超立方體網路及其變型之結果整理與性質探討

國 立 交 通 大 學

應用數學系

碩 士 論 文

超立方體網路及其變型之

結果整理與性質探討

The Study of Hypercubes and

Their Variants

研 究 生：洪秋美

指導教授：陳秋媛 教授

中 華 民 國 九 十 六 年 六 月

超立方體網路及其變型之結果整理與性質探討

The Study of Hypercubes and Their Variants

研 究 生：洪秋美 Student：Chiu-Mei Hung

指導教授：陳秋媛 Advisor：Chiuyuan Chen

國 立 交 通 大 學

應 用 數 學 系

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Department of Applied Mathematics

College of Science

National Chiao Tung University

in Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of

Master

in

Applied Mathematics

June 2007

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

超立方體網路及其變型之結果整理與性質探討

研 究 生：洪秋美

指導老師：陳秋媛 教授

國 立 交 通 大 學

應 用 數 學 系

摘

要

連接網路（interconnection networks）對於平行與分散式計算（parallel and

distributed computing）是很重要的，而因為超立方體網路（hypercube， ）的建構

簡單且容易實現，所以是很常被用到的連接網路的架構。然而，已有學者專家指出

並未達到以其硬體花費來看的最佳直徑（diameter）、與平均距離（average distance），

因此有不少 的變型被提出，最常見的變型有：twisted cube（ ）、crossed cube

（ ）、Möbius cube（ ）、及 locally twisted cube（ ），其中 表示這些網

路的維度（dimension）。這些超立方體網路的變型的硬體花費與超立方體網路相同， 但是直徑卻只有超立方體網路的一半。 n Q n Q n Q TQ_n n CQ MQ_n LTQ_n n 本論文的目的有二，第一個目的是針對以上所提的四種最常見的超立方體網路 的變型： 、 、 、及 的連通度（connectivity）、直徑（diameter）、

訉息傳送演算法（routing algorithm）、及平均距離（average distance）做資料上的整

理，以方便對這些網路架構有興趣的人參考；第二個目的是針對 討論三個主 題，第一個主題是 與 的平均距離（average distance）的比較，第二個主題是 的連接矩陣（adjacency matrix）的特殊建構方法，第三個主題是 的點的 分類。我們同時也更正了文獻中的一個錯誤。 n TQ CQ_n MQ_n LTQ_n n LTQ n LTQ Q_n n LTQ LTQ_n

關鍵詞：超立方體網路、twisted cube、crossed cube、Möbius cube、locally twisted cube。

The Study of Hypercubes and Their Variants

Student : Chiu-Mei Hung

Advisor : Dr. Chiuyuan Chen

Department of Applied Mathematics

National Chiao Tung University

Hsinchu 300, Taiwan, R.O.C.

Abstract

Interconnection networks, mostly implemented as hypercube due to its structural and constructional simplicity, are crucial to parallel and distributed computing. However, does not achieve optimal diameter and average distance for its resources; therefore, a

number of variants have been proposed, namely twisted cube ( ), crossed cube

( ), Möbius cube ( ) and locally twisted cube ( ) in which n is the dimension

of respective network. Such hypercube variants attain diameters as low as half of those of hypercube on similar resources.

n Q n Q TQn n CQ MQn LTQn

This paper has two objectives. First, the four hypercube variants listed above will be classified according to their connectivity, diameter routing algorithm and average distance

for future reference. Second, three issues on will be discussed; firstly, a

comparison of the average distances of and ; secondly, the special

construction method of the adjacency matrix of ; and thirdly, the cataloging of the

nodes of . Furthermore, an error correction has been proposed.

n LTQ n LTQ Qn n LTQ n LTQ

Acknowledgement

為了圓夢及在老公的鼓勵下，在相隔大學畢業將近 20 年後，再重回學生的身 份，內心充滿了感恩、喜悅、及忐忑不安的心情；很高興能與交大應數結緣，讓我 能有機會完成夢想。 看到交大應數老師們認真教學的態度，讓身為中學老師的我，除了從他們身上 學到數學上的知識，更在生活態度上受益不少，非常感謝老師們對我的教導；其中 最感謝的是陳秋媛老師，感謝陳老師對我的耐心指導與處處包容；而陳老師對學生 的關懷與對其家人的愛，更是我可以學習的地方。 再重拾書本，是體力、智力、及毅力的考驗，幸虧我有一群好同學：元勳、宗 翰、俊全、書于、冠成、景堯、怡菁、采瑩，很高興與大家都相處愉快；另外還有 學長們常常對我伸出援手，令我心存感恩；在最後一學期更謝謝威雄學弟的鼎力幫 忙，讓我的論文寫得更順手；由於有這些朋友，使我在交大的日子充滿快樂的感覺。 在最後我要感謝我的家人，除了我的爸爸、公公、與婆婆外，尤其是要感謝我 的老公，在我這三年求學的期間對我的支持與付出，還有兩個小孩的乖巧，令我感 到窩心，謝謝你們。

Contents

Abstract (in Chinese)

i

Abstract (in English)

ii

Acknowledgement iii

Contents iv

List of Figures

v

1. 簡介

1

2. 超立方體網路及其變型的已知結果的整理

4

3.

LTQ

_n

的探討

16

4. 結語

26

參考文獻

₂₇

List of Figures

圖 1. LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL1

圖 2. LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL5

圖 3. LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL6

圖 4. LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL8

圖 5. LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL9

１． 簡介

超立方體網路（hypercube）是很常被用到的連接網路（interconnection networks）的架構。n 維的超立方體網路，記為 ，是由 個點（nodes）和 條邊（edges）所形成的圖（graph），其中，這 個點是由{0,1}所組成的 -tuples， 兩點之間有邊的充份必要條件是這兩點的 n -tuples 只一個 bit 不同。亦即 是由 0,1 兩點所形成的完全圖（complete graph）， 是由點集合為｛00,01,10,11｝和 邊集合為{(00,01)，(01,11)，(11,10)，(10,00)}所成的圖，類推 和 。圖 1 中 給了 和 。 n Q 2n n⋅2n−1 n 2 n 1 Q 2 Q 3 Q Q₄ 3 Q Q₄ 100 101 000 001 010 011 110 111 3 Q 0100 0101 1100 1101 0000 0001 1000 1001 0010 0011 1010 1011 0110 0111 1110 1111 4 Q 圖1. Q₃和Q₄ 雖然 是一個建構簡單且容易實現的網路架構，然而，已有學者專家指出： 並未達到以其硬體花費來看的最佳直徑（diameter）、與平均距離（average

distance），因此有不少 的變型被提出，最常見的變型有：twisted cube（ ）、

crossed cube（ ）、Möbius cube（ ）、以及locally twisted cube（ ），

其中 n 表示這些網路的維度（dimension）；這些網路的定義請參見第２小節。以 n Q n Q n Q TQ_n n CQ MQ_n LTQ_n

上四種超立方體網路的變型有下列性質： (ⅰ) 它們的點數與邊數與超立方體網路相同， (ⅱ) 它們都是 -regular 的圖， n (ⅲ) 它們的連通度（connectivity）與超立方體網路相同（都是達到一個 -regular 的圖的最大連通度，也就是 n ）。 n 然而，這些超立方體網路的變型的直徑，卻大約只有超立方體網路的一半[7]。 本論文的目的有二，第一個目的是針對以上所提的四種最常見的超立方體 網路的變型： 、 、 、以及 的連通度、直徑、訉息傳送演算法 （routing algorithm）、及平均距離做資料上的整理，以方便對這些網路架構有興 趣的人參考。第二個目的是討論 。 n TQ CQ_n MQ_n LTQ_n n LTQ n LTQ 是在 2005 年由 Yang、Evans、和 Megson 所提出的網路架構[7]。 和 的缺點是：相連兩點的不相同的bits 數目可能達到 n CQ n MQ 2 n 個；例如：在 中，相連兩點0001010101 與 1011111111 間有 5 個 bits 不相同；在 0- （定 義請參見第2 小節）中，相連兩點 10000 與 11111 間有 4 個 bits 不相同；在 1-（定義請參見第2 小節）中相連兩點 00000 與 11111 間有 5 個 bits 不相同；雖然 相連兩點的bits 數目最多只有兩個 bits 不相同，但 的建構較為複雜，例 如： 是由四個 建構而成（可參見第 2 小節）。基於這些觀察，Yang 等人 [7]提出了 ，在 中相連的兩點最多只有兩個bits 不相同，而且若是有兩

個bits 不相同時，則這兩個 bits 必為連續的兩個 bits。

10 CQ 5 MQ 5 MQ n TQ TQ_n 5 TQ TQ₃ n LTQ LTQ_n

由於 具有如上所述的良好的性質，因此本論文的第二個目的就是針對 討論三個主題，第一個主題是 與 的平均距離的比較，第二個主題 是 的連接矩陣（adjacency matrix）的特殊建構方法，第三個主題是 的 點的分類；這三個關於 的探討，都是文獻中未曾提出的。除此之外，我們 也更正了文獻中的一個錯誤。 n LTQ n LTQ LTQ_n Q_n n LTQ LTQ_n n LTQ 本論文的架構如下：第二小節是關於超立方體網路及其變型的結果的整 理，第三小節是談有關 與 的平均距離的比較、 的連接矩陣的特殊 建構方法、以及 的點的分類，最後一小節為結語。 n LTQ Q_n LTQ_n n LTQ

２． 超立方體網路及其變型的已知結果的整理

n TQ 、 、 、以及 等超立方體網路的變型，在各篇論文中「點」 的表示都與 類似，是由{0,1}所組成的 -tuples，但是表示法略有不同。例如： 在 、 、 中，點的表示為 n CQ MQ_n LTQ_n n Q n n Q TQ_n CQ_n x= x_n−1x_n−2 ⋅ ⋅⋅x₁x₀；而在 、以及 中 點的表示為 。為了統一起見，本篇論文中，「點」的表示採用 的方式。為了方便起見，本篇論文中，〝+〞表示〝modulo 2 addition operation〞， 表示圖 G 的點集合， 表示圖 G 的邊集合。因為一個網路 可被視為一個圖，所以在本篇論文中，我們不刻意區分網路和圖兩名詞。 n MQ LTQ_n n x x x x= _{1 2}⋅ ⋅⋅ 1 2 1 x x x x x= _{n n−} ⋅ ⋅⋅ ) (G V E(G) 在前面一小節裡，我們已給出了 的 〝非遞迴〞定義，在這一小節裡，我 們首先給出 、 、 、以及 的 〝非遞迴〞定義； 接著我們將給 出 、 、 、 、以及 的 〝遞迴〞定義及它們的已知結果的整 理。 n Q n TQ CQ_n MQ_n LTQ_n n Q TQ_n CQ_n MQ_n LTQ_n

２－１ 各種 cube 的〝非遞迴〞定義

若兩點x=x_nx_n−1⋅ ⋅⋅x₂x₁和y= y_ny_n−1⋅ ⋅⋅y₂y₁有邊相連，則我們稱 是y x 的第 個鄰居，記為 k y= N_k(x)，若且唯若 是k x 與 不同 bit(s)中足標最大的值。例 如：考慮 中的點 ，則： y 3 Q x=011 N₁(x)=010，N₂(x)=001， ；考 慮 中 的 點 111 ) ( 3 x = N 4 Q x=1010， 則 ： N₁(x)=1011， N₂(x)=1000， ， 。因為 是 -regular 的圖，所以 中的每個點 1110 ) ( 3 x = N 0010 ) ( 4 x = N Q_n n Qn x 恰有 個鄰居， 亦即 ， ，…， 。 n ) ( 1 x N N₂(x) N_n(x)

n TQ 是在 1987 年由 Hilbers、Koopman 與 Snepscheut 所提出的[4]。 當 n 為 奇 數 時 ， TQn 中 的 點 x= xnxn−1⋅ ⋅⋅x2x1 的 第 k 個 鄰 居 Nk(x) = 1 2 2 1 1x x x x x x x_n ⋅ ⋅⋅ _{k+ k k− k−} ⋅ ⋅⋅ ，第k−1個鄰居N_k−1(x)是： (a) 若x_k−2 +⋅ ⋅⋅+x₂ +x₁ =0，則：N_k−1(x) =x_n⋅ ⋅⋅x_k+1x_kx_k−1x_k−2⋅ ⋅⋅x₂x₁， (b) 若x_k−2 +⋅ ⋅⋅+x₂ +x₁ =1，則：N_k−1(x)= x_n ⋅ ⋅⋅x_k+1x_kx_k−1x_k−2 ⋅ ⋅⋅x₂x₁。圖2 中給 了TQ₃和TQ₅。 000 100 110 010 011 111 001 101 3 TQ 01000 01100 d 01110 e 01010 01011 01111 f 01001 01101 11100 11000 a 11010 b 11110 11111 11011 c 11101 11001 00000 a 00100 b 00110 00010 00011 c 00111 00001 00101 10100 d 10000 e 10010 10110 10111 f 10011 10101 10001 5 TQ 圖2.TQ₃和TQ₅

n CQ 是在 1992 年由 Efe 所提出的[3]。我們先介紹一個符號：兩個二元字串 與 被稱為是pair-related，記為 1 2x x x= y = y₂y₁ x ~ y，若且唯若 {(00,00) , (10,10) , (01,11) , (11,01)}。 的非遞迴定義如下。 中的點 的第 k 個鄰居 是： ∈ ) , ( yx n CQ CQ_n x=x_nx_n−1⋅ ⋅⋅x₂x₁ ) (x N_k (a) 若 為奇數，則：k N_k(x) = x_n ⋅ ⋅⋅x_k+1x_ky_k−1y_k−2 ⋅ ⋅⋅y₂y₁， 而且對於每個i，滿足1≤i≤(k−1)/2，均有y₂iy₂i−₁ ~x₂ix₂i−₁； (b) 若 k 為偶數，則：N_k(x) = x_n ⋅ ⋅⋅x_k+1x_kx_k−1y_k−2⋅ ⋅⋅y₂y₁， 而且對於每個i，滿足1≤i≤(k−2)/2，均有y₂iy₂i−₁ ~ x₂ix₂i−₁。 例如：考慮CQ₃中的點x=011，則N₁(x)=010，N₂(x)=001， ；考 慮 中 的 點 101 ) ( 3 x = N 4 CQ x=1010， 則 ： N₁(x)=1011， N₂(x)=1000， ， 。圖3 中給了 和 。 1110 ) ( 3 x = N 0010 ) ( 4 x = N CQ₃ CQ₄ 110 100 111 101 011 001 010 000 3 CQ 1100 1110 0110 0100 1101 1111 0111 0101 1001 1011 0011 0001 1000 1010 0010 0000 4 CQ 圖3.CQ₃和CQ₄

n MQ 是在 1995 年由 Cull 與 Larson 所提出的 [2]。 的非遞迴定義如下。 中的點 的第 k 個鄰居 是： n MQ n MQ x=x_nx_n−1⋅ ⋅⋅x₂x₁ N_k(x) (a) 若x_k+1 =0，則：N_k(x) = x_n ⋅ ⋅⋅x_k+1x_kx_k−1⋅ ⋅⋅x₂x₁； (b) 若x_k+1 =1，則：N_k(x) =x_n ⋅ ⋅⋅x_k+1xkxk−1⋅ ⋅⋅x2x1。 因為在 時， （即 ）沒有定義，我們可以假設有兩種情形，第一種情 形：假設 時，稱為〝0-Möbius cube〞，記為0-MQ n k = xk+₁ xn+1 0 1 = + n x n；第二種情形，假設 時，稱為”1-Möbius cube” 記為 1-MQ 1 1 = + n x n。例如：考慮0- 中的點 ，則： ， ， 3 MQ x=011 010 ) ( 1 x = N N₂(x)=001 N₃(x)=111；考慮 1- 中的點 ，則： ， ， 3 MQ x=011 010 ) ( 1 x = N N₂(x)=001 N₃(x)=100；考慮 0- 中，點 ，則： ， ， 4 MQ x=1010 1011 ) ( 1 x = N N₂(x)=1000 N₃(x)=1101，N₄(x)=0010；考慮1- 中，點 ，則： ， 4 MQ 1010 = x N₁(x)=1011 N₂(x)=1000，N₃(x)=1101， 。圖 4 中給了 0- 和1- 。 0101 ) ( 4 x = N 4 4 MQ MQ n LTQ 是在 2005 年由 Yang，Evan 和 Megson 所提出的[7]。 的非遞迴定 義如下。 中的點 n LTQ n LTQ x=x_n−1x_n−2⋅ ⋅⋅x₁x₀的第 個鄰居k N_k(x)是： ) (a 若k =1或2，則：N1(x)= x=xnxn−1⋅ ⋅⋅x2x1，N2(x)= xnxn−1⋅ ⋅⋅x2x1； ) (b 若3≤k≤n，則：N_k(x) = x_n ⋅ ⋅⋅x_k+1x_k(x_k−1 +x₁)x_k−2 ⋅ ⋅⋅x₂x₁。 例如：考慮LTQ₃中的點x=011，則： N₁(x)=010，N₂(x)=001， ； 考慮 中的點 ，則： 101 ) ( 3 x = N 4 LTQ x=1010 N₁(x)=1011，N₂(x)=1000， ， 。圖5 中給了 和 。 1110 ) ( 3 x = N 0010 ) ( 4 x = N LTQ₃ LTQ₄

0-MQ₄ 0001 0000 0010 0011 0101 0100 ₀₁₁₀ 0111 1001 1000 1010 1011 1101 1100 ₁₁₁₀ 1111 1-MQ₄ 圖4. 0-MQ₄和1-MQ₄ 0001 0000 0010 0011 0101 0100 ₀₁₁₀ 0111 1001 1000 1010 1011 1101 1100 ₁₁₁₀ 1111

010 011 110 101 000 001 100 100 111 000 001 (a) 111 101 110 011 010 (b) 0010 0011 1011 1010 0110 0101 101 1110 0100 0111 1111 1100 0000 0001 1001 1000 (c) 圖5. (a)LTQ₃，(b)利用對稱的方法畫LTQ₃，(c)LTQ₄

在下表中，我們列出各種cube 中，點x=x_nx_n−1⋅ ⋅⋅x₂x₁的第 個鄰居k N_k(x)： 點 的第 個鄰居 cube x= xnxn−1⋅ ⋅⋅x2x1 k NK(x) 備註 n Q N_k(x) = x_n ⋅ ⋅⋅x_k+1xkx_k−1x_k−2⋅ ⋅⋅x₂x₁ n 1 2 2 1 1x x x x x x x_n ⋅ ⋅⋅ _k+ k _{k− k−} ⋅ ⋅⋅ 為奇數 = ) (x Nk ) ( 1 x Nk− = xn ⋅ ⋅⋅xk+1xkxk−1xk−2⋅ ⋅⋅x2x1 若xk−2 +⋅ ⋅⋅+x2 +x1 =0 n TQ 1 1 2 2 +⋅ ⋅⋅+ + = − x x x_k 1 2 2 1 1x x x x x x x_n ⋅ ⋅⋅ _{k+ k} k− _k− ⋅ ⋅⋅ = ) ( 1 x N_k− 若 當 為奇數，而且對於每個 ，滿足 k ， i 1≤i≤(k−1)/2 1 2 2 1 1x y y y y x x_n ⋅ ⋅⋅ _k+ k _{k− k−} ⋅ ⋅⋅ ) (x N_k = 均有y₂iy₂i₋₁ ~x₂ix₂i₋₁。 n CQ 當 為偶數，而且對於每個 ，滿足 k ， i 1≤i≤(k−2)/2 1 2 2 1 1x x y y y x x_n ⋅ ⋅⋅ _k+ k _{k− k−} ⋅ ⋅⋅ ) (x Nk = 均要y_2iy_2i−1 ~x_2ix_2i−1。 1 = + x 0 1 2 2 1 1x x x x x x x_n ⋅ ⋅⋅ _k+ k _{k− k−} ⋅ ⋅⋅ = ) (x Nk 當 k n MQ ) (x N_k = x_n ⋅ ⋅⋅x_k+1xkxk−1⋅ ⋅⋅x2x1 當xk+1 =1 1 = k 1 2 1 x x x x_{n n−} ⋅ ⋅⋅ = ) ( 0 x N 當 = ) ( 2 x N x_nx_n−1⋅ ⋅⋅x2x₁ 當k =2 n LTQ n k ≤ ≤ 3 1 2 2 1 1 1x (x x )x x x x x_n ⋅ ⋅⋅ _k+ k _k− + _k− ⋅ ⋅⋅ = ) (x N_k 當

２－２ 各種 cube 的〝遞迴〞定義

n Q 也可遞迴定義如下： 是由 0,1 兩點所形成的完全圖，而 （ ） 是由兩個 依下列規則建立而成：令 表示在 的每點的 -tuples 之前加上一個0 所形成的圖，令 表示在 的每點的 1 Q Qn n≥2 1 − n Q 0Q_n−1 Q_n−1 (n−1) 1 1Q_n− Q_n−1 (n−1)-tuples 之前加上 一個1 所形成的圖，在0Q_n−1中的一點0x_n−1⋅ ⋅⋅x₂x₁與在 中的一點 相連。 1 1Q_n− 1x_n−1⋅ ⋅⋅x₂x₁ n TQ 是在 1987 年由 Hilbers、Koopman、和 Snepacheut 等人所提出的[4]；論 文[4]中並未提供 為偶數時的定義。 的“遞迴”定義如下： 與 的結構相 同；當 ，且為奇數時， 可由四個子圖 所構成，其中 ， 亦即 ， ， ， 四個子圖； n TQ_n TQ₁ Q₁ 3 ≥ n ab n TQ −2 n TQ a,b∈{0,1} 00 2 − n TQ TQn01−2 10 2 − n TQ TQ11n−2 ) (a ab n TQ −2與 同構，而且 ： 。 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ∈ = − − − − )} ( ) , ( | ) , {( ) ( )} ( | { ) ( 2 2 2 2 n ab n n ab n TQ E v u abv abu TQ E TQ V u abu TQ V ab n TQ −2 2 − n TQ ) (b TQ 則有：n ， ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ′ ∪ ∪ = ∪ = − ∈ − ∈ E TQ E TQ E TQ V TQ V ab n b a n ab n b a n ) ( ) ( ) ( ) ( 2 } 1 , 0 { , 2 } 1 , 0 { , 其中任意x=x_nx_n−1⋅ ⋅⋅x₂x₁，y= y_ny_n−1⋅ ⋅⋅y₂y₁∈V(TQ_n)， 若且唯若 滿足下列三個條件中的任何一個： E y x, )∈ ′ ( 1 2 1 x x x x y = n _n− ⋅ ⋅⋅ (ⅰ) ； 1 2 1 x x x x y = n n− ⋅⋅⋅ x_n−2 +x_n−3 +⋅ ⋅⋅+x₁ =0 (ⅱ) ，而且 ； 1 2 1 x x x x y = _n n− ⋅ ⋅⋅ x_n−2 +x_n−3 +⋅ ⋅⋅+x₁ =1。 (ⅲ) ，而且

n CQ 、 、和 等超立方體網路變型的遞迴建構的方法與 類似。為 方便起見，以 表示 或 或 。 都可由兩個 構成：令 表示在 的每點的 n MQ LTQ_n Q_n n GQ CQ_n MQ_n LTQ_n GQ_n GQ_n−1 1 0GQ_n− GQ_n−1 (n−1)-tuples 之前加上一個 0 所形成的圖，令1GQ_n−1 表示在 的每點的 -tuples 之前加上一個 1 所形成的圖； 是在 與 中間加上一個完美配對(perfect matching) 而建構成。 1 − n GQ (n−1) GQ_n 0GQ_n−1 1 1GQ_n− n CQ 的“遞迴”定義如下： 就是 ；CQ （_n ）是由 與 所 構成，在 中的一點 1 CQ Q₁ n≥2 0CQn₋₁ 1CQn−1 1 0CQ_n− x=0x_n−1⋅ ⋅⋅x₂x₁與在 中的一點 有 邊相連的充份必要條件是： 1CQ_n−1 y =1y_n−1⋅ ⋅⋅y₂y₁ 若 n 為奇數，則：y=1y_n−1y_n−2 ⋅ ⋅⋅y₁ ) (a ，而且對每個i滿足1≤i≤(n−1)/2，均有 ； 2i y y_2i−1 ~ x_2ix_2i−1 若 n 為偶數，則：y=1x_n−1y_n−2y_n−2 ⋅ ⋅⋅y₁ ) (b ，而且對每個i滿足 ， 均有 。 2 / ) 2 ( 1≤i≤ n− 1 2 2 1 2 2iy i− ~ x ix i− y n MQ 的“遞迴”定義如下： 就是 ； （ ）是由 與 所構成，因為 有兩種形，我們分別述敘如下： 1 MQ Q₁ MQn n≥2 0MQn−1 1MQn−1 n MQ ) (a 建構0-MQ_n：在0MQ_n−1中的一點x=0x_n−1⋅ ⋅⋅x₂x₁與在 中的一點 相連； 1 1MQ_n− 1 2 1 1x x x y = _n− ⋅ ⋅⋅ ) (b 建構1-MQ_n：在0MQ_n−1中的一點x=0x_n−1⋅ ⋅⋅x₂x₁與在1MQ_n−1中的一點 1 2 1 1x x x y = n− ⋅⋅⋅ 相連。

n LTQ 的“遞迴”定義如下： 就是 ； （ ）是由 與 所 構 成 ， 在 中 的 一 點 1 LTQ Q₁ LTQn n≥2 0LTQn−1 1 1LTQ_n− 0LTQ_n−1 x=0x_n−1⋅ ⋅⋅x₂x₁ 與 在 中 的 點 相連的充份必要條件是： 1 1LTQ_n− 1 2 2 1 1y x x x y= _{n− n−} ⋅ ⋅⋅ y_n−1 =x_n−1+x₁。 在下表中，我們列出各種cube 的遞迴定義中所使用的完美配對： 備註 圖 完美配對(perfect matching) n n−1 2 1 n 1 2 1 Q (0x ⋅ ⋅⋅x x ,1x ₋ ⋅ ⋅⋅x x ) ) 1 2 1 x x x xn _n− ⋅ ⋅⋅ 1 2 1 (xnxn− ⋅ ⋅⋅x x , 1 2 1 n n − (x x ⋅ ⋅⋅x x ,xnxn−1⋅ ⋅⋅x₂x₁) 當xn−2 +xn−3 +⋅ ⋅⋅+x1 =0 n TQ 1 1 3 2 + − +⋅ ⋅⋅+ = − x x x_{n n} 1 2 1 x x x x_n n− ⋅ ⋅⋅ 1 2 1 (x_nx_n− ⋅ ⋅⋅x x , ) 當 1 2 1 0 ( x_n− ⋅ ⋅⋅x x y_{n 1}y_{n 2} y₁) 當 為奇數，而且對每個i 滿足 n ,1 _{− −} ⋅⋅⋅ 1≤i≤(n−1)/2， 均有y₂iy₂i₋₁ ~ x₂ix₂i₋₁ 。 n CQ 1 2 1 0 ( x_n− ⋅ ⋅⋅x x ,1x_n−1y_n−2y_n−3 ⋅ ⋅⋅y₁) n 若 為偶數，而且對每個i 滿足1≤i≤(n−2)/2， 均有y_2iy_2i−1 ~ x_2ix_2i−1。 1 2 1 n n 1 2 1 0 ( x ₋ ⋅ ⋅⋅x x ,1x ₋ ⋅ ⋅⋅x x ) 當建構0-MQ n n MQ 1 2 1 n− 1xn−1⋅ ⋅⋅x2x1 當建構1-MQ 0 ( x ⋅ ⋅⋅x x , ) n n n−1 n−2 2 1 n 1 n 2 2 1) LTQ (0x x ⋅ ⋅⋅x x ,1y ₋ x ₋ ⋅⋅⋅x x 其中yn−₁ = xn−₁+x₁

２－３ 超立方體網路及其變型的連通度、直徑、以及 routing

algorithms 之整理

我們先給出與連通度、直徑有關的一些定義及符號，這些定義及符號參考 自[6]。 一個圖 G 的連通度（connectivity），記為κ(G)，滿足 S G− ) ( | min{S S ⊆V G = 為不連通圖或剩下一點}。 ) (G κ 且 在一個圖 G 中，兩點 與 的u v 距離，記為 ，是所有 u - v 路徑中最短的路徑 的長度。若 和 之間沒有路徑，則 u 和 v 的距離定義為 ) , ( vu d_G u v ∞；另若 ，則 u 和 v 距離定義為0 。一個圖 的 v u= G 直徑（diameter），記為D(G)，滿足 | ) , ( max{d_G u v 。 = ) (G D u,v∈V(G)} 超立方體網路及其變型最常被討論的問題有：連通度、直徑、routing algorithms 等，但是這些結果分散在各論文中，查詢不易，因此本論文將已知結 果做一整理如下。

cube type 連通度 直徑 routing algorithm n Q κ(Q_n)=n D(Qn)= n

⎡

(n+1)/2

⎤

) (TQ_n D = 任兩點間的routing algorithm [4] n TQ κ(TQn)=n [4]

⎡

(n+1)/2

⎤

n CQn)= ( D(CQn) κ = 任兩點間的routing algorithm [3]P517 CQ _n [3]P410 定理 7.1 [3]P410 定理 7.1 (a)D(0-MQn) n MQ κ(MQn)=n =

⎡

(n+2)/2

⎤

for n≥4； 任兩點間的routing algorithm[2]P651 (b)D(1-MQn) =

⎡

(n+1)/2

⎤

for n≥1； [2]P653 定理 5 n LTQ LTQn =n ) 3 ( D LTQ =2； ) (LTQ₄ D =3； κ( ) 任兩點間的routing algorithm [7]P407 ) (LTQ_n D [7] P410 定理 7.1 =

_⎡

(n+3)/2

_⎤

for n≥5； [7]P408 定理 5.1

３．

LTQ

_n

的探討

由於Yang 等人證明了 具有許多良好的性質，在這篇論文中，我們將針 對 討論三個主題，第一個主題是 與 的平均距離的比較，第二個主 題是 的連接矩陣（adjacency matrix）的特殊建構方法，第三個主題是 的點的分類。這些關於 的探討，都是在文獻中未曾提出過的。另外，我們 也更正了文獻中的一個錯誤。 n LTQ n LTQ LTQ_n Q_n n LTQ LTQ_n n LTQ

３－１

LTQ

_n

與

Q

_n

的平均距離的比較

經由使用 MatLab 語言，我們將 和 的平均距離求出，如下表。由以 下數據，可以發現：當 時， 的平均距離都小於 ；而且由以下數據 中的比值欄位，可以發現兩者的差距是愈來愈大。 n Q LTQ_n 3 ≥ n LTQn Qn n LTQ 的平均距離 ／ 的平均距離 n Q_n的平均距離 LTQ_n的平均距離 n Q 2 1.3333 1.3333 1 3 1.7143 1.5714 0.916642 4 2.1333 1.9333 0.906249 5 2.5806 2.2742 0.881268 6 3.0476 2.6587 0.872391 7 3.5276 3.0315 0.859366 8 4.0157 3.4196 0.851558 9 4.5088 3.7984 0.842441 10 5.0049 4.1808 0.835341 11 5.5027 4.5559 0.827939 12 6.0015 4.9302 0.821495 13 6.5008 5.2988 0.815100 14 7.0004 5.6652 0.809268 15 7.5002 6.0273 0.803619

３－２

LTQ

_n

的連接矩陣（adjacency matrix）的特殊建構方法

現在我們要提出LTQ_n的連接矩陣的特殊建構方式。在一個連接矩陣A裡， 表示點 和點 j j 1 = ij A i 有邊相連，Aij =0表示點i和點 没有邊相連；其實我們的 論文做的更多，我們提出的方法，除了可以知道點 和點 ji 是否有邊相連，還可 以知道，若是它們有邊相連，則點 j 是點i的第幾個鄰居；換句話說，我們定義 若 j = N_k(i) j 没有邊相連。 k Aij = ，Aij =0若點 和點i 現在我們證明LTQ_n−1和LTQ_n的連接矩陣有下面的關係。 定理１： 對角線為 對角線為 ， 其它部份為０ 0 0 0n n n ⋅ ⋅⋅ ， 0n0n⋅ ⋅⋅0n 其它部份為０ 與LTQn₋₁的連接矩陣相同 對角線為 對角線為 ， n n n0 0 0 ⋅ ⋅⋅ ， n0n0⋅ ⋅⋅n0 其它部份為０ 其它部份為０ = n LTQ 的連接矩陣 同於右上角 同於左上角

我們先用LTQ₂和LTQ₃，以及LTQ₃和LTQ₄的連接矩陣做說明。 000 001 010 011 100 101 110 111 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 000 0 1 2 0 3 0 0 0 0000 0 1 2 0 3 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 001 1 0 0 2 0 0 0 3 0001 1 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 0 0 4 0 0 010 2 0 0 1 0 0 3 0 0010 2 0 0 1 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 0 0 011 0 2 1 0 0 3 0 0 0011 0 2 1 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 100 3 0 0 0 0 1 2 0 0100 3 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 4 0 0 0 101 0 0 0 3 1 0 0 2 0101 0 0 0 3 1 0 0 2 0 4 0 0 0 0 0 0 110 0 0 3 0 2 0 0 1 0110 0 0 3 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 4 0 111 0 3 0 0 0 2 1 0 0111 0 3 0 0 0 2 1 0 0 0 0 4 0 0 0 0 1000 4 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 3 0 0 0 3 LTQ 1001 0 0 0 0 0 4 0 0 1 0 0 2 0 0 0 3 1010 0 0 4 0 0 0 0 0 2 0 0 1 0 0 3 0 1011 0 0 0 0 0 0 0 4 0 2 1 0 0 3 0 0 1100 0 0 0 0 4 0 0 0 3 0 0 0 0 1 2 0 1101 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 2 1110 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 3 0 2 0 0 1 1111 0 0 0 4 0 0 0 0 0 3 0 0 0 2 1 0 4 LTQ 00 01 10 11 000 001 010 011 100 101 110 111 00 0 1 2 0 000 0 1 2 0 3 0 0 0 01 1 0 0 2 001 1 0 0 2 0 0 0 3 10 2 0 0 1 010 2 0 0 1 0 0 3 0 11 0 2 1 0 011 0 2 1 0 0 3 0 0 100 3 0 0 0 0 1 2 0 2 LTQ 101 0 0 0 3 1 0 0 2 110 0 0 3 0 2 0 0 1 111 0 3 0 0 0 2 1 0 3 LTQ

n n ₂ 2 × 定理１的證明：LTQ_n的連接矩陣A是一個 的矩陣，今將矩陣A視為由４ 個 的矩陣 、 )、 )、 所構成，其中 、 、 、 分 別表示矩陣 1 1 ₂ 2n− × n− (1) A A(2 A(3 A(4) A(1) A(2) A(3) A(4) A的左上、右上、左下、和右下角矩陣。將矩陣 視為由４個 的矩陣 、 、 、 所構成，其中 、 、 、 分別 表示矩陣 的左上、右上、左下、和右下角的矩陣。將矩陣 視為由４個 的矩陣 、 、 、 所構成，其中 、 、 、 分別 表示矩陣 的左上、右上、左下、和右下角的矩陣。我們將上述的矩陣以下圖 表示： 2 A 2 2 ₂ 2n− × n− 21 A A22 A23 A24 A21 A22 A23 A24 2 A A3 2 2 ₂ 2n− × n− 31 A A32 A33 A34 A31 A32 A33 A34 3 A

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 (

A

A

A

A

(2)

A

(3)

A

A

=⎢⎡ 23 24⎥⎤ 22 21 A A ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ = A₃₃31 A₃₄32 ⎦ ⎣A A _⎣A A _⎦ 1 n n 1 接下來，我們分別討論各矩陣的性質。 (ⅰ) 矩陣 )_{，相當於考慮 中任兩點的連接情形，因為 就是} 中每個點的 -tuples 之前加上一個 0 所形成的圖，所以 與 的結構完全相同，因此矩陣 也與 的連接矩陣相同。 1 ( A V(0LTQ_n−1) 0LTQ_n−1 1 − n LTQ (n−1) 0LTQ_n−1 ) 1 ( A − LTQ LTQ ₋ (ⅱ) 同理，矩陣 (4)_{，相當於考慮 中任兩點的連接情形，因為} A V(1LTQ_n−1) 1LTQ_n−1 就是LTQ_n−1中每個點的(n−1)-tuples 之前加上一個 1 所形成的圖，所以 與 的結構完全相同，因此矩陣 也與 的連接矩陣相 同。 1 n n 1 n 1 ) 4 ( A 1LTQ ₋ LTQ ₋ LTQ ₋ 在往下證明之前，我們先定義abLTQ_n−2，其中a,b∈{0,1}。abLTQn₋₂表示在LTQn−2

中每個點的(n−2)-tuples 之前加上ab二個bits 所形成的圖。

(ⅲ)① 矩陣A(2)中的A21，相當於考慮00LTQ_n−2中的一點x=00x_n−2x_n−3⋅ ⋅⋅x₁與

中的一點 x

2

10LTQ_n− y=10y_n−2y_n−3⋅ ⋅⋅y₁的連接情形。可以確定 與 最左

邊的二個bits 中：第一個 bit 不同，第二個 bit 相同。根據 的定義，

中相連的兩點最多只有兩個bits 不相同，而且若是有兩個 bits 不相 同時，則這兩個bits 必為連續的兩個 bits，因此 y n LTQ n LTQ x與 有邊相連的充分必y 要條件為：對於每個1≤i≤n−2，均有yi = xi，且y₁ = x₁ =0。此外，若 x 與y有邊相連，則 。由以上，矩陣 只有在對角線的奇數位 置的值為 ，其它部份都是 。 21 A ) (x N y= _n n 0 ② 矩陣A(2)中的A22，相當於考慮00LTQ_n−2中的一點x=00x_n−2x_n−3⋅ ⋅⋅x₁與 中的一點 x 2 11LTQ_n− y=11y_n−2y_n−3⋅ ⋅⋅y₁的連接情形。可以確定 與 最左 邊的二個 bits 都不相同。根據 的定義， 中相連的兩點最多只

有兩個 bits 不相同，而且若是有兩個 bits 不相同時，則這兩個 bits 必為

連續的兩個 bits，因此 y n LTQ LTQ_n x與y有邊相連的充分必要條件為：對於每個 ，均有 ，且y₁ = x₁ =1 x 2 1≤i≤n− yi =xi 。此外，若 與 有邊相連，則y 。由以上，矩陣 只有在對角線的偶數位置的值為 n ，其它 部份都是 。 22 A ) (x N y= _n 0 ③ 矩陣A(2)中的A23，相當於考慮01LTQ_n−2中的一點x=01x_n−2x_n−3⋅ ⋅⋅x₁與 中的一點 2 n n 2 n 3 1 10LTQ ₋ y =10y ₋ y ₋ ⋅ ⋅⋅y 的連接情形。用與 A22相同的討

論，可得A23 = A22。 ④ 矩陣A(2)中的A24，相當於考慮01LTQ_n−2中的一點x=01x_n−2x_n−3⋅ ⋅⋅x₁與 中的一點 2 11LTQ_n− y=11y_n−2y_n−3⋅ ⋅⋅y₁的連接情形。用與 相同的討論， 可得 。 21 A = 24 A A21 (ⅳ)① 矩陣A(3)中的A31，相當於考慮10LTQ_n−2中的一點x=10x_n−2x_n−3 ⋅ ⋅⋅x₁與 中的一點 2 00LTQ_n− y=00y_n−2y_n−3⋅ ⋅⋅y₁的連接情形。用與（iii）① 相同 的討論，可得 。 21 A 31 A = A21 ② 矩陣A(3)中的A32，相當於考慮10LTQ_n−2中的一點x=10x_n−2x_n−3⋅ ⋅⋅x₁與 中的一點 2 01LTQ_n− y =01y_n−2y_n−3⋅ ⋅⋅y₁的連接情形。用與（iii）② 相同 的討論，可得 。 22 A 32 A = A22 ③ 矩陣A(3)中的A33，相當於考慮11LTQ_n−2中的一點x=11x_n−2x_n−3 ⋅ ⋅⋅x₁與 中的一點 2 00LTQ_n− y=00y_n−2y_n−3⋅ ⋅⋅y₁的連接情形。用與（iii）② 相 同的討論，可得 。 22 A = 33 A A22 ④ 矩陣 A(3)中的A34，相當於考慮11LTQ_n−2中的一點x=11x_n−2x_n−3⋅ ⋅⋅x₁與 中的一點 2 01LTQ_n− y=01y_n−2y_n−3⋅ ⋅⋅y₁的連接情形。用與（iii）① 相同 的討論，可得 。 □ 21 A = 34 A A21 引理2：A(1) = A(4)，A(2) = A(3)，A21 = A24，A22 = A23。 證明：由定理１。 □

３－３

LTQ

_n

點的分類

當n=2時，LTQ_n =Q₂，因此LTQ₂的點只有一類。當n=3時，由圖 5(b) 知道， 的點只有一類。在以下，我們將證明 （ ）的點最多只有 兩類。證明中需要用到下列定義，這些定義出自[7]。為了方便，在以下， 4 ≥ n 3 LTQ LTQ_n v u ~ 表 示點 和點 之間有邊相連；u v u ~/ v，表示點 u 和點 v 之間沒有邊相連。 令_{0,1}n表示長度為 的所有二進位字串所形成的集合，令兩字串n x_, y ∈ ，x+y x n } 1 , 0 { ({0,1}n,+)

表示 、y的和取modulo 的值（亦即取 exclusive OR）；則

形成一個空間。在[7]中，定義了下面兩組基底。 2 定義１[7]： 任意1≤i≤n，令 為長度為 的二進位字串， ei n 且 e₁ =0000⋅ ⋅⋅00001 00010 0000 2 = ⋅ ⋅⋅ e 00100 0000 3 = ⋅ ⋅⋅ e M 00000 1000⋅ ⋅⋅ = n e . 由此定義，eBASE ={e | 為空間({0,1}n,+)的一組基底。 } 1≤i≤n i n 定義２[7]：任意1≤i≤n，令En為長度為 的二進位字串， n 00001 0000 1 1 = e = ⋅ ⋅⋅ E 且 00010 0000 2 2 = e = ⋅ ⋅⋅ E 00110 0000 3 2 3 =e +e = ⋅ ⋅⋅ E 001100 0000 4 3 4 =e +e = ⋅ ⋅⋅ E M 00000 1100 1 + = ⋅ ⋅⋅ = n₋ n n e e E . 由此定義，EBASE ={E | 為空間({0,1}n,+)的一組基底。 } 1≤i≤n i n 定義3[7]：當 ， 維的two-twisted cube，記為 ，其點集合為 ，其邊集合為 n 2 ≥ n Qn,2 n } 1 , 0 { {(x,y)|x= y+E_k，其中 。 = ) (Qn,2 V E(Q_n,2)= 1≤k≤n}

由於定義3有錯誤（我們將在後面再加以說明），因此在本論文中，我們重新給 出定義3 如下。 定義 3[修正後]：當 ， 維的two-twisted cube，記為 ，其點集合為 ，其邊集合為 n 2 ≥ n Qn,2 n k ≤ ≤ 1 = ) (Qn,2 V {0,1}n E(Q_n,2)={(x,y)|x= y+E_k若 且 ， 或 若 。 2 ≠ k 1 E E y x= + _k + k =2} 在證明LTQ_n的點至多兩類時，我們需要用到下面的定理5和補助定理 3、4。 補助定理3[7]：LTQ_n可以由下列三個步驟建構完成： step1：令圖Q_n−10為Q_n−1的所有點的最後一個bit 加上 所得到的圖； 0 step2：令圖Qn−1,21為Qn−1,2的所有點的最後一個bit 加上1所得到的圖； x x+e₁ step3：Qn₋₁0中的點 與Qn−1,21中的點 有一條邊相連。 補助定理4[7]：Qn,2與Qn同構。 = v v_n−1v_n−2⋅ ⋅⋅v₃v₂v₁ 定義 3 現在我們說明修正 的原因：考慮Qn_−1,2中的點 ， 由定義3，因為 v~v+E₂ ，亦即 v_n−1v_n−2⋅ ⋅⋅v₃v₂v₁ ~v_n−1v_n−2⋅ ⋅⋅v₃v₂v₁，則依據補 助定理 3[7] 的方式建構 LTQ_n 時， 在 step2 中，可得 v_n−1v_n−2⋅ ⋅⋅v₃v₂v₁1~ 1 1 2 3 2 1v v v v v_{n− n−} ⋅ ⋅⋅ ， 但 根 據 LTQ_n 的 定 義 ， 在 LTQ_n 中 v_n−1v_n−2⋅ ⋅⋅v₃v₂v₁1~/ 1 1 2 3 2 1v v v v v_{n− n−} ⋅ ⋅⋅ ，因此錯誤。然而，若使用修正後的定義3，則因為在 中 ，亦即 2 , 1 − n Q 1 2 ~v E E v + + v_n−1v_n−2⋅ ⋅⋅v₃v₂v₁ ~ v_n−1v_n−2 ⋅ ⋅⋅v₃v₂v₁，則依據補助定理3[7]

1 1 2 3 2 1v v v v v_{n− n−} ⋅ ⋅⋅ 的方式建構LTQ_n時，在step2中，可得v_n−1v_n−2⋅ ⋅⋅v₃v₂v₁1~ ，因 此可以修正上述錯誤。 現在我們證明本論文的另一主要結果。 定理 5：當 時， 的點最多分為兩類，第一類的點為 ，第二類 的點為 。 4 ≥ n LTQn V(Qn−10) ) 1 (Qn−1,2 V 證明：由補助定理３可知： 。 ⎩ ⎨ ⎧ ∅ = ∩ ∪ = − − − − ) 1 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 0 ( ) ( 2 , 1 1 2 , 1 1 n n n n n Q V Q V Q V Q V LTQ V 我們只證明 中的點為同一類；用相同的方法亦可證出 中 的點為同一類。 ) 0 (Qn₋₁ V V(Q_n−1,21) x 考慮V(Q_n−10)中的任意相異兩點 和 ，定義函數y f 為： ) (LTQ_n V v∈ ∀ y x v v f( )= + + ， 欲證明 x 和 為同一類，相當於要證明 滿足以下三條件： y f (ⅰ) 是 one-to-one 且 onto； f (ⅱ) f(x)= y； v u ~ (ⅲ) 若 ，則 f(u)~ f(u)。 我們首先證明 是one-to-one 且 onto。對任意的一點 ， 取 u V(LTQn) f ∈ u = y x u v= + + ，則f(v)=v+x+y =(u+x+y)+x+y ，所以函數 為 onto。又函數 的定義域與對應域都是 )，因此函數 為 one-to-one。 接下來，我們證明 f (LTQ_n V f f ，故得證。 y x f( )= ；由 f 的定義， f(x)=x+x+y= y v u ~ ，則 f(u)~ f(v)。 現在我們分三個情形來證明若

情形１： , u v∈V(Qn₋₁0)。則存在一個ei ∈eBASE 使得 n i e v u= + （_Qu ~v 且 ,u v∈V(Qn₋₁0)）， ) 0 ( ) (u =u+x+ y∈V Q_n−1 f （_Qu x, ,y∈V(Qn₋₁0)）， ) 0 ( ) (v =v+x+y∈V Q_n−1 f （_Qv x, ,y∈V(Qn₋₁0)）； y x e v+ _i + + =( ) =(v+x+ y)+e_i= f(v)+e_i y x u u f( )= + + 因此 ， 所以 f(u)~ f(v)。 情形２： , u v∈V(Qn−1,21)。則存在一個Ei ∈EBASE 使得 n i E v u= + （_Qu ~ v 且 ,u v∈V(Qn_−1,21)）， u x )（_Q 1 ( ) (u =u+x+ y∈V Qn_−1,2 f ∈V(Qn_−1,21) 且 ,y∈V(Qn−10)）， v x )（_Q 1 ( ) (v =v+x+y∈V Qn_−1,2 f ∈V(Qn_−1,21) 且 ,y∈V(Qn−10)）； y x E v+ _i + + =( ) =(v+x+y)+E_i = f(v)+E_i y x u u f( )= + + 因此 ， 所以 f(u)~ f(v)。 u∈V(Qn₋₁0) v∈V(Qn−1,21)。則 情形３： ， 1 e v u= + （_Qu ~v）， ) 0 ( ) (u =u+x+ y∈V Q_n−1 f （_Qu x, ,y∈V(Qn₋₁0)）， v x )（_Q 1 ( ) (v =v+x+y∈V Qn_−1,2 f ∈V(Qn_−1,21) 且 ,y∈V(Qn−10)）； y x e v+ + + =( ₁) =(v+x+y)+e₁= f(v)+e_i y x u u f( )= + + 因此 ， 所以 f(u)~ f(v)。 □

４．結語

在這篇論文中，我們針對四種最常見的超立方體網路的變型： 、 、 、以及 ，做了連通度、直徑、訉息傳送演算法、以及平均距離的資料 上的整理，也針對 討論了三個主題。我們討論了 與 的平均距離， 提出了 的連接矩陣的特殊建構方法，也證明了當 時， 的點最多 分為兩類。由我們實際跑程式所得到的數據，當 時， 的點都是恰可分 為兩類，因此我們也猜測：當 時， 的點恰可分為兩類。 n TQ CQ_n n MQ LTQ_n n LTQ LTQ_n Q_n 4 ≥ n n LTQ LTQ_n 4 ≥ n LTQn 4 ≥ n LTQn

參考文獻

[1] S. Abraham and K. Padmanabhan, ''The twisted cube topology for multiprocessors: A study in network asymmetry'', J. Parallel Distrib. Comput., Vol. 13 (1991), 104-110.

[2] P. Cull and S. M. Larsion, ''The Möbius cubes'', IEEE Trans. Comput., Vol. 44

(1995), 647-659.

[3] K. Efe, ''The crossed cube architecture for parallel computation'', IEEE Trans. Parallel Distrib. Syst., Vol. 3 (1992), 513-524.

[4] P. A. J. Hilbers, M. R. J. Koopman, and J.L.A. van de Snepscheut, ''The twisted cube'' in: Lecture Notes in Computer Science, Parallel Architect. Lang. Eur. (1987), 152-159.

[5] K. S. Hu, S. S. Yeoh, C. Y. Chen, and L. H. Hsu, ''Node-pancyclicity and edge-pancyclicity of hypercube variants,'' Inf. Process. Lett., Vol. 102 (2007), 1-7.

[6] D. B. West, Introduction to graph theory, 2nd _{ed., Prentice-Hall, 2001.}

[7] X . F. YANG, D. J. Evans, and G. M. Megson, ''The locally twisted cubes,'' Int. J. Comput. Math., Vol. 82 (2005), 401-413.