數 理 人 文 5 數 理 人 文 4 擴大貧富差距的影響，嚴重扭曲基本教育的公平性。 中央大學單維彰3月在《科學月刊》的專欄〈數學 教育的罪與罰〉中指出，PISA國際評量，已經把臺灣 列為數學教育機會最不公平的國家。4月，中研院英 美研究所黃敏雄研究另一項國際學生成就測驗TIMSS 的數據，也指出類似的現象。PISA和TIMSS是測驗 原理和目標很不一樣的兩項國際重要評量，卻不約而 同得出相同結果，對臺灣是一項很大的警訊。 臺灣大學翁秉仁補充說：「最令人訝異的是總綱沒 有改革九年一貫的缺失。國小與國中數學教學時數不 足，早就是這幾年數學教育界以及現場老師的共識。 總綱整個反向操作，對弱勢家庭的影響，難以想像。」 3月初，中華民國數學會提出《十二年國民基本教 育中數學課程的主張》寄給國教院，林長壽和同事更 當面向教育部長蔣偉寧指陳缺失，獲得保證處理之回 應。4月22日，成功大學理學院院長柯文峰發動校 內連署，呼應數學會的主張，一星期內便獲得300多 位教師熱烈回應。 沒想到國教院5月5日開記者會，說明總綱修正草 案高中數學必修仍維持12學分，只片面說明自然組 學生如何可能在高中自訂之加深加廣選修數學課程補 足到24學分，究其實質，和2月公布之草案完全沒 有改變。 目前數學界已針對國教院的無感回應，積極擴大全 國連署，至截稿日已達2822人。5月16日，當連署 人數超過2000人時，中華民國數學會隨即與多位數 學系主任召開媒體記者會，反對教育部總綱草案之修 正案。痛陳總綱只顧理想、不顧現實與可行性的弊病， 將導致大學的數學教育無法銜接。 此外，18位中央研究院院士也隨後聯名發起院士連 署，目前已有近百名中研院院士參與連署，並於6月 4日召開記者會，宣告其共同主張為：每位高中學生 每學期必修數學四學分；高中數學應規劃兩套課程綱 要，供學生適性選擇；小學和國中每天應有一堂數學 課；國家應積極建立長久性的師資再訓練制度，確保 數學教學品質。 希望在這些壓力下，終能讓教育部懸崖勒馬。 編輯室
十二年國教，高中數學腰斬
2月10日，國家教育研究院主導訂定的十二年國教 總綱草案終於出爐，隨即在臺灣數學界投下震撼彈。 數學號稱是國家科學與科技發展的基本工具，但總 綱小組在沒有數學界參與的情況下，閉門造出令人驚 訝的結果。前國科會科教處處長林福來指出：「本來 高中數學從高一到高三每學期4學分，共24學分。 現在總綱明載只剩高一到高二，每學期3學分，共 12學分，整個腰斬50％。」 但是大學端並沒有課程異動的可能，24個數學學分 的內容也不可能濃縮成12個學分，因此直接受害的 就是運用數學工具的大學科系。中華民國數學會前理 事長張鎮華說：「大學生的數學程度已經日漸低落， 現在更是雪上加霜，令人無法再容忍。」 總綱小組打的如意算盤是準備大力推行揚才適性的 選修課程。他們認為只要高中開出恰當的選修課程， 學生「理論」上還是可以學到恰當的數學內容。 2月27日中研院院士林長壽在《中國時報》發表 〈十二年國教的矛盾與綱要理念的迷失〉指出「在 臺灣考試影響課程進行至巨，如今總綱不談大學考試 與十二年國教如何接軌，不要求大學端入學考試的改 革，反而讓高三課程規劃一片空白，令人憂心日後如 何與大學入學做合理的銜接。」 中華民國數學會理事長陳榮凱說：「所謂『國民基 本教育』，必須保障學生學習足夠和基礎的知識，不 管教育改革理念如何，必要的部分就必須明文刊列， 這是常識。」令人好奇的是，這些選修課還需要綱要 嗎？還有教科書嗎？大學入學怎麼辦？ 熟悉臺灣教育生態的人都知道，沒有清楚的課綱做 引導，高中現場根本開不出和大學接軌的數學選修課 程，因此幾乎所有高中必然會回歸舊高中課綱與課 本，教育部根本白忙一場。 但是放任高中開設選修課的訊息影響十分深遠，家 長將對一般學校更失去信心，投入更多個人社經資源 到孩子身上，像是轉讀私校、聘請家教、上補習班等， 受測的16位數學家都是倫敦大學研究所或博士後 （有一人因服藥最後遭剔除）。在進行腦部掃描前， 16位受測人先在名為「數學之美：方程式」的問卷上， 分別對60個公式打分數，從醜到美給出-5到+5的 分數。研究者依據各人給分，客製四組公式做為腦部 掃描的資料。每組15個公式美、中、醜各五，並交 錯排列其順序，讓美感體驗不受無謂干擾。 兩個星期後等大家淡忘答案，16位受測者到實驗室 進行腦部掃描，他們分四階段看完自己的四組公式， 並判斷見到的公式為美、中、醜。 幾天後受測者另填寫問卷，逐題回答對公式的理解 （從不懂到非常懂，給0到3分）。另外再回答一些 與實驗相關的問題。 論文中說明實驗分析的結果，顯示數學或抽象公式 不但激發美感，而且它所觸發的仍然是mOFC的A1 區，和藝術共享相同的美感情緒。這個初步的結果， 將可以做為未來相關研究的基礎。 另外這個實驗也提供這些公式的數學家排行（很有 限的代表性）。最高分果然是歐拉公式，最低分的醜 公式則是拉曼努真的1/π 公式： 1 π=
2 √ 2 9801∞ k=0 (4k)!(1103+26390k) (k!)43964k 另外在試後問卷中，許多人抱怨某些美麗公式沒有 出現，例如愛因斯坦方程、柯西積分公式、諾特守恆 性定理等。受測人可能真以為自己在參與票選公式的 活動吧。 這個實驗引發更多的問題，拉曼努真的公式被認為 最醜令人意外（事實上另一個意外的醜公式是黎曼假 說相關的泛函方程）。在數學中驚奇、難度、影響性、 優雅、簡明都有可能造成美感。美比想像中複雜，並 是單純的愉悅即可，就像現代音樂、藝術電影也有小 眾的美感，而且言人人殊。 美真的這麼簡單嗎？ 編輯室 論文見http://journal.frontiersin.org/Journal/10.3389/fnhum.2014.00068
掃描數學家的腦
看到數學之美 數學美嗎？ 許多人覺得你在開玩笑，數學無感的冰冷符號，怎 麼可能比得上蘇打綠和吉米，或者莫札特和梵谷。 但是就算無緣見識數學老師眼中的熱情，書市幾年 就會出本討論最美公式的科普書，網路上更不乏推薦 最美公式的網頁、甚至排行榜。英國哲學家羅素甚至 說：「從正確的角度觀視，數學不只真，而且極美。」 在聽音樂時，有人聆賞旋律直接的感動。但也有人 殺風景，說如果會演奏樂器或讀懂樂譜，才真正理解 音樂的美。這種觀點的極致體現，就是數學。數學的 美必須伴隨著數學的理解。 例如歐拉的eiπ+ 1 = 0 是公式排行榜的常勝軍。 但是如果不知道這些符號的數學基本特性、不理解i
、e
、π
的意義與重要性，或者不能體驗複數冪次的驚 奇，就無法理解這個公式的美。而且隨著你愈清楚複 數冪次在數學、量子力學、工程中的威力，就愈讚嘆 這公式懾人之美。 數學的美，和音樂、繪畫的美是一樣的嗎？這個哲 學問題在今年二月迎來一個科學答案。知名英國數學 家阿提雅（Atiyah）和英國認知科學家在《人類神經 科學前沿》期刊，發表了一篇論文〈數學美感經驗與 其神經關連〉試圖回答這個問題。 倫敦大學的哲吉（S. Zeki）在過去幾年的實驗中， 以功能性核磁共振造影（fMRI）證實，音樂、繪畫能 夠激發腦部前眼窩前額皮質（mOFC）A1 區的「美 感情緒」。因此他和合作者沿用過去的實驗方法，轉 而針對數學的抽象理性之美（如果存在的話），探討 這個問題。 但是比起音樂或繪畫，數學實在太高深了。於是這 個實驗需要數學家提供被鑑賞的「作品」，需要數學 家來受測，才能測試數學之美。阿提雅的任務就是提 供60個包含許多領域的數學公式，當然這些可能不 全是阿提雅心目中的重要公式。 多兩行數 理 人 文 7 數 理 人 文 6 文發表一律署名波里馬斯。 陶哲軒遺憾的指出，多工數學迄今的計畫皆屬數論 與組合學，但強項在於能非常迅速的反應數學界發生 的熱門事件。 2013年4月，華人數學家張益唐證明有無窮多組 質 數 對 彼 此 距 離 不 超 過70,000,000（ 見 本 刊 上 期 專 題）。陶哲軒隨即在同年6月4日啟動多工數學第 八計畫（Polymath 8），希望了解並改進張益唐的估 計手法（張益唐本人並未參與）。7月26日，團隊 便成功將距離降低到4,680。2014年2月，波里馬斯 完 成163頁 的 傳 統 論 文， 發 表 在arxiv.org並 投 稿 到
Algebra and Number Theory。
2013年11月，加拿大蒙特婁大學博士後研究員梅 納德（J. Maynard）獨立將估計推進到不超過600。多 工數學8b計畫立即開展，希望結合張益唐與梅納德 的方法將估計推到更小，這次梅納德決定參與，他和 陶哲軒樂觀期待計畫會成功。。 數學界對多工數學意見分岐。普林斯頓高等研究院 的沙納克（P. Sarnak）雖然致賀計畫成功，卻質疑研 究數學的目標豈在最短時間內解答最多問題？他也對 多工數學能否證明重要定理持保留態度，更質疑青年 數學家一旦擁抱多人線上合作，將失去以獨自研究為 數學帶來革命性改變的可能，最知名的例子是格羅騰 迪克（A. Grothendieck）。沙納克的同事麥克弗森（R. MacPherson）則認為研究模式越多樣，對數學的發展 越健康。 對於申請工作或晉職的年輕數學家，署名波里馬斯 的論文應該如何計算學術貢獻呢？各數學系所可能要 傷腦筋了。 編輯室註：根據陶哲軒部5 月 17 日的部落文，多工數學 8b 計畫即將收尾， 準備整理發表，最新結果是波里馬斯已經將質數距離驚人的縮小到246。透 過部落格回應，也可以聽到參與人（包括梅納德）既興奮、但也疑惑該如何 評價個人建樹的心聲。他們提醒有興趣參與的人，這不是數學家正常合作的 模式。 編輯室
外包給大眾做數學
小屁孩的玩意還是數學的未來 自然科學論文的作者一向很多，但沒有實驗室制度 的數學界，論文作者通常都是小貓兩三隻。但近年網 路興起，透過電子郵件與視訊，團隊合作的比例逐 年增加。但到了WEB2.0甚至3.0的時代，大眾外包 （crowdsourcing）的概念甚囂塵上，科技的進步是否 終將改變數學研究的思考與研究方式呢？ 2009年1月，劍橋大學曾獲數學界最高榮譽費爾 茲獎的高爾斯（T. Gowers），在部落格文章發起一項 實驗―「多工數學計畫」（polymath project），目 的仍然是解決某個數學問題，方法卻是嶄新的形式。 他希望開放給全世界部落格讀者，藉由自發性網路合 作來解決這個難題，並以多工數學部落格（polymathblog）及多工數學維基（polymath wiki）做短期的工 作紀錄及評論，可以讓大眾見證或參與這段創作與發 現的歷程。 結果六週問題就解決了。高爾斯將分散在幾百帖讀 者回應裡的論證，綜合寫成一篇傳統論文，2009年 10月發表在網路論文集散站arxiv.org，2012年更正 式刊於頂尖數學期刊 Annals of Mathematics。論文作 者用的是筆名波里馬斯（D. H. J. Polymath），其中D. H. J.是定理名稱的縮寫。 不過，這個計畫真的外包給大眾了嗎？從結果看多 少有點可疑，因為大部份的研究出自六個人，這些人 都是職業數學家或匿名專家，其中還包括另一位費爾 茲獎得主陶哲軒。這和透過電話或郵件的「傳統」方 法有實質的差異嗎？ 這個想法持續進行五年來，產生了九個多工數學計 畫，有些成功，有的暫時停滯。這段過程逐漸讓參與 者摸索出合作的模式。例如提案應簡短易懂、先備知 識門檻低，而且適合多工合作，以擴大網眾的參與基 礎；應提供可行的策略；不應與進行中的研究或博士 論文題目重疊；計畫提案人應擔任執行及協調者的角 色，敦促部落客以基本網路禮儀參與合作。另外，論 標。輸出函數 ri= g(si) = x(siQ)，外界不知Q 是 P 的幾倍，無法經由曝光的
r
i逆推得知內部狀態。NSA 曉得滿足Q = tP 的 t，可從r
i算出si+1，進而預測所 有後續亂數。 雖然完整Dual_EC_DRBG較複雜，若能獲得連續 32位元組 （byte） 輸出值，仍不難逆推取得內部狀 態；但實務上發生機會極低，通常僅能獲得連續16 位元組，無助於破密。再者，如果更換曲線，或不換 曲線但更換曲線上的 P 或Q，皆可避開NSA預埋的 後門。據知臺灣政府相關單位早已注意到它可能存在 後門，並不在任何政府機敏通訊或儲存設備之中使用 它。另從分析史諾登文件可知︰NSA尚無法直接破解ECC、RSA、AES等主要密碼系統，破密仍然幾乎 全部是從實作上的漏洞著手。因此，善用數學、適當 加密，仍可讓全球頂尖情報機構一籌莫展。 倒是此事件，已經讓部分數學家質疑學術界和國安 當局的恰當關係。曾經為KGB所苦的俄國數學家如 芝加哥大學數學家貝林森（Beilinson）更激進的說， 應該排除與NSA合作的數學家。 但是回到現實層次，在網路科技已如飲水的現在， 各種層級的安全科技正像軍事競賽演進，國家為了保 護公眾安全，勢必需要能掌握尖端數學家投身這一 「戰場」。 總之，數學用在保密是好的，用在情報和國安所需 之破密也是必要的。但若用在大規模監聽無辜人民， 就有違道德和憲法賦予的秘密通訊自由。所以問題 在國安當局如何使用數學，不能一味指責合作的數學 家。國安與自由不是零和的關係，但是該怎麼取得平 衡，可不像數學家的橢圓曲線那麼容易解決。 編輯室
