代數第七章 目錄

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(1)

代數第七章

目錄

第七章 一元二次方程式的解法...1

學習目標...1

7.1 節 認識一元二次方程式...2

7.1 節 習題...8

7.2 節 用因式分解解一元二次方程式...10

7.2 節 習題...20

7.3 節 用配方法解一元二次方程式...22

7.3 節 習題...35

7.4 節 一元二次方程式的公式解...38

7.4.1 節 一元二次方程式解的判別...40

7.4.2 節 用公式解解一元二次方程式...42

7.4 節 習題...53

7.5 節 一元二次方程式的應用題與綜合題...55

7.5 節 習題...70

第七章綜合習題...74

(2)

基測與會考試題...78

習題解答...83

(3)

第七章 一元二次方程式的解法

我們已經學過了一元一次方程式與二元一次方程式,在本章中,我們將學習一元二次 方程式,並學習用多種方法來解,熟悉一元二次方程式解法後,可以再延伸到二次函 數及其圖形。

學習目標

1.瞭解什麼是一元二次方程式。

2.能利用因式分解、配方法、公式解找出一元二次方程式的解。

3.能利用判別式判斷一元二次方程式解的種類。

4.能處理一元二次方程式的應用問題。

(4)

7.1 節 認識一元二次方程式

前面的章節中,我們學過了一元一次方程式、二元一次方程式:

一元一次方程式是指只有1 個未知數(一元),未知數最高次數為 1(一次)的方程式,

2x70

二元一次方程式是指只有2 個未知數(二元),未知數最高次數為 1(一次)的方程式,

2x y3 70

同樣地,一元二次方程式就是只有1 個未知數(一元),未知數最高次數為 2(二次)的 方程式,如x2 x4 40、(x3)(x4)0

我們先來看看什麼樣的場合會用到一元二次方程式。

例題 7.1-1

請依下列敘述列出一元二次方程式:

(1)某三角形的底為(x1)公分,高為3x公分,面積為30 平方公分。

(2)小華買了(2x3)枝原子筆,每枝原子筆售價都是 x 元,小華共花了65 元。

(3)(x2)(x3)兩數的乘積為6。

詳解:

(1)三角形的面積等於底×高×12

列成方程式為 30

2 3 1 ) 1

(x  x 

繼續化簡 30

2 ) 1 3 3

( x2 x  

2 30 2 2

) 1 3 3

( x2 x     (等量公理,等號左右同乘以 2)

60 3 3x2  x

0

2 x20 x

(5)

(2)總價等於單價×枝數。

列成方程式為 x(2x3)65 繼續化簡 2x2  x3 65

0 65 3

2x2 x 

(3)列成方程式為 (x2)(x3)6 繼續化簡  x2  x66

0

2  x12 x

由例題7.7-1 可知,生活中有很多情境是可以列成一元二次方程式的。

接著我們再來看看什麼是一元二次方程式的解。

與一元一次方程式相同,只要將一個數代入方程式中的未知數,若能使等號的兩邊相 等,則稱此數為該一元二次方程式的解(或根)。

我們試試看-2、-1、0、1、2 這些數中有哪幾個是一元二次方程式x2  x20的解。

-2: (2)2 (2)242240,等號不成立,-2 不是此方程式的解。

-1: (1)2(1)21120,等號成立,-1 是此方程式的解。

0: (0)2 (0)200220,等號不成立,0 不是此方程式的解。

1: (1)2 (1)211220,等號不成立,1 不是此方程式的解。

2: (2)2 (2)24220,等號成立,2 是此方程式的解。

因此-1 與 2 都是一元二次方程式x2  x20的解。

(6)

例題 7.1-2

下列哪些敘述是正確的?

(1) 3 是x2  x2 30的解 (2) 4 是x2  x4 40的解 詳解:

(1)將x3代入x2 x2 30:(3)22(3)30 等式成立,因此3 是x2  x2 30的解。

(2)將x4代入x2  x4 40:(4)2 4(4)440 等式不成立,因此4 不是x2 x4 40的解。

例題 7.1-3

x2是一元二次方程式x2 ax40的解,試求a 之值。

詳解:

2

x 是一元二次方程式x2 ax40的解,

也就是將x2代入方程式,可使等式成立。

0

2 ax4 x

0 4 2

22 a   (將x2代入)

0 4 2 4 a 

0 8 2a 

8 2a

4

a

【練習】7.1-3

x 3是一元二次方程式x2 ax90的解,試求a 之值。

若是想找一元二次方程式的解,有一個性質我們必須熟悉:

a b0,則a0b0

(7)

已知a b0,我們想利用等量公理,將等式左右都乘以

a

1 消去a,但必須在a 0 時才能乘以

a

1 ,故我們先看a0的情形。

0

 b a

a b a

a 1

1 0

 (a0,利用等量公理,將等式左右都乘以 a1 )

0 b

a0時,可推得b0。

另一個情形是a0,a 0即為此性質的另一個結果。

由以上討論可知,若a b0,則a0或b0。 利用這個性質,我們可以解一些一元二次方程式。

如要解(x1)(x2)0,我們可以從方程式推得x10或x20。

0 1

x ,即x1x20,即x2。 因此(x1)(x2)0的解為x1或x2。

驗算:x 1時,(11)(12)0(1)0x2時,(21)(22)100

(8)

例題 7.1-4

求下列一元二次方程式的解。

(1) x(x1)0 (2)(x2)(x3)0 (3) (2x1)(x4)0 (4)(x2)2 0 詳解:

(1)由題目可知,x0x10可使等式成立。

0 1

xx1 解為x0

1

(2)由題目可知,x20x30可使等式成立。

0 2

xx2

0 3

xx 3 解為x2、3。

(3)由題目可知,2x10x40可使等式成立。

0 1

2x  →

2

1

x

0 4

xx4 解為 2

1

x

4

(4)(x2)2 (x2)(x2)

兩個含x 的式子都相同,x20時可使等式成立。

0 2

xx2 解為x2。

同學可以驗算看看各題的解是否能使等式成立。

在例題7.1-4(4)中,若是依(1)~(3)的答案寫法,(4)的答案可寫成x2、2。

像這種兩個解都相同的情形,我們稱為重根,也就是一個解重覆出現兩次。

(9)

【練習】7.1-4

求下列一元二次方程式的解。

(1) 2x(x7) 0 (2)(x5)(x6)0 (3) (3x2)(x1)0 (4)(x3)2 0

例題 7.1-5

x5是一元二次方程式(x2)(xa)0的解,試求a 之值。

詳解:

一元二次方程式(x2)(xa)0x20x a0時可使等式成立。

0 2

xx2

0

 a

xxa

依題意,x5是一個解,且25,因此a5。

驗算:a5代入方程式得(x2)(xa)0,此方程式解為2、5,與題意符合。

【練習】7.1-5

x3是一元二次方程式(x2)(xa)0的解,試求a 之值。

(10)

7.1 節 習題

習題 7.1-1

請依下列敘述列出一元二次方程式:

(1)某長方形的長為(2x5)公分,寬為2x公分,面積為36 平方公分。

(2)小美買了(2x3)顆蘋果,每顆蘋果售價都是 x 元,小美共花了35 元。

(3)(x1)(x2)兩數的乘積為10。

習題 7.1-2

下列哪些敘述是正確的?

(1) 1 是x2 x2 10的解 (2) 3x2  x2 150的解

習題 7.1-3

x4是一元二次方程式x2 ax80的解,試求a 之值。

習題 7.1-4

求下列一元二次方程式的解。

(1) 2x(x3)0 (2)(x3)(x5)0 (3) (5x1)(x1)0 (4)(x5)2 0

習題 7.1-5

x 1是一元二次方程式(x2)(xa)0的解,試求a 之值。

(11)

7.2 節 用因式分解解一元二次方程式

在前一節中我們學習了如何找(x2)(x3)0這種已拆成兩式相乘的一元二次方程式的 解。那未拆成兩式相乘,如x2  x3 100這種形式的方程式又該如何處理呢?

過去章節中,我們曾學過因式分解,也就是能夠將x2 x3 10化成(x5)(x2)。 將x2  x3 100轉變成(x5)(x2)0,我們就能輕鬆的找到解為x5、-2 了。

本節中我們將學習利用因式分解來找一元二次方程式的解。

首先來學習直接提出公因式的題型。

例題 7.2-1

求下列一元二次方程式的解。

(1) x2  x0 (2)x2 5x

詳解:

(1) x2  x0 0 ) 1 (x 

x (直接提出 x)

0

x 、1

(2) x2 5x 0

2 x5  x

0 ) 5 (x 

x (直接提出 x)

0

x 、5

同學可以驗算看看各題的解是否能使等式成立。

【練習】7.2-1

求下列一元二次方程式的解。

(1) 3x(x5)0 (2)(x4)(x2)0

(12)

例題 7.2-2

求下列一元二次方程式的解。

(1) x(x2)2(x2)0 (2)(x2)(x3)6(x3) 詳解:

(1) x(x2)2(x2)0

0 ) 2 )(

2

(xx  (直接提出x2)

2

x 、2

(2) (x2)(x3)6(x3)

0 ) 3 ( 6 ) 3 )(

2

(xx  x  0 ) 6 2 )(

3

(xx   (直接提出x3)

0 ) 8 )(

3

(xx 

3

x 、-8

同學可以驗算看看各題的解是否能使等式成立。

【練習】7.2-2

求下列一元二次方程式的解。

(1) x(x5)4(x5)0 (2)(x5)(x1)3(x1)

(13)

接下來,我們練習需要利用乘法公式來因式分解的題目。

例題 7.2-3

求下列一元二次方程式的解。

(1) x2 90 (2)4x2  x( 2)2 詳解:

(1) x2 90 0 32

2 

x

0 ) 3 )(

3

(xx  (利用平方差公式)

3

x 、3

(2) 4x2  x( 2)2

0 ) 2 (

4x2  x2  0 ) 2 ( ) 2

( x 2  x2

0 )) 2 ( 2 ))(

2 ( 2

( xxxx  (利用平方差公式)

0 ) 2 )(

2 3

( xx 

3

 2

x 、-2

同學可以驗算看看各題的解是否能使等式成立。

【練習】7.2-3

求下列一元二次方程式的解。

(1) 4x2 360 (2)9x2  x( 4)2

(14)

例題 7.2-4

求下列一元二次方程式的解。

(1) x2 x2 10 (2)x2 x6 90

詳解:

(1) x2 x2 10 0 ) 1

(x2  (利用和的平方公式)

1

x (重根) (2) x2  x6 90

0 ) 3

(x2  (利用差的平方公式)

3

x (重根)

同學可以驗算看看各題的解是否能使等式成立。

【練習】7.2-4

求下列一元二次方程式的解。

(1) x2 x4 40 (2)x2  x10 250

(15)

除了用直接提出公因式與乘法公式做因式分解外,我們還學過用十字交乘法做因式分 解。

例題 7.2-5

求下列一元二次方程式的解。

(1) x2 x6 50 (2)x2 x60

詳解:

(1) x2 x6 50 0 ) 1 )(

5

(xx  (利用十字交乘)

5

x

 1

(2) x2 x60 0 ) 2 )(

3

(xx  (利用十字交乘)

3

x 、2

同學可以驗算看看各題的解是否能使等式成立。

【練習】7.2-5

求下列一元二次方程式的解。

(1) x2  x6 80 (2)x2 x6 70

(16)

以上是利用因式分解解一元二次方程式的基本題目,接下來讓我們練習一些運算較多 變化的題型。

例題 7.2-6 (先移項再因式分解) 求下列一元二次方程式的解。

(1) 2x2 x11 21 (2)(x6)(x5)24 詳解:

(1) 2x2 x11 21 0 21 11

2x2 x  0 ) 7 )(

3 2

( xx  (利用十字交乘)

2

3

x 、7

(2) (x6)(x5)24

24

2  x30 x

0 24

2 x30  x

0

2 x6 x

0 ) 2 )(

3

(xx  (利用十字交乘)

3

x 、2

同學可以驗算看看各題的解是否能使等式成立。

【練習】7.2-6

求下列一元二次方程式的解。

(1) 3x2  x2 8 (2)(x4)(x3)30

(17)

例題 7.2-7 (先整理係數再因式分解) 求下列一元二次方程式的解。

(1) 81x2 x21 21 0 (2)71x2 74 0 詳解:

(1) 81x2 x21 21 0

8 0 8 2) 1 2 1 8

(1x2  x    (等號左右兩邊同乘以 8)

0 4

2  x4   x

0 ) 2

(x2  (利用乘法公式)

2

x (重根)

(2) 71x274 0

7 0 7 7) 4 7

(1x2    (等號左右兩邊同乘以 7)

0

2 4 x

0 ) 2 )(

2

(xx  (利用乘法公式)

2

x 、2

同學可以驗算看看各題的解是否能使等式成立。

【練習】7.2-7

求下列一元二次方程式的解。

(1) 0

6 25 3 5 6 1 2

 x

x (2) 0

7 5 7 4 7

1x2  x 

(18)

例題 7.2-8 (係數為文字)

求下列一元二次方程式的解。(各題中a、b、c 皆不為 0) (1) ax2 (ab1)xb0 (2) x22axa2 0

(3) x2(ab)xab0 (4) abx2 (abc)xc0 詳解:

(1) ax2 (ab1)xb0 a 1

0 ) )(

1

(axxb  (利用十字交乘) a b

x a1

 、b 1 b

x ab x b

a 1 1) ( 1)

(     

(2) x22axa2 0 1 a

0 )

(x a 2  (利用乘法公式或十字交乘) 1 a2 a

x (重根) 1 a

ax x a

a 1) 2

1

(    

(3) x2(ab)xab0 1 a

0 ) )(

(xa xb  (十字交乘) 1 ab a

x 、-b 1 b

x b a x a

b 1) ( )

1

(     

(4) abx2(abc)xc0 ab c

0 ) 1 )(

(abxc x  (利用十字交乘) ab c

ab

x c 、-1 1 1

x c ab x c

ab 1 1) ( )

(     

(19)

驗算:

(1) 將xa1代入ax2(ab1)xb

a b a ab

a    1) )(

1 ( 1) ( 2

a b a b   

 1)

( ) 1 (

b a b

a    

 1 1 ( )

0 可確認

xa1為方程式ax2 (ab1)xb0的解。

xb代入ax2 (ab1)xb

b b ab

b

a( )2( 1)( ) b b ab

ab     

2 ( 2) ( )

0 可確認xb為方程式ax2(ab1)xb0的解。

(2) 將xa代入x22axa2

2

2 2 ( )

)

(aaaa

2 2

2 2a a

a  

0 可確認xa為方程式x22axa2 0的解。

同學可以驗算看看(3)、(4)題的解是否能使等式成立。

【練習】7.2-8

求下列一元二次方程式的解。(各題中a、b、c 皆不為 0) (1) x22bxb2 0 (2)abx2(acb)xc0

(20)

例題 7.2-9

解一元二次方程式x2(x2)(x1)4(x2)2 詳解:

本題可以活用之前學過的因式分解來計算

2 2(x2)(x1)4(x2) x

2

2 4) ( 2)( 1) ( 2)

(x   xx  x(將-4 與 x2湊成一組)

0 ) 2 ( ) 1 )(

2 ( ) 2 )(

2

(xx  xx  x2  (利用平方差公式)

0 )]

2 ( ) 1 ( ) 2 )[(

2

(xx  x  x  (提出(x2))

0 ] 2 1 2 )[

2

(xx x x  0

) 3 )(

2

(xx 

2

x3

同學可以驗算看看此解是否能使等式成立。

【練習】7.2-9

解一元二次方程式x2(x3)(x2)9(x3)2

(21)

7.2 節 習題

習題 7.2-1

求下列一元二次方程式的解。

(1)x2  x8 0 (2)x2 3x

習題 7.2-2

求下列一元二次方程式的解。

(1)x(4x5)6(4x5)0 (2)(x5)(2x7)3(x5)

習題 7.2-3

求下列一元二次方程式的解。

(1) x2 250 (2)16x2  x( 3)2

習題 7.2-4

求下列一元二次方程式的解。

(1) x2  x8 160 (2)x2 x12 360

習題 7.2-5

求下列一元二次方程式的解。

(22)

習題 7.2-6 (先移項再因式分解) 求下列一元二次方程式的解。

(1) 3x213x4 (2)(x3)(x1)8

習題 7.2-7 (先整理係數再因式分解) 求下列一元二次方程式的解。

(1) 91x2  x32 10 (2)161 x210

習題 7.2-8 (係數為文字)

求下列一元二次方程式的解。(各題中a、b、c 皆不為 0) (1) x2 (ab)xab0 (2) a2x2  ax2 10

習題 7.2-9

解一元二次方程式x2(x2)(x4)16(x4)2

(23)

7.3 節 用配方法解一元二次方程式

在多項式章節中,我們已經學過根號。如 9 3255。 我們也知道32 9,52 25。

那麼今天若是想解一個一元二次方程式x2 9,會有什麼答案呢?

因為32 9,所以x3是一個解。

但再仔細觀察,會發現因為(3)2 9,所以x3也是一個解。

也就是說x2 9的解有3 和-3。而 3 和-3 也稱為 9 的平方根。

用文字來表示,一元二次方程式x2a(a0)的解即為 a a,也可寫為 a

例題 7.3-1

求下列一元二次方程式的解。

(1) x216 (2)3x2 12

(3) (x1)2 3 詳解:

(1) x2 16

4

x ( 164)

(2) 3x2 12

3 12 3 3x2  

2 4 x

2

x ( 4 2)

(3) (x1)2 3

3 1 x

3 1 x

同學可以驗算看看各題的解是否能使等式成立。

【練習】7.3-1

求下列一元二次方程式的解。

(1) x281 (2)2x2 32

(3) (x3)2 7

(24)

在前面的例題7.3-1(3)中,我們可以想成是利用完全平方式來找出解。

完全平方式:對於一多項式 A,若能找到另一多項式 B 使得A

B2,則稱A 為完全 平方式。例如多項式x2 x2 1可以寫成(x1)2,因此x2 x2 1是完全平方式。

若我們想解一元二次方程式 x2  x2 20,因為x2 x2 2沒辦法用因式分解,因此可 試著利用乘法公式湊出完全平方式,形成例題 7.3-1(3)的形式後再找出解。

0 2

2  x2  

x (觀察前兩項x22x,可以發現若是加上1,

就能變成完全平方式x2 x2 1,即(x1)2)

1 0 2 1

2  x2    

x (等號左右兩邊都加上 1)

1 2 ) 1

(x2   (x2 x2 1利用乘法公式變成(x1)2)

2 1 ) 1

(x2   3 ) 1 (x2

至此,方程式便與例題 7.3-1(3)相同,可以繼續用例題 7.3-1(3) 的計算方法找出 解。

像這種利用配成完全平方式,將一元二次方程式變成(xa)2 b的形式,再使用平方 根的概念來求解的方法,稱為配方法。

(25)

在正式使用配方法求解以前,我們需要先熟悉如何配出完全平方式。

若有一個式子是x2  kx□

□要填入什麼數,才能配出完全平方式呢?

回想以前學過的乘法公式:(xa)2 x22axa2k2a,則

2

ak2 )2

(2k a

也就是□只要填入 )2

(k2

,就能配出完全平方式。

2 2

2 2

2 )

( 2 2) 2 ( 2 2)

( k

k x x k

k x kx

x         

配完全平方式時會使用到的乘法公式有 (xa)2 x22axa2

2 2

2 2

)

(xaxaxa

例題 7.3-2

分別將適當的數填入□中,使該式子可以配成一個完全平方式,並將它寫成完全平 方的形式。

(1) x2  x2 □ (2) x2 12x□ (3) x2  x7 □ (4) x2  x56 □ 詳解:

(1) x2  x2 □

1

2  x2 

x ((22)2 12 1,□填入1)

(x1)2 (2) x212x□

36

2 12x

x ((122 )2 (6)2 36,□填入36)

(x6)2 (3) x2  x7 □

4 7 49

2 x

x ((27)2 494 ,□填入

4 49 )

)2

2 (x7

(26)

(4) x  x

5

2 6 □

25 9 5

2  x6 

x ((562)2 (53)2 259 ,□填入

25 9 )

)2

5 (x3

【練習】7.3-2

分別將適當的數填入□中,使該式子可以配成一個完全平方式,並將它寫成完全平 方的形式。

(1) x2 x2 □ (2) x2 14x□ (3) x2 x5 □ (4) x2  x74

熟悉了如何配出完全平方式後,接下來我們就可以正式用配方法來求解。

例題 7.3-3

求下列一元二次方程式的解。

(1) x2  x4 60 (2)x2  x2 90

(3) x2  x3 50 (4)x2  x30

詳解:

(1) x2  x4 60 6

2 x4 

x (先將常數項移到等號右邊)

2 2

2  x4 (2) 6(2)

x (等號兩邊都加(-2)2)

10 ) 2

(x2  (配成完全平方式)

10 2 x

10 2

x

(2) x2  x2 90

(27)

2 2

2  x2 (1) 9(1)

x (等號兩邊都加(-1)2)

10 ) 1

(x2  (配成完全平方式)

10 1 x

10 1 x

(3) x2  x3 50 5

2  x3 

x (先將常數項移到等號右邊)

2 2

2 )

2 (3 5 2) (3

3   

 x

x (等號兩邊都加(23)2)

4 ) 29 2

(x3 2  (配成完全平方式)

4 29 2

3 

x

2 29 2

3 

x

2 29 23 

x

(4) x2 x30

2 x3

x (先將常數項移到等號右邊)

2 2

2 )

2 (1 3 2)

(1  

 x

x (等號兩邊都加(21)2)

4 ) 13 2

(x1 2  (配成完全平方式)

4 13 2

1 

x

2 13 2

1 

x

2 13 1 2

x

同學可以驗算看看各題的解是否能使等式成立。

(28)

【練習】7.3-3

求下列一元二次方程式的解。

(1) x2  x6 90 (2)x2  x4 70

(3) x2 x40 (4)x2  x5 80

例題 7.3-4 (二次項係數不為 1) 求下列一元二次方程式的解。

(1) x2 6x60 (2)2x2  x4 50

(3) 3x2 x5 20 (4)4x2 5x10

詳解:

若二次項係數不為1,可先利用等量公理,乘上二次項係數的倒數,將二次項係 數化為1。

(1) x2 6x60

) 1 ( 0 ) 1 ( ) 6 6

(x2x      (等號左右都乘以(-1),二次項係數化為 1)

0 6

2 x6   x

6

2 x6 

x (將常數項移到等號右邊)

2 2

2 x6 3 (6)3

x (等號兩邊都加 32)

3 ) 3

(x2  (配成完全平方式)

3 3

x

3 3

x

(2) 2x2  x4 50

2 0 1 2 ) 1 5 4 2

( x2 x    (等號左右都乘以12 ,二次項係數化為1)

(29)

2 0 2 5

2 x 

x

2 2 5

2  x

x (將常數項移到等號右邊)

2 2

2 ( 1)

2 ) 5 1 (

2     

 x

x (等號兩邊都加(-1)2)

2 ) 7 1

(x2  (配成完全平方式)

2 1 7

x

2 1 7

x

2 14 11

x

(3) 3x2 x5 20

3 0 1 3 ) 1 2 5 3

( x2 x    (等號左右都乘以31 ,二次項係數化為1)

3 0 2 3

2  x5   x

3 2 3

2 x5 

x (將常數項移到等號右邊)

2 2

2 )

6 (5 3 ) 2 6 (5 3

5   

 x

x (等號兩邊都加(65)2)

36 25 36 ) 24 6

(x5 2   (配成完全平方式)

36 ) 49 6 (x5 2

36 49 6

5 

x

6 7 6 5

x

6 7 65 

x

3

1

x 、2

(30)

(4) 4x2 5x10

4) ( 1 0 4) ( 1 ) 1 5 4

( x2x      (等號左右都乘以(41),二次項係數化為1)

4 0 1 4

2  x5  

x

4 1 4

2  x5 

x (將常數項移到等號右邊)

2 2

2 )

8 ( 5 4 ) 1 8 ( 5 4

5     

 x

x (等號兩邊都加(85)2)

64 25 64 ) 16 8

(x5 2   (配成完全平方式)

64 ) 41 8 (x5 2

64 41 8

5 

x

8 41 8

5 

x

8 41 85 

x

8 41 5

x

我們來驗算看看(1)

x3 3代入x26x6,看看是否會等於0。

6 ) 3 3 ( 6 ) 3 3

(  2    

6 ) 3 3 ( 6 ) 3 3 6 9

(

6 3 6 18 3 6

12

) 3 6 3 6 ( ) 6 18 12

(

0

因此x3 3是x26x60的解。

(31)

x3 3代入x26x6,看看是否會等於0。

6 ) 3 3 ( 6 ) 3 3

(  2    

6 ) 3 3 ( 6 ) 3 3 6 9

(

6 3 6 18 3 6

12

) 3 6 3 6 ( ) 6 18 12

(

0

因此x3 3是x2 6x60的解。

由以上驗算可知,x3 3是x2 6x60的解。

同學可以驗算看看其他題的解是否能使等式成立。

【練習】7.3-4

求下列一元二次方程式的解。

(1) x27x30 (2)2x2  x6 70

(3) 5x2  x7 20 (4)3x2 9x20

(32)

例題 7.3-5

求下列一元二次方程式的解。

(1) x2  x2 4830 (2)x2  x6 3910

(3) x2 12x2530 (4)x2 24x6970

詳解:

(1) x2  x2 4830 483

2 x2 

x (先將常數項移到等號右邊)

2 2

2 x2 (1) 483(1)

x (等號兩邊都加(1)2)

484 )

1

(x2  (配成完全平方式)

484 1 x

22 1

x

22 1

x

23

x

 21

(2) x2  x6 3910 391

2  x6 

x (先將常數項移到等號右邊)

2 2

2 x6 (3) 391(3)

x (等號兩邊都加(3)2)

400 )

3

(x2  (配成完全平方式)

400 3 x

20 3

x

20 3

x

23

x17

(33)

(3) x212x2530 253

2 12x

x (先將常數項移到等號右邊)

2 2

2 12x(6) 253(6)

x (等號兩邊都加

( 6)

2)

289 )

6

(x2  (配成完全平方式)

289 6 x

17 6

x

17 6

x

23

x

 11

(4) x2 24x6970 697

224x

x (先將常數項移到等號右邊)

2 2

2 24x(12) 697(12)

x (等號兩邊都加(12)2)

841 )

12

(x2  (配成完全平方式)

841 12 x

29 12

x

29 12

x

41

x 、17

同學可以驗算看看各題的解是否能使等式成立。

【練習】7.3-5

求下列一元二次方程式的解。

(1) x2  x2 2550 (2)x2  x6 2160

(3) x2  x4 2210 (4)x2  x8 3450

(34)

例題 7.3-6

x2 x4 160,則(x2)2之值為何?

詳解:

由題目知 x2 x4 160 16

2  x4 

x (先將常數項移到等號右邊)

2 2

2 x4 (2) 16(2)

x (等號兩邊都加(2)2)

20 ) 2

(x2  (配成完全平方式) 可知(x2)2之值為20。

【練習】7.3-6

x2 x6 200,則(x3)2之值為何?

例題 7.3-7

若方程式x2 12x p0可配方成(x6)2 30的形式,則p 的值是多少?

詳解:

(x6)2 30化成x2 12x p0的形式 由題目知 (x6)2 30

30 36

2  x12   x

0 30 36

2  x12   

x

0 6

2  x12   x

可知p 之值為 6。

【練習】7.3-7

若方程式x2 14x p0可配方成(x7)2 30的形式,則p 的值是多少?

例題 7.3-8

已知x2 10xa(xb)2,求a、b 之值。

詳解:

(35)

x210x(5)2a(5)2

(x5)2 (a25)

(xb)2對照,可知b5a250a25

【練習】7.3-8

已知x2 16xa(xb)2,求a、b 之值。

例題 7.3-9

若方程式x22xp0可利用配方法寫成(x q)2 5,試求p 之值。

詳解:

0

22xpx

2 2

2 2x(1) p(1) x

1 )

1

(x2 p

(x q)2 5對照,可知q 1 p15p4

【練習】7.3-9

若方程式x28x p0可利用配方法寫成(x q)2 8,試求p 之值。

(36)

7.3 節 習題

習題 7.3-1

求下列一元二次方程式的解。

(1) x2 25 (2)4x2 4

(3) (x2)2 5

習題 7.3-2

分別將適當的數填入□中,使該式子可以配成一個完全平方式,並將它寫成完全 平方的形式。

(1) x2  x6 □ (2) x2  x8 □ (3) x2  x3 □ (4) x  x

5

2 2 □

習題 7.3-3

求下列一元二次方程式的解。

(1) x2 10x20 (2)x2 x2 50

(3) x2  x7 10 (4)x2  x10

習題 7.3-4 (二次項係數不為 1)

(37)

(1) x25x30 (2)4x2 x8 60

(3) 2x2 x5 30 (4)3x2  x15 140

習題 7.3-5

求下列一元二次方程式的解。

(1) x2 28x1870 (2)x2 x2 1950

(3) x2  x2 3230 (4)x2 10x3750

習題 7.3-6

x210x150,則(x5)2之值為何?

習題 7.3-7

若方程式x28x p0可配方成(x4)2 28的形式,則p 的值是多少?

習題 7.3-8

已知x2 4xa(xb)2,求a、b 之值。

習題 7.3-9

若方程式x26xp0可利用配方法寫成(x q)2 6,試求p 之值。

Figure

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