代數第七章目錄

(1)

代數第七章

第七章一元二次方程式的解法...1

學習目標...1

7.1 節認識一元二次方程式...2

7.1 節習題...8

7.2 節用因式分解解一元二次方程式...10

7.2 節習題...20

7.3 節用配方法解一元二次方程式...22

7.3 節習題...35

7.4 節一元二次方程式的公式解...38

7.4.1 節一元二次方程式解的判別...40

7.4.2 節用公式解解一元二次方程式...42

7.4 節習題...53

7.5 節一元二次方程式的應用題與綜合題...55

7.5 節習題...70

第七章綜合習題...74

(2)

基測與會考試題...78

習題解答...83

(3)

第七章一元二次方程式的解法

我們已經學過了一元一次方程式與二元一次方程式，在本章中，我們將學習一元二次方程式，並學習用多種方法來解，熟悉一元二次方程式解法後，可以再延伸到二次函數及其圖形。

學習目標

1.瞭解什麼是一元二次方程式。

2.能利用因式分解、配方法、公式解找出一元二次方程式的解。

3.能利用判別式判斷一元二次方程式解的種類。

4.能處理一元二次方程式的應用問題。

(4)

7.1 節認識一元二次方程式

前面的章節中，我們學過了一元一次方程式、二元一次方程式：

一元一次方程式是指只有1 個未知數(一元)，未知數最高次數為 1(一次)的方程式，

如²^x^⁷^⁰。

二元一次方程式是指只有2 個未知數(二元)，未知數最高次數為 1(一次)的方程式，

如²^x^{ y}³ ^⁷^⁰。

同樣地，一元二次方程式就是只有1 個未知數(一元)，未知數最高次數為 2(二次)的方程式，如x² x4 40、⁽^x^³⁾⁽^x^⁴⁾^⁰

我們先來看看什麼樣的場合會用到一元二次方程式。

例題 7.1-1

請依下列敘述列出一元二次方程式：

(1)某三角形的底為⁽^x^¹⁾公分，高為³^x公分，面積為30 平方公分。

(2)小華買了⁽²^x^³⁾枝原子筆，每枝原子筆售價都是 x 元，小華共花了65 元。

(3)⁽^x^²⁾與⁽^x^³⁾兩數的乘積為6。

詳解：

(1)三角形的面積等於底×高×¹₂ 。

列成方程式為 ³⁰

2 3 1 ) 1

(x  x 

繼續化簡 ³⁰

2 ) 1 3 3

( x² x  

2 30 2 2

) 1 3 3

( x² x     (等量公理，等號左右同乘以 2)

60 3 3x²  x

0

2 x20 x

(5)

(2)總價等於單價×枝數。

列成方程式為 ^x^⁽²^x^³⁾^⁶⁵ 繼續化簡 2x²  x3 65

0 65 3

2x² x 

(3)列成方程式為 ⁽^x^²⁾^⁽^x^³⁾^⁶ 繼續化簡　 x²  x66

0

2  x12 x

由例題7.7-1 可知，生活中有很多情境是可以列成一元二次方程式的。

接著我們再來看看什麼是一元二次方程式的解。

與一元一次方程式相同，只要將一個數代入方程式中的未知數，若能使等號的兩邊相等，則稱此數為該一元二次方程式的解(或根)。

我們試試看－2、－1、0、1、2 這些數中有哪幾個是一元二次方程式x²  x20的解。

－2： ⁽^²⁾² ^⁽^²⁾^²^⁴^²^²^⁴^⁰，等號不成立，－2 不是此方程式的解。

－1： ⁽^¹⁾²^⁽^¹⁾^²^¹^¹^²^⁰，等號成立，－1 是此方程式的解。

0： ⁽⁰⁾² ^⁽⁰⁾^²^⁰^⁰^²^^²^⁰，等號不成立，0 不是此方程式的解。

1： ⁽¹⁾² ^⁽¹⁾^²^¹^¹^²^^²^⁰，等號不成立，1 不是此方程式的解。

2： ⁽²⁾² ^⁽²⁾^²^⁴^²^²^⁰，等號成立，2 是此方程式的解。

因此－1 與 2 都是一元二次方程式x²  x20的解。

(6)

例題 7.1-2

下列哪些敘述是正確的？

(1) 3 是x²  x2 30的解 (2) 4 是x²  x4 40的解詳解：

(1)將^x^³代入x² x2 30：⁽³⁾²^²^⁽³⁾^³^⁰ 等式成立，因此3 是x²  x2 30的解。

(2)將^x^⁴代入x²  x4 40：⁽⁴⁾² ^⁴^⁽⁴⁾^⁴^⁴^⁰ 等式不成立，因此4 不是x² x4 40的解。

例題 7.1-3

若^x^²是一元二次方程式^x²^{ ax}^⁴^⁰的解，試求a 之值。

詳解：

2

x 是一元二次方程式x² ax40的解，

也就是將^x^²代入方程式，可使等式成立。

0

2 ax4 x

0 4 2

2² a   (將^x^²代入)

0 4 2 4 a 

0 8 2a 

8 2a

4

 a

【練習】7.1-3

若^x^ ^³是一元二次方程式^x²^{ ax}^⁹^⁰的解，試求a 之值。

若是想找一元二次方程式的解，有一個性質我們必須熟悉：

若a b⁰，則a⁰或b⁰

(7)

已知^a^{ b}^⁰，我們想利用等量公理，將等式左右都乘以

a

1 消去a，但必須在^a ^⁰ 時才能乘以

a

1 ，故我們先看a⁰的情形。

0

 b a

a b a

a 1

1 0







 (^a^⁰，利用等量公理，將等式左右都乘以 _a¹ )

0 b

即a0時，可推得b0。

另一個情形是a0，a 0即為此性質的另一個結果。

由以上討論可知，若a b0，則a0或b0。利用這個性質，我們可以解一些一元二次方程式。

如要解⁽^x^¹⁾⁽^x^²⁾^⁰，我們可以從方程式推得x10或x20。

0 1



x ，即^x^¹；^x^²^⁰，即^x^²。因此⁽^x^¹⁾⁽^x^²⁾^⁰的解為x1或x2。

驗算：^x ^¹時，⁽¹^¹⁾⁽¹^²⁾^⁰^⁽^¹⁾^⁰；^x^²時，⁽²^¹⁾⁽²^²⁾^¹^⁰^⁰。

(8)

例題 7.1-4

求下列一元二次方程式的解。

(1) ^x⁽^x^¹⁾^⁰ (2)⁽^x^²⁾⁽^x^³⁾^⁰ (3) ⁽²^x^¹⁾⁽^x^⁴⁾^⁰ (4)⁽^x^²⁾² ^⁰ 詳解：

(1)由題目可知，^x^⁰或^x^¹^⁰可使等式成立。

0 1



x → ^x^¹ 解為x⁰、

1

。

(2)由題目可知，^x^²^⁰或x30可使等式成立。

0 2



x → ^x^²

0 3



x → ^x ^^³ 解為x2、3。

(3)由題目可知，²^x^¹^⁰或^x^⁴^⁰可使等式成立。

0 1

2x  →

2

1

 x

0 4



x → ^x^⁴ 解為 2

1



x 、

4

。

(4)⁽^x^²⁾² ^⁽^x^²⁾⁽^x^²⁾

兩個含x 的式子都相同，^x^²^⁰時可使等式成立。

0 2



x → ^x^² 解為x2。

同學可以驗算看看各題的解是否能使等式成立。

在例題7.1-4(4)中，若是依(1)～(3)的答案寫法，(4)的答案可寫成^x^²、2。

像這種兩個解都相同的情形，我們稱為重根，也就是一個解重覆出現兩次。

(9)

【練習】7.1-4

(1) ²^x⁽^x^⁷⁾ ^⁰ (2)⁽^x^⁵⁾⁽^x^⁶⁾^⁰ (3) ⁽³^x^²⁾⁽^x^¹⁾^⁰ (4)⁽^x^³⁾² ^⁰

例題 7.1-5

若^x^⁵是一元二次方程式⁽^x^²⁾⁽^x^^a⁾^⁰的解，試求a 之值。

詳解：

一元二次方程式⁽^x^²⁾⁽^x^^a⁾^⁰，^x^²^⁰或^x^{ a}^⁰時可使等式成立。

0 2



x → ^x^²

0

 a

x → xa

依題意，x5是一個解，且25，因此a5。

驗算：^a^⁵代入方程式得⁽^x^²⁾⁽^x^^a⁾^⁰，此方程式解為2、5，與題意符合。

【練習】7.1-5

若^x^^³是一元二次方程式⁽^x^²⁾⁽^x^^a⁾^⁰的解，試求a 之值。

(10)

7.1 節習題

習題 7.1-1

請依下列敘述列出一元二次方程式：

(1)某長方形的長為⁽²^x^⁵⁾公分，寬為²^x公分，面積為36 平方公分。

(2)小美買了⁽²^x^³⁾顆蘋果，每顆蘋果售價都是 x 元，小美共花了35 元。

(3)⁽^x^¹⁾與⁽^x^²⁾兩數的乘積為10。

習題 7.1-2

下列哪些敘述是正確的？

(1) 1 是x² x2 10的解 (2) ^³是x²  x2 150的解

習題 7.1-3

若^x^⁴是一元二次方程式x² ax80的解，試求a 之值。

習題 7.1-4

(1) ²^x⁽^x^³⁾^⁰ (2)⁽^x^³⁾⁽^x^⁵⁾^⁰ (3) ⁽⁵^x^¹⁾⁽^x^¹⁾^⁰ (4)⁽^x^⁵⁾² ^⁰

習題 7.1-5

若^x ^¹是一元二次方程式⁽^x^²⁾⁽^x^^a⁾^⁰的解，試求a 之值。

(11)

7.2 節用因式分解解一元二次方程式

在前一節中我們學習了如何找⁽^x^²⁾⁽^x^³⁾^⁰這種已拆成兩式相乘的一元二次方程式的解。那未拆成兩式相乘，如x²  x3 100這種形式的方程式又該如何處理呢？

過去章節中，我們曾學過因式分解，也就是能夠將x² x3 10化成⁽^x^⁵⁾⁽^x^²⁾。將x²  x3 100轉變成⁽^x^⁵⁾⁽^x^²⁾^⁰，我們就能輕鬆的找到解為x5、－2 了。

本節中我們將學習利用因式分解來找一元二次方程式的解。

首先來學習直接提出公因式的題型。

例題 7.2-1

(1) x²  x0 (2)x² 5x

詳解：

(1) x²  x0 0 ) 1 (x 

x (直接提出 x)

0

x 、1

(2) x² 5x 0

2 x5  x

0 ) 5 (x 

x (直接提出 x)

0

x 、5

【練習】7.2-1

(1) ³^x⁽^x^⁵⁾^⁰ (2)⁽^x^⁴⁾⁽^x^²⁾^⁰

(12)

例題 7.2-2

(1) ^x⁽^x^²⁾^²⁽^x^²⁾^⁰ (2)⁽^x^²⁾⁽^x^³⁾^^⁶⁽^x^³⁾ 詳解：

(1) ^x⁽^x^²⁾^²⁽^x^²⁾^⁰

0 ) 2 )(

2

(x x  (直接提出^x^²)

2



x 、2

(2) ⁽^x^²⁾⁽^x^³⁾^^⁶⁽^x^³⁾

0 ) 3 ( 6 ) 3 )(

2

(x x  x  0 ) 6 2 )(

3

(x x   (直接提出^x^³)

0 ) 8 )(

3

(x x 

3

x 、－8

【練習】7.2-2

(1) ^x⁽^x^⁵⁾^⁴⁽^x^⁵⁾^⁰ (2)⁽^x^⁵⁾⁽^x^¹⁾^^³⁽^x^¹⁾

(13)

接下來，我們練習需要利用乘法公式來因式分解的題目。

例題 7.2-3

(1) x² 90 (2)⁴^x² ^{ x}⁽ ^²⁾² 詳解：

(1) x² 90 0 3²

2 

x

0 ) 3 )(

3

(x x  (利用平方差公式)

3



x 、3

(2) ⁴^x² ^{ x}⁽ ^²⁾²

0 ) 2 (

4x²  x ²  0 ) 2 ( ) 2

( x ²  x ² 

0 )) 2 ( 2 ))(

2 ( 2

( x x x x  (利用平方差公式)

0 ) 2 )(

2 3

( x x 

3

 2

x 、－2

【練習】7.2-3

(1) 4x² 360 (2)⁹^x² ^{ x}⁽ ^⁴⁾²

(14)

例題 7.2-4

(1) x² x2 10 (2)x² x6 90

詳解：

(1) x² x2 10 0 ) 1

(x ²  (利用和的平方公式)

1



x (重根) (2) x²  x6 90

0 ) 3

(x ²  (利用差的平方公式)

3

x (重根)

【練習】7.2-4

(1) x² x4 40 (2)x²  x10 250

(15)

除了用直接提出公因式與乘法公式做因式分解外，我們還學過用十字交乘法做因式分解。

例題 7.2-5

(1) x² x6 50 (2)x² x60

詳解：

(1) x² x6 50 0 ) 1 )(

5

(x x  (利用十字交乘)

5



x 、

 1

(2) x² x60 0 ) 2 )(

3

(x x  (利用十字交乘)

3



x 、2

【練習】7.2-5

(1) x²  x6 80 (2)x² x6 70

(16)

以上是利用因式分解解一元二次方程式的基本題目，接下來讓我們練習一些運算較多變化的題型。

例題 7.2-6 (先移項再因式分解) 求下列一元二次方程式的解。

(1) 2x² x11 21 (2)⁽^x^⁶⁾⁽^x^⁵⁾^^²⁴ 詳解：

(1) 2x² x11 21 0 21 11

2x² x  0 ) 7 )(

3 2

( x x  (利用十字交乘)

2

3



x 、7

(2) ⁽^x^⁶⁾⁽^x^⁵⁾^^²⁴

24

2  x30 x

0 24

2 x30  x

0

2 x6 x

0 ) 2 )(

3

(x x  (利用十字交乘)

3



x 、2

【練習】7.2-6

(1) 3x²  x2 8 (2)⁽^x^⁴⁾⁽^x^³⁾^³⁰

(17)

例題 7.2-7 (先整理係數再因式分解) 求下列一元二次方程式的解。

(1) ₈¹^x²^{ x}₂¹ ^₂¹ ^⁰ (2)₇¹^x² ^₇⁴ ^⁰ 詳解：

(1) ₈¹^x²^{ x}₂¹ ^₂¹ ^⁰

8 0 8 2) 1 2 1 8

(1x²  x    (等號左右兩邊同乘以 8)

0 4

2  x4   x

0 ) 2

(x ²  (利用乘法公式)

2

x (重根)

(2) ₇¹^x²^₇⁴ ^⁰

7 0 7 7) 4 7

(1x²    (等號左右兩邊同乘以 7)

0

2 4 x

0 ) 2 )(

2

(x x  (利用乘法公式)

2



x 、2

【練習】7.2-7

(1) ⁰

6 25 3 5 6 1 ₂





 x

x (2) ⁰

7 5 7 4 7

1x2  x 

(18)

例題 7.2-8 (係數為文字)

求下列一元二次方程式的解。(各題中a、b、c 皆不為 0) (1) ^ax² ^⁽^ab^¹⁾^x^^b^⁰ (2) x²2axa² 0

(3) ^x²^⁽â^^b⁾^x^âb^⁰ (4) âbx² ^⁽âb^^c⁾^x^^c^⁰ 詳解：

(1) ^ax² ^⁽^ab^¹⁾^x^^b^⁰ a 1

0 ) )(

1

(ax xb  (利用十字交乘) a b

x a1



 、b 1 b

x ab x b

a 1 1) ( 1)

(     

(2) x²2axa² 0 1 a

0 )

(x a ²  (利用乘法公式或十字交乘) 1 a² a

x (重根) 1 a

ax x a

a 1) 2

1

(    

(3) ^x²^⁽^a^^b⁾^x^^ab^⁰ 1 a

0 ) )(

(xa xb  (十字交乘) 1 ab a

x 、－b 1 b

x b a x a

b 1) ( )

1

(     

(4) ^abx²^⁽^ab^^c⁾^x^^c^⁰ ab c

0 ) 1 )(

(abxc x  (利用十字交乘) ab c

ab

x c 、-1 1 1

x c ab x c

ab 1 1) ( )

(     

(19)

驗算：

(1) 將^x^^_a¹代入^ax²^⁽^ab^¹⁾^x^^b：

a b a ab

a    1) )(

1 ( 1) ( ²

a b a b   

 1)

( ) 1 (

b a b

a    

 1 1 ( )

0 可確認

xa1為方程式^ax² ^⁽^ab^¹⁾^x^^b^⁰的解。

將^x^^^b代入^ax² ^⁽^ab^¹⁾^x^^b：

b b ab

b

a( )²( 1)( ) b b ab

ab     

 ² ( ²) ( )

0 可確認^x^^^b為方程式^ax²^⁽^ab^¹⁾^x^^b^⁰的解。

(2) 將xa代入x²2axa²：

2

2 2 ( )

)

(a  a a a

2 2

2 2a a

a  



0 可確認xa為方程式x²2axa² 0的解。

同學可以驗算看看(3)、(4)題的解是否能使等式成立。

【練習】7.2-8

求下列一元二次方程式的解。(各題中a、b、c 皆不為 0) (1) x²2bxb² 0 (2)^abx²^⁽^ac^^b⁾^x^^c^⁰

(20)

例題 7.2-9

解一元二次方程式^x²^⁽^x^²⁾⁽^x^¹⁾^⁴^⁽^x^²⁾² 詳解：

本題可以活用之前學過的因式分解來計算

2 2(x2)(x1)4(x2) x

2

2 4) ( 2)( 1) ( 2)

(x   x x  x (將－4 與 x²湊成一組)

0 ) 2 ( ) 1 )(

2 ( ) 2 )(

2

(x x  x x  x ²  (利用平方差公式)

0 )]

2 ( ) 1 ( ) 2 )[(

2

(x x  x  x  (提出⁽^x^²⁾)

0 ] 2 1 2 )[

2

(x x x x  0

) 3 )(

2

(x x 

2



x 、³

同學可以驗算看看此解是否能使等式成立。

【練習】7.2-9

解一元二次方程式^x²^⁽^x^³⁾⁽^x^²⁾^⁹^⁽^x^³⁾²

(21)

7.2 節習題

習題 7.2-1

(1)x²  x8 0 (2)x² 3x

習題 7.2-2

(1)^x⁽⁴^x^⁵⁾^⁶⁽⁴^x^⁵⁾^⁰ (2)⁽^x^⁵⁾⁽²^x^⁷⁾^^³⁽^x^⁵⁾

習題 7.2-3

(1) x² 250 (2)¹⁶^x² ^{ x}⁽ ^³⁾²

習題 7.2-4

(1) x²  x8 160 (2)x² x12 360

習題 7.2-5

(22)

習題 7.2-6 (先移項再因式分解) 求下列一元二次方程式的解。

(1) 3x²13x4 (2)⁽^x^³⁾⁽^x^¹⁾^⁸

習題 7.2-7 (先整理係數再因式分解) 求下列一元二次方程式的解。

(1) ₉¹^x² ^{ x}₃² ^¹^⁰ (2)₁₆¹ ^x²^¹^⁰

習題 7.2-8 (係數為文字)

求下列一元二次方程式的解。(各題中a、b、c 皆不為 0) (1) ^x² ^⁽^^a^^b⁾^x^^ab^⁰ (2) a²x²  ax2 10

習題 7.2-9

解一元二次方程式^x²^⁽^x^²⁾⁽^x^⁴⁾^¹⁶^⁽^x^⁴⁾²

(23)

7.3 節用配方法解一元二次方程式

在多項式章節中，我們已經學過根號。如 ⁹ ^³、 ²⁵^⁵。我們也知道3² 9，5² 25。

那麼今天若是想解一個一元二次方程式x² 9，會有什麼答案呢？

因為3² 9，所以x3是一個解。

但再仔細觀察，會發現因為⁽^³⁾² ^⁹，所以x³也是一個解。

也就是說x² 9的解有3 和－3。而 3 和－3 也稱為 9 的平方根。

用文字來表示，一元二次方程式x² a(â^⁰)的解即為 â與^ â，也可寫為^ â 。

例題 7.3-1

(1) x²16 (2)3x² 12

(3) ⁽^x^¹⁾² ^³ 詳解：

(1) x² 16

4



x ( ¹⁶^⁴)

(2) 3x² 12

3 12 3 3x²  

2 4 x

2



x ( 4 2)

(3) ⁽^x^¹⁾² ^³

3 1 x

3 1 x

【練習】7.3-1

(1) x²81 (2)2x² 32

(3) ⁽^x^³⁾² ^⁷

(24)

在前面的例題7.3-1(3)中，我們可以想成是利用完全平方式來找出解。

完全平方式：對於一多項式 A，若能找到另一多項式 B 使得A



B²，則稱A 為完全 平方式。例如多項式x² x2 1可以寫成⁽^x^¹⁾²，因此x² x2 1是完全平方式。

若我們想解一元二次方程式 x²  x2 20，因為x² x2 2沒辦法用因式分解，因此可試著利用乘法公式湊出完全平方式，形成例題 7.3-1(3)的形式後再找出解。

0 2

2  x2  

x (觀察前兩項x²2x，可以發現若是加上1，

就能變成完全平方式x² x2 1，即⁽^x^¹⁾²)

1 0 2 1

2  x2    

x (等號左右兩邊都加上 1)

1 2 ) 1

(x ²   (x² x2 1利用乘法公式變成⁽^x^¹⁾²)

2 1 ) 1

(x ²   3 ) 1 (x ² 

至此，方程式便與例題 7.3-1(3)相同，可以繼續用例題 7.3-1(3) 的計算方法找出解。

像這種利用配成完全平方式，將一元二次方程式變成⁽^x^^a⁾² ^^b的形式，再使用平方根的概念來求解的方法，稱為配方法。

(25)

在正式使用配方法求解以前，我們需要先熟悉如何配出完全平方式。

若有一個式子是x²  kx□

□要填入什麼數，才能配出完全平方式呢？

回想以前學過的乘法公式：⁽^x^â⁾² ^^x²^²âx^â² 令k2a，則

2

a k ， ² ⁾²

(2k a 

也就是□只要填入 ⁾²

(k2

，就能配出完全平方式。

2 2

2 )

( 2 2) 2 ( 2 2)

( k

k x x k

k x kx

x         

配完全平方式時會使用到的乘法公式有 ⁽^x^â⁾² ^^x²^²âx^â²

2 2

)

(xa x  axa

例題 7.3-2

分別將適當的數填入□中，使該式子可以配成一個完全平方式，並將它寫成完全平方的形式。

(1) x²  x2 □ (2) x² 12x□ (3) x²  x7 □ (4) ^x² ^{ x}₅⁶ ^□ 詳解：

(1) x²  x2 □

1

2  x2 

x (⁽₂²⁾² ^¹² ^¹，□填入1)

＝ ⁽^x^¹⁾² (2) x²12x□

36

2 12x

x (⁽^¹²₂ ⁾² ^⁽^⁶⁾² ^³⁶，□填入36)

＝ ⁽^x^⁶⁾² (3) x²  x7 □

4 7 49

2 x

x (⁽₂⁷⁾² ^ ⁴⁹₄ ，□填入

4 49 )

＝ ⁾²

2 (x7

(26)

(4) ^x ^{ x}^

5

2 6 □

25 9 5

2  x6 

x (⁽^₅⁶^²⁾² ^⁽^₅³⁾² ^ ₂₅⁹ ，□填入

25 9 )

＝ ⁾²

5 (x3

【練習】7.3-2

(1) x² x2 □ (2) x² 14x□ (3) x² x5 □ (4) ^x² ^{ x}₇⁴ ^□

熟悉了如何配出完全平方式後，接下來我們就可以正式用配方法來求解。

例題 7.3-3

(1) x²  x4 60 (2)x²  x2 90

(3) x²  x3 50 (4)x²  x30

詳解：

(1) x²  x4 60 6

2 x4 

x (先將常數項移到等號右邊)

2 2

2  x4 (2) 6(2)

x (等號兩邊都加(－2)²)

10 ) 2

(x ²  (配成完全平方式)

10 2 x

10 2

 x

(2) x²  x2 90

(27)

2 2

2  x2 (1) 9(1)

10 ) 1

10 1 x

10 1 x

(3) x²  x3 50 5

2  x3 

2 2

2 )

2 (3 5 2) (3

3   

 x

x (等號兩邊都加⁽₂³⁾²)

4 ) 29 2

(x3 ²  (配成完全平方式)

4 29 2

3 

 x

2 29 2

3 

 x

2 29 23 



 x

(4) x² x30

2 x3

2 2

2 )

2 (1 3 2)

(1  



 x

x (等號兩邊都加⁽₂¹⁾²)

4 ) 13 2

(x1 ²  (配成完全平方式)

4 13 2

1 

 x

2 13 2

1 

 x

2 13 1 2



 x

(28)

【練習】7.3-3

(1) x²  x6 90 (2)x²  x4 70

(3) x² x40 (4)x²  x5 80

例題 7.3-4 (二次項係數不為 1) 求下列一元二次方程式的解。

(1) x² 6x60 (2)2x²  x4 50

(3) 3x² x5 20 (4)4x² 5x10

詳解：

若二次項係數不為1，可先利用等量公理，乘上二次項係數的倒數，將二次項係數化為1。

(1) x² 6x60

) 1 ( 0 ) 1 ( ) 6 6

(x² x      (等號左右都乘以(－1)，二次項係數化為 1)

0 6

2 x6   x

6

2 x6 

x (將常數項移到等號右邊)

2 2

2 x6 3 (6)3

x (等號兩邊都加 3²)

3 ) 3

(x ²  (配成完全平方式)

3 3

 x

3 3

 x

(2) 2x²  x4 50

2 0 1 2 ) 1 5 4 2

( x² x    (等號左右都乘以¹₂ ，二次項係數化為1)

(29)

2 0 2 5

2 x 

x

2 2 5

2  x

2 2

2 ( 1)

2 ) 5 1 (

2     

 x

2 ) 7 1

2 1 7

 x

2 1 7

 x

2 14 11

 x

(3) 3x² x5 20

3 0 1 3 ) 1 2 5 3

( x² x    (等號左右都乘以₃¹ ，二次項係數化為1)

3 0 2 3

2  x5   x

3 2 3

2 x5 

2 2

2 )

6 (5 3 ) 2 6 (5 3

5   

 x

x (等號兩邊都加⁽₆⁵⁾²)

36 25 36 ) 24 6

(x5 ²   (配成完全平方式)

36 ) 49 6 (x5 ² 

36 49 6

5 

 x

6 7 6 5

 x

6 7 65 



 x

3

1

x 、2

(30)

(4) 4x² 5x10

4) ( 1 0 4) ( 1 ) 1 5 4

( x² x      (等號左右都乘以^(₄¹⁾，二次項係數化為1)

4 0 1 4

2  x5  

x

4 1 4

2  x5 

2 2

2 )

8 ( 5 4 ) 1 8 ( 5 4

5     

 x

x (等號兩邊都加^(₈⁵⁾²)

64 25 64 ) 16 8

(x5 ²   (配成完全平方式)

64 ) 41 8 (x5 ² 

64 41 8

5 

 x

8 41 8

5 

 x

8 41 85 

 x

8 41 5

 x

我們來驗算看看(1)

將^x^^³^ ³代入x²6x6，看看是否會等於0。

6 ) 3 3 ( 6 ) 3 3

(  ²    



6 ) 3 3 ( 6 ) 3 3 6 9

(      





6 3 6 18 3 6

12   





) 3 6 3 6 ( ) 6 18 12

(    



0

因此^x^^³^ ³是x²6x60的解。

(31)

將x3 3代入x²6x6，看看是否會等於0。

6 ) 3 3 ( 6 ) 3 3

(  ²    



6 ) 3 3 ( 6 ) 3 3 6 9

(      





6 3 6 18 3 6

12   





) 3 6 3 6 ( ) 6 18 12

(     



0

因此^x^^³^ ³是x² 6x60的解。

由以上驗算可知，x3 3是x² 6x60的解。

同學可以驗算看看其他題的解是否能使等式成立。

【練習】7.3-4

(1) x²7x30 (2)2x²  x6 70

(3) 5x²  x7 20 (4)3x² 9x20

(32)

例題 7.3-5

(1) x²  x2 4830 (2)x²  x6 3910

(3) x² 12x2530 (4)x² 24x6970

詳解：

(1) x²  x2 4830 483

2 x2 

2 2

2 x2 (1) 483(1)

x (等號兩邊都加^(¹⁾²)

484 )

1

484 1 x

22 1

 x

22 1

 x

23

x 、

 21

(2) x²  x6 3910 391

2  x6 

2 2

2 x6 (3) 391(3)

x (等號兩邊都加^(³⁾²)

400 )

3

400 3 x

20 3

 x

20 3

 x

23

x 、^¹⁷

(33)

(3) x²12x2530 253

2 12x

2 2

2 12x(6) 253(6)

x (等號兩邊都加

^{( 6)} 

²)

289 )

6

289 6 x

17 6

 x

17 6

 x

23

x 、

 11

(4) x² 24x6970 697

224x

2 2

2 24x(12) 697(12)

x (等號兩邊都加^(¹²⁾²)

841 )

12

841 12 x

29 12

 x

29 12

 x

41

x 、¹⁷

【練習】7.3-5

(1) x²  x2 2550 (2)x²  x6 2160

(3) x²  x4 2210 (4)x²  x8 3450

(34)

例題 7.3-6

若^x²^{ x}⁴ ^¹⁶^⁰，則⁽^x^²⁾²之值為何？

詳解：

由題目知 x² x4 160 16

2  x4 

2 2

2 x4 (2) 16(2)

x (等號兩邊都加^(²⁾²)

20 ) 2

(x ²  (配成完全平方式) 可知⁽^x^²⁾²之值為20。

【練習】7.3-6

若^x²^{ x}⁶ ^²⁰^⁰，則⁽^x^³⁾²之值為何？

例題 7.3-7

若方程式^x² ^¹²^x^ ^p^⁰可配方成⁽^x^⁶⁾² ^³⁰的形式，則p 的值是多少？

詳解：

將⁽^x^⁶⁾² ^³⁰化成^x² ^¹²^x^ ^p^⁰的形式由題目知 ⁽^x^⁶⁾² ^³⁰

30 36

2  x12   x

0 30 36

2  x12   

x

0 6

2  x12   x

可知p 之值為 6。

【練習】7.3-7

若方程式^x² ^¹⁴^x^ ^p^⁰可配方成⁽^x^⁷⁾² ^³⁰的形式，則p 的值是多少？

例題 7.3-8

已知^x² ^¹⁰^x^^a^⁽^x^^b⁾²，求a、b 之值。

詳解：

(35)

＝ ^x²^¹⁰^x^⁽^⁵⁾²^^a^⁽^⁵⁾²

＝ ⁽^x^⁵⁾² ^⁽^a^²⁵⁾

與⁽^x^^b⁾²對照，可知^b^⁵，^a^²⁵^⁰→^a^²⁵。

【練習】7.3-8

已知^x² ^¹⁶^x^^a^⁽^x^^b⁾²，求a、b 之值。

例題 7.3-9

若方程式^x²^²^x^^p^⁰可利用配方法寫成⁽^x^{ q}⁾² ^⁵，試求p 之值。

詳解：

0

22xp x

2 2

2 2x(1) p(1) x

1 )

1

(x ² p

與⁽^x^{ q}⁾² ^⁵對照，可知^q ^¹，^{ p}^¹^⁵→ ^p^^⁴。

【練習】7.3-9

若方程式^x²^⁸^x^ ^p^⁰可利用配方法寫成⁽^x^{ q}⁾² ^⁸，試求p 之值。

(36)

7.3 節習題

習題 7.3-1

(1) x² 25 (2)4x² 4

(3) ⁽^x^²⁾² ^⁵

習題 7.3-2

(1) x²  x6 □ (2) x²  x8 □ (3) x²  x3 □ (4) ^x ^{ x}^

5

2 2 □

習題 7.3-3

(1) x² 10x20 (2)x² x2 50

(3) x²  x7 10 (4)x²  x10

習題 7.3-4 (二次項係數不為 1)

(37)

(1) x²5x30 (2)4x² x8 60

(3) 2x² x5 30 (4)3x²  x15 140

習題 7.3-5

(1) x² 28x1870 (2)x² x2 1950

(3) x²  x2 3230 (4)x² 10x3750

習題 7.3-6

若x²10x150，則⁽^x^⁵⁾²之值為何？

習題 7.3-7

若方程式^x²^⁸^x^ ^p^⁰可配方成⁽^x^⁴⁾² ^²⁸的形式，則p 的值是多少？

習題 7.3-8

已知^x² ^⁴^x^^a^⁽^x^^b⁾²，求a、b 之值。

習題 7.3-9

若方程式^x²^⁶^x^^p^⁰可利用配方法寫成⁽^x^{ q}⁾² ^⁶，試求p 之值。

代數第七章 目錄