對流現象。Ryskin et al. [20]發現奈米流體在頂部加熱底層冷卻的條件下，流體隨濃度場的發展產生對流，但在濃度場趨於穩定後減弱消逝。在國內，成大何清政教授的研究團隊針對孔穴內奈米流體的熱對流進行一系列的研究，包含數值模擬[21]及實驗量測[22],[23]，並提出 Nusselt numbers 的經驗關係式以供參考。

有關奈米流體應用於飽和多孔性介質內自然對流的研究，目前的發展大致上只針對流場的穩定性分析作研究。Nield 和 Kuznetsov [24]研究達西模型(Darcy’s Model) 的飽和多孔性介質裡的奈米流體穩定性分析，Nield 和 Kuznetsov [25]利用布里克曼模型(Brinkman’s Model)研究熱對流的穩定性分析，Nield 和 Kuznetsov [26]研究奈米流體與固體熱不帄衡狀態對飽和多孔性介質裡的奈米流體發生對流現象的影響，

Nield 及 Kuznetsov [27]則研究雙擴散奈米流體飽和多孔介質內的對流穩定性分析。

奈米流體的應用，奈米流體熱傳導效率提高的現象，曾經被討論運用在核能系統當成有效冷卻劑的可行性[28]。Kleinstreuer et al. [29]則做過微流體奈米藥物輸送的相關研究。

1.3 研究目的

由上述文獻中可知，多孔性介質內奈米流體的流場分布還沒有人進行分析，故透過模擬多孔性介質內的奈米流體研究，便可以了解奈米流體於多孔性介質內對流場的影響。

1.4 研究方法

本論文考慮一多孔性飽和介質內有奈米流體之流場分布現象，介質內的流體為牛頓流體，論文中假設流體與奈米粒子處於局部熱帄衡模式來模擬。流體的動量方程式

(15)

考慮以達西(Darcy)模型來描述，並假設流體滿足Boussinesq假設。

針對奈米流體在飽和多孔性介質的流場分析，所探討問題之統御方程式與解題過程做的推導是利用有限差分法，對空間項使用中間差分法，對時間項使用後差分法，

將數學式引入 Vorticity-Stream 函數離散化後，利用 ADI (Alternating Direction Implicit) 方法解此二維暫態問題，探討各種參數對流場、溫度場及奈米粒子分布的影響。

(16)

第二章物理模型與數學模型建立

2.1 物理模型

【圖一】多孔性介質物理模型

如【圖一】為奈米流體飽和多孔性介質層，飽和層的厚度為 H，長度為 L，左邊為高溫面T_H^*，右邊為低溫面T_L^*，上下兩端為絕熱層，奈米粒子無法穿透邊界。

模型中考慮多孔性介質中的流體與固體處於局部熱不帄衡狀態，亦即固液兩相具有不同溫度；對於奈米粒子的運動，文中將考慮布朗運動與熱泳兩機制造成奈米粒子的移動，同時能量傳遞帄衡方程式，亦將奈米粒子的移動加入考量。

2.2 數學模型

奈米流體運動方程式

有關奈米粒子的運動方程式，Buongiorno [16]詳細探討各種機制的影響，最後得到奈米粒子的守恆方程式，在此略加說明；把奈米流體當作兩種物質的混和(流體中加入奈米粒子)並符合下面的假設：

(17)

(1) 不可壓縮流(Incompressible Flow) (2) 系統不產生化學反應

(3) 忽略外部的力量 (4) 混和比很小

(5) 忽略粘滯力的損耗 (6) 忽略熱輻射

(7) 奈米粒子與流體處於局部熱帄衡狀態根據假設(1)，奈米流體的連續方程式為：

* *

v 0

   (1) 其中 v 為奈米流體的速度。

若流體與奈米粒子不產生化學反應，則奈米粒子的守恆方程式則為：

*

* * * *

*

v 1 j_p

t p

 



      

 (2)

其中為相對奈米粒子的體積分量，_p為奈米粒子的質量密度，j_p則為布朗擴散和熱泳造成的奈米粒子擴散通量，可表示成：

* *

, , *

j_p j_{p B} j_{p T} _p _B _p _T T

D D

   ^T

      (3) 其中D_B為布朗擴散係數，根據Einstein–Stokes方程式可知：

*

3

B B

p

D k T

d

 (4)

其中k_B為波茲曼常數，為流體粘滯性，d_p為奈米粒子直徑，而奈米流體受熱泳機制下的熱泳速度為：

* *

V_T *

f

T T

 



   (5)

其中_f為流體密度，為比例因子表示成：

(18)

0.262

f

f p

k k k

 

 (6)

kf和k_p分別為流體和奈米粒子的熱傳導係數。則熱泳擴散通量可表示如下：

* *

*

, *

j_{p T} _p V_T _p _T T D T

   ^

   (7)

DT為熱泳擴散係數可表示如下：

* T

f

D   

  (8) 方程式(2)和(3)可合併得到奈米粒子的守恆方程式如下：

* * *

* * * * * *

* v _B _T T*

D D

t T

  ^  ^

 

       

   (9) 假設流場滿足Boussinesq近似，則動量方程式可表示如下：

*

* * * * * *2 *

*

v v v p v + g

^^t   ^     (10)

 

* *

p 1 f

      (11)

其中 為奈米流體密度，當^*很小時，則  _f。當浮力項滿足Boussinesq近似，則可表示如下：

       

* * * *

1 1 0

g p T T g

 ^       ^ (12)

根據能量守恆，奈米流體的能量方程式可表示如下：

*

* * * * *

* v _p j_p

c T T q h

 ^^t   ^      (13) 其中c和T分別為奈米流體的比熱和溫度，h_p為奈米粒子的比焓，q則是相對於奈米流體速度 v 的能量通量，可表示如下：

* * p pj

q  k T h (14) 其中 k 為奈米流體的熱傳導係數。把方程式(14)代入方程式(13)，可改寫成如下：

(19)

 

*

* * * * * * * *

* v _{p p}j

c T T k T c T

 ^^t   ^      (15) 根據假設(7)，^*h_p  c_p ^*T^*，其中c_p為奈米粒子的比熱。再把方程式(3)代入方程式 (15)可改成如下：

 

* * * * *

* * * * * * * * * *

* v _p _p _B _T *

T T T

c T k T c D T D

t T

 ^^   ^      ^    ^ ^ ^ (16)

奈米流體在多孔性介質之熱對流

對於奈米流體在多孔性介質裡的動量方程式，以達西(Darcy)模型來描述，並假設為牛頓流體且流場滿足Boussinesq近似，多孔性介質孔隙度、滲透率K、達西速度v_Dv；溫度方程式則考慮多孔性介質固體與奈米流體在熱不帄衡狀態(Thermal Non-equilibrium)，因此以兩個方程式分別表示奈米流體與固體的溫度分布，則奈米流體在多孔性介質裡的質量、動量、能量和奈米粒子的守恆方程式可改寫如下：

* *

vD 0

   (17)

       

* * * * * * *

0 v + 1 1

D p f L

p T T g

K

 ^     ^

         (18)

  ^{ } ^{ }  

  ^{ }  

*

* * * * * * * *2 *

*

* * * *

* * * * * * *

*

1 1v 1

1

f

D f f p f

f p

f f

B f T fs s f

p

f

c c T T k k T

t

T T

c D T D h T T

T

       



   

 

          

   

   

       

(19)



1

 

_s T*^s^*



1



_s ^*2 _s^* _fs



_f^* _s^*



c k T h T T

  ^t 

     

 (20)

*2 *

*

* * * *2 *

* *

1v_D _B _T ^f

L

D D T

t T

  



 

    

 (21) 其中下標s及f分別代表多孔性介質固體與奈米流體的物理性質，h_fs為固體與奈米流體間的熱傳係數。

(20)

根據上節的物理模型，方程式(17)-(21)的邊界條件可表成：

* 0 :

x  u^*0, v^*0, ^* ^*,

T TH _*^* NA T_*^*

x x



 

    (22)

* :

x L u^* 0, v^*0, ^* ^*,

T TL _*^* _N_A ^T_*^*

x x



 

    (23)

* 0 :

y  u^*0, v^* 0, T_*^* 0, y

 



*

* 0

y



 

 (24)

* :

y H u^*0, v^*0, T_*^* 0, y

 



*

* 0

y



 

 (25) 本文中將方程式(17)-(25)配合下面參數來無因次化：



^{x y}^,



^



^{x y}^*^, ^*



^/^H^，

^{ }

^{u v}^, ^



^{u v}^*^, ^*



^H^/^^f^，p p K^* ^/f (26)

* *

f L

f

H L

T T

T T T

 

 ，

* *

s L

s

H L

T T

T T T

 

 ，tt^*_f /H² (27)

( )

f f

f

k

 c

  ，

*

* 0

 

 (28) 則可得到無因次方程式為：

v 0

  (29) 0   p v RmjRaT j_f Rnj

(30)

 

f 2

f f f f f s f

T T T T T T T T

t 



            



B A B

HS

v N N N

Le Le N (31)

 

2

NHS s

S s S f s

T T T T

t  

    

 (32)

2 2

v 1 NA

Le Le T^f

t

  



      

 (33) 而無因次邊界則改寫成：

0 :

x u0, v0, T 0.5, N_A T

x x



   

  (34) L :

x H u0, v0, T  0.5, N_A T

x x



   

  (35) 0 :

y u0, v0, T 0, y

 

 0

y



 

 (36)

(21)

1:

y u0, v0, T 0, y

 

 0

y



 

 (37) 其中無因次參數定義如下：

達西熱雷里數(Thermal Rayleigh Darcy Number)



^* ^*



=

Ra ^H ^L

f

g KH T T

 



 (38)

基本密度雷里數(Basic-Density Rayleigh Number) ⁰^*



¹ ⁰^*



= Rm ^p

f

    gKH



   

 

(39)

濃度雷里數(Concentration Rayleigh Number)

 

0^*

=

Rn ^p

f

   gKH



 (40)

路易斯數(Lewis Number) Le= ^f DB

 (41)

修正擴散率比值(Modified Diffusivity Ratio)



^* ^*



* * 0 A=

N ^T ^H ^L

B L

D T T

D T 

 (42)

修正奈米粒子密度增加量(Modified Particle Density Increment)

 

⁰^*

B=

N ^p

f

c c

 



(43) 流體與固體交界面的尼爾德數(Nield Number for Fluid/Solid-Matrix Interface)

 

2

*

1 0

NHS= ^fs

f

h H

  k (44)

修正比熱容量(Modified Thermal Capacity Ratio)

  ^{ }

  

*

1 0

= 1

f S

s

c c

  

  



 (45)

修正熱擴散率(Modified Thermal Diffusivity Ratio)

 

= ^s

 

^s

S

f f

k c

 

 (46)

二維流場分布

針對奈米流體在飽和多孔性介質中的二維流場分布，引入Vorticity-Stream函數，

(22)

可得到新的方程式如下：

2 Tf

x x

 ^ ^

  

 

Ra Rn (47)

 

1 1 2 _B _A _B

HS

N N N

Le Le

N

f f f

f f f f

s f

T T T

T T T T

t y x x y

T T

  

 

              

    

 

(48)

 

s 2

S s S f s

T T T T

t  

    

 N^HS

(49)

2 2

1 1

Tf

t y x x y

     



 

    

      

      

NA

Le Le (50) 起始條件與邊界條件分別為：

在t0時，假設奈米粒子是均勻分布，則



^{x y}^{, , 0}



¹

  (51)

0, u 0, v 0, T_f 0, T_s 0

      (52)

假設邊界壁面為不滲透，流體在邊界的速度、溫度及奈米粒子分布滿足：

0 :

x  0, u0, v0, T 0.5, N_A T

x x



   

  (53) L :

x H  0, u0, v0, T  0.5, N_A T

x x



   

  (54) 0 :

y  0, u0, v0, T 0, y

 

 0

y



 

 (55) 1:

y  0, u0, v0, T 0, y

 

 0

y



 

 (56)

(23)

第三章結果與討論

將方程式(47)-(50)配合邊界條件方程式(53)-(56)，用有限差分法將數學方程式離散化後，取格點101X101，長寬比值 /L H1進行模擬。利用 Fortran 帶入副程式

tridiagonal matrix 演算法去做數值模擬，收斂條件為

1

, ,

1 ,

n n

i j i j

n i j

f f

f 



 

 ，其中流體與固體

溫度和奈米粒子濃度的收斂條件皆取 10^⁸。將得到的模擬數據放入繪圖軟體 Tecplot 中，繪出(a)流線圖、(b)奈米粒子濃度分布圖、(c)流體溫度分布圖、(d)固體 溫度分布圖，了解溫度、流場、濃度的變化狀態，探討改變 Ra 、^Rn、N_HS、N_A、

NB這五種參數對流場的影響。

3.1 達西熱雷里數( Ra )對系統流場之影響

在此小節中，我們取Rn=1、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1，隨著達西熱雷里數Ra逐漸變大對系統流場的影響。

由【圖二(a)】在達西熱雷里數Ra=1時，流場的

 max很小，可知奈米流體流速趨近於零，所以對流還無法發生。在流體溫度與固體溫度分布方面，如【圖二(c)】

與【圖二(d)】所示，呈現出溫度的傳遞是以熱傳導的形式，由左壁高溫面往右壁低溫面傳遞；而奈米粒子則受到熱泳效應影響，如【圖二(b)】奈米粒子濃度分布圖所示，奈米粒子受溫度梯度的推動由高溫地區往低溫地區移動，故越往右奈米粒子濃度越大。

隨著達西熱雷里數Ra漸漸增大，流體開始流動起來，會由熱傳導過渡成熱對流現象，對流流線圖如【圖三(a)】所示，此時Ra=100，產生一個順時鐘流動的渦流。

流體的流動也會使溫度分布出現變化，因為溫度造成密度的改變而產生浮力，使得左邊高溫面流體往上昇，撞擊上壁面後往右移動，使得等溫線向右彎曲，右邊低溫面流體往下流動，撞擊下壁面後往左移動，造成等溫線向左彎曲，也就形成如【圖三(c)】

(24)

流體溫度與【圖三(d)】固體溫度的分布情況；且因為本文用兩條不同的溫度方程式來模擬多孔性介質的固體與液體溫度，故【圖三(c)】與【圖三(d)】明顯看出固體與液體不同的溫度分布情形。

熱對流的發生不只改變溫度分布情況，也會改變奈米粒子的濃度分布。【圖三(b)】

顯示，奈米粒子有往左下角聚集的情形發生。

當達西熱雷里數 Ra 提高到500與1000時， _max隨 Ra 值增加而變大，顯示流場速度增加，如【圖四】與【圖五】的系統流場，對流越發旺盛，流體速度越快，從而影響溫度等溫線彎曲越嚴重；此時熱對流發生，速度增加的結果對奈米粒子的分布具有攪拌的作用，奈米粒子因此隨著對流的強盛被流體帶動分布越均勻。

(25)

(a)流線圖 (b)濃度分布圖

(c)流體溫度分布圖 (d)固體溫度分布圖

【圖二】Ra=1、Rn=1、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1 條件下的(a)流線圖，(b) 濃度分布圖，(c)流體溫度分布圖，(d)固體溫度分布圖。

(26)

【圖三】Ra=100、Rn=1、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1 條件下的(a)流線圖，(b) 濃度分布圖，(c)流體溫度分布圖，(d)固體溫度分布圖。

(27)

【圖四】Ra=500、Rn=1、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1 條件下的(a)流線圖，(b) 濃度分布圖，(c)流體溫度分布圖，(d)固體溫度分布圖。

(28)

【圖五】Ra=1000、Rn=1、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1 條件下的(a)流線圖，

(b)濃度分布圖，(c)流體溫度分布圖，(d)固體溫度分布圖。

(29)

3.2 濃度雷里數( Rn )對系統流場之影響

【圖六】顯示當Ra=1時，隨Rn增大的流場變化。在Rn=1-450這一段只會有一個順時鐘的渦流影響流場，如【圖九(a)】與【圖十(a)】。從【圖九(b)】Rn=10的濃度分布圖，可以看出奈米粒子的濃度分布產生濃度差的浮力，使流場產生對流，我們稱之為濃度對流，由於奈米粒子密度大於液體，因此濃度高的地區會比濃度低的地區重，

從而產生濃度對流。奈米粒子濃度高的地方，流體受重力影響會向下移動，而濃度低的地區，流體會向上流動，所以等濃度線才會有彎曲的情況，流體等溫線也因為濃度對流的關係有些微彎曲。隨著Rn值提高到100，此時濃度對流增強，速度變快，奈米粒子的分布就如【圖十(b)】所示，是類似溫度分布的情況，只是一個由左往右的高溫到低溫，一個則是低濃度到高濃度的差別。

在Rn=450-800這一段，除了原本的順時鐘主渦流外，流場右上部另外產生一個逆時鐘小渦流，如【圖十一(a)】，此渦流形成的原因如下，當Rn增加使得在低濃度區（靠近高溫壁面）向上的速度增加，當向上流體的動量大時撞到頂板會有反彈的作用力，因此產生此渦流，而底板附近卻沒有對稱的渦流產生，則是因為奈米粒子的運動受到熱泳效應產生阻力抵銷反彈的力道，使渦流無法成形。

在Rn=800-1250這一段，低濃度區向上的速度變大，反彈力道也變大，使右上的小渦流 max變大；同樣的，高濃度區（靠近低溫壁面）向下的速度變更大，使反彈的力道增強，大過熱泳的影響，使左下流場也產生一個逆時鐘的渦流，如【圖十二(a)】

所示。從【圖十二(c)】流體溫度分布圖可以看出，這兩個新生的渦流會影響流體溫度的分布。奈米粒子分布結果則如【圖十一(b)】與【圖十二(b)】所示，濃度高的被流體往下帶，濃度低的則往上，此時等濃度線呈水帄分布，奈米粒子濃度呈水帄層狀分布，越底層濃度越高，跟【圖二(b)】沒有對流發生時，奈米粒子單純受熱泳效應往右移動，等濃度線呈縱向分布，越往右濃度越高的情況，形成對比，且在上與下的小渦流處會形成低濃度區和高濃度區。

【圖七】與【圖八】的流場變化顯示，隨著達西熱雷里數^Ra的増大，使原本分

(30)

岔的流場變回一個渦流的狀態；且濃度雷里數Rn越大的流場，達西熱雷里數Ra必頇越大才能使流場變回只有一個渦流的情況。

【圖十一】及【圖十三】到【圖十五】，固定Rn=600，Ra遞增的情況下作分析。

在【圖十三】系統流場中，由於達西熱雷里數Ra還小，濃度對流對系統流場的影響還比較大，所以流線圖、濃度圖、流體與固體溫度圖都跟【圖十一】差不多。但當Ra 提高到500時，從【圖十四(b)】濃度分布可以知道奈米粒子分布變得均勻，使得濃度梯度變小，濃度對流也變小，而熱對流卻變強，因此熱對流強過濃度對流，使流場重新變回只有一個順時鐘渦流，如【圖十四(a)】流線圖。

當Ra增大到1000時，【圖十五】與【圖五】的系統流場差不多相像，唯有流體溫度等溫線【圖十五(c)】比【圖五(c)】彎曲，那是因為Ra與Rn一起作用，使得高溫與低溫壁面附近流場速度變得更快，【圖十五】左壁V_max=538、右壁V_min=-573，【圖五】左壁V_max=467、右壁V_min=-489，流體撞擊上下絕熱壁面的力道變強，才使等溫線變得更彎曲。

根據【圖十一】與【圖十三】，【圖十五】和【圖五】這四個系統流場，可以知道 Rn和Ra這兩個參數是一個競爭的狀態，Rn強，濃度對流影響系統流場就大，反之 Ra強，熱對流的影響就大。

(31)

【圖六】Ra=1、Rn=1-1250、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1 流場走勢圖

【圖七】Ra=1-1000、Rn=600、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1 流場走勢圖

【圖八】Ra=1-1000、Rn=1250、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1 流場走勢圖

(32)

【圖九】Ra=1、Rn=10、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1 條件下的(a)流線圖，(b) 濃度分布圖，(c)流體溫度分布圖，(d)固體溫度分布圖。

(33)

【圖十】Ra=1、Rn=100、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1 條件下的(a)流線圖，(b) 濃度分布圖，(c)流體溫度分布圖，(d)固體溫度分布圖。

(34)

【圖十一】Ra=1、Rn=600、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1 條件下的(a)流線圖，

(35)

【圖十二】Ra=1、Rn=1250、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1 條件下的(a)流線圖，

(36)

【圖十三】Ra=100、Rn=600、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1 條件下的(a)流線圖，

(37)

【圖十四】Ra=500、Rn=600、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1 條件下的(a)流線圖，

(38)

【圖十五】Ra=1000、Rn=600、N_HS=10、N_A=1、N_B=1、Le=1 條件下的(a)流線圖，(b)濃度分布圖，(c)流體溫度分布圖，(d)固體溫度分布圖。

(39)

3.3 尼爾德數( N

_HS

)對系統流場之影響

固定濃度雷里數Rn=600，在濃度對流情形下，比較三個不同的尼爾德數N_HS=1、

100、500的系統流場，如【圖十六】、【圖十七】、【圖十八】。可以看出在此參數下，

對流場、濃度場、流體溫度場影響甚小，只有固體溫度場產生很大的差異。

在【圖十六】流體與固體溫度分布圖中，當N_HS值為1時，固液兩相間溫度分布差異極大，此時固體溫度幾乎不受對流影響；【圖十七(d)】與【圖十八(d)】的固體等溫線卻有彎曲的情形，且尼爾德數N_HS越大，固體溫度分布情況就會跟流體溫度分布越一致。由於尼爾德數N_HS的定義就是固液兩相之間熱傳係數，所以【圖十六】系統流場中流體與固體之間，因為尼爾德數太小(N_HS=1)幾乎不產生熱傳，固液兩相溫度有差異，此即局部熱不帄衡狀態(local thermal non-equilibrium)；隨著尼爾德數越大，

流體與固體之間的熱傳越容易，就造成流體與固體溫度場分布趨於一致，此時固液兩相在局部溫度是一樣，也就是局部熱帄衡的狀態(local thermal equilibrium)。

(40)

【圖十六】Ra=1、Rn=600、N_HS=1、N_A=1、N_B=1、Le=1 條件下的(a)流線圖，(b) 濃度分布圖，(c)流體溫度分布圖，(d)固體溫度分布圖。

(41)

【圖十七】Ra=1、Rn=600、N_HS=100、N_A=1、N_B=1、Le=1 條件下的(a)流線圖，

(42)

【圖十八】Ra=1、Rn=600、N_HS=500、N_A=1、N_B=1、Le=1 條件下的(a)流線圖，

(43)

3.4 修正擴散率比值( N )對系統流場之影響

_A

從【圖十九】固定Ra=100，熱對流狀態下，不同N_A=1、5、10、15的濃度分布圖比較，隨著修正擴散率比值N_A的提高，奈米粒子更容易往溫度梯度的方向前進，

因此奈米粒子加速往右移動，造成低溫面附近的奈米粒子濃度升高。而且流場處於熱對流的情況，流體會順時鐘流動，造成往右聚集的奈米粒子會被流體順勢帶動，往底板分布。

隨著N_A值的增大，奈米粒子從左下高、右上低的濃度的分布情況，逐步變成低溫面和底板濃度變高的情形。

【圖廿】流體溫度場可以看出，奈米粒子受熱泳機制下移動的結果，不只改變濃度的分布，也會使原本對稱的流體溫度場，變得不對稱。

(44)

_(a) NA=1 (b) ^N^A=5

_(c) NA=10 (d) ^N^A=15

【圖十九】Ra=100、Rn=1、N_HS=10、N_B=1、Le=10，不同N_A條件下的濃度分布圖(a) N_A=1，(b) N_A=5，(c) N_A=10，(d) N_A=15。

(45)

_(a) NA=1 (b) ^N^A=5

_(c) NA=10 (d) ^N^A=15

【圖廿】Ra=100、Rn=1、N_HS=10、N_B=1、Le=10，不同N_A條件下的流體溫度分布圖(a) N_A=1，(b) N_A=5，(c) N_A=10，(d) N_A=15。

中 華 大 學

中 華 大 學 碩 士 論 文

奈米流體飽和多孔性介質之熱對流研究 Convective Heat Transfer in Nanofluid-Saturated

Porous Medium

系 所 別：機械工程學系碩士班 學號姓名：M09808016 張永杰 指導教授：許隆結 博士

中 華 民 國 100 年 8 月

摘 要

ABSTRACT

誌 謝

目 錄

圖目錄

符號說明

c

q

t

t

x

第一章 緒論

1.1 研究動機

1.2 文獻回顧

1.3 研究目的

1.4 研究方法

第二章 物理模型與數學模型建立

2.1 物理模型

2.2 數學模型

 

       

 

 

       

       

     



 

















 





 

 









 





 

 

 

   

  

 

 

 

 





第三章 結果與討論

3.1 達西熱雷里數( Ra )對系統流場之影響

3.2 濃度雷里數( Rn )對系統流場之影響

3.3 尼爾德數( N

)對系統流場之影響

3.4 修正擴散率比值( N )對系統流場之影響

中華大學

中華大學碩士論文

系所別：機械工程學系碩士班學號姓名：M09808016 張永杰指導教授：許隆結博士

中華民國 100 年 8 月

摘要

誌謝

目錄

第一章緒論

第二章物理模型與數學模型建立

  ^{ } ^{ }  

  ^{ }  

^{ }

  ^{ }

第三章結果與討論