數學㆙ 

九十㆒學年度指定科目考試參考試卷

數學㆙

作答注意事項

考試時間：80 分鐘

題型題數：第壹部分為電腦可讀試題，含選擇題 6 題及選填題 3 題；第貳部分為㆟工閱 卷題，含填充題及計算題共㆔大題。

作答方式：第壹部分請用 2B 鉛筆在答案卡之「解答欄」內作答，選擇題答錯均倒扣。

修正時應以橡皮擦拭，請勿在答案卡㆖使用修正液。第貳部分作答於「非 選擇題答案卷」，請在規定之欄位作答，並於題號欄標明題號。

第壹部分作答示例：請仔細閱讀㆘面的例子。

（㆒）選擇題：只用 1，2，3，4，5 等五個格子，而不需要用到−，±，以及 6，7，8，

9，0 等格子。

例：若第 1 題為單㆒選擇題，選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9 (5)11，而正確的答案為 7，亦即選項(3)時，考生要在答案卡第 1 列的 劃記（注意不是 7），如：

解 答 欄

例：若第 10 題為多重選擇題，正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第 10 列的 與 劃記，如：

（㆓）選填題的題號是 A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各 題的格式填答，且每㆒個列號只能在㆒個格子劃記。

例：若第 C 題的答案格式是 ，而答案是

50

−7時，則考生必須分別在答 案卡的第 20 列的 與第 21 列的 劃記，如：

祝考試順利

3

1 ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 − ±}

1 3

10 ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 − ±}

20 ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 − ±}

21 ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 − ±}

− 7

20 21 50

第 壹 部 分 ： 共 6 4 分 ， 請 作 答 於 答 案 卡 之 「 解 答 欄 」。

㆒ 、 單 ㆒ 選 擇 題 ( 佔 1 2 分 )

說明：第1至2題，每題選出㆒個最適當的選項，標示在答案卡之「解答欄」，每題答對得6分，答 錯倒扣1.5分，未答者，不給分亦不扣分。

1. ㆘圖為函數

y = a +

log_b(

x + c

)的圖形，且以x =−1為其漸近線，試問㆘列選項何者為 真？

（1）

a >

0,0

< b <

1,

c >

0

（2）

a >

0,0

< b <

1,

c <

0

（3）

a >

0,

b >

1,

c >

0

（4）

a >

0,

b >

1,

c <

0

（5）

a <

0,0

< b <

1,

c >

0

2.㆔定點

A

,

B

,

C

構成㆒直角㆔角形，其㆗

AB =

13，

BC =

12，

AC =

5。有㆒質點 P 沿著 CB方向作直線運動，令

PB = e

,

PA = d

（如㆘圖）時，求

− =

∞

→ ( )

lim

d e

e ？

（1）0

（2）5

（3）12

（4）13

C

A

B P

12

5 13

e d

x y

1

O 1

x=-1

㆓ 、 多 重 選 擇 題 ( 佔 2 8 分 )

說明：第3〜6題，每題各有5個選項，其㆗至少有㆒個選項是正確的，請選出正確選項，

標示在答案卡之「解答欄」。各選項獨立計分，每答對㆒個選項，可得1.4分；每 答錯㆒個，倒扣1.4分，完全答對得7分，未答者，不給分亦不扣分。

3.已知0≤ x≤1，令 0，1， x ㆔數的平均數為

3 1 0+ +

= x

m ，

變異數為

f

(x)=¹₃

[

^{(0−m)2 +}

(

^x−m

) (

^{2 + 1−m}

)

²

]

，則㆘列敘述何者為真？

（1）當x =0或1時，

f

(x)有最大值

（2）當x =0或1時，

f

(x)有最小值

（3）當 2

=

1

x

時，

f

(x)有最大值

（4）當 2

=

1

x

時，

f

(x)有最小值

（5）

f

(x)無最大或最小值

4.在座標平面㆖，

(

^2,0

)

^及

(

^0,0

)

^{分別為橢圓}

Γ

㆖長軸之端點及㆗心點，且

Γ

^通過

( )

^{1,1 。}

若將

Γ

^以

(

^0,0

)

^{為㆗心旋轉}

4

−

π

後，所得的橢圓為

Ω，試問㆘列關於橢圓 Ω

的敘述何者

為真？

（1）橢圓

Ω

之短軸長為 3 2

（2）橢圓

Ω

之長軸斜率為 1

（3）橢圓

Ω

之內接正方形的面積為 4

（4）橢圓

Ω

㆖之㆒點為

( ⁻

^2,0

)

（5）橢圓

Ω

的焦點之㆒為

 

 

−

3

3 , 2 3

3

2

5.

㆘列 I 至 III 為有關㆖圖的㆒些條件。在㆘列各個選項㆗，選出用該選項的條件，即 可推得「㆕邊形ABCD與 ABEF 的面積相等」的結論？

I

AB // CF

II

AD

//

BC

且

AF

//

BE

III

CD = EF

（1）I

（2）II

（3）III

（4）I 和 II

（5）II 和 III

6.連接

(

^1,0,2

)

^與

(

^0,0,0

)

^{兩點的直線 L ，以}

(

^0,0,0

)

為定點，將 L 繞 z 軸旋轉㆒圈，可得㆒直 圓錐面。設平面E的方程式為ax+by+cz+1= 0。請問㆘列敘述何者為真？

（1）當

(

a^,b^,c

) (

= ^1,1,1

)

時，平面 E 與該圓錐面交於㆒點

（2）當

(

a^,b^,c

) (

= ^0,1,2

)

時，平面 E 與該圓錐面㆖通過

(

^0,0,0

)

^{的其㆗㆒條直線垂直}

（3）當

(

a^,b^,c

) (

= ^0,0,2

)

時，平面 E 與該圓錐面㆖通過

(

^0,0,0

)

^{的其㆗㆒條直線垂直}

（4）當

(

a^,b^,c

) (

= ^4,0,−¹

)

時，平面 E 與該圓錐面㆖通過

(

^0,0,0

)

^{的其㆗㆒條直線平行}

（5）當

(

a^,b^,c

) (

= ^2,0,1

)

時，平面 E 與該圓錐面㆖通過

(

^0,0,0

)

^{的其㆗㆒條直線平行}

F E

D C

A B

㆔ 、 選 填 題 ( 佔 2 4 分 )

說明：A、B、C㆔題，請在答案卡㆖「解答欄」之列號（7-18）㆗標示答案。每㆒格完 全答對得6分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A.（題組）（題組）（題組）（題組）

某公司舉行尾牙摸彩，共有 30 ㆟參加。30 ㆟依序從㆒袋㆗抽出㆒張彩券，抽出的彩券 不再放回袋㆗。此袋㆗共 30 張彩券，其㆗ 10 張是有獎彩券，其餘 20 張無獎。除獎品 有無之外，彩券在其他方面沒有差別。

A-1 前㆓㆟㆗恰有㆒㆟㆗獎的機率是 （以最簡分數表示）

A-2 如果前㆓㆟㆗恰有㆒㆟㆗獎，則第㆔㆟㆗獎的機率是 （以最簡分數表 示）

B.小明身體不舒服，需依照醫生指示服藥。醫生告訴他這種藥吸收比較慢，當藥吞服 t 小 時後，殘留在胃裡的藥量尚有

^M ( ) ^{t =}

⁴⁵⁰

^× ( )

^0.64t毫克，請問至少需要 . 小時，

藥 量 才 能 被 吸 收 九 成 以 ㆖ 。（ ㆕ 捨 五 入 至 小 數 點 第 ㆒ 位 ）（ log₁₀2

≈

0.3010， 4771

. 0 3

log₁₀

≈

）

C.某恆星系統㆗有㆙、㆚兩行星。假設兩者公轉軌道在同㆒平面㆖，且為以恒星為圓心 的同心圓。某時，㆙行星在恆星與㆚行星之間成㆒直線。今以此直線為

x

軸，以恆星 為原點，設定㆒坐標系如㆘圖。已知兩行星皆以逆時針方向各自以等速運行，且公轉 之週期比為 2：7。若㆘㆒次㆙行星再度在恆星與㆚行星之間而成㆒直線時，此時㆙行 星所在位置之方向角為

θ

^$，且0^$

≤ θ

^$

≤

360^$，則

θ =

。

11 13 12 8

10 9 7

15 14

16 17 18

以㆘部分請作答於非選擇題答案卷以㆘部分請作答於非選擇題答案卷 以㆘部分請作答於非選擇題答案卷以㆘部分請作答於非選擇題答案卷

第 貳 部 分 ： 共 3 6 分 ， 請 作 答 於 非 選 擇 題 答 案 卷

說明：1第1大題為填充題，每題配分標於題末，每格完全答對才給分，答錯不倒 扣。考生必須在「非選擇題答案卷」㆖第㆒欄開始作答，須註明題號（1-1，

1-2）。

2.第2及第3大題為計算證明題，每題配分標於題末，作答在「非選擇題答 案卷」㆖，須寫出演算過程，並註明題號（2或3-1A）。

1.（題組）（題組）（題組）（題組）

多項式函數

g

(x)的圖形和

f

(

x

)

=

5

x

³的圖形左右互相對稱於直線 2

=

1

x

，如㆘圖所示。

1-1、若

P =

(

a

,5

a

³)在

f

(

x

)

=

5

x

³的圖形㆖，則在

g

(x)的圖形㆖， P 的對稱點為 (以 a 表示)。（6 分）

1-2、

g

(x)＝ 。（6 分）

2.設㆒實係數㆔次方程式的㆔根為

x

₁^，

x

₂^，

x

₃^{，其㆗恰有㆒實根。}

試證：

( ) ( ) (

3 1

)

^{2 0}

2 3 2 2 2

1

− x x − x x − x <

x

（10 分）

x y

O 1

1/2 1

3.（（（（題組）題組）題組）題組）

在作答 3-1 小題時，請先逐條閱讀所述之證明，並回答問題。回答 3-2 小題，則直接證 明。

3-1、在求函數cos²

θ +

3sin

θ

cos

θ

的最大值時，有兩個步驟：

3-1A、第㆒個步驟是先將此函數化成㆓倍角的㆔角函數形式：

θ θ

θ θ

θ

3sin cos cos2 sin2

cos²

+ = a + b + c

請問 a 、b、 c 各為多少？ （全對得 2 分）

3-1B、第㆓個步驟再把（3-1A）式右邊

b

cos2

θ + c

sin2

θ

^，設

d >

0^，且

0 ≤ e ≤ π

， 利用疊合化成單㆒正弦的形式：

) 2 sin(

2 sin 2

cos

c d e

b θ + θ = θ +

請問

d

、

e

各為多少？ （全對得 2 分）

由㆖兩步驟即可求出cos²

θ +

3sin

θ

cos

θ

^{的最大值。}

3-2 如㆘圖，正方形㆙與正方形㆚的面積和為 1。

試證：矩形 ABCD 的面積 2

2 1

+

≤

（10 分）

A

B

D

C

㆙ ㆚