應用晃動式隔震系統於近斷層結構防震設計之研究

國立交通大學

土木工程學系碩士班

碩 士 論 文

應用晃動式隔震系統於近斷層結構防震設計之研究

A Study on the Aseismic Design of Near-Fault Structures Using

Rocking-type Isolation Systems

研究生：陳逸軒

指導教授：王彥博 博士

廖偉信 博士

應用晃動式隔震系統於近斷層結構防震設計之研究

A Study on the Aseismic Design of Near-Fault Structures Using

Rocking-type Isolation Systems

研 究 生：陳逸軒 Student： Yi-Hsuan Chen

指導教授：王彥博 博士 Advisor： Dr. Yen-Po Wang

廖偉信 博士 Dr. Wei-Hsin Liao

國立交通大學 土木工程學系碩士班

碩士論文

A Thesis

Submitted to Institute of Civil Engineering

College of Engineering

National Chiao Tung University

In Partial Fulfillment of the Requirements

For the Degree of

Master of Science

in

Civil Engineering

June 2004

應用晃動式隔震系統於近斷層結構防震設計之研究

研究生：陳逸軒 指導教授：王彥博 博士

廖偉信 博士

國立交通大學土木工程研究所

摘要

本研究主要是探討應用晃動式隔震系統於近斷層結構防震設計之可 行性。晃動隔震系統是藉由結構物基層與基礎間之不連續介面，使結構物 在傾倒彎矩大於自重所造成之抵抗彎矩時，產生晃動而釋放柱基的抗彎力 矩，進而截斷地震力之傳輸，防止柱因地震反應過大而產生降伏。文中除 了進行晃動隔震結構之理論推導外，並利用四階的朗吉-卡特法建立非線 性動力分析程序。數值分析結果顯示，晃動隔震系統之穩定性相依於近斷 層擾動脈衝之延時與振幅。增設液態黏滯阻尼器有助於提升晃動隔震系統 於近斷層之穩定性與有效減緩其動力反應。晃動機制配合消能元件作為防 止傾倒措施，已被證實為一種可行且有效的隔震系統。

A Study on the Aseismic Design of Near-Fault Structures Using

Rocking-type Isolation Systems

Student：Yi-Hsuan Chen

Advisor：Dr.Yen-Po Wang Dr. Wei-Hsin Liao

Institute of Civil Engineering

College of Engineering

National Chiao Tung University

ABSTRACT

In this study, the feasibility of utilizing rocking-type isolation systems for near-fault earthquake protection of structures is explored. With a discontinuous interface between the base and the underlying foundation, the rocking system is allowed to rock intermittently as the seismic overturning moment exceeds the restoring moment contributed by gravity. The rocking isolation then releases the resisting overturning moment while counteracts the earthquake load with the rotational inertia with respect to the supporting base, thus preventing the columns from yielding. Analytical modeling of this nonlinear dynamic system is derived and a numerical procedure developed based on the fourth-order Runge-Kutta-Nyström method. It is shown that the stability of rocking isolation depends on the pulse duration and amplitude of the near-fault earthquake via numerical simulations. It has been confirmed that stability and effectiveness in dynamic response alleviation of the rocking type isolation systems under near-fault earthquakes can be enhanced by the introduction of viscous fluid damper. The rocking mechanism integrated with energy dissipative dampers for up-lift control has been demonstrated to be a feasible and promising alternative of seismic isolation.

Keywords：rocking-type isolation, seismic isolation, viscous fluid dampers, near-fault earthquake

誌謝

感謝恩師 王彥博教授兩年來的悉心指導，使學生在課業與生活上都 受益良多。吾師在求學問與做研究方面，所表現出來認真嚴謹的態度，實 為學生學習之典範。吾師亦常常提供學生許多新穎的觀念，以增加學生思 考的空間，並且在學生的生涯規劃上提供許多寶貴的建議，在此特向吾師 致上最誠摯的謝意。 於論文口試期間，承蒙 國立成功大學土木系 徐德修教授、國家地震 中心 鍾立來教授、國立高雄第一科技大學營建系 盧煉元教授及國立交通 大學土木系 李建良博士於百忙中抽空審閱本文，並提供學生諸多珍貴的 意見，使得論文內容有疏漏之處得以獲得改進，在此學生亦要表示感激之 意。 感謝研究室諸學長鄧敏政博士、廖偉信博士、李建良博士，嘉賞學長 在論文上之指導，並感謝同門師兄弟雅婷、啟晉、峻毅、明坤、銘峰、鈺 文與連杰等在學業及生活上之切磋討論及各方面的協助與支援；以及那些 曾經幫助或關心過我的同學與朋友，在此一併致上最誠摯之謝意。 最後，謹以本文獻給我最摯愛的雙親、姊姊與哥哥，感謝他們多年來 給予我精神上最大的支持、關懷、鼓勵與包容，讓我無後顧之憂的完成此 論文。 謹誌於工程二館2004 年 7 月

目錄

中文摘要... I 英文摘要... II 誌謝...III 目錄...IV 表目錄... VII 圖目錄...XI 第一章 緒論...1 1.1 前言...1 1.2 研究動機與目的...1 1.3 本文內容...4 第二章 剛體在地震作用下之晃動理論分析...5 2.1 前言...5 2.2 剛體之運動模態分析...5 2.2.1 靜止狀態...6 2.2.2 滑動狀態...6 2.2.3 晃動狀態...7 2.2.4 晃動-滑動狀態...9 2.3 晃動剛體之解析模型【33】...11 2.3.1 運動方程式...14 2.3.2 四階朗吉-卡特法【35】 ...16 2.3.3 剛體結構自由晃動分析...19 2.4 晃動剛體之傾覆分析【32】...22 第三章 單樓層房屋結構之晃動研究...25 3.1 前言...25

3.2 單層房屋晃動結構之運動方程式...26 3.2.1 純晃動條件...26 3.2.2 晃動結構之系統變位...27 3.2.3 運動方程式...28 3.3 撞擊後初始條件之更新...33 3.3.1 角動量守恆...33 3.3.2 停止晃動後結構之初始條件...37 3.4 結構週期對晃動行為之研究...38 3.5 晃動隔震與滑動隔震受震反應比較...39 3.6 晃動隔震應用於近斷層結構之耐震評估...40 3.6.1 近斷層震波...40 3.6.2 Type A 人工模擬近斷層震波 ...41 3.6.3 Type B 人工模擬近斷層震波 ...41 3.6.4 Type C1 人工模擬近斷層震波 ...42 3.6.5 Type C2 人工模擬近斷層震波 ...43 3.7 晃動機制的穩定性分析...44 3.7.1 晃動剛體之穩定性分析...44 3.7.2 晃動彈性結構之穩定性分析...45 第四章 晃動機制加裝液態尼器之動力分析...47 4.1 前言...47 4.2 晃動機制加裝液態黏滯阻尼器...48 4.2.1 晃動機制加裝液態黏滯阻尼器之運動方程式...48 4.2.2 數值分析方法...49 4.3 晃動機制結構加裝液態黏性阻尼器之減震效益...50 4.3.1 TypeA 人工模擬震波...51

4.3.3 TypeC1 人工模擬震波 ...53 4.3.4 TypeC2 人工模擬震波 ...54 4.4 阻尼器安裝位置之效應...56 4.5 晃動隔震與滑動隔震受震反應比較...57 第五章 多樓層結構晃動行為分析...59 5.1 前言...59 5.2 多層晃動隔震結構之運動方程式...59 5.2.1 純晃動條件...60 5.2.2 推導運動方程式...60 5.2.3 晃動隔震結構加裝液態黏滯阻尼器之運動方程式...62 5.3 撞擊後初始條件之更新...63 5.3.1 角動量守恆...63 5.3.2 停止晃動後結構之初始條件...64 5.4 晃動隔震結構加裝液態黏性阻尼器之減震效益...64 5.4.1 TCU068 近斷層地震波...65 5.4.2 ARRAY06 近斷層地震波 ...66 5.4.3 TCU052 近斷層地震波...68 5.4.4 Northridge 近斷層地震波 ...69 第六章 結論與建議...73 建議...74 參考文獻...75 附錄一...253 牛頓—拉弗森法(Newton-Raphson Method) ...253

表目錄

表3.1 剛性與彈結構性晃動行為比較之模型參數...79 表3.2 單層樓模型結構構參數...79 表 3.3 簡諧震波作用下之晃動與滑動隔震結構地震反應之比較（PGA＝ 0.5g；H/B=5）...80 表3.4 數值模擬結構參數...80 表3.5 實際震波與人工合成震波之性質...81

表3.6(a) Type A 震波作用下之傳統與晃動隔震結構地震反應之比較（PGA

＝0.5g；H/B=3）...82

表3.6(b) Type A 震波作用下之傳統與晃動隔震結構地震反應之比較（PGA

＝0.5g；H/B=4）...82

表3.6(c) Type A 震波作用下之傳統與晃動隔震結構地震反應之比較（PGA

＝0.5g；H/B=5）...82

表3.7(a) Type A 震波作用下之傳統與晃動隔震結構地震反應之比較（PGA

＝1g；H/B=3）...83

表3.7(b) Type A 震波作用下之傳統與晃動隔震結構地震反應之比較（PGA

＝1g；H/B=4）...83

表3.7(c) Type A 震波作用下之傳統與晃動隔震結構地震反應之比較（PGA

＝1g；H/B=5）...83

表3.8(a) Type B 震波作用下之傳統與晃動隔震結構地震反應之比較（PGA

＝0.5g；H/B=3）...84

表3.8(b) Type B 震波作用下之傳統與晃動隔震結構地震反應之比較（PGA

＝0.5g；H/B=4）...84

表3.8(c) Type B 震波作用下之傳統與晃動隔震結構地震反應之比較（PGA

＝0.5g；H/B=5）...84

表3.9(a) Type B 震波作用下之傳統與晃動隔震結構地震反應之比較（PGA

＝1g；H/B=3）...85

表3.9(b) Type B 震波作用下之傳統與晃動隔震結構地震反應之比較（PGA

＝1g；H/B=4）...85

表3.9(c) Type B 震波作用下之傳統與晃動隔震結構地震反應之比較（PGA

＝1g；H/B=5）...85

表3.10(a) Type C1 震波作用下之傳統與晃動隔震結構地震反應之比較（PGA

＝0.5g；H/B=3）...86

表3.10(b) Type C1 震波作用下之傳統與晃動隔震結構地震反應之比較（PGA

＝0.5g；H/B=4）...86

表3.10(c) Type C1 震波作用下之傳統與晃動隔震結構地震反應之比較（PGA

表3.11(a) Type C1 震波作用下之傳統與晃動隔震結構地震反應之比較（PGA ＝1g；H/B=3）...87 表3.11(b) Type C1 震波作用下之傳統與晃動隔震結構地震反應之比較（PGA ＝1g；H/B=4）...87 表3.11(c) Type C1 震波作用下之傳統與晃動隔震結構地震反應之比較（PGA ＝1g；H/B=5）...87

表3.12(a) Type C2 震波作用下之傳統與晃動隔震結構地震反應之比較（PGA

＝0.5g；H/B=3）...88

表3.12(b) Type C2 震波作用下之傳統與晃動隔震結構地震反應之比較（PGA

＝0.5g；H/B=4）...88

表3.12(c) Type C2 震波作用下之傳統與晃動隔震結構地震反應之比較（PGA

＝0.5g；H/B=5）...88

表3.13(a) Type C2 震波作用下之傳統與晃動隔震結構地震反應之比較（PGA

＝1g；H/B=3）...89 表3.13(b) Type C2 震波作用下之傳統與晃動隔震結構地震反應之比較（PGA ＝1g；H/B=4）...89 表3.13(c) Type C2 震波作用下之傳統與晃動隔震結構地震反應之比較（PGA ＝1g；H/B=5）...89 表3.14 彈性結構穩定性分析模型...90 表4.1 晃動隔震結構加裝液態黏滯阻尼器分析模型...90 表4.2 TypeA 震波作用下之傳統與晃動隔震加裝液態黏滯阻尼器結構地震反 應之比較（PGA＝1g；H/B=5）...91 表4.3 TypeA 震波作用下之傳統與晃動隔震加裝液態黏滯阻尼器結構地震反 應之比較（PGA＝0.5g；H/B=5）...91 表4.4 TypeB 震波作用下之傳統與晃動隔震加裝液態黏滯阻尼器結構地震反 應之比較（PGA＝1g；H/B=5）...92 表4.5 TypeB 震波作用下之傳統與晃動隔震加裝液態黏滯阻尼器結構地震反 應之比較（PGA＝0.5g；H/B=5）...92 表 4.6 TypeC1 震波作用下之傳統與晃動隔震加裝液態黏滯阻尼器結構地震 反應之比較（PGA＝1g；H/B=5）...93 表 4.7 TypeC1 震波作用下之傳統與晃動隔震加裝液態黏滯阻尼器結構地震 反應之比較（PGA＝0.5g；H/B=5）...93 表 4.8 TypeC2 震波作用下之傳統與晃動隔震加裝液態黏滯阻尼器結構地震 反應之比較（PGA＝1g；H/B=5）...94 表 4.9 TypeC2 震波作用下之傳統與晃動隔震加裝液態黏滯阻尼器結構地震 反應之比較（PGA＝0.5g；H/B=5）...94 表4.10 不同位置之阻尼器阻尼係數比較...95 表4.11 晃動與滑動隔震結構地震反應之比較（PGA＝1g）...96

表 5.1 五層樓結構物的資料...97 表 5.2 TCU068 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各樓絕對加速度之比較 （PGA＝1g）...98 表 5.3 TCU068 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各樓相對位移之比較 （PGA＝1g）...98 表 5.4 TCU068 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各層剪力之比較（PGA ＝1g）...99 表 5.5 TCU068 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各樓絕對加速度之比較 （PGA＝0.5g）...99 表 5.6 TCU068 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各樓相對位移之比較 （PGA＝0.5g）...100 表5.7 TCU068 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各層剪力之比較（PGA＝ 0.5g）...100 表 5.8 ARRAY06 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各樓絕對加速度之比較 （PGA＝1g）...101 表 5.9 ARRAY06 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各樓相對位移之比較 （PGA＝1g）...101 表5.10 ARRAY06 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各層剪力之比較（PGA ＝1g）...102 表 5.11 ARRAY06 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各樓絕對加速度之比 較（PGA＝0.5g）...102 表 5.12 ARRAY06 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各樓相對位移之比較 （PGA＝0.5g）...103 表5.13 ARRAY06 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各層剪力之比較（PGA ＝0.5g）...103 表 5.14 TCU052 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各樓絕對加速度之比較 （PGA＝1g）...104 表 5.15 TCU052 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各樓相對位移之比較 （PGA＝1g）...104 表 5.16 TCU052 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各層剪力之比較（PGA ＝1g）...105 表 5.17 TCU052 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各樓絕對加速度之比較 （PGA＝0.5g）...105 表 5.18 TCU052 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各樓相對位移之比較 （PGA＝0.5g）...106 表 5.19 TCU052 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各層剪力之比較（PGA ＝0.5g）...106 表 5.20 Northridge 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各樓絕對加速度之比

較（PGA＝1g）...107 表 5.21 Northridge 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各樓相對位移之比較 （PGA＝1g）...107 表5.22 Northridge 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各層剪力之比較（PGA ＝1g）...108 表 5.23 Northridge 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各樓絕對加速度之比 較（PGA＝0.5g）...108 表 5.24 Northridge 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各樓相對位移之比較 （PGA＝0.5g）...109 表5.25 Northridge 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各層剪力之比較（PGA ＝0.5g）...109 表 5.26 Northridge 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各樓絕對加速度之比 較（PGA＝1g）...110 表 5.27 Northridge 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各樓相對位移之比較 （PGA＝1g）...110 表5.28 Northridge 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各層剪力之比較（PGA ＝1g）... 111 表 5.29 Northridge 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各樓絕對加速度之比 較（PGA＝0.5g）... 111 表 5.30 Northridge 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各樓相對位移之比較 （PGA＝0.5g）...112 表 5.31 Northridge 震波作用下之傳統與晃動隔震結構各樓相對位移之比較 （PGA＝0.5g）...112

圖目錄

圖1.1 摩擦單擺支承（FPS）...113

圖1.2「南．朗吉塔克依高架橋」(South Rangitikei Viaduct) ...113

圖2.1 剛性質塊示意圖...114 圖2.2 高寬比為 2 之剛性質塊之各種運動模態之臨界條件...115 圖2.3 高寬比為 4 之剛性質塊之各種運動模態之臨界條件...115 圖2.4 高寬比(H/B)為 6 之剛性質塊各種運動模態之臨界條件 ...115 圖2.5 剛性基礎上晃動的剛性質塊...116 圖2.6 受地表擾動時剛塊靜止之情況...117 圖2.7 晃動剛性質塊碰撞前後質心運動之情形...……….117 圖2.8 剛性質塊高寬比與動能折減係數之關係...118 圖2.9 剛性質塊自由晃動之歷時圖(_{θ0 =}1o) _...119 圖2.10 剛性質塊自由晃動之歷時圖(θ₀ ≈θ_cr)...120 圖2.11 剛體晃動之週期與晃動角振幅之關係...121 圖2.12 剛體自由晃動於不同高寬比之歷時圖(θ₀ ≈θ_cr)...122 圖2.13 剛性質塊高寬比與等效阻尼比之關係...123 圖2.14 最小傾覆加速度與頻率比之關係...124 圖2.15 最小傾覆速度與頻率比之關係...124 圖2.16 地表水平擾動之加速度歷時...125 圖2.17 剛性質塊受水平地表擾動時晃動之歷時圖(外力頻率為 1Hz) ...126 圖2.18 剛性質塊受水平地表擾動時晃動之歷時圖(外力頻率為 2Hz) ...127 圖3.1 一層樓結構物...128 圖3.2 結構物對 O 點晃動...128 圖3.3 結構物對 O’點晃動 ...129 圖3.4 單層樓房屋結構晃動條件...129 圖3.5 碰撞 O 點前的速度分佈圖...130 圖3.6 碰撞 O’點前的速度分布圖 ...130 圖3.7 mc對動能折減係數的影響...131 圖3.8 剛性與彈性晃動隔震結構自由晃動轉角歷時比較...131 圖3.9 剛性與彈性晃動隔震結構自由晃動比較（前 20 秒）...132 圖3.10 剛性與彈性晃動隔震在自由晃動下樓層相對位移歷時...132 圖3.11 剛性與彈性晃動隔震結構自由晃動下樓板絕對加速度歷時...133 圖3.12 簡諧擾動震波...133 圖3.13 晃動與滑動隔震結構樓板絕對加速度比較（cos 波；PGA＝1g；T＝ 2s）...134

圖3.14 晃動與滑動隔震結構樓層相對位移比較（cos 波；PGA＝1g；T＝2s） ...134 圖3.15 晃動與滑動隔震系統剛體位移歷時比較（cos 波；PGA＝1g；T＝2s） ...135 圖3.16 Type A 人工模擬震波 ...135 圖3.17 Type B 人工模擬震波 ...136 圖3.18 Type C1 人工模擬震波 ...136 圖3.19 Type C2 人工模擬震波 ...137 圖3.20 結構晃動旋轉角歷時(Type A；PGA=0.5g) ...138 圖3.21 結構晃動旋轉角歷時(Type A；PGA=1g) ...139 圖3.22 結構晃動旋轉角歷時(Type B；PGA=0.5g ...140 圖3.23 結構晃動旋轉角歷時(Type B；PGA=1g) ...141 圖3.24 結構晃動旋轉角歷時(Type C1；PGA=0.5g) ...142 圖3.25 結構晃動旋轉角歷時(Type C1；PGA=1g) ...143 圖3.26 結構晃動旋轉角歷時(Type C2；PGA=0.5g) ...144 圖3.27 結構樓層相對位移歷時(Type C2；PGA=0.5g) ...145 圖3.28 結構樓板絕對加速度歷時(Type C2；PGA=0.5g) ...146 圖3.29 結構晃動旋轉角歷時(Type C2；PGA=1g) ...147 圖3.30 結構樓層相對位移歷時(Type C2；PGA=1g) ...148 圖3.31 結構樓板絕對加速度歷時(Type C2；PGA=1g) ...148 圖3.32(a)晃動剛體之穩定性分析(Type A；T=1s )...149 圖3.32(b)晃動剛體之穩定性分析(Type A；T=2s ) ...149 圖3.32(c)晃動剛體之穩定性分析(Type A；T=4s )...149 圖3.33(a)晃動剛體之穩定性分析(Type B；T=1s )...150 圖3.33(b)晃動剛體之穩定性分析(Type B；T=2s ) ...150 圖3.33(c)晃動剛體之穩定性分析(Type B；T=4s )...150 圖3.34(a)晃動剛體之穩定性分析(Type C1；T=1s )...151 圖3.34(b)晃動剛體之穩定性分析(Type C1；T=2s ) ...151 圖3.34(c)晃動剛體之穩定性分析(Type C1；T=4s )...151 圖3.35(a)晃動剛體之穩定性分析(Type C2；T=1s )...152 圖3.35(b)晃動剛體之穩定性分析(Type C2；T=2s ) ...152 圖3.35(c)晃動剛體之穩定性分析(Type C2；T=4s )...152 圖3.36(a)晃動彈性結構之穩定性分析(Type A；T=1s )...153 圖3.36(b)晃動彈性結構之穩定性分析(Type A；T=2s ) ...153 圖3.36(c)晃動彈性結構之穩定性分析(Type A；T=4s )...153 圖3.37(a)晃動彈性結構之穩定性分析(Type B；T=1s )...154 圖3.37(b)晃動彈性結構之穩定性分析(Type B；T=2s ) ...154 圖3.37(c)晃動彈性結構之穩定性分析(Type B；T=4s )...154

圖3.38(a)晃動彈性結構之穩定性分析(Type C1；T=1s )...155 圖3.38(b)晃動彈性結構之穩定性分析(Type C1；T=2s ) ...155 圖3.38(c)晃動彈性結構之穩定性分析(Type C1；T=4s )...155 圖3.39(a)晃動彈性結構之穩定性分析(Type C2；T=1s )...156 圖3.39(b)晃動彈性結構之穩定性分析(Type C2；T=2s ) ...156 圖3.39(c)晃動彈性結構之穩定性分析(Type C2；T=4s )...156

圖4.1 液態黏性阻尼器（Fluid Viscous Damper）...157

圖4.2 液態黏滯阻尼器阻尼力與速度之關係圖...157 圖4.3 結構物加裝液態黏滯阻尼器圖...158 圖4.4 結構晃動旋轉角歷時(TypeA；T=4s；PGA=1g)...159 圖4.5 結構樓板絕對加速度歷時(TypeA；T=4s；PGA=1g...160 圖4.6 結構樓層相對位移歷時(TypeA；T=4s；PGA=1g)...161 圖4.7 結構物左側阻尼器之遲滯迴圈(TypeA；T=4s；PGA=1g)...162 圖4.8 結構物右側阻尼器之遲滯迴圈(TypeA；T=4s；PGA=1g)...162 圖4.9 結構晃動旋轉角歷時(TypeA；T=4s；PGA=0.5g)...163 圖4.10 結構樓板絕對加速度歷時(TypeA；T=4s；PGA=0.5g)...164 圖4.11 結構樓層相對位移歷時(TypeA；T=4；PGA=0.5g) ...165 圖4.12 結構物左側阻尼器之遲滯迴圈(TypeA；T=4s；PGA=0.5g)...166 圖4.13 結構物右側阻尼器之遲滯迴圈(TypeA；T=4s；PGA=0.5g)...166 圖4.14 結構晃動旋轉角歷時(TypeB；T=3.2s；PGA=1g)...167 圖4.15 結構樓板絕對加速度歷時(TypeB；T=3.2s；PGA=1g)...168 圖4.16 結構物樓層相對位移歷時(TypeB ；T=3.2s；PGA=1g)...169 圖4.17 結構物左側阻尼器之遲滯迴圈(TypeB；T=3.2s；PGA=1g)...170 圖4.18 結構物右側阻尼器之遲滯迴圈(TypeB；T=3.2s；PGA=1g)...170 圖4.19 結構晃動旋轉角歷時(TypeB；T=3.2s；PGA=0.5g)...171 圖4.20 結構樓板絕對加速度歷時(TypeB；T=3.2s；PGA=0.5g)...172 圖4.21 結構樓層相對位移歷時(TypeB；T=3.2s；PGA=0.5g)...173 圖4.22 結構物左側阻尼器之遲滯迴圈(TypeB；T=3.2s；PGA=0.5g)...174 圖4.23 結構物右側阻尼器之遲滯迴圈(TypeB；T=3.2s；PGA=0.5g)...174 圖4.24 結構晃動旋轉角歷時(TypeC1；T=5s；PGA=1g)...175 圖4.25 結構樓板絕對加速度歷時(TypeC1；T=5s；PGA=1g)...176 圖4.26 結構樓層相對位移歷時(TypeC1；T=5s；PGA=1g)...177 圖4.27 結構物左側阻尼器之遲滯迴圈(TypeC1；T=5s；PGA=1g ...178 圖4.28 結構物右側阻尼器之遲滯迴圈(TypeC1；T=5s；PGA=1g)...178 圖4.29 結構晃動旋轉角歷時(TypeC1；T=5s；PGA=0.5g ...179 圖4.30 結構樓板絕對加速度歷時(TypeC1；T=5s；PGA=0.5g)...180 圖4.31 結構樓層相對位移歷時圖(TypeC1；T=5s；PGA=0.5g)...181 圖4.32 結構物左側阻尼器之遲滯迴圈(TypeC1；T=5s；PGA=0.5g)...182

圖4.33 結構物右側阻尼器之遲滯迴圈(TypeC1；T=5s；PGA=0.5g)...182 圖4.34 結構晃動旋轉角歷時(TypeC2；T=2.3s；PGA=1g)...183 圖4.35 結構樓板絕對加速度歷時(TypeC2；T=2.3s；PGA=1g)...184 圖4.36 結構樓層相對位移歷時(TypeC2；T=2.3s；PGA=1g)...185 圖4.37 結構物左側阻尼器之遲滯迴圈(TypeC2；T=2.3s；PGA=1g)...186 圖4.38 結構物右側阻尼器之遲滯迴圈(TypeC2；T=2.3s；PGA=1g)...186 圖4.39 結構晃動旋轉角歷時(TypeC2；T=2.3s；PGA=0.5g)...187 圖4.40 結構樓板絕對加速度歷時(TypeC2；T=2.3s；PGA=0.5g)...188 圖4.41 結構樓層相對位移歷時(TypeC2；T=2.3s；PGA=0.5g)...189 圖4.42 結構物左側阻尼器之遲滯迴圈(TypeC2；T=2.3s；PGA=0.5g)...190 圖4.43 結構物右側阻尼器之遲滯迴圈(TypeC2；T=2.3s；PGA=0.5g)...190 圖4.44 結構物右側阻尼器之遲滯迴圈(TypeC2；T=2.3s；PGA=0.5g)...191 圖4.45 晃動與滑動隔震結構樓板絕對加速度比較(Type A、PGA＝1g）...192 圖4.46 晃動與滑動隔震結構樓層相對位移比較（Type A、PGA＝1g）...192 圖4.47 晃動與滑動隔震系統剛體位移歷時比較(Type A；T＝2s；PGA＝1g） ...193 圖4.48 晃動與滑動隔震結構樓板絕對加速度比較（Type B；T＝2s；PGA＝ 1g）...193 圖4.49 晃動與滑動隔震結構樓層相對位移比較（Type B；T＝2s；PGA＝1g） ...194 圖4.50 晃動與滑動隔震系統剛體位移歷時比較(Type B；T＝2s；PGA＝1g） ...194 圖 4.51 晃動與滑動隔震結構樓板絕對加速度比較（Type C1；T＝2s；PGA ＝1g）...195 圖 4.52 晃動與滑動隔震結構樓層相對位移比較（Type C1；T＝2s；PGA＝ 1g）...195 圖4.53 晃動與滑動隔震系統剛體位移歷時比較(Type C1；T＝2s；PGA＝1g） ...196 圖 4.54 晃動與滑動隔震結構樓板絕對加速度比較（Type C2；T＝2s；PGA ＝1g）...196 圖 4.55 晃動與滑動隔震結構樓層相對位移比較（Type C2；T＝2s；PGA＝ 1g）...197 圖4.56 晃動與滑動隔震系統剛體位移歷時比較(Type C2；T＝2s；PGA＝1g） ...197 圖5.1 多樓層結構物晃動情形...198 圖5.2 多樓層結構物晃動情形...198 圖5.3 多樓層結構加裝液態黏滯阻尼器圖...199 圖5.4 近斷層地震波 TCU068 歷時圖...199

圖5.5 近斷層地震波 TCU052 歷時圖...200 圖5.6 近斷層地震波 ARRAY06_X 歷時圖 ...200 圖5.7 近斷層地震波 Northridge 歷時圖 ...201 圖 5.8(a)晃動隔震結構未加裝液態黏滯阻尼器之旋轉角歷時(TCU068；PGA ＝1g) ...202 圖 5.8(b)晃動隔震結構加裝液態黏滯阻尼器之旋轉角歷時(TCU068；PGA＝ 1g) ...202 圖 5.9 晃 動 隔 震 結 構 加 裝 液 態 黏 滯 阻 尼 器 之 各 樓 層 絕 對 加 速 度 歷 時 (TCU068；PGA＝1g)...203 圖 5.10 晃 動 隔 震 結 構 加 裝 液 態 黏 滯 阻 尼 器 之 各 樓 層 相 對 位 移 歷 時 (TCU068；PGA＝1g)...204 圖5.11 晃動隔震結構加裝液態黏滯阻尼器之各樓層剪力歷時(TCU068；PGA ＝1g) ...205 圖5.12(a)左側阻尼器之遲滯迴圈(TCU068；PGA＝1g) ...206 圖5.12(b)右側阻尼器之遲滯迴圈(TCU068；PGA＝1g) ...206 圖5.13(a)晃動隔震結構未裝液態黏滯阻尼器之旋轉角歷時(TCU068；PGA＝ 0.5g) ...207 圖 5.13(b)晃動隔震結構加裝液態黏滯阻尼器之旋轉角歷時(TCU068；PGA ＝0.5g) ...207 圖 5.14 晃動隔震結構加裝液態黏滯阻尼器之各樓層絕對加速度歷時 (TCU068；PGA＝0.5g)...208 圖 5.15 晃 動 隔 震 結 構 加 裝 液 態 黏 滯 阻 尼 器 之 各 樓 層 相 對 位 移 歷 時 (TCU068；PGA＝0.5g)...209 圖5.16 晃動隔震結構加裝液態黏滯阻尼器之各樓層剪力歷時(TCU068；PGA ＝0.5g) ...210 圖5.17(a)左側阻尼器之遲滯迴圈(TCU068；PGA＝0.5g) ...211 圖5.17(b)右側阻尼器之遲滯迴圈(TCU068；PGA＝0.5g) ...211 圖 5.18(a)晃動隔震結構未加裝液態黏滯阻尼器之旋轉角歷時(ARRAY06； PGA＝1g) ...212 圖5.18(b)晃動隔震結構加裝液態黏滯阻尼器之旋轉角歷時(ARRAY06；PGA ＝1g) ...212 圖 5.19 晃動隔震結構加裝液態黏滯阻尼器之各樓層絕對加速度歷時 (ARRAY06；PGA＝1g...213 圖 5.20 晃 動 隔 震 結 構 加 裝 液 態 黏 滯 阻 尼 器 之 各 樓 層 相 對 位 移 歷 時 (ARRAY06；PGA＝1g) ...214 圖 5.21 晃動隔震結構加裝液態黏滯阻尼器之各樓層剪力歷時(ARRAY06； PGA＝1g) ...215 圖5.22(a)左側阻尼器之遲滯迴圈(ARRAY06；PGA＝1g)...216

圖5.22(b)右側阻尼器之遲滯迴圈(ARRAY06；PGA＝1g)...216 圖 5.23(a)晃動隔震結構未加裝液態黏滯阻尼器之旋轉角歷時(ARRAY06； PGA＝0.5g) ...217 圖5.23(b)晃動隔震結構加裝液態黏滯阻尼器之旋轉角歷時(ARRAY06；PGA ＝0.5g) ...217 圖 5.24 晃動隔震結構未加裝液態黏滯阻尼器之各層絕對加速度歷時 (ARRAY06；PGA＝0.5g) ...218 圖 5.25 晃動隔震結構未加裝液態黏滯阻尼器之各樓層相對位移歷時 (ARRAY06；PGA＝0.5g) ...219 圖 5.26 晃 動 隔 震 結 構 未 加 裝 液 態 黏 滯 阻 尼 器 之 各 樓 層 剪 力 歷 時 (ARRAY06；PGA＝0.5g) ...220 圖 5.27 晃動隔震結構加裝液態黏滯阻尼器之各樓層絕對加速度歷時 (ARRAY06；PGA＝0.5g) ...221 圖 5.28 晃 動 隔 震 結 構 加 裝 液 態 黏 滯 阻 尼 器 之 各 樓 層 相 對 位 移 歷 時 (ARRAY06；PGA＝0.5g) ...222 圖 5.29 晃動隔震結構加裝液態黏滯阻尼器之各樓層剪力歷時(ARRAY06； PGA＝0.5g) ...223 圖5.30(a)左側阻尼器之遲滯迴圈(ARRAY06；PGA＝0.5g)...224 圖5.30(b)右側阻尼器之遲滯迴圈(ARRAY06；PGA＝0.5g)...224 圖5.31(a)晃動隔震結構未裝液態黏滯阻尼器之旋轉角歷時(TCU052；PGA＝ 1g) ...225 圖 5.31(b)晃動隔震結構加裝液態黏滯阻尼器之旋轉角歷時(TCU052；PGA ＝1g) ...225 圖 5.32 晃動隔震結構加裝液態黏滯阻尼器之各樓層絕對加速度歷時 (TCU052；PGA＝1g)...226 圖 5.33 晃 動 隔 震 結 構 加 裝 液 態 黏 滯 阻 尼 器 之 各 樓 層 相 對 位 移 歷 時 (TCU052；PGA＝1g)...227 圖5.34 晃動隔震結構加裝液態黏滯阻尼器之各樓層剪力歷時(TCU052；PGA ＝1g) ...228 圖5.35(a)左側阻尼器之遲滯迴圈(TCU052；PGA＝1g) ...229 圖5.35(b)右側阻尼器之遲滯迴圈(TCU052；PGA＝1g) ...229 圖5.36(a)晃動隔震結構結構未裝阻尼器之旋轉角歷時(TCU052；PGA＝0.5g) ...230 圖 5.36(b)晃動隔震結構加裝液態黏滯阻尼器之旋轉角歷時(TCU052；PGA ＝0.5g) ...230 圖 5.37 晃動隔震結構加裝液態黏滯阻尼器之各樓層絕對加速度歷時 (TCU052；PGA＝0.5g)...231 圖 5.38 晃 動 隔 震 結 構 加 裝 液 態 黏 滯 阻 尼 器 之 各 樓 層 相 對 位 移 歷 時

(TCU052；PGA＝0.5g)...232 圖5.39 晃動隔震結構加裝液態黏滯阻尼器之各樓層剪力歷時(TCU052；PGA ＝0.5g) ...233 圖5.40(a)左側阻尼器之遲滯迴圈(TCU052；PGA＝0.5g) ...234 圖5.40(b)右側阻尼器之遲滯迴圈( TCU052；PGA＝0.5g) ...234 圖 5.41 晃動隔震結構未加裝液態黏滯阻尼器之旋轉角歷時 (Northridge； PGA＝1g) ...235 圖 5.42 晃動隔震結構未加裝阻尼器之各樓層絕對加速度歷時(Northridge； PGA＝1g) ...236 圖5.43 晃動隔震結構未加裝阻尼器之各樓層相對位移歷時(Northridge；PGA ＝1g) ...237 圖 5.44 晃動隔震結構未加裝阻尼器之各樓層剪力之歷時(Northridge；PGA ＝1g) ...238 圖5.45 晃動隔震結構未加裝液態黏滯阻尼器之旋轉角歷時(Northridge；PGA ＝0.5g) ...239 圖 5.46 晃動隔震結構未加裝阻尼器之各樓層絕對加速度歷時 (Northridge； PGA＝0.5g) ...240 圖5.47 晃動隔震結構未加裝阻尼器之各樓層相對位移歷時(Northridge；PGA ＝0.5g) ...241 圖 5.48 晃動隔震結構未加裝阻尼器之各樓層剪力歷時(Northridge；PGA＝ 0.5g) ...242 圖 5.49 晃動隔震結構加裝液態黏滯阻尼器之旋轉角歷時(Northridge；PGA ＝1g) ...243 圖 5.50 晃動隔震結構加裝阻尼器之各樓層絕對加速度歷時 (Northridge； PGA＝1g) ...244 圖 5.51 晃動隔震結構加裝阻尼器之各樓層相對位移歷時(Northridge；PGA ＝1g) ...245 圖5.52 晃動隔震結構加裝阻尼器之各樓層剪力歷時(Input=Northridge；PGA ＝1g) ...246 圖5.53(a)左側阻尼器之遲滯迴圈(Northridge；PGA＝1g)...247 圖5.53(b)右側阻尼器之遲滯迴圈(Northridge；PGA＝1g)...247 圖 5.54 晃動隔震結構加裝液態黏滯阻尼器之旋轉角歷時(Northridge；PGA ＝0.5g) ...248 圖 5.55 晃動隔震結構加裝阻尼器之各樓層絕對加速度歷時 (Northridge； PGA＝0.5g) ...249 圖 5.56 晃動隔震結構加裝阻尼器之各樓層相對位移歷時(Northridge；PGA ＝0.5g) ...250 圖5.57 晃動隔震結構加裝阻尼器之各樓層剪力歷時(Northridge；PGA＝0.5g)

...251

圖5.58(a)左側阻尼器之遲滯迴圈(Northridge；PGA＝0.5g)...252

圖5.58(b)右側阻尼器之遲滯迴圈(Northridge；PGA＝0.5g)...252

第一章 緒論

1.1 前言

台灣、日本與美國等均位於環太平洋地震帶上，因此地震發生的頻率 相當頻繁，而地震之危害更是令人怵目驚心。近年來發生之大地震如美國 北嶺地震(1994)、日本阪神地震(1995)、土耳其伊斯坦堡地震(1999)、台灣 集集地震(1999)、薩爾瓦多大地震(2001)及印度大地震(2001)等均造成諸多 建築結構損毀、人民生命財產及國家經濟發展均遭受到嚴重的衝擊。曾以 世界隔減震技術最先進的國家而自豪的日本，在 1995 年阪神地震中，仍 造成建築結構嚴重的破壞與傷亡；1999 年 9 月 21 日台灣中部地區亦因車 籠埔斷層發生逆衝式錯動，而引發芮氏規模 7.3 級的強烈地震，亦造成人 員嚴重傷亡及建築物的毀滅，特別是座落於斷層附近之建築物更遭到嚴重 之破壞。故研擬座落於近斷層結構物之減震方法，是當前地震工程研究的 主要議題。

1.2 研究動機與目的

近年來蒐集到的地震紀錄中—包括美國北嶺地震(1994)、日本阪神地 震(1995)及國內的集集大地震(1999)，皆顯示近斷層地震波含有長週期之速 度脈衝，其對結構物造成之傷害可能更甚於地表加速度的影響 【1-3】。近 斷層結構物之地震危害度原本就高於其它地區【4-6】，近斷層結構之耐震 設計應該更為嚴格，傳統之韌性設計似無法確保結構之安全。 近年來，由於材料科技的進步，各式隔震、消能的結構減震裝置相繼

基礎隔震為結構抗震的有效方式之一，其設計方法是以低水平勁度之隔震 系統，來延長結構週期以降低結構所承受之地震力，不但可應用於新建之 結構物，亦能用於老舊房屋、橋梁之耐震補強。隔震建築歷經北嶺地震與 阪神地震等大地震之考驗，證明其優異之耐震表現，顯示人類在面臨『毀 滅性』強烈地震時，並非束手無策。而隔震技術應用於土木結構至今已近 二旬，隔震建築結構在先進國家已逐漸普及【7-9】，有關基礎隔震的設計 條文也已納入各國之建築規範中，如我國建築物耐震設計規範、美國 FEMA-274(1997)規範、UBC97 規範…等等。 隔震建物之減震效果在國外雖然已見到實際成功之案例，但由於近斷 層震波之獨特性，使得專家、學者對於近斷層區域，隔震建築物是否能夠 達到如在遠域震波作用下之減震效果產生懷疑，而且在隔震層巨大位移的 作用下，隔震結構物之穩定性與安全性仍有極大之疑慮。按國內外相關文 獻之記載，包括921 地震震波資料之佐證，近域震波相較於遠域震波具有 下列三種特性【10-18】：(1)垂直向與水平向加速度反應譜之比值較大 (2) 尖峰地表加速度值極大 (3)具一長週期之速度脈衝，其中又以長週期的速 度脈衝最為關鍵。921 地震中位於斷層附近的建築物嚴重毀損之原因，極 有可能是在前述近斷層震波特性作用之下所造成的結果。長週期速度脈衝 在斷層線之法線方向上尤其顯著，對長週期結構物之影響不容輕忽。 一般高層建築物或隔震結構之週期大都介於2~3 秒之間，恰好落於近 域震波之速度脈衝常見之週期附近，因此儘管隔震支承(如摩擦單擺支承, (FPS)如圖 1.1 所示)，對於遠域震波有優越的減震效果，但在具有長週期速 度脈衝之近斷層震波作用下，可能會與結構產生共振，而使得結構物反應 放大，不見得可行。具體而言，近斷層震波對於隔震結構物之影響有：加 大隔震基礎層的水平位移量、增加柱腳對隔震墊之軸向壓力、可能使結構 產生傾覆。另外，對滑動摩擦隔震系統而言，垂直地震力會改變起始滑動

的摩擦力(或降伏力)，使最大水平位移量與隔震支承之消能能力皆受影響。 「晃動機制」提供吾人另類之抗震模式思考方向，藉由結構物基層與 基礎間之不連續介面，使結構物在地震大到一定程度時，產生晃動而改變 其邊界條件，瞬間釋放柱基的抗彎力矩，進而截斷地震力之傳輸，防止結 構物產生過度之撓曲變形，並除去基礎抵抗拉拔力之負擔。廣義而言，晃 動機制亦可歸類為一種隔震系統。搖晃運動本身具有消能之特性，且晃動 系統之振動頻率隨晃動角度大小而改變，因此並無固定之自然頻率，不容 易被地震波之特定擾動頻率「鎖定」而產生共振，有助於強化近斷層建築 結構物之防震能力；但為確保晃動結構不會因為地震強度過大而發生傾到 之情形，故在設計上仍須考慮晃動系統之穩定性，以防止結構物有傾倒的 情形發生。 有關結構物晃動行為之研究，最早可回溯至 19 世紀。在地震強度記 錄儀器尚未發明的時代，當時人們利用墓碑或紀念碑等塊體，觀察其在地 震過後是否有傾倒的情形，來判定地震之強度。此外，1960 年智利地震中 多數固定於基座之水塔遭受嚴重的毀損，而少數水塔其基座採用類似高爾 夫球座(golf-ball-on-a-tee)之設計者，在地震時雖有出現晃動之現象，但卻 幸運地未遭受到破壞。而1963 年 Housner【19】首先針對此一現象提出倒 單擺剛性質塊之晃動行為分析，由其研究結果得知，剛體晃動為一高度之 非線性行為，且其振動之反應有衰減的趨勢。後續對於晃動系統亦有諸多 研 究(Yim.et.al.1980 ； Chopra and Yim 1985 ； Psycharis1991 ； Xu and Spyrakos1996)【20-23】，先後確認了晃動行為有助於降低結構受震反應之 現象，提供吾人應用晃動橋柱系統於橋樑抗震之理論基礎。此外，應用晃

動機制於結構減震之研究亦見於Beck 和 Skinner【24】的報告，後續相關

研究亦證實晃動機制有助於結構之減震【25-28】，提供吾人應用晃動機制 於建築結構物的防震基礎。由於晃動結構係交替變換其兩端柱腳為支點作

來回運動，有如人站在原地踏步一般，因此又可稱之為「踏步隔震」(stepping isolation)，最具代表性之應用實例為紐西蘭基督城機場(Christchurch Airport) 【29】的一座煙囪結構，以及 1981 年通車之「南．朗吉塔克依高架橋」(South Rangitikei Viaduct)如圖 1.2 所示【30】。 有鑑於近斷層之震波具長週期的速度脈衝、尖峰地表加速度大、以及 垂直向與水平向地震強度之比值較大…等特性，使得結構之防震設計難度 增加，傳統韌性設計或基礎隔震未必可行須作特殊之考量【31】。本研究 嘗試提出「晃動式隔震系統」，利用「晃動隔震」之設計作為房屋結構之 防震系統。由於結構之搖晃行為十分複雜，在實際應用前，對於相關理論 及其動力特性需有更充分之掌握，俾能作最經濟而有效的設計。

1.3 本文內容

前人有關晃動結構之研究多著重於探討結構基礎在強震發生時，會有 抬升之現象，此現象可提供結構有效之減震效益，但並未針對近斷層地震 波之特性進行研究分析。晃動行為具高度之非線性，在地震過程中，由於 整體結構之行為交替變換於晃動與非晃動狀態之間，而益增系統之複雜 性。 為深入了解晃動機制，第二章先針對剛性質塊之自由晃動與地震反應 進行分析以掌握其動力特性；第三章進而建立晃動隔震機制應用於彈性結 構之理論分析模式，並評估其在近域震波作用下之減震效益及晃動系統之 穩定性；第四章將考慮晃動隔震加裝液態黏滯阻尼器來提高結構在近域震 波作用下，晃動系統之穩定性；第五章，將進一步建立多樓層彈性結構晃 動隔震分析模式，並評估其受近斷層震波作用下之減震效益。

第二章 剛體在地震作用下之晃動理論分析

2.1 前言

本章將針對一矩形剛性質塊受震時之運動模態進行研究。藉以了解其 可能之破壞模式，俾使採取適當之防震措施。吾人並考量剛性質塊底部與 基礎間無相對滑動而僅發生純晃動之行為，以確實掌握晃動行為及其對剛 性質塊之影響。最後，將對晃動剛性質塊之穩定性進行評估，以釐清晃動 行為產生傾倒之臨界條件。

2.2 剛體之運動模態分析

考慮一自由站立之剛性質塊置放於靜摩擦係數為µ 與動摩擦係數_s µ_k 之剛性基礎上，當受地表擾動作用時，質塊將可能有不同之運動模態。根 據質塊之物理特性及受震時之反應，可將其運動狀態區分為靜止、滑動、 晃動和滑動-晃動等四種運動模態【32】。本節將探討外力擾動、質塊之高 寬比以及摩擦係數等參數，對剛性質塊運動模態之影響，進而界定出剛性 質塊在不同外力條件下，其各種運動狀態之臨界條件。 考慮一矩形剛性質塊如圖 2.1 所示，假設其置於剛性基礎上，其高、 寬分別為2H 及2B，質量M，I_G為剛性質塊對其質心之轉動慣量，對此矩 形質塊而言_{I MR}2/3 G = ，R為質心到旋轉中心(O 或 ' O點)之距離；假設ς 為 質心到正向力作用點之水平距離(0<ς <B)。茲考慮此剛性質塊受到水平方 向(x&&_g)之地表擾動，其與基礎界面之靜摩擦係數µ 與動摩擦係數_s µ ，此_k

外，晃動角度

θ

以O 點支撐旋轉時為正，以 O’點支撐旋轉時為負。

2.2.1 靜止狀態

當剛性質塊靜止於剛性基礎上，分別考慮水平向、垂直向與力矩之平 衡，其平衡方程式可表示為 g x mx f =− && _(2.1) W f_y = (2.2) 0 = +Wς H x m_&&g (2.3) 若質塊為靜止不動之狀態，則須滿足不彈跳(f_y >0)、瞬間摩擦力小於 最大靜摩擦力( fx ≤µsfy)以及質塊不發生晃動(|ς |<B)等三項條件，若將其 條件代入式(2.1)~(2.3)可得 g x_g s ≥ && / µ （2.4) 且 g H B x_&&g ≤( / ) （2.5)

2.2.2 滑動狀態

假設µ_s <x_&&g /g且µ_s <B/H 之條件下，剛性質塊將產生滑動。考慮水 平向、垂直向與力矩之平衡，其平衡方程式可分別表示為 ) ( ) sgn( _g y

kf x& =m x&&+x&&

−µ _(2.6)

W

0 )

(x+x +Wς =

m && &&_{g (2.8)}

其中sgn(x&)為質塊相對速度的方向函數，當x&>0時sgn(x&)=1，若x&<0時

) sgn(x& =-1 若質塊欲維持滑動狀態，則須滿足不發生彈跳( f_y >0)、慣性力大於瞬 間摩擦阻力(f_x ≥µ_sf_y)且質塊不發生晃動(|ς |< B)等三項條件，將其關係代 入式(2.6)~(2.8)等三式可得 H B s k <µ < / µ _(2.9) 且 B H k < µ _(2.10)

2.2.3 晃動狀態

假設B/H <x_&&g /g且B/H <µ_s，對於正

x

向之地表加速度而言，剛性 質塊將繞 O＇點旋轉(負θ方向)。在θ 為小角度的假設下，考慮水平向、 垂直向與力矩之平衡，其平衡方程式可分別表示為 ) ( _g x m x x f = && + && _(2.11) y m W f_y − = _&& (2.12) 0 )

(x_&&+x_&&g H −WB−my_&&B−I_Gθ&&=

m _(2.13) 若質塊由靜止的狀態下開始晃動，且在θ 為小角度的假設情況下 (sinθ =θ ,cosθ =1)，水平與垂直向自由度可分別表示為 θ θ θ B H H x=− sin − (1−cos )≅− _(2.14) θ θ θ H B B y= sin + (1−cos )≅ _(2.15) 將式(2.14)及式(2.15)代入式(2.11)~(2.13)可得

] ) / ( 1 [ 4 )] / ( ) / ( ) / ( 4 ) / ( 3 [ 2 2 B H g x B H g x B H W f_x g + + + = && && (2.16) ] ) / ( 1 [ 4 )] / )( / ( 3 ) / ( 4 1 [ 2 2 B H g x B H B H W f_y + + + = && (2.17) ] ) / ( 1 [ 4 ] ) / [( 3 2 B H B g x B H _g + − = && && θ (2.18) 若晃動狀態成立，則必須滿足三項條件。第一項為正向力大於零 ( f_y >0)確保其不發生彈跳；第二項條件為θ&&>0(因碰撞發生即變換旋轉支 點，因此θ&&<0將不會發生)。根據式(2.18)可得(x_&&g /g)>(B/H)之條件。第 三項條件為確保水平向慣性力小於最大摩擦力 ( f_x ≤µ_s | f_y |)，使其有足夠 之摩擦力來阻止質塊發生滑動。利用式(2.16)、(2.17)與(2.18)可求得外力振 幅與摩擦力之關係 s g g g y x g x B H B H g x B H g x B H f f _µ ≤ + + + + = | ) / )( / ( 3 ) / ( 4 1 ) / ( ) / ( ) / ( 4 ) / ( 3 | | | ₂ 2 && && && (2.19) 根據式(2.19)可解出外力振幅(x_&&g /g) gs s s g A B H B H B H B H g x = − + − + ≤ µ µ ) / ( 3 ) / ( 4 ) / ( 3 ] ) / ( 4 1 [ ) / ( ₂ 2 && (2.20) 式(2.20)說明當質塊發生純晃動行為所能承受之最大加速度振幅。當擾 動力振幅滿足此條件時，質塊將開始晃動。此外，若擾動振幅超過此條件 (( &&x/g)> A_g)，則摩擦力將不足以防止質塊發生滑動，此時質塊將開始產生 晃動-滑動之情形。

2.2.4 晃動-滑動狀態

假設( &&x/g)> A_gs且（B/H）<

µs

，在θ為小角度的假設下，質塊以 O 點 為晃動支點，分別考慮水平、垂直向與力矩平衡，其平衡方程式可表示為 ) ( ) sgn( _{o g} y

kf x& =m x&&+x&&

−µ _(2.21) y m W f_y − = && _(2.22) 0 )

(x_&&+x_&& H −I −WB−my_&&Bθ&&=

m _{g G}

(2.23)

其中x&_o為剛性質塊在支點 O 之相對速度；sgn &(x_o)為質塊相對速度的 方向函數，將x&&與y&&以x&&=−Hθ&&與y&& B= θ&&代入式(2.21)～(2.23)可得

) (

) )(

( _{o g}

ksgn x& mB &&+W =m −H &&+x&&

−µ θ θ (2.24)

θ µ

θ&& W _kHsgn x_&o B I_G &&

mB + + = −( )[ ( ) ] (2.25) 經整理可得θ&&之表示式 ] 3 4 [ ] 1 [ 3 2 _{( / ) ( )} ) / ( ) ( ) / ( o k o k x sgn B H B H B x sgn B H g & & && µ µ θ + + + − = (2.26) 若滑動-晃動模態要成立，則須滿足正向力大於零( f_y >0)與角加速度 大於零(θ&&>0)。第一項要求將自動滿足，而由第二項條件可得 0 3 4 0 1_{< +} 2 _{+ >} + ( / ) ( / ) ( ) ) ( ) / ( _{o k o}

k H B sgn x& and H B H B µ sgn x&

µ (2.27) 0 3 4 0 1_{> +} 2 _{+ <} + ( / ) ( / ) ( ) ) ( ) / ( _{o k o}

k H B sgn x& and H B H B µ sgn x&

µ (2.28) 考 慮sgn(x&_o)=1 時 ， 式 (2.27) 與 (2.28) 之 不 等 式 將 不 存 在 ； 若 考 慮 ) sgn(x&_o =-1 時，代入式(2.27)與式(2.28)可分別得到 ) / ( ) / ( ) / ( B H B H H B _k 3 4₊ 2 < <µ (2.29)

) / ( ) / ( ) / ( B H B H H B _k 3 4₊ 2 > >µ (2.30) 由式(2.29)可得知 ) / ( 3 ) / ( 4 ) / ( 2 B H B H H B < + ，對於所有的(H/B)皆滿足。式 (2.30) 顯然無法滿足µ 之條件，因此並不存在。此外當(H/B)很小時，吾_k 人可求得 min 2 ] ) / ( 3 ) / ( 4 [ B H B H + =1.33，考慮式(2.27)在θ&&>0且sgn(x&_o)=-1 之條件 下，吾人可將其化簡為 33 . 1 ) / (B H <µ_k < (2.31) 最後，將說明從靜止狀態到滑動-晃動狀態之條件。若系統一開始處於 靜止狀態時(x&_o =0)，則必須藉由相對加速度來決定速度之方向，而x&&_o可表 示為 ) ( ) ( _o k g o x H x B g sgn x

x_&& = _&&+ θ&&=−_&& −µ θ&&+ _& (2.32)

將式(2.26)代入式(2.32)，同時令 sgn(x&_o)=-1 可將其化簡為 k k k k g B H B H B H B H B H B H x x µ µ µ µ ) / ( 3 ) / ( 4 ] ) / ( 4 [ ) / ( 3 )] / ( 3 ) / ( 4 [ 2 2 2 0 _{+ −} + − + − + − = && && (2.33) 由於晃動-滑動條件須滿足不等式(2.27)，因此式(2.33)之分母須大於 零。此外，為滿足sgn(x&₀)=-1 之條件，式(2.33)須小於零，如此將可建立剛 性質塊從靜止到滑動-晃動狀態之條件 gk k k g A B H B H B H B H g x = − + − + > µ µ ) / ( 3 ) / ( 4 ) / ( 3 ] ) / ( 4 1 [ ) / ( ₂ 2 && (2.34) 當µ_k =µ_s時式(2.34)將等於式(2.20)，同時由µ_k <µ_s可知A_gk <A_gs。因 此 ， 當 一 剛 性 質 塊 在 x&&₀ <0 且sgn(x&₀) =-1 時 ， 若 其 滿 足 (B/H)< µ 且_s ) / (x g A_gk < _&&g 之條件下，將產生滑動-晃動之運動模態。

圖2.2~圖 2.4 分別為高寬比 2、4 及 6 之剛性質塊運動模態臨界條件示 意圖，分析結果顯示，隨高寬比增加其靜止與滑動模態之臨界條件將逐步 嚴苛(較不容易發生)，而晃動模態之臨界條件則相對寬鬆(較容易發生)。此 外，發生滑動-晃動之運動模態亦隨著高寬比增加而增加。此一結果除了清 楚的說明質塊之高寬比、擾動振幅以及接觸面摩擦係數對剛性質塊運動模 態之影響外，同時也提供吾人日後進行設備防震設計之參考。

2.3 晃動剛體之解析模型

【33】 考慮一矩形剛性質塊置於剛性基礎上，如圖 2.5 所示，其高、寬分別 為2H 及2B，質量M，I_G為剛性質塊對其質心之轉動慣量。對矩形質塊而 言， 2 3 1 MR I_G = ，其中R為質量中心與旋轉中心(O 或_O'_{點)之距離。茲考慮} 此剛性質塊受到水平方向(x&&_g)及垂直方向(y&&_g)之地表擾動，且其與基礎之 界面有足夠之摩擦力使不致產生滑動，而僅發生純晃動行為。換言之， ) (y g M x M_&&g <µ_{s &&g} + (2.35) 或 ) (y g x_&&g <µ_{s &&g} + (2.36) 其中µ 為摩擦係數，s g為重力加速度，如圖 2.6 所示。若忽略垂直向 地震力時，式(2.36)可簡化為： g x_&&g <µ_s (2.37) 剛性質塊若要晃動，必須先滿足式(2.37)之不等式。此外，晃動行為需 在剛性質塊之水平方向的慣性力對旋轉支點(O或_O'_{點)之傾覆力矩大於剛}

性質塊本身之重力(含垂直方向加速度之效應)對該支點所產生之力矩才會 產生，即 ) (y g H B x_&&g ≥ _&&g + (2.38) 若無垂直向地震，則式(2.38)可簡化為： g H B x_&&g ≥ (2.39) 一旦產生晃動行為時，剛性質塊係輪流以點O及點_O'_{為旋轉支點來回} 晃動。剛體之晃動行為可用其旋轉角θ 來描述。如圖 2.5 所示，當剛體以 點_O'_{為支點旋轉時，θ 為負值；當剛體以點O為支點旋轉時，θ 為正值。} 惟晃動角度不得大於臨界轉角θ ，亦即 _cr cr θ θ < (2.40) 其中: H B cr 1 tan− = θ (2.41) 否則剛性質塊將產生翻覆而脫離晃動之狀態。晃動過程中，質塊與剛性基 礎將產生碰撞。吾人假設剛體在碰撞後不會產生彈跳(bouncing)，亦即，剛 體 與 基 礎 碰 撞 後 隨 即 轉 換 旋 轉 支 點 ， 一 如 Housner(1963) 【 19 】 或 Chopra(1985) 【21】等人所作之假設。 矩 形 剛 體 碰 撞 前 後 之 運 動 狀 態 ， 如 圖 2.7 所 示 ， 吾 人 可 利 用 → → → → × + = G _{G O G} O H Mv H ρ _/ 【34】求出碰撞前、後之角動量。其中HO → 表示剛體 對O點的角動量；HG → 為剛體對其質心G之角動量；→ρ_{G /O}則為質心G與O點 的距離；vG → 為質心G的運動速度。對_O'_{點而言，碰撞前之角動量( )( )} ' − t H_O 為：

) ( ) ( ) ( ) )( ( ' → → → → → − − _{=−I t k+ −Bi+H j ×M v i−v j} t H_{O G}θ& _{Gx Gy} → → → − _{− +} − = I_Gθ&(t )k HMv_Gx k BMv_Gy k → − → − → − _{− +} −

= I_Gθ&(t )k HMRθ&(t )cosθ_crk BMRθ&(t )sinθ_cr k

→ − − + − = (I_G MH2 MB2)θ&(t )k _(2.42) 其中，→i 表示向右為正，→j表示向上為正，→k表示對_O'_{點旋轉的方向，} 假設方向射出紙面為正(根據右手定則拇指的方向)。 同理，碰撞後之角動量( ')( ) + t H_O 則為： ) ( ) ( ) ( ) )( ( ' → → → → → + + _{=−I t k+ −B i+H j ×M v i+v j} t H_{O G}θ& _{Gx Gy =−I t}+ →_{k−HMR t}+ →_{k−BMR t}+ →_k cr cr

Gθ&( ) θ&( )cosθ θ&( )sinθ

_{=− I +MH +MB t}+ →_k G ) ( ) ( 2 2 θ& _(2.43) 其中θ&(t−)及θ&(t+)分別表示碰撞前與碰撞後之角速度，I_G為剛性質塊 對其質心的轉動慣量，對矩形質塊而言其值為 2 3 1 MR ，其中M 為剛性質塊 之質量，_{R= B}2 _+H2 _{。若外力(反力)的作用線通過O}'_{點，也就是說外力} 對_O'_{點的角衝量為零}

∫

a ₌ b t t MOdt 0) ( ' r 。吾人可根據角動量守恆(conservation of angular momentum)原理，即 ) )( ( ' − t H_O +

∫

a b t t MO'dt r =( ')( ) + t H_O (2.44) 將(2.42)式及(2.43)式代入上式，可得 ) ( ) ( ) ( ) (I_G +MH2 −MB2 θ& t− = I_G +MH2 +MB2 θ& t+ _(2.45) 定義剛體碰撞後與碰撞前之角速度比值ν 為動能折減係數，亦即

) ( ) ( − + = t t θ θ ν & & (2.46) 則由(2.45)式及 2 3 1 MR I_G = 可得 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + − = + − = ) ( ) ( B HB H B H B H ν (2.47) 上式顯示，動能折減係數ν 僅與剛塊之高寬比( B H )有關。如圖 2.8 所 示，當剛性質塊愈細長時( →∞ B H )，動能折減係數將趨近於 1，亦即 1 = ∞ → ν B Hlim/ (2.48) 換言之，隨著剛體之高寬比增加，伴隨晃動而產生的消能機制將逐漸 喪失，此時結構即類似一無阻尼之倒單擺。式(2.46)可做為晃動過程中每一 次碰撞後之初始條件，即 ) ( ) (t+ =νθ t− θ& & (2.49)

2.3.1 運動方程式

茲考慮一剛性質塊受到水平方向(x&&_g)及垂直方向(y&&_g)之地表擾動，且 滿足式(2.36)及(2.38)之剛體純晃動條件。當剛性質塊對O點旋轉時，如圖

2.3.1(a)所示，其所受之水平慣性力為−M &&xg，垂直慣性力則為M(y&&g +g)。

由於剛體之翻覆彎矩大於抗傾彎矩，必須由轉動慣性矩來平衡。對O點取 力矩平衡，即

∑

M₀ = 0，可得 0 ) sin( ) ( ) cos( ) (− − + + − = + θ θ θ θ θ _{g cr g cr} o M x R M y g R

I && _{&& &&} (2.50)

量；I_o為剛性質塊對O點之轉動慣量，如前節所定義；_{R= B}2 _+H2 _為質 量中心與旋轉中心(O 或_O'_{點)之距離。} cr θ 為剛性質塊產生傾倒之臨界角， ) ( tan 1 H B cr = − θ 。式(2.50)可進一步改寫為： g cr g cr o MR y g MR x

I θ&&+ sin(θ −θ)(_&& + )= cos(θ −θ)_&& (2.51)

同理，當剛性質塊對_O'_{點旋轉時，如圖2.5(b)所示，應滿足：} g cr g cr o MR y g MR x

I θ&&− sin(θ +θ)(_&& + )= cos(θ +θ)_&& (2.52)

合併式(2.51)及式(2.52)可得 g cr g cr o S MR y g MR x

I θ&&+ _θ sin(θ −θ )(_&& + )= cos(θ −θ)_&& (2.53)

其中，S_θ 表示旋轉方向的符號：S_θ =1時，代表剛性質塊對O點晃動 (θ >0)；S_θ =−1時，則代表剛性質塊對_O'_{點晃動(θ <0)。若不考慮垂直向} 之地表擾動(y&&g)，亦即y&&g =0，則式(2.53)可簡化為： g cr o cr o x I MR I MgR S _&&

&& sin(θ θ) cos(θ θ )

θ + _θ − = − (2.54) 上式中令 o I MgR = 2 α ，則可改寫為： g cr cr x g S _&&

&& sin( ) cos( )

2 2 _{θ θ} α _{θ θ} α θ + _θ − = − (2.55) 式(2.55)即為剛性質塊受地表水平擾動時之搖晃運動方程式。此方程式 為一非線性之二階常微分方程式。本文將採用四階朗吉-卡特法來求解 【35】，此數值計算方法將於下一節中闡述。

2.3.2 四階朗吉-卡特法

【35】 本文實例分析中所使用之數值方法為四階朗吉-卡特法(Runge-Kutta Fourth-Order Method)，此法不但能處理線性常微分方程式之求解，亦能處 理非線性常微分方程式之問題。朗吉-卡特法是由德國數學家朗吉(Runge) 和卡特(Kutta)所提出，由於此方法的提出，大大提升了數值計算之效率。 一 個 一 階 常 微 分 之 方 程 式 y′=dy/dx= f(x,y)= f ， 其 初 始 條 件 為

( )

x0 y0 y = 。方程式的解y(x₀ +h)可以用泰勒級數表示成： L + + ′′′ + ′′ + ′ + = +_{h y hy} h _y h _y h _yⅣ x y ! 4 ! 3 ! 2 ) ( _{0 0 0} 2 ₀ 3 ₀ 4 (2.56) 其中h=(x−x₀)。 ) ( y f x D ∂ ∂ + ∂ ∂ = (2.57) f y′₀ = _(2.58) Df ff f y₀′′= _x + _y = (2.59) y ′′′= f_xx + ff_xy + f2f_yy + f_y f_x + ff_y =D2f + f_yDf 0 2 ( ) (2.60) y y yD f f Df DfDf f f D y 3 2 2 3 0 = + + + Ⅳ _(2.61) 將式(2.58)、(2.59)、(2.60)與(2.61)帶入式(2.56)可得： L + + ′′′ + ′′ + ′ + = +_{h y x hy} h _y h _y h _yⅣ x y _{0 0 0} 2 ₀ 3 ₀ 4 ₀ ! 4 ! 3 ! 2 ) ( ) ( Ⅳ y h y h y h y h x y _{0 0} 2 ₀ 3 ₀ 4 ₀ ! 4 ! 3 ! 2 ) ( + ′ + ′′+ ′′′+ ≈ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + = ( ) ! 3 ! 2 ) ( 2 3 2 0 D f f Df h Df h hf x y _y 0 ) 3 ( ! 4 2 2 3 4 x x y y yD f f Df DfDf f f D h = ⎥ ⎦ ⎤ + + + + (2.62)

此外，利用中間值定理可將式(2.56)之解表示為：

∫

+ =

∫

+ = + + = − + h x x h x x h x y h x hf dx y x f dx dx dy x y h x y 0 0 0 0 )) ( , ( ) , ( ) ( ) ( _{0 0 0} θ ₀ θ (2.63) 其中0<θ <h。 而吾人利用式(2.62)與式(2.63)相等的關係可得一相等式如下所示： ) ( ) ( )) ( , (x₀ h y x₀ h y x₀ h y x₀ hf +θ +θ = + − k k k k_{1 2 2 3 3 4} 1 µ µ µ µ + + + = (2.64) 其中 0 0 0 1 hf(x ,y ) hf k = = (2.65) ) , ( _{0 0 1} 2 hf x h y k k = +α +β (2.66) ) , ( _{0 1 0 1 1 1 2} 3 hf x h y k k k = +α +β +γ (2.67) ) , ( _{0 2 0 2 1 2 2 2 3} 4 hf x h y k k k k = +α +β +γ +δ (2.68) 且µ 、₁ µ 、₂ µ 、₃ µ 、₄ α 、β 、α 、₁ α 、₂ β 、₁ β 、₂ γ 、₁ γ 與₂ δ 都為常數。 ₂ 吾人透過泰勒級數展開，可以求得上面每個常數的值為 2 / 1 = α 2 / 1 1 = α 1 2 = α 2 / 1 1 = γ 0 2 = γ 6 / 1 1 = µ 3 / 1 2 = µ 3 / 1 3 = µ 6 / 1 4 = µ β

0 1 = β 0 2 = β 1 2 = δ 將上述常數值帶入式(2.65)、(2.66)、(2.67)與(2.68)可得解如下： 0 0 0 1 hf(x ,y ) hf k = = (2.69) ) 2 , 2 ( 1 0 0 2 k y h x hf k = + + (2.70) ) 2 , 2 ( 2 0 0 3 k y h x hf k = + + (2.71) ) , ( _{0 0 3} 4 hf x h y k k = + + (2.72) 同樣的，將所求得的µ1、µ2、µ 與3 µ4之值代入式(2.64)，可將一階微分方 程式之解表示為： k k k k x y h x y( ₀+ )− ( ₀)=µ_{1 1}+µ_{2 2}+µ_{3 3}+µ₄

[

1 2 2 2 3 4

]

6 1 k k k k + + + = (2.73) 上述求解的方法即為四階朗吉-卡特法( Runge-Kutta Fourth-Order Method)。在土木工程方面的應用上，常須解決二階常微分方程式，因此， 可先將二階常微分方程式降階代入上式求解，其推導過程如下：

{ }

x_&&(t) =

[ ]

M −1(

{ }

F(t) −

[ ]

K

{ }

x(t) −

[ ]

C

{ }

x_&(t)) (2.74) 也可以用符號表示成

{ } {

x&&(t) = f(t,x(t),x&(t)

}

(2.75) 令ν = x&，則可將式(2.75)之二階常微分方程式簡化成一階常微分方程 式如下：

{ } {

ν_&(t) = f(t,x(t),x_&(t)

}

(2.76)

{ } {

x_&(t) = F(t,x)

}

(2.77)