概率统计复习 概率统计复习  

概率统计复习

概率：

( ) ^A

n

n A f A

n

频率： 发生次数 总次数

（一）概率

1. 非负性：； P A ( ) 0  2. 规范性：； P S ( ) 1 

1, ,...2

3. A A

 

两两互

可列可加性 ：

,

( ) 1 ( ) P A   P A 性质：

( ) ( ) ( ) ( ) P A B   P A  P B  P AB

1 1

1

1 1 1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( 1) ( )

n n

i i i j

i i j n

i

n

i j k n

i j k n

P A P A P A A

P A A A P A A A

   





   

 

     

 





( ) ( ) 0 ( | )

( )

P A P B A P AB

 时 

P A

B A

( | )

P A

注：也是一个概率

( | ) 1 ( | )

P B A P B A

   S

B _AB A

乘法公式

当下面的条件概率都有意义时：

( ) ( ) ( | ) P AB  P A P B A 

1 2

1 2 1 3 1 2 1 1

( )

( ) ( | ) ( | ) ( | )

n

n n

P A A A

P A P A A P A A A P A A A

 

 

1, 2, , _n

B B  B S

定义称为的一个: 划分,若

1 2

( ) i

B  B  B

 S ,

ii

B B

i

j

B

B

B

B

B

1, , ,2 _n ( ) 0._i

B B

B S P B

全概

且则有 率公式：

1

( ) ⁿ ( )_j ( | _j )

j

P A P B P A B







1

( ) 0

( ) ( | ) ( | )

( ) ( | )

i i

i n

j j

j

P A

P B P A B P B A

P B P A B





 

Bayes

对有

( )

, ( |

)

, 1,2,..., . P B  p P A B  q j  n 设

1

( )

j

P A p q



 

则

q1

B1





S  A

p1

p2

pn

q2

qn

B2

Bn

P B A ( | )

1

i i n

j j j

p q p q



 

,

X X

若随机变量的取值为有限个或可数 离散

型随

个 则称为 机变量.

(二)随机变量

分布律为：

P

… …

… …

x

x

x

p

p

p

X

( _k ) _k , 1,2, . P X x  p k   或

1

0,

: _{k k} 1

k

p p









X

, ,

( ) ( )

: X x

F x P X x X

 

随机变量对任意实数称函数

为的概率分布函数 分

定

，简称 义

布函数.

( )

F x 的几何意义

x

( ) ( ( , ]) F x  P X   x

( )

F x 的性质：

(1) 0  F x( ) 1;

(4) ( )F x 是右连续函数即 , F x(  0) F x( ).

(2) ( )F x 单调不减;

(3) (F  ) 0, F( ) 1;

1 2, 0 ( 1 2) x  x  P x  X x

对有  F x( )₂  F x( ).₁

( ) ( 0) ( ) F x  F x   P X  x

 

( ) .

k

k k

k x x

P X x p k

F x p



  







一般地，离散型随机变量的分布函数为阶梯函数.

如果分布律为 那么分布函数为

 

( ) , 1,2,

{ }.

k

k k

F x x x k

p P X x

 

  在处有跳跃， 

其跳跃值为

 

( )

: ,

,

X F x

f x x

对于随机变量的分布函数 若存在非负 的函数使对于任意实数

定义

有：

( ) ^x ( )

F x f t dt





, ( ) ,

X f x X

则称为其中称连续型随机变量 概率密度

为的 简称

函数 概率密度.

( ) y  f x 面积为1

x

( ) f x

(2) ^

f x d x

    



(1) ( ) 0; f x  

f x

(3) ( ) ( ) , .

P X D



f x d x

D R

f x

x F x

f x

定义：设 E 是一个随机试验，样 本空间 S={e} ；设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的 随机变量，由它们构成的 向量 (X,Y) 称为二维随机 向量或二元随机变量。

y

x

e S

0

.

( ) X e ( )

Y e

(三)二元随机变量

( , ) ,

( , ) ( , ) ( , )

X Y

x y

F x y P X x Y y X Y

  

定义：设是二元随机变量，对于任意 实数，二元函数

称为 二元随机变量的 联合分布函数。

0 x





( ), ( ),_{X Y}

X Y

F x F y

( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )

X Y

F x P X x F x

F y P Y y F y

   

   

( ) 0,

P Y y  Y y X 定义：

若则在条件下，的 条件分布函数为：

|

( , ) ( | ) ( | )

( )

X Y

P X x Y y F x y P X x Y y

P Y y

 

   

 条件分布函数

| 0

0

( | ) ( | )

( , )

( )

F

x y lim P X x y Y y P X x y Y y lim P y Y y



















    

   

   

( | ).

P X x Y y

| ( | ) (

=

F

x y P X x Y y

( ) 0, 0, ( ) 0,

P Y y P y Y y

Y y X

 

      



若但对任一

则在条件下，的条件分布函数定义为：

二元离散型随机变量

定义：若二元随机变量 (X,Y) 全部可能取 到的不同值是有限对或可列无限 对，则称 (X,Y) 是二元离散型随机 变量。

   

 

 

, , ,

, , , 1, 2, ,

i j

i j ij

X Y x y

P X x Y y p i j

X Y

    

设所有可能取值为称

为二元离散型随机变量 的联合分布律。

离散随机变量的联合概率分布律

y₁ y₂ … y_j …

X Y

p₁₁ p₁₂ … p_1j … p21 p₂₂ … p_2j … p_i1 p_i2 … p_ij …

… … …

…

… … …

…

x1

x2

xi

1^

p

1 1

2 ^{ } 1

 



 ij

i j

p

X,Y 的边际分布律为：

P X x ( 

) 

1

(

)

i

P Y y

p p



  

⁼

1

ij i

j

p p



 



Y y j X

在条件下，的条件分布律为：

( )

( | ) 1, 2

( )

i j ij

i j

j j

P X x Y y p

P X x Y y i

P Y y p_

 

    

 

，

X x i Y

在条件下，的条件分布律为：

 





称为二元随机变量.

 





f x y X Y

(联合)

并称为二元随机 概率密度

变量的

（函数）。

   

 

, , ,

, ,

( , ) ^{x y} ( , )

X Y F x y

f x y x y

F x y f u v dudv

 



 

定义：对于二元随机变量的分布函数

如果存在非负函数，使对于任意，

有

联合概率密度函数

概率密度的性质：

 

1. f x y,  0

2. ^{ } f x y dxdy( , ) 1

  

 

 

3. ,

(( , ) ) ( , )

D

D xoy X Y D

P X Y  D



设是平面上的区域，点落在内的概率为：

2 ( , )

( , ) , F x y ( , ).

f x y x y  f x y

4.在的连续点( )，有 

( ) ( , ) ( ) ( , )

X

Y

f x f x y dy f y f x y dx

















,

X Y 的边际密度函数为：

( ) 0,

f yY  Y  y X

若则在的条件下，的条件密度函数为：

( ) 0,

f xX  X  x Y

若则在的条件下，的条件密度函数为：

|

( , ) ( | )

X Y ( )

Y

f x y f x y

 f y

|

( , ) ( | )

Y X ( )

X

f x y f y x

 f x

( | ) _{Y X}| ( | )

D

P Y  D X  x 



( , )

( _i, _j) _ij, , 1,2,...

X Y

P X x Y y   p i j  二元离散型随机变量

联合分布律

二元离散型与连续型随机变量分布比较

( , ) ( , ) X Y f x y

二元连续型随机变量 联合概率密度

1

( _i) _{ij i} , 1,2,...

j

X

P X x ^ p p i_



 



( ) ( , )

X

X

f x ^ f x y dy





的边际概率密度

( ) , 1, 2,...

i

ij

j i

i

X x Y

P Y y X x p j p_



   

时的条件分布律

( , ) ( )

Y X ( )

X x Y

f x y f y x

f x





时的条件概率密度

27

( ) ( ) ( ) ,

P AB  P A P B A B

如果，则称两个事件相互独立 (四)独立性

( ) 0

( | ) ( )

P A^ P B A  P B

当时

( ) 0

( | ) ( )

P A^ P B A  P B

当时

A B

直观含义：发生与否都不会改变发生的概率

相互独立两两独立 

两两独立不能推出相互独立



  

1 2

1

1 1 2

, , , 2 ,

,... ,

, , ,

k j

n

k

k

i i i i

j n

A A A n k n

i i

P A A A P A

A A A



 











设为个随机事件，若对 以及不同的均有：

则称相互独立

 

( , ) ,

, ( ) , ( )

,

( , ) ( ) ( )

X Y

F x y X Y

F x X F y

Y x y

P X x Y y    P X x P Y y   设是二元随机变量的分布

函数是的边际分布函数

是的边际分布函数，若对所有有：

即 ( , ) =

( ) ( )

F x y F x F y ,

X Y 相

称随机变量 互独立 。

独立性等价判断：

用分布律判断。对一切都成立 ,i j p

 p p

(

,

) (

) (

), , P X x Y y    P X x P Y y    i j 离 散

型 即

(

|

) (

), P Y y X x P Y y j

     

Y Y

即条件分布律与的边际分布律相等

独立性等价判断：

续 连 型

( , ) _X ( ) ( )_Y

f x y

f x f y .

即在平面上除去“面积”为零的集合以外，

上述等式处处成立。

( , ) x y 用密度函数判断。对在平面的点

几乎处处成立

|

( | ) ( )

Y X Y

f y x f y

 

Y Y

即的条件密度函数与的边际密度函数相等

(五)随机变量函数的分布

 

 

, ,

, .

X Y g X

g Y





问题：已知随机变量的分布

函数已知求的分布

1, ,2 , ;

{ } ,

( ) ( );

j j

j

Y Y

y y y

Y y X D

P Y y P X D

 

  

{ }

 

若为离散型随机变量,则先写出的可能取值：

再找出的等价事件得

, 1

( ) ( )

, ( ) ( )

( ) ( ).

Y

Y

Y Y

Y

Y

Y F y P Y y

Y y X D F y P X D

F y Y f y

 

   

{ } { }

若为连续型随机变量则

（）确定的取值范围；

（2)写出的分布函数：，

找出的等价事件得；

（3)对求导得的概率密度函数

( ( ( )) d F h y

注意常用到复合函数求导：

~ ( ), , ( ) '( ) 0 ( '( ) 0),

( ( )) '( ) , , ( ) 0,

X

X Y

X f x x

Y g X g x g x Y

f h y h y y

f y  

    

  

  

 



定理 设随机变量

，或

：

则具有概 率密度为：

其他.

( , )

( ) ( ).

Y h g

h y x y g x

 

      

   

其中是的取值范围，是的反函数,即

(

) (

,

)

i

P Z z    P X  x Y   z x

离散型：

连续型：

Z   X Y

(

,

)

i

P X z y Y y

    

 

 _

( ) ( ) F z

 P M  z

max( , ,

) M  X  X

(

, ,

) P X z X z

   

1

1 2

, , ⁿ

( ) ( ) ( )

n

X X

X X X

F z F z F z







如果相互独立

1  F z

( )  P N z (  ) min( , ,

) N  X  X

(

, ,

) P X z X z

   

1

1

, , ⁿ

(1 ( )) (1 ( ))

n

X X

X X

F z F z

  





如果相互独立

(六)数字特征

期望（数学期望，均值）

, ( )

( ) ,

i i i

x p X

E X

xf x dx X







 





若是离散型 若是连续型 ( ) ,

( ( ))

( ) ( ) ,

i i

i

g x p X

E g X

g x f x dx X







 





若是离散型 若是连续型

( , ) , ( , ) ( ( , ))

( , ) ( , ) , ( , )

i j ij

i

g x y p X Y E g X Y

g x y f x y dxdy X Y

 

 



 



 

若是离散型

若是连续型

( , )

( ) ( , ) ( ) ( , )

X Y

E X xf x y dxdy E Y yf x y dxdy

 

 

 

 





 

 

特别地，若是连续型，则





( ) ( ) [ ( )] . D X  Var X  E X E X

2 2

( ) [ ( )]

E X  E X

= 方差：

2 2

( ) ( ) [ ( )]

E X Var X E X

  

标准差： ^{ ( )X  Var X( )}

1.

( _{i i} ) _i ( )_i

i i

E b 





均值具有线性性 性质：

2.Var aX b(  ) a Var X2 ( )

3.Var X Y(  )  Var X( ) Var Y( ) 2 Cov X Y( , )

协方差：

( ) ( ) ( ) E XY E X E Y

 

 

( , ) [ ( )][ ( )]

Cov X Y

E X

E X Y

E Y

( ) ( , ) ( ) ( ) E XY Cov X Y E X E Y

  

性质：

3.

( _{i i}, ) _i ( , )_i

i i

Cov





线性性

1.对称性Cov X Y( , )  Cov Y X( , ) 2.Cov X X( , )  Var X( )

( , ,X1  X_n )的协方差矩阵：

( ) ,_{ij n n ij} ( ,_{i j} )

A

a

a

Cov X X

( , ) ( ) ( )

XY

Cov X Y D X D Y

 

1 

1

  

XY 0

X Y与不相关：



Cov X Y

X Y与独立与不相关 X Y 反之不一定成立

( ) ( ) ( ) E XY E X E Y

 

( ) ( ) ( )

Var X Y Var X Var Y

   

(七)九大分布

0 1 ( )

~ 0 1( ) ~ ) 1

(1 .

,

X p X B p



记为 或 

分布或两点分布

0 1

1 0 1.

X

P  p p 其中  p 

(P X k ) p^k (1 p) ,1^k k  0, 1.

分布律还可写为

( ) , ( ) (1 ) E X  p Var X  p  p

{ } _n^{k k}(1 )^{n k} 0,1,..., P X k  C p  p ^ ，k  n

2.

记为 X B n p

0 1

n  p

这里是正整数，

( ) , ( ) (1 ) E X  np Var X  np  p

3.参数为的记为 或



 



( ) , 0,1, 2, ,

! 0

ke

P X k k

k

 



    

其中 

( ) ( )

E X  Var X  

1 , ( , );

( )

0,

x a b f x b a

 

  

 其他.

( , ) , ~ ( ,

4.

a b

X U a b

[ , ] [ , ], ( [ , ])

a b c d

P X c d d c

b a



  

 性质：对任何的子区间

( )2

( ) , ( )

2 12

a b b a

E X   Var X  

, 0;

( )

0 , 0, e x x

f x x

 ^

 

  

1 , 0;

( ) 0, 0.

e x x

F x x



   

   分布函数为

~ ( )

0

X E



5.

,

0,

( | ) ( ) ^t

t s

P X s t X s P X t e^



      无记忆性：对，

~ ( 2 )

X N

6.

2 2

( )

1 2

( ) , ,

2

x

f x e x



 

 

     

(1) X (0,1)

 N

^{ } 性质：

(2) ( ) ( ), ( ) (0,1)

F x x x

N

^ 

  

分布函数其中为标准 正态分布的分布函数

(3) ( ) 1    x ( )x ，( ) 1z_  , z1_  z_ (4) ( )E X  ,Var X( )   2

( , ) 1 ( , ) ( , )

0

D X Y

x y D f x y D

 

 



, ,

假设的面积有限，的联合密度函数为：

的面积 其他

1 1 1

, (( , ) )

D D

P X Y D D

  D

：对的任何子区域都有 质

的面积 性

的面积

( , ) ~ ( )

D X Y U D

7.

2 2

1 2 1 2

( , )

X Y

N

8 . ,

2 2

1 1 2 2

(1)X  N ( ,  ), Y N ( ,  ) 性质：

(2)  _XY

(3)X Y与独立与不相关 =0  X Y

9.

(1)( , ,X1  X_n )正态每个分 X_i 质

量 性：

正态

( , ,1 )

i n

X  X  X

每个分量正态，且相互独立正态

1 1

(2)( , , _n) ⁿ _{i i}

i

X X a X







 正态所有线性组合正态

1

1 1

(3)( , , )

, , ( , , )

n

i n m

X X

Y X X Y Y







 正态

若每个都是的线性组合，则正态

(4) ( , ,若正态，则相互独立X  X ) X , , X 

(八)大数定律和中心极限定理

1.

P

n a

n   X

当时，

依概率收敛

0,lim (| _n | ) 0

n P X a

 

     对任意的

(1) , ( ) ,

( ) ( )

n P n P

X a f x a

f X f a





若在点连续则 性质：

.

(2) , , ( , )

( , ( , ).

P P

n n

n n P

X a Y b g a b

g X Y g a b

 



若在连续，

则）









2

2

( )

0, ( ) .

1 ( ) .

2.

Var X P X E X

Var X P X E X

 



 

   

   

的方差存在，则

对于任意都

为：

等价

有：

： 比雪夫不等式 设 切

1 2

1

, , , , ,

1

3.

n

n P

k k

X X X

n n X







 



 

设相互独立，具有相同的均值

同分布或同方差，则当时,

.

大数定律：

,

A

A P

n n A

A p

n p n

n   

设为重贝努里试验中事件发生的次数，并记

事件在每次试验中发生的概率为，则有

当时.

贝努利大数定律：

   

2

2 2

1 1

( , )

, , , , , ,

4.

n

i i

i i

X X Xn E X V

n

ar X X N n n

 





 



 

近似

设独立同分布，

则当充时分大～

： 中心极限定理

2 1

1 ( , )

n

i i

X N

n n

 



( , ) ~ ( , (1 )).

n B n p ^近似 N np np  p 当充分大时，

特别地，

59

(九)统计量与抽样分布

1. 总体:

简单随

2. 机样本：

满足以下两个条件的 (X₁,X₂,…,X_n) 称为容量是

n 的简单随机样本：

(1) 代表性 : 每个 X_i 与 X 同分布；

(2) 独立性 : X₁,X₂,…,X_n 是相互独立的随机变 量

3. 统计量：样本的不含任何未知参数的函数。

1 2 1 2

1 2

, ,..., ) , ,..., ) , ,..., )

( , (

, ( .

n n

n

X X X g X X X

g X X X 设为样本若

不含任何未知参数则称为统计量

1

1 ⁿ _i,

i

X X

n _





样本均值

2 2

1 2

1 ( )

1 ⁿ _i ,

i

S X X

n

S S



 







样本方差

样本标准差

1

1

1

1 ( )

n k

k i

i

n k

k i

i

A X

n

k B n X

k

X







 





样本阶原点矩：

样本阶中心矩：

4. 常用统计量：

 

 

2 2

1

1

, , 0,1

i

n n

i

X X

n

N

X







 ,

设相互独立,都服从则

2

5. 分布：

     

2 2

2

,

(1) . 设则    n E 

n Va r 

n

   

 

2

2 2

1 1 2 2 1 2

(2).

, ,

:

, .

Y n Y n Y

n

Y

Y Y  n



 

  

 

设且相互独立，则

分布的可加性

(0,1),

( / .

, ( )

)

X N Y n X Y

X t n Y n



 



设且和相互独立.

则

6. t

(1) . t

( ) n   t n

( )

(2) . 当 n  45, ( ) t n

 z

7. F

   

 

1

1 2

2

2 2

1 , 2 , ,

/ ~ ,

/

X n F n n

X n

Y n

Y n X Y

 

 

设且独立,则

1 2

1

~ ( , ), ~ ( , ).

F F n n F n n (1) 若则 F

2 1

1 1 2

( , ) 1

( , )

F n n

F n n

 

(2)