(40)等差級數 請看以下的數列

40-1

(40)等差級數

請看以下的數列:

𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃ 𝑎₄ 𝑎₅ 𝑎₆ 𝑎₇ 𝑎₈ 𝑎₉ 𝑎₁₀

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

我們可以看出，𝑎_𝑖 − 𝑎_𝑖−1都等於 2，比方說𝑎₇− 𝑎₆ = 13 − 11 = 2，𝑎₄− 𝑎₃ = 7 − 5 = 2，這個數列是一個等差數列。

等差級數有一個首項𝑎₁和公差 d，而且𝑎_𝑖 − 𝑎_𝑖−1= 𝑑 或者說

𝑎_𝑖+1= 𝑎_𝑖+ 𝑑 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (1) (1) 𝑎₁= 2，𝑑 = 3

𝑎₂ = 2 + 3 = 5 𝑎₃ = 5 + 3 = 8 𝑎₄ = 8 + 3 = 11 𝑎₅ = 11 + 3 = 14

3，5，8，11，14 是一個等差級數

(2) 𝑎₁= 1，𝑑 = −2 𝑎₂ = 1 − 2 = −1 𝑎₃ = −1 − 2 = −3 𝑎₄ = −3 − 2 = −5 𝑎₅ = −5 − 2 = −7

∴ 1，-1，-3，-5，-7 是一等差級數

40-2

(3) 𝑎₁= 0，𝑑 =¹

2

𝑎₂ = 0 +1 2=1

2 𝑎₃ =1

2+1 2= 1 𝑎₄ = 1 +1

2=3 2 𝑎₅ =3

2+1 2= 2 0，¹

2，1，³

2，2是一等差級數

(4) 𝑎₁= 1，𝑑 = −¹

2

𝑎₂ = 1 −1 2=1

2 𝑎₃ =1

2−1 2= 0 𝑎₄ = 0 −1

2= −1 2 𝑎₅ = −1

2−1

2= −1 𝑎₆ = −1 −1

2= −3 2 𝑎₇ = −3

2−1

2= −2

∴ 1，¹

2，0， −¹

2， −³

2， − 2是一等差級數

我們有另一種方法來給等差級數下一定義，請看以下的式子 𝑎₁ = 𝑎₁

𝑎₂ = 𝑎₁+ 𝑑

𝑎₃ = 𝑎₂+ 𝑑 = 𝑎₁+ 2𝑑 𝑎₄ = 𝑎₃+ 𝑑 = 𝑎₁+ 3𝑑 由此我們可以得到

𝑎_𝑖 = 𝑎₁+ (𝑖 − 1)𝑑 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (2)

40-3

(5) 𝑎₁= 2，𝑑 = 3

𝑎₄ = 2 + (4 − 1) × 3 = 2 + 9 = 11 我們也可以計算一下來驗證

𝑎₁ = 2

𝑎₂ = 2 + 3 = 5

𝑎₃ = 𝑎₂+ 3 = 5 + 3 = 8 𝑎₄ = 𝑎₃+ 3 = 8 + 3 = 11 (6) 𝑎₁= −1，𝑑 = −2

𝑎₅ = −1 + (5 − 1) × (−2) = −1 + 4 × (−2) = −1 − 8 = −9 驗證

𝑎₁ = −1

𝑎₂ = −1 − 2 = −3 𝑎₃ = −3 − 2 = −5 𝑎₄ = −5 − 2 = −7 𝑎₅ = −7 − 2 = −9

(7) 𝑎₁= 1，𝑑 =¹

2

𝑎₄ = 1 + (4 − 1) × (1

2) = 1 + 3 × (1

2) = 1 +3 2= 5

2 驗證

𝑎₁ = 1 𝑎₂ = 1 +1

2=3 2 𝑎₃ = 3

2+1 2= 2 𝑎₄ = 2 +1

2=5 2

40-4

(8) 𝑎₁= −2，𝑑 = −¹

2

𝑎₃ = −2 + (3 − 1) (−1

2) = −2 + 2 (−1

2) = −2 − 1 = −3 驗證

𝑎₁ = −2 𝑎₂ = −2 −1

2= −5 2 𝑎₃ = −5

2−1 2= −6

2= −3

等差級數的首項也可以用公式註明的

(9) 𝑎_𝑖 = 2i + 1 這個數列如下:

𝑎₁= 2(1) + 1 = 3 𝑎₂ = 2(2) + 1 = 5 𝑎₃ = 2(3) + 1 = 7 𝑎₄ = 2(4) + 1 = 9 𝑎₅ = 2(5) + 1 = 11 以下是這個數列:

3，5，7，9，11，13，15，17，19，21

同學們一看就知道這是個等差級數，同學們一定會問，等差級數的首項和差 d 是什麼?

因為𝑎_𝑖 = 2i + 1

∴ 𝑎₁ = 2(1) + 1 = 3

𝑑 = 𝑎_𝑖 − 𝑎_𝑖−1= (2𝑖 + 1) − [2(𝑖 − 1) + 1] = 2𝑖 + 1 − 2𝑖 + 2 − 1 = 2

40-5

(10) 𝑎_𝑖 = −2i + 1 𝑎₁= −2(1) + 1 = −1 𝑎₂ = −2(2) + 1 = −3 𝑎₃ = −2(3) + 1 = −5 𝑎₄ = −2(4) + 1 = −7 以下是這個數列:

-1，-3，-5，-7，-9，-11，-13 這也是一個等差級數

𝑎₁ = −2(1) + 1 = −2 + 1 = −1

𝑑 = 𝑎_𝑖 − 𝑎_𝑖−1= (−2𝑖 + 1) − [−2(𝑖 − 1) + 1] = −2𝑖 + 1 + 2𝑖 − 2 − 1 = −2 等差級數的和

假設𝑎₁，𝑎₂， ⋯ ，𝑎_𝑛是一個等差級數，我們可以用

∑ 𝑎_𝑖

𝑛

𝑖=1

= 𝑎₁+ 𝑎₂+ ⋯ + 𝑎_𝑛

來代表這個等差級數的和

現在我們考慮 n 是偶數的等差級數

𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃ 𝑎₄ 𝑎₅ 𝑎₆ 𝑎₇ 𝑎₈

1 3 5 7 9 11 13 15

∑ 𝑎_𝑖

𝑛

𝑖=1

= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64

要求等差級數的和，我們可以如此做 先求𝑎₁+ 𝑎_𝑛 = 𝑎₁+ 𝑎₈ = 1 + 15 = 16 再求𝑎₂+ 𝑎_𝑛−1= 𝑎₂+ 𝑎₇ = 3 + 13 = 16 再看𝑎₃+ 𝑎_𝑛−2= 𝑎₃+ 𝑎₆ = 5 + 11 = 16

40-6

換句話說，我們可以說

𝑎₁+ 𝑎_𝑛 = 𝑎₂+ 𝑎_𝑛−1= 𝑎₃+ 𝑎_𝑛−2= 𝑎₄+ 𝑎_𝑛−3 如果一個等差級數的首項是𝑎₁，公差是 d，則

𝑎_𝑖 = 𝑎₁+ (𝑖 − 1)𝑑 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (3) 末項𝑎_𝑛 = 𝑎₁+ (𝑛 − 1)𝑑 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (4)

假設𝑎₁ = −2，𝑑 = 3，𝑛 = 7

𝑎₇ = 𝑎₁+ (7 − 1)𝑑 = (−2) + 6(3) = −2 + 18 = 16

假設𝑎₁ = 1，𝑑 =¹

2，𝑛 = 5 𝑎₅ = 𝑎₁+ (5 − 1)𝑑 = 1 + 4 ×1

2= 1 + 2 = 3 假設𝑎₁ = −1，𝑑 = −2，𝑛 = 4

𝑎₄ = 𝑎₁+ (4 − 1)𝑑 = −1 + 3(−2) = −1 − 6 = −7 以下的式子是很容易了解的:

𝑎₁+ 𝑎_𝑛 = 𝑎₁+ (𝑎₁+ (𝑛 − 1)𝑑) = 2𝑎₁ + (𝑛 − 1)𝑑

𝑎₂+ 𝑎_𝑛−1= (𝑎₁+ 𝑑) + (𝑎₁+ (𝑛 − 2)𝑑) = 2𝑎₁+ (𝑛 − 1)𝑑 𝑎₃+ 𝑎_𝑛−2= (𝑎₁+ 2𝑑) + (𝑎₁+ (𝑛 − 3)𝑑) = 2𝑎₁+ (𝑛 − 1)𝑑 𝑎₄+ 𝑎_𝑛−3= (𝑎₁+ 3𝑑) + (𝑎₁+ (𝑛 − 4)𝑑) = 2𝑎₁+ (𝑛 − 1)𝑑

因此，我們可以將𝑎₁，𝑎₂， ⋯ ，𝑎_𝑛分成^𝑛

2份

40-7

(𝑎₁，𝑎_𝑛) (𝑎₂，𝑎_𝑛−1) ⋮

(𝑎𝑛 2，𝑎𝑛

2+1)

因為每一組的和都是一樣的，我們可以得到下列的式子:

∑ 𝑎_𝑖

𝑛

𝑖=1

=𝑛

2(𝑎₁+ 𝑎_𝑛) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (5)

以上的討論，假設 n 是偶數，如果 n 是奇數，∑^𝑛_𝑖=1𝑎_𝑖 = ^𝑛

2(𝑎₁+ 𝑎_𝑛)仍然是成立 的。

我們先看一個例子 n=5，

𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃ 𝑎₄ 𝑎₅

1 3 5 7 9

以上的數列是一個等差級數

∑ 𝑎_𝑖

5

𝑖=1

= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

此時𝑎₁+ 𝑎_𝑛 = 𝑎₁+ 𝑎₅ = 1 + 9 = 10

𝑎₂+ 𝑎_𝑛−1= 𝑎₂+ 𝑎₄ = 3 + 7 = 10 但還有一個𝑎₃ = 5，我們知道

𝑎₃ = 𝑎₁+ 𝑎_𝑛

2 = 𝑎₁+ 𝑎₅

2 =1 + 9 2 = 5

40-8

如果n 是奇數，𝑎^𝑛+1

2

= ^{𝑎1+𝑎𝑛}

2

因為 𝑎₁+ 𝑎_𝑛 = 𝑎₂+ 𝑎_𝑛−1= 𝑎₃+ 𝑎_𝑛−2= 𝑎₄+ 𝑎_𝑛−3⋯ = 𝑎^𝑛−1

2

+ 𝑎^𝑛+3

2

∴ ∑ 𝑎_𝑖

𝑛

𝑖=1

= (𝑎₁+ 𝑎_𝑛)𝑛 − 1

2 +𝑎₁+ 𝑎_𝑛

2 = (𝑎₁+ 𝑎_𝑛)(𝑛 − 1 2 +1

2) = (𝑎₁+ 𝑎_𝑛)𝑛 2

因為n 是奇數，我們也可以用以下的式子

∑ 𝑎_𝑖

𝑛

𝑖=1

= (𝑎₁+ 𝑎_𝑛

2 )𝑛 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (6)

也許大家會問^{𝑎1+𝑎𝑛}

2 一定是偶數嗎?

要知道，𝑎_𝑛 = 𝑎₁+ (𝑛 − 1)𝑑

∴ 𝑎₁+ 𝑎_𝑛 = 𝑎₁+ (𝑎₁+ (𝑛 − 1)𝑑) = 2𝑎₁+ (𝑛 − 1)𝑑 但(𝑛 − 1)是偶數

∴ 𝑎₁+ 𝑎_𝑛 = 2𝑎₁+ 2ℎ𝑑

∴ 𝑎₁+ 𝑎_𝑛是偶數 (11)

𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃ 𝑎₄ 𝑎₅ 𝑎₆

1 3 5 7 9 11

𝑛 = 6(偶數)

∑ 𝑎_𝑖

6

𝑖=1

= (𝑎₁+ 𝑎_𝑛)𝑛

2= (1 + 11)6

2= (12)(3) = 36

40-9

同學們可以驗證這個結果 (12)

𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃ 𝑎₄ 𝑎₅ 𝑎₆ 𝑎₇

1 3 5 7 9 11 13

𝑛 = 7(奇數)

∑ 𝑎_𝑖

7

𝑖=1

= (𝑎₁+ 𝑎_𝑛

2 )𝑛 = 1 + 13

2 × 7 = 7 × 7 = 49

同學們可以驗證這個結果 (13)

𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃ 𝑎₄ 𝑎₅ 𝑎₆ -3 -5 -7 -9 -11 -13

𝑛 = 6(偶數)

∑ 𝑎_𝑖

6

𝑖=1

= (𝑎₁+ 𝑎₆)6

2= (−3 − 13)6

2= (−16)6

2= −48

(14)

𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃ 𝑎₄ 𝑎₅ 𝑎₆ 𝑎₇

-2 0 2 4 6 8 10

𝑛 = 7(奇數)

∑ 𝑎_𝑖

7

𝑖=1

= (𝑎₁+ 𝑎_𝑛

2 )𝑛 = (−2 + 10

2 ) × 7 =8

2× 7 = 28

同學們可以看出公式(5)和公式(6)是一樣的，因此我們可以用以下的公式:

40-10

∑ 𝑎_𝑖

𝑛

𝑖=1

=(𝑎₁+ 𝑎_𝑛)𝑛

2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (7)

我們還有一些有趣的求和公式

∵ 𝑎₁ = 𝑎₁，𝑎_𝑛 = 𝑎₁+ (𝑛 − 1)𝑑

∴ ∑ 𝑎_𝑖

𝑛

𝑖=1

=𝑛

2(𝑎₁+ 𝑎_𝑛) =𝑛

2(𝑎₁+ 𝑎₁+ (𝑛 − 1)𝑑) =𝑛

2(2𝑎₁+ (𝑛 − 1)𝑑)

= 𝑛𝑎₁+𝑛(𝑛 − 1)

2 d ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (8) (15)

𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃ 𝑎₄ 𝑎₅ 𝑎₆ -3 -5 -7 -9 -11 -13

𝑎₁ = −3，𝑑 = −2，𝑛 = 6

∴ ∑ 𝑎_𝑖

𝑛

𝑖=1

= 𝑛𝑎₁+𝑛(𝑛 − 1)

2 d = 6(−3) +6 × 5

2 (−2) = −18 − 30 = −48

我們也可以用公式(5)

∑ 𝑎_𝑖

6

𝑖=1

= (𝑎₁+ 𝑎₆)𝑛

2= (−3 − 13)6

2= (−16)3 = −48

(16)

𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃ 𝑎₄ 𝑎₅ 𝑎₆ 𝑎₇

-2 0 2 4 6 8 10

𝑎₁ = −2，𝑑 = 2，𝑛 = 7

40-11

∑ 𝑎_𝑖

7

𝑖=1

= 𝑛𝑎₁+𝑛(𝑛 − 1)

2 d = 7(−2) +7 × 6

2 (2) = −14 +42

2 (2) = 28

我們也可以用公式(5)

∑ 𝑎_𝑖

7

𝑖=1

= (𝑎₁+ 𝑎_𝑛

2 )𝑛 = (−2 + 10

2 ) × 7 = 4 × 7 = 28

(17)

𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃ 𝑎₄ 𝑎₅

1 2 3 4 5

𝑎₁ = 1，𝑑 = 1，𝑛 = 5

∑ 𝑎_𝑖

5

𝑖=1

= 𝑛𝑎₁+𝑛(𝑛 − 1)

2 d = 5 × 1 +5 × 4

2 × 1 = 5 + 10 = 15

我們也可以用公式(5)

∑ 𝑎_𝑖

5

𝑖=1

= (𝑎₁+ 𝑎_𝑛

2 )𝑛 = (1 + 5

2 ) × 5 = 3 × 5 = 15

第 17 題給了我們一個有用的公式

𝑎₁ = 1，𝑑 = 1

∑ 𝑎_𝑖

𝑛

𝑖=1

= 𝑎₁+ 𝑎₂+ ⋯ + 𝑎_𝑛

∑ 𝑎_𝑖

𝑛

𝑖=1

= 𝑛𝑎₁+𝑛(𝑛 − 1)

2 d = n +𝑛(𝑛 − 1)

2 =2𝑛 + 𝑛(𝑛 − 1)

2 = 𝑛(𝑛 + 1) 2

40-12

也可以直接用公式(5)

∑ 𝑎_𝑖

𝑛

𝑖=1

= (𝑎₁+ 𝑎_𝑛

2 )𝑛 = 1 + 𝑛

2 𝑛 =𝑛(𝑛 + 1) 2

各位同學應該記住這個公式 𝑎_𝑖 = 𝑎_𝑖−1+ 1，𝑎₁ = 1

∑ 𝑎_𝑖

100

𝑖=1

=𝑛(𝑛 + 1)

2 =100 × 101

2 = 50 × 101 = 5050

∑ 𝑎_𝑖

3

𝑖=1

=𝑛(𝑛 + 1)

2 =3 × 4 2 = 6

∑ 𝑎_𝑖

5

𝑖=1

=𝑛(𝑛 + 1)

2 =5 × 6

2 = 15 我們現在繼續討論等差級數的和

∑ 𝑎_𝑖

𝑛

𝑖=1

=𝑛

2(𝑎₁+ 𝑎_𝑛) =𝑛

2(𝑎₁+ 𝑎₁ + (𝑛 − 1)𝑑) =𝑛

2(2𝑎₁+ (𝑛 − 1)𝑑)

=𝑑

2𝑛²+ (𝑎₁−𝑑

2)𝑛 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (9) 我們可以利用公式(7)來計算等差級數的和

(18) 𝑎₁ = 1，𝑑 = 2

∑ 𝑎_𝑖

𝑛

𝑖=1

=𝑑

2𝑛²+ (𝑎₁−𝑑

2)𝑛 =2

2𝑛²+ (1 −2

2)𝑛 = 𝑛²

假設等差級數是 1，3，5，7，9，11，𝑛 = 6

∑ 𝑎_𝑖

𝑛

𝑖=1

= (𝑎₁+ 𝑎_𝑛

2 )𝑛 = 1 + 11

2 × 6 = 6 × 6 = 36 = 𝑛²

40-13

(19) 𝑎₁ = 1，𝑑 = −2

∑ 𝑎_𝑖

𝑛

𝑖=1

=𝑑

2𝑛²+ (𝑎₁−𝑑

2) 𝑛 =−2

2 𝑛² + (1 +2

2) 𝑛 = −𝑛² + 2𝑛

這個等差級數是 1，-1，-3，-5，-7，-9，-11

∑ 𝑎_𝑖

𝑛

𝑖=1

= (𝑎₁+ 𝑎_𝑛

2 ) 𝑛 =1 − 11

2 × 7 =−10

2 × 7 = −35

−𝑛²+ 2𝑛 = −(7)²+ 2 × 7 = −49 + 14 = −35

公式(7)也給了我們一個新的想法，對任何𝑎𝑛²+ 𝑏𝑛而言，我們都可以說

𝑎𝑛²+ 𝑏𝑛 = 𝑑

2𝑛²+ (𝑎₁−𝑑 2) 𝑛

𝑑

2= 𝑎 ∴ 𝑑 = 2𝑎

(𝑎₁−𝑑

2) = 𝑏 ∴ 𝑎₁ = 𝑑

2+ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏

也就是說，任何一個𝑎𝑛²+ 𝑏𝑛都對應一個等差級數

𝑑 = 2𝑎，𝑎₁ = 𝑎 + 𝑏 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (10) (20) 𝑎𝑛²+ 𝑏𝑛 = 𝑛²

𝑎 = 1，𝑏 = 0

∴ 𝑑 = 2𝑎 = 2 𝑎₁ = 𝑎 + 𝑏 = 1

等差級數是 1，3，5，7，9，11，13 同學們可以自行驗證∑^𝑛_𝑖=1𝑎_𝑖 = 𝑛²

40-14

(21) 𝑎𝑛²+ 𝑏𝑛 = −𝑛²+ 2𝑛 𝑎 = −1，𝑏 = 2

𝑑 = 2𝑎 = −2

𝑎₁ = 𝑎 + 𝑏 = −1 + 2 = 1

等差級數是 1，-1，-3，-5，-7，-9，-11 同學們可以自行驗證∑^𝑛_𝑖=1𝑎_𝑖 = −𝑛²+ 2𝑛