二元一次聯立方程式的意義
自我評量 代入消去法 加減消去法
搭配頁數 P.20
根據一個問題的敘述，有時可同時列出兩 個二元一次方程式，例如：延續本章 1-1 節的例子，如果拾元硬幣有 x 枚，伍元硬 幣有 y 枚，兩種硬幣共 20 枚，合計是 140 元，則兩種硬幣各有多少枚？
由「兩種硬幣共有 20 枚」，可列得方程 式 x ＋ y ＝ 20 ；由「合計是 140 元」，
可列得方程式 10x ＋ 5y ＝ 140 。
搭配頁數 P.20
某餐廳中， A 餐的價格是 x 元， B 餐 的價格是 y 元。小勝全家點了 1 份 A 餐 及 3 份 B 餐，全家共花了 426 元；小美 全家點了 2 份 A 餐及 2 份 B 餐，共花 了 416 元。
由「 小勝全家花了 426 元」，可列得方 程式： _____________ 。
由「 小美全家花了 416 元」，可列得 方程式： _____________ 。
因此可列得二元一次聯立方程式：
____________ 元。
x ＋ 3y = 426 2x ＋ 2y = 416
解
搭配頁數 P.20
當二元一次聯立方程式中的未知數（例 如： x 與 y ），以一組特定的數代入，
可使兩個式子的等號均成立時，就稱該組 x 、 y 的值為此聯立方程式的解。
搭配頁數 P.20
二元一次聯立方程式的解
搭配頁數 P.21
＝ 7
＝ 7
＝ 60 此為解 解
＝ 3 此為解 解
搭配頁數 P.21
正確解 錯誤 錯誤 解
搭配頁數 P.21
搭配頁數 P.22
步驟 1 ：
3x ＝ 12 x ＝ 4
代入消去法
搭配頁數 P.22
步驟 2 ： 步驟 3 ：
代入消去法
利用取代的方式，消去一種未知數的解 題方法，稱為代入消去法。
搭配頁數 P.22
代入消去法
是。
4 ＋ y ＝ 12 ， y ＝ 8 。
搭配頁數 P.22
解
求二元一次聯立方程式解的過程，稱為 解聯立方程式。另外，驗算是為了檢查答 案是否正確，只要自行檢驗即可，不一定 要將檢驗的過程寫出來。
搭配頁數 P.22
搭配頁數 P.23
x ＋ 4x ＋ 2 ＝ 12⇒ 5x ＝
10
⇒ x ＝ 2
因此，解為 x ＝ 2 ， y ＝ 5 。
＝ 5
解
直接代入消去
搭配頁數 P.23
直接代入消去
⇒ x ＝ 7
搭配頁數 P.23
解
⇒ x ＝ 1
解
搭配頁數 P.23
搭配頁數 P.24
移項再代入消去
搭配頁數 P.24
2x － 9 ＋ 3x ＝ 1
用 x 的一次式取代 y
⇒ 5x ＝ 10
⇒ x ＝ 2 因此，解為 x ＝ 2 ， y ＝ 1 。
解 一
移項再代入消去
搭配頁數 P.24
6 － 2y － 3y ＝ 1
用 y 的一次式取代 x
⇒－ 5y ＝－
5 ⇒ y ＝ 1
因此，解為 x ＝ 2 ， y ＝ 1 。
解 二
移項再代入消去
⇒ y ＝ 1
⇒ x ＝ 2 解為 x ＝ 2 ， y ＝ 1 。
解
搭配頁數 P.24
2. 比較例題 3 的 、 與 的第 1. 題 的解題方式，你最喜歡哪一個方法？。
【學生自行回答】
搭配頁數 P.24
解
搭配頁數 P.25
3a ＋ 15 － 10a ＝ 22
⇒－ 7a ＝
7 ⇒ a ＝－
1
因此，解為 a ＝－ 1 ， b ＝ 5 。
＝ 3 ＋ 2＝ 5
移項再代入消去
16 ＋ 4y － 3y ＝
13 ⇒ y ＝－
3
搭配頁數 P.25
解
－ 4 ＋ 8b ＋ b ＝ 2
⇒9b ＝ 6
解
搭配頁數 P.25
搭配頁數 P.26
得 9y － 3y ＝
18 ⇒6y ＝ 18⇒ y ＝ 3
⇒4x ＝ 27
解
直接代入消去的應用
得 4x － 2x ＝
2 2x ＝ 2⇒ x ＝ 1
搭配頁數 P.26
解
得 3b － 1 ＋ b
＝ 3 4b ＝ 4⇒ b ＝ 1
解
搭配頁數 P.26
搭配頁數 P.27
步驟 1 ：
加減消去法
搭配頁數 P.27
因此解為 x ＝ 6 ， y ＝ 7
步驟 2 ：
步驟 3 ：
3y ＝ 21 y ＝ 7
加減消去法
搭配頁數 P.28
2y ＝－ 2
⇒2x ＝－
4
⇒ y ＝－ 1
解
直接加減求解
利用式子的相加或相減，消去一種未知 數的解題方法，稱為加減消去法。
搭配頁數 P.28
加減消去法
解
搭配頁數 P.28
得 a ＝ 2
3×2 － b ＝ 2
解
搭配頁數 P.28
搭配頁數 P.29
10y ＝－
10
⇒ y ＝－ 1
消去 x
解 一
調整一式的係數再加減消去
搭配頁數 P.29
5x ＝ 45
⇒ x ＝ 9
消去 y
解 二
調整一式的係數再加減消去
搭配頁數 P.30
解
⇒ 9m ＝ 3
搭配頁數 P.30
解
搭配頁數 P.30
19x ＝ 38
⇒ x ＝ 2
解
調整兩式的係數再加減消去
－ y ＝－ 3⇒ y ＝ 3
搭配頁數 P.31
解
29y ＝－ 29⇒ y ＝－
1
搭配頁數 P.31
解
－ 28y ＝－ 7
搭配頁數 P.31
解
－ 78y ＝ 13
搭配頁數 P.31
解
搭配頁數 P.32
解
先化簡再加減消去
搭配頁數 P.32
10x ＝ 10
解
x ＝ 1
先化簡再加減消去
⇒ y ＝ 0
搭配頁數 P.32
解
⇒ x ＝ 1
搭配頁數 P.32
解
搭配頁數 P.33
⇒ x ＝ 6
解
調整係數再加減消去
⇒ x ＝ 2
⇒ y ＝ 3
解
搭配頁數 P.33
解
搭配頁數 P.33
搭配頁數 P.34
故此聯立方程式有無限多組解。
所以此聯立方程式的解 與 4x － 2y ＝ 6 的解 相同
無限多組解的聯立方程式
解
搭配頁數 P.34
故此聯立方程式無解。
3x ＋ 3y 的值等於 5
，
且又等於 6 ， 這是不合理的。
解
無解的聯立方程式
⇒不合理 所以此聯立方程式無解。
解
搭配頁數 P.34
所以此聯立方程式有無限多組解。
解
搭配頁數 P.34
(1) 兩個同時成立且並列在一起的 二元一次方程式，稱為二元一次 聯立方程式。
搭配頁數 P.35
二元一次聯立方程式與解：
搭配頁數 P.35
(2) 同時滿足聯立方程式中兩個方程式的 x 、 y 值，稱為該聯立方程式的解。
(3) 二元一次聯立方程式的解有三種情況：
搭配頁數 P.35
式子的化簡與編號：。
(1) 在解二元一次聯立方程式時，先化 簡式子，以利於觀察。
(2) 將題目的式子或計算過程所新增的 式子加上編號，可方便解題。
搭配頁數 P.35
利用取代的方式，消去一種未知數 的解題方法，稱為代入消去法。
在解二元一次聯立方程式時，可用 x 的一次式取代 y 來解題，也可 用 y 的一次式取代 x 來解題。
利用式子的相加或相減，消去一種未 知數的解題方法，稱為加減消去法。
代入消去法：
代入消去法：
(1) 由總共 38 人報名，可列得二元一次 方程式： __________ 。
(2) 由男生人數比女生人數的 3 倍少 2 人，可列得二元一次方程式：
_________ 。
(3) 因此可列得二元一次聯立方程式：
______________ 。
聯課活動分組，已知桌球組總共有 38 人報名，其中男生人數比女生人數的 3 倍少 2 人。設男生有 x 人報名，女 生有 y 人報名，則：
搭配頁數 P.36
x ＋ y = 38
x ＝ 3y － 2
解
1
x ＝ 2 ， y ＝－ 3 是下列哪些二元一次 聯立方程式的解？（複選）
搭配頁數 P.36
是解
不是解
不是解 是解
(2) (3)
解
解下列各二元一次聯立方程式：
搭配頁數 P.36
6y ＋ 9 － 4y ＝ 5
⇒ y ＝－ 2 2y ＝－ 4
解
3
搭配頁數 P.36
⇒ a ＝ 1 3a ＝ 3
解
3 解下列各二元一次聯立方程式：
解下列各二元一次聯立方程式：
搭配頁數 P.37
⇒ x ＝ 5
解
3
解下列各二元一次聯立方程式：
搭配頁數 P.37
解
3
解下列各二元一次聯立方程式：
搭配頁數 P.37
解
3
解下列各二元一次聯立方程式：
搭配頁數 P.37
解
3
解下列各二元一次聯立方程式：
搭配頁數 P.37
所以，此聯立方程式無解。
⇒不合理
解
3
解下列各二元一次聯立方程式：
搭配頁數 P.37
所以，此聯立方程式無限多組解。
解
3
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