4-3-1矩陣-線性方程組及其矩陣表示

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(1)(99 課綱) 第四冊第三章矩陣 3-1 線性方程組及其矩陣表示【目標】首先能理解高斯消去法解線性方程組的程序與操作，並能以矩陣的形式建立高斯消去法解方程組的形式操作，進而能透過矩陣的列運算解一般的線性方程組。【討論】 1. 在日常生活或科學研究中，常需處理各類數據，有些數據資料經整理後可列成表格以便閱讀與分析，例如某次考試，班上 3 位同學的成績如表：科目國文英文數學物理姓名張三 84 73 78 80 李四 76 67 83 77 王五 93 86 81 76 其中成績部分有 3 橫列﹑ 4 直行共 12 個數是依姓名與科目雙向對應排列，當橫向與縱向的意義都很明確時， 84 73 78 80  可以記為 76 67 83 77  ，  93 86 81 76 . 2.. 像這樣將一些數排成矩形陣列稱為矩陣。用上一章介紹的代入消去法或加減消去法可以解方程組 L ，在此要進一步將加減消去法設計成標準程序。含 x, y 兩個未知數的方程式 ax  by  c ，其中 a, b 不皆為 0 時，稱為二元一次方程式。若不限制 a, b 不皆為 0 ，則 ax  by  c 稱為二元線性方程式。同樣的， ax  by  cz  d 是三元線性方程式，而一般的 n 元線性方程式形如： a1 x1  a2 x2   an xn  b 。有時不強調有幾個未知數，就統稱為線性方程式，而數個線性方程式聯立時，就稱為線性方程組， 2 x  y  2 z  5  例如： ( L)  x  3 y  2 z  5 ， 4 x  y  3z  8 . 括號中的 L 是給此方程組取一個名稱，以便後續的描述。用上一章介紹的代入消去法或加減消去法可以解方程組 L ，在此要進一步將加減消去法設計成標準程序。. 1.

(2) 3.. 2 x  y  2 z  5  線性方程組 ( L)  x  3 y  2 z  5 中，  4 x  y  3z  8 7 15 7 15 1 將  ( )  ，得 0 x  y  3z    ( y  3z   ) 2 2 2 2 2 2 x  y  2 z  5   7 15 令方程組 ( L) 0 x  y  3z    ，則 L 的解與 L 的解相同。 2 2  4 x  y  3z  8 . 原因是：係由與推得，故 L 的解必為 L 的解；又. 1  ( )  2.   . 1  2. . ，. 表示可由與推得，故 L 的解也必為 L 的解。一般而言，若將線性方程組中的第 i 式○i 加上第 j 式○j 的 c 倍( i  j )，設所得的方程式為○i ，即○j  c  ○i  ○i ，(○j (c)  ○i   ○i )，基於前述同樣的理由，將原方程組中之○i 換成○i ，其餘方程式皆不變所得之方程組，其解與原方程組相同。因此，在一個線性方程組中，可用此方法每次變換其中一個方程式，直到方程組的解變得很清楚為止。例如： 2 x  y  2 z  5 2 x  y  2 z  5 2 x  y  2 z  5     7 15  7 15  x  3 y  2 z  5  0 x  y  3z    0 x  y  3z   。 2 2 2 2    4 x  y  3z  8 4 x  y  3z  8 0 x  y  z  2  . 至此，第 1 式之後，各式中 x 的係數皆為 0 ；再處理 y 的係數，使第 2 式之後， y 的係數為 0 ，如下： . 2 x  y  2 z  5 2 x  y  2 z  5   7 15  7 15  0 x  y  3z    0 x  y  3 z   。 2 2 2 2   0 x  y  z  2 1 1   0 x  0 y  7 z  7. 2 x  y  2 z  5  15  7 所得方程組中係數為 0 的項略去，即  2 y  3z   2 ，   1 z  1  7 7 由第 3 式得 z  1 ；代回第 2 式，得 y  3 ；再代回第 1 式，得 x  2 ，即 ( x, y, z)  (2, 3,  1) ，. 這就是原線性方程組 L 的解。以上所用的解法稱為高斯消去法。. 2.

(3) 4.. 在作高斯消去法的過程中，方程組一再改寫，為了方便，不妨只寫方程組的係數，而用欄位識別各未知數及常數項， 2 x  y  z  4  2 1 1 4    例如：將方程組  x  3 y  2 z  7 表為矩陣 1 3 2 7  ，   3 2 1 3   3x  2 y  z  3. 而將高斯消去法簡寫如下：  2 1  2 1 1 4      2 1 1 4  7 3 0 7     5  0  1 3  2 7    2 2 2       3 2 1 3  1 5  0 0 0  3   2 2  2 x  y  z  4   7 y  3 z  5 還原成方程組為  2 。 2  16 z   16  7 7 便可得 z  1, y  1, x  2 ，即 ( x, y, z)  (2,. 5.. 1 4   3  5  ， 2 16  16   7  7. 1,  1) 。. 在矩陣中，橫排稱為列，直排稱為行，  2 1 1 4  例如矩陣 1 3 2 7  中有 3 列 4 行，共有 3  4  12 個數，  3 2 1 3  其中第 2 列第 3 行位置的數是 2 ，第 3 列第 1 行位置的數是 3 ，  5 2  1 8  是一個 4 列 2 行的矩陣。又如   3 0    7 6 一般而言，當 m, n 是正整數時，一個 m 列 n 行的矩陣稱為 m  n 階矩陣，  a11 a12 a a 若 A 是一個 m  n 階矩陣，則 A   21 22    am1 am 2. a1n  a2 n  ，   amn . 其中每個數都稱為元，第 i 列第 j 行的元是 aij 。通常以大寫英文字母 A, B, C, 表示矩陣，例如：設 B 是一個 3  5 階的矩陣，  b11 b12 b13 b14 b15  則可以寫成 B  b21 b22 b23 b24 b25  。 b31 b32 b33 b34 b35 . 3.

(4) 【思考】 1. 矩陣的意義：在解一次方程組的過程中最主要的是係數及常數而非未知數，若我們把它的增廣矩陣列出，即可利用矩陣列運算求出解。 x  2 y  5 1 2 5 1 2  例如：  之係數矩陣為  ，增廣矩陣為  。  3  1 1 3x  y  1 3 1 日常生活中很多數據都是以表格型式呈現，這些資料可以視為一個矩陣【定義】 1. 三元一次方程組： a1 x  b1 y  c1 z  d1 三元一次方程組 ( L)a2 x  b2 y  c2 z  d 2 ，將其係數連同常數項作成矩陣 a x  b y  c z  d 3 3 3  3. 2..  a1 b1 c1 d1  a b c d  ，稱為 (L) 的增廣矩陣。 2  2 2 2  a3 b3 c3 d3  n 元一次 m 式聯立方程式(聯立方程組)：  a11 x1  a12 x 2    a1n x n  b1  a x  a x  a x  b  22 2 2n n 2 一次方程組  21 1 可以寫成 AX  B ，    a m1 x1  a m 2 x 2    a mn x n  bm.  a11 a 其中 A   21    a m1. a12 a 22  am2.  a1n   b1   x1   b     a2n  x , X   2 , B   2  。           a mn  bm   xn . 註：  a11 a (1)係數所成的矩陣  21    a m1  a11 a (2)  21    a m1. a12 a 22  am2. a12 a 22  am2.  a1n   a 2 n  稱為這個方程組的係數矩陣。      a mn .  a1n b1   a 2 n b2  稱為這個方程組的增廣矩陣。      a mn bm . 4.

(5) 【定義】 1. 矩陣：將一些數排成矩形陣列稱為矩陣。各個矩陣常以英文大寫字母 A, B, C,等表示。設矩陣 A 中有 m 列(橫向)， n 行(縱向)，則稱矩陣 A 為 m n 階矩陣。其中 m n 個數的每一個數都稱為矩陣 A 的元，而在第 i 列第 j 行位置的元稱為  a11 a12  a1n  a a22  a2 n  矩陣 A 的 (i, j ) 元，常記為 aij 。此時 A   21 ，簡記為        am1 am 2  amn . A  [aij ]mn (當 m, n 都清楚時，也可記為 [aij ] )。 2.. 矩陣的相等：設 A, B 同為 m n 階矩陣，且 A  [aij ]mn , B  [bij ]mn ，則 A  B 的意義就是. aij  bij ，對 1  i  m,1  j  n 恆成立，也就是行數相同、列數相同，且每一對應位置的元都相等，即 [aij ]mn  [bij ] pq  m  p, n  q ，且每一個 aij  bij 。 3.. 4. 5.. 6. 7.. 8. 9.. 零矩陣：每個元都是 0 的矩陣稱為零矩陣，常以 O 表示。零矩陣(加法單位元素，不一定要方陣) ， 0 0  0  0 0  0   ( m 列 n 行)。 O  Omn        0 0  0  方陣：當 m  n 時，稱 A 是一個正方形的矩陣，簡稱為 n 階方陣。線性方程組：形如 a1 x1  a2 x2   an xn  b 的方程式稱為線性方程式，其中 x1 , x2 , , xn 是未知數，數個線性方程式聯立，稱為線性方程組。若將線性方程組中的第 i 式加上第 j 式的任意 c 倍( i  j )，所得的方程式作為新的第 i 式，則更換第 i 式後，方程組的解不改變。高斯消去法：設線性方程組中的未知數為 x1 , x2 , , xn 。若能利用加減消去依序使第 1 式之後各式 x1 的係數為 0 (即消去 x1 )，第 2 式之後各式 x2 的係數為 0, ，直到最後一式形如 pxn  q ，則可由此反代回各式，依序解出 xn1 , xn2 , , x2 , x1 。反對稱方陣：若 aij  a ji 者稱之。上三角矩陣：若 aij  0, i  j 者稱之。. 10. 下三角矩陣：若 aij  0, i  j 者稱之。. 5.

(6) 11. 列矩陣：只有一列的矩陣， A  a11 a12  a1n  。註：行矩陣的轉置矩陣為列矩陣，列矩陣的轉置矩陣為行矩陣。 12. 行矩陣：  a11  a  只有一行的矩陣， A   21  。      a m1  13. 對稱矩陣(對稱方陣)：如果一個矩陣滿足 aij  a ji ，稱此矩陣為對稱矩陣。 14. 對角線矩陣：如果一個方陣中除了對角線上的元不為零外，其餘都是零者稱之，對角線其  0 , 當i  j 餘的元可以為零或非零實數，即 aij   。 實數, 當i  j 【問題】 1. 對角線矩陣有何優點？. 6.

(7) 【應用】 1. 圖形上的連結與否可以用矩陣配合 0 與 1 表示， 0 2 1 1  2 0 1 0  ，可用來表示圖形例如 A   1 1 0 2    1 0 2 0  可求出由某一點走到另一點，總共走 k 步之方法數為 A k 中之 (i, j ) 元。 3 1 2 1 4 1 2. 以數字表示兩地之間所連結的路線數  3 5 2  2 2 6 【討論】 1.. A B. D. C. 1 2 。 1  3.  4 1 3 5 7    矩陣可用來表示線性方程組，例如 3  5 階的矩陣 M   2 0 9 3 1   1 6 2 8 5   4 x  y  3z  5u  7  可代表方程組 2 x  0 y  9 z  3u  1 ，其中未知數可選用其他符號(常用   x  6 y  2 z  8u  5. x1 , x2 , x3 , x4 )，而矩陣 M 稱為該方程組的增廣矩陣。每一個行數大於 1 的. 矩陣可以代表一個線性方程組，當我們將矩陣的某一列乘以一個數加到另 2  2 1 1 4     一列上時，就得到另一個矩陣，例如： 1 3 2 7    0   3 2 1 3  3   . 1 1 4   7 3  5 。 2 2  2 1 3 . 此時，前後兩個矩陣所代表的方程組，它們的解相同。將矩陣的某一列乘以一個數加到另一列，稱為對原矩陣作一個列運算。作列運算後得到一個新矩陣。為了方便，除上述列運算外，將原矩陣某一列乘以一個不為 0 的數，得一個新矩陣，  1 1   2 1 1 4  1  2  2 2    ，例如： 1 3 2 7    1 3 2 7   3 2 1 3  3 2 1 3     . 也做為一種列運算，這種列運算也不改變矩陣所代表的線性方程組的解。此外，將原矩陣中的某兩列互換， 1 3 2 7   2 1 1 4      例如： 1 3 2 7    2 1 1 4 ，  3 2 1 3   3 2 1 3     . 這是第三種列運算，它一樣不改變所代表方程組的解。. 7.

(8) 2.. 2 x  y  z  4  先前，我們用高斯消去法解方程組  x  3 y  2 z  7 時，只用第一種列運算，  3x  2 y  z  3  2 1 1 4    ＊ △ △ △   2 1 1 4  7 3      5  0  而將矩陣 1 3 2 7  化為  2  ，它形如  0 ＊ △ △  ， 2   0 0 ＊ △  3 2 1 3  16  16     0 0    7  7. 其中＊是不為 0 的數；現在，我們有三種列運算， 1 0 0 △    可以將原矩陣化為 0 1 0 △  的形式如下(稱為高斯—喬登消去法)： 0 0 1 △   1 3 2 7  1 3 2 7   2 1 1 4  1 3 2 7          0 1  3 10    10 7 4 0  7 3 1 2  3 1   2 1           7 7  0 11 7 18  3 2 1 3   3 2 1 3  0 11 7 18         19   5   1 0  7 7  1 0  5 19  1 0 0 2     7 7   3 10    3 10   0 1 0 1  。 0 1  7 7  0 1   0 0 1 1   7 7    16 16 0 0   0 0 1 1    7  7. 解讀最終簡化的矩陣，即可得原方程組的解 ( x, y, z)  (2, 1,  1) 。像這樣，用矩陣的列運算解線性方程組，似乎頗為繁瑣，但它有固定的模式與步驟，這種工作最適合電腦處理，而且用同樣的方法也可以解龐大的線性方程組(未知數個數多﹑方程式個數多)。 x  3y  2z  5  再看一個方程組 3x  y  z  4 ，仿上處理如下：   x  7 y  5z  3.   1 3 2 5  1 0  1  7  1 3 2 5  1 3 2 5    10 10  19   7      3 1  1    0 10  7  4  19  0 1  7 19  。      10 10  0 1   1 7 5 3  0 10 7 2     10 10      0 10 7 2   17  0 0 0 1 0 0 △    上面的矩陣不可能繼續變化成 0 1 0 △  的模樣，事實上，其中第三列所 0 0 1 △   表示的方程式為 0 x  0 y  0 z  17 ，顯然無解，故原方程組無解。一般而言，. 在作矩陣列運算的過程中，若有某一列除了最後一個數不是 0 ，其餘都是 0 ，則原矩陣所代表的線性方程組無解。. 8.

(9) 【方法】 1. 列運算：將增廣矩陣適當運用三種列運算(不會改變原方程組的解)： (1)某兩列互換，以符號 Rij 表示。 (2)將某一列乘以一數加至另一列，以符號 rRi  R j 表示。. 2.. 3.. 4.. 5.. (3)將某一列乘以一個不為 0 的數，以符號 rRi 表示。註：這三種列運算都稱為矩陣的基本列運算。高斯消去法(Gaussian Elimination)： a  1 (1) 用基本列運算使  11 。 a  0 ,  i  2  i1 a  1 (2) 使  21 。 ai 2  0, i  3 1 ?  ? ? 0 1  ? ?  。 (3) 依此類推使成為梯陣         0 0  1 ?  高斯-喬登消去(Gauss-Jordan)法： 1 0  0 ? 0 1  0 ?   矩陣，稱高斯-喬登消去法。若化成形如          0 0  1 ?  簡化矩陣：一個矩陣，只要列運算後所得的矩陣達到在每個不為 0 的列中，第一個不為 0 的元所屬的行中，只有這個元不等於 0 ，就稱它為一個列簡化矩陣。解的情形： 1 0 0   (1)將增廣矩陣適當運用三種列運算，若能逐步化簡為 0 1 0   ，則原方 0 0 1   程組有唯一解 ( x, y, z)  ( ,  ,  ) 。. 1 0 0   (2)若列運算簡化的過程中，出現形如 0 1 0  ,   0 ，即某一列除了最 0 0 0   後一元不為 0 外，其餘各元皆為 0 ，則原方程組無解。 1 0 0   (3)若列運算簡化的過程中，出現形如 0 1 0   ，則方程組有無限多解。 0 0 0 0 . 9.

(10) 【定義】 1. 矩陣的列運算：矩陣有三種列運算： (1)某一列乘以一個數加到另一列。 (2)某一列乘以一個不為 0 的數。 (3)某兩列互換。其中任一種列運算都不改變矩陣所代表線性方程組的解。【性質】綜合以上幾個例題，可以歸納出用矩陣表示線性方程組，並由列運算求解的標準程序，分兩部分說明： 1. 矩陣的簡化：將每一列第一個不為 0 的數變成 1 ，再將該 1 所在之行其餘各數變成 0 ，逐列操作，遇某列全為 0 ，則略過。 2. 解的處理： (1)無解：矩陣的簡化過程中，若有某一列除最後一數不為 0 外，其餘各數皆為 0 ，則方程組無解。 (2)有解：在(1)的情形不出現時，將完成簡化的矩陣中全為 0 之列捨棄，其餘各列還原成方程式，略去係數為 0 的項，各式等號左邊僅留下最左端的未知數(係數為 1 )，其餘項移到等號右邊，在等號右邊的未知數之解可取為任意實數，而以等號左邊未知數的解配合之，即得此方程組的解。. 10.

(11) 【意義】 1. 在一般紙筆計算解－次聯立方程組時，通常是用高斯-約旦消去法，這樣比較容易看出它的解，然而若以電腦計算，通常只要將增廣矩陣化成列梯狀矩陣(row echelon matrix)即可，然後再反代回去，這樣通常比較快。所謂列梯狀矩陣即為滿足下列條件的矩陣： (1) 全部為 0 的列在最下方。 (2) 每列中第一個不為 0 的數一定在上一列不為 0 的數的右方。 2. 一次方程組的求解問題，乃是數學與其他學科中時常見到的問題；顯然地，當方程組的未知數不多時(尤其是二元及三元)，使用代入消去法或加減消去法來求解，就已經是一種很方便的解法了。然而，在本章中，我們又引進了與加減消去法大同小異的高斯-約旦消去法，其原因有下列三點： (1) 就課程的結構而言，我們可由一次方程組的高斯消去法來引進矩陣的概念(這是數學及其他科學中很有用的一個概念);就這一層作用而言，代入消去法與加減消去法比較不容易顯出這種特色，因為在加減消去法的進行過程中，並沒有要求每個階段必須抄出變形後的整個方程組，所以，無法看出整個消去法的過程只是在作增廣矩陣的列運算。 (2) 未知數較多的一次方程組之求解，很多時候都是借助於計算快速的電腦，而利用電腦解一次方程組，必須要有一種系統化的方法(如此，才容易寫成程式)，高斯-約旦消去法乃是合乎這種用途的一種系統化方法。 (3) 一般來說，在解 n 元一次方程組時，如果方程式的數目超過未知數的數目 n ，習慣上都是先利用前 n 個方程式來求解，再檢驗所得的解是否也滿足其他的方程式，這樣的做法反而比高斯-約旦消去法將所有方程式同時處理還來得費事。 3. 如何將一次方程組分離係數而以其增廣矩陣代替，此一做法不僅使一次方程組的求解方法明顯的看出系統化，而且可免除抄寫未知數記號與等號的麻煩。 4. 寫一次方程組的增廣矩陣時，含未知數的項與常數項需先移動，使含未知數的項依次在等號的左邊，而常數項在等號的右邊，這種作法的優點是在得出簡化矩陣時更容易看出解(不必變號)。 5. 所提出來的三種列運算，其正確名稱是基本列運算(elementary row operation)，而由基本列運算所成的各種合成運算都稱之為矩陣的列運算。在本章中，介紹列運算的目的，只是為配合高斯-約旦消去法的概念，所以在名稱的使用上，也力求簡化。 6. 將一次方程組的增廣矩陣經過列運算達到簡化矩陣的形式時，方程組的解就很容易寫出來。. 11.

(12) 7.. 將一個矩陣實施基本列運算，自然要知道終極目標是什麼；如果僅為一次方程組的求解、求矩陣的秩及行列式的降階等目的，那麼，只使用「將矩陣的某一列乘以某一數值加入另一列」這個基本列運算就已足夠，而只利用這種基本列運算，所能得到的終極形式就是教科書中所稱的簡化矩陣。可是，如果我們也使用「將矩陣的某一列乘以一個不為 0 的數」以及「將矩陣中的某兩列互換位置」這兩種基本列運算，那麼，所能得到的終極形式就更有規則了。它的形式是： (1) 每一個不為零的列(即該列的元不全為 0 )中第一個不為 0 的元都是 1 。 (2) 在每一行中，若此行有一個不為 0 的元是它所屬那一列的第一個不為 0 的元，則此元的其它各元都是 0 。 (3) 每個不為零的列都在每個零列的上方。 (4) 若不為零的列是第一列至第 k 列，而第 i 列( 1  i  k )中第一個不為 0 的元在第 ji 行，則 j1  j2    jk 。當一個矩陣具有(1)、(2)、(3)、(4)四個性質時，我們稱它是一個列簡化梯狀矩陣(row-reduced echelon matrix)。如果我們不使用「將矩陣中的某兩列互換位置」這種基本列運算，而只使用其它兩種，那麼，所能得到的終極形式只能具有前面(1)、(2)兩個性質，具有這兩性質的矩陣稱為列簡化矩陣(rowreduced matrix)。如果我們只使用「將矩陣的某一列乘以某一數值加入另一列」這個基本列運算，那麼，所能得到的終極形式只能具有前面(2)一個性質，這就是我們所使用的簡化矩陣(這名稱不是數學上通用的，所以我們使用化簡形如這個名稱，只是為敘述上方便而已)。. 12.

(13)