應用自適應滑動模式實現於機械手臂之位置控制器設計

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(1)國立臺灣師範大學機電工程學系碩士論文指導教授:陳美勇博士應用自適應滑動模式實現於機械手臂之位置控制器設計 Design of Position Controller for Delta Robot Applying Adaptive Sliding Mode Control. 研究生 : 蔡岱桓撰中. 華. 民. 國. 1. 0. 6. 年. 7. 月.

(2) 摘要本論文主要研究之目的是設計三相無刷直流馬達的位置控制器，並實現於機械手臂上。在位置控制器設計方面，本論文克服了機械手臂當中的不確定性與外界干擾的問題，並且提出強健且穩定的自適應滑動控制器設計方法。本研究選擇具有良好強健性的滑動模式控制器為主控制器。而在滑動模式控制當中有負責將系統狀態拉至滑動平面的(sign function) sgn(.) 。但此函數會造成在滑動平面上 0- 、 0  附近變化，隨著滑動增益量造成滑動模式中的跳切現象。因此本研究以飽和函. 數(saturation function) sat(.) 替換符號函數，來去除滑動模式的跳切現象。但在系統在穩態時，存在穩態誤差。因此本文研究加入適應控制，對於系統附載進行估測，以消除系統在穩態時出現的穩態誤差。. 本研究提出的位置控制器，可以有效率的使我們所控制的三相無刷直流馬達追上我們的目標位置。並實際解決傳統滑動控制當中的跳切現象，與系統在穩態時的穩態誤差，使目標位置與馬達位之誤差值趨近於零。在控制器設計當中，本文以 Lyapunov 函數證明系統穩定性。在馬達位置控制精確的情況下，本文結合機械手臂之正逆向運動學，以機械手臂目標位置推算馬達必須實際轉動之角度，使目標移動更加精確，並驗證控制器性能。. 最後本實驗以 C#程式語言，建立三相無刷直流馬達與與電腦之間的溝通。並設計控制機械手臂之 UI 介面，並實際運作在 Windows10 作業系統中。介面內容包含馬達相對與絕對位置控制、馬達轉速設定、馬達與電腦通訊方法。調整機械手臂當中三顆馬達同時做動狀態，使機械手臂完成目標命令。關鍵字：三相無刷直流馬達、機械手臂、自適應滑動控制。. i.

(3) Abstract In this study, we design an adaptive sliding mode position controller, which is applying on the three-phase DC brushless motor and using in the Delta robot arms. We remove the uncertainty and the external disturbances of a robot arm in the controller design, and proposed robust and the stability adaptive sliding mode (ASMC) control method. In this study, we choose sliding mode control (SMC) as our major controller, which has good robust appearance. There is an (sign function)sgn(.) in the sliding mode control, it is using to let the system status get on the sliding surface. But the function would let the changing between the 0- and 0  on the sliding surface. And there would have some chattering, because the changing sliding gain. So in our study, we change the function into (saturation function)sat(.) to remove the chattering in the sliding mode. But there are still have some steady state error, so we used the adaptive control to estimate the system’s load torque to remove the steady state error. The position control we proposed can made the three-phase DC brushless motor get on our target position. The error between the target position and the motor’s position is near to zero, because we remove the chattering and the steady state error. We use the Lyapunove function to prove our controller design in the system was stability. In the study, we us the positive inverse kinematics to calculate the motor moving angle in the robot arm. In the experiment result, communicate between the three-phase DC brushless motor and the computer is set up by the C# language. We design an UI interface working in the windows 10 system to control the robot arm. There are the relatively, absolute positon control, motor’s speed setting and the communication method in the UI interface. Let the robot arm move to our target position. Keywords: Three-phase DC brushless motor, robot arm, adaptive sliding mode control. ii.

(4) 誌謝「一個階段的結束，代表著另一個階段的開始」，經過兩年時間的訓練與學習，過程當中充滿了各種酸甜苦辣，如今碩士論文也即將進入尾聲。在這最後即將完成的階段，算是給自己、家人一個交代，同時也是一項自我肯定的證明。這段時間不僅在專業知識上有嶄新的學習，同時更提升了自己的領導能力、表達能力與解決問題的能力，並且學會以嚴謹的態度面對學習與挑戰。在碩士學習過的階段中，首先要感謝我的指導教授陳美勇博士，在我實驗研究的過程，給予我許多豐富的實驗資源、寶貴的建議與指導。並教導我如何善用自己的時間，能夠在有限的時間內，同時完成多項任務。當然也要感謝我的口試委員蘇順豐博士、練光祐博士以及黃安橋博士，針對論文當中描述不足的地方給予指導，使得本論文可以有更好的完整性，將論文在提升一個層次。在實驗室學習當中，首先要感謝博士班學長鍾秉剛，在我修課與實驗過程給予我許多指導與經驗分享。同時感謝碩士班學長維斌、敬棋與同學廷恩，這段時間彼此加油打氣，也藉著課業上的討論激發出我許多新的靈感。最後感謝學弟梓瑄、庭綱幫忙處理許多實驗室的工作。最重要的是，我要感謝我的父母親在這二十幾年來對我的栽培與教養，在我人生各樣階段都給予我許多、鼓勵與付出。父母為我的付出，我深深地放在心中，若沒有家人的支持，我也不會有今天的突破與成就，我愛你們。最後，我的信仰也在這段時間，給予了我許多的幫助，謝謝為我禱告的朋友們，謝謝上帝！蔡岱桓. 謹誌. 民國一零六年七月精密運動實驗室. iii.

(5) 目錄摘要………………………………………………………………………………i Abstract ………………………………………………………………………ii 致謝……………………………………………………………………………..iii 目錄……………………………………………………………………………..iv 圖目錄……………………………………………………………………….vii 表目錄…………………………………………………………………………xi. 第一章緒論…………………………………………………………………….1 1.1 前言………………………………………………………………1 1.2 文獻回顧…………………………………………………………3 1.2.1 機械運動學研究之回顧………..………………………3 1.2.2 控制器設計之回顧……………………………………4 1.3 研究動機與目的…………………………………..……..………11 1.4 本論文之貢獻……………………………………………………12 1.5 本論文之架構……………………………………………..…..…13 第二章理論基礎………………………………………………………….......16 2.1 無刷馬達簡介……………………………………………………14 2.1.1 無刷馬達之種類與變化………………………………15 iv.

(6) 2.1.2 無刷與有刷直流馬達比較……………………………16 2.1.3 三相無刷直流馬達數學模型…………………………17 2.2 Delta 機械手臂運動學………………………………………….20 2.2.1 Delta 機械手臂參數設定……………………………21 2.2.2 Delta 機械手臂逆向運動學…………………………23 2.3 Lyapunov 理論……………………………………………………30 2.3.1 Lyapunov 穩定性理論…………………………………30 2.3.2 Barbalat 引理…………………………………………31 2.4 滑動模式控制..…………………………………………………32 2.5 適應性控制…………………………………………………….36 第三章控制器設計…………………………………………………...............38 3.1 滑動模式控制…………………………………………………....38 3.1.1 滑動模式控制 Lyapunov 穩定度分析………………41 3.2 適應性控制………………………………………………………43 3.2.1 滑動適應性控制………………………………………44 3.2.1 滑動適應性控制 Lyapunov 穩定度分析……………45 第四章實驗設備……………………………………………………………...48 4.1 Delta 機械手臂控制系統………………………………………....49 4.2 Maxon EC 45 Ø45 mm 三相無刷直流馬達…………………....50 v.

(7) 4.3 Maxon GP 52 C Ø52 mm 行星減速機…………………………....52 4.4 Maxon EPOS2 50/5 馬達驅動器………………………………....54 4.5 Twintex TP-2305 電源共應器…………………………………....56 第五章實驗結果與討論……………………………………………………57 5.1 控制器追跡響應…………………………………………………58 第六章結論及未來展望..…………………………………………………...62 參考文獻……………………………………………………………………...64. vi.

(8) 圖目錄圖1-1. 準確性與精確性示意圖………………………………………..2. 圖1-2. Delta 機械手臂設備圖…………………………………………3. 圖1-3. Delta 機械手臂運動學參數……………………………………3. 圖1-4. 系統時間響應…………………………………………………4. 圖1-5. 附載估測量……………………………………………………6. 圖1-6. 馬達轉速………………………………………………………6. 圖1-7. 馬達轉矩………………………………………………………6. 圖1-8. 馬達輸出電流…………………………………………………6. 圖1-9. 目標與馬達位置訊號…………………………………………..7. 圖1-10 馬達位置誤差…………………………………………………7 圖1-11 滑動增益………………………………………………………..7 圖1-12 滑動平面………………………………………………………7 圖1-13 馬達位置模擬…………………………………………………8 圖1-14 馬達位置實驗…………………………………………………8 圖1-15 馬達誤差模擬…………………………………………………. 9 圖1-16 馬達誤差實驗…………………………………………………9 圖1-17 馬達轉矩與轉矩估測量模擬…………………………………9 圖1-18 馬達轉矩與轉矩估測量實驗…………………………………9 vii.

(9) 圖1-19 滑動增益模擬…………………………………………………10 圖1-20 滑動增益實驗…………………………………………………10 圖1-21 滑動平面模擬…………………………………………………10 圖1-22 滑動平面實驗…………………………………………………10 圖2-1. 無刷直流馬達架構圖…………………………………………14. 圖2-2. 無刷馬達實體圖………………………………………………14. 圖2-3. 馬達分類………………………………………………………15. 圖2-4. 無刷直流馬達架構……………………………………………15. 圖2-5. 三相繞組 Y 型結構……………………………………………15. 圖2-6. 馬達內部 Y 型結構圖…………………………………………17. 圖2-7. 三相無刷馬達等效電錄圖……………………………………17. 圖2-8. 旋轉式馬達 Delta 機器人……………………………………20. 圖2-9. 線性式馬達 Delta 機器人……………………………………20. 圖2-10 定義 Delta 機器人參數圖……………………………………21 圖2-11 Delta 機械手臂俯視圖………………………………………22 圖2-12 Delta 機械手臂側視圖………………………………………23 圖2-13 Delta 機械手臂觀測圖………………………………………24 圖2-14 系統狀態隨時間收斂至滑動平面在到達平衡點……………34 圖2-15 符號函數示意圖………………………………………………34 viii.

(10) 圖2-16 飽和函數示意圖………………………………………………34 圖2-17 自我調變控制器示意圖………………………………………36 圖2-18 參考模型控制器示意圖………………………………………37 圖3-1. 三相無刷直流馬達系統架構圖………………………………38. 圖4-1. Delta 機械手臂之硬體結構…………………………………48. 圖4-2. Delta 機械手臂控制系統……………………………………49. 圖4-3. 三相無刷直流馬達安裝於 Delta 機械手臂之結構圖………50. 圖4-4. 馬達外觀圖……………………………………………………50. 圖4-5. 馬達規格圖……………………………………………………50. 圖4-6. 三相無刷直流馬達連接減速機實體圖………………………52. 圖4-7. 減速機外觀圖…………………………………………………52. 圖4-8. 減速機規格圖…………………………………………………52. 圖4-9. 馬達驅動器實體圖……………………………………………54. 圖4-10 馬達驅動器裸視圖……………………………………………54 圖4-11 多層次傳輸控制………………………………………………54 圖4-12 數位定位控制器功能與接線圖………………………………55 圖4-13 Twintex TP-2350 電源共應器…………………………………56 圖5-1. Visual Studio 2015 軟體………………………………………57. 圖5-2. MATLAB-R2010a 軟體………………………………………57 ix.

(11) 圖5-3. 滑動模式控制器使用 sgn()函數追跡響應……………………58. 圖5-4. 滑動模式控制器使用 sat()函數追跡響應……………………58. 圖5-5. 滑動適應性控制器追跡響應………………………………..58. 圖5-6. 滑動模式控制器使用 sgn()函數之控制量…………………..59. 圖5-7. 滑動模式控制器使用 sat()函數之控制量……………………59. 圖5-8. 滑動適應性控制器之控制量………………………………..59. 圖5-9. 滑動模式控制器使用 sgn()函數之誤差……………………..60. 圖5-10 滑動模式控制器使用 sat()函數之誤差………………………60 圖5-11 滑動適應性控制器之誤差……………………………………60 圖5-12 滑動模式控制器使用 sgn()函數之滑動平面………………..61 圖5-13 滑動模式控制器使用 sat()函數之滑動平面…………………61 圖5-14 滑動適應性控制器之滑動平面………………………………61 圖5-15 Delta 機械手臂系統 UI 控制介面……………………………62 圖5-16 通訊方式選擇…………………………………………………62 圖5-17 馬達角度輸出…………………………………………………62 圖5-18 機械手臂第一軸馬達滑動適應性控制追跡響應……………63 圖5-19 機械手臂第二軸馬達滑動適應性控制追跡響應……………63 圖5-20 機械手臂第三軸馬達滑動適應性控制追跡響應……………63 圖5-21 機械手臂第一軸馬達控制圓軌跡追蹤馬達控制量…………64 x.

(12) 圖5-22 機械手臂第二軸馬達控制圓軌跡追蹤馬達控制量…………64 圖5-23 機械手臂第三軸馬達控制圓軌跡追蹤馬達控制量…………64 圖5-24 Delta 手臂圓路徑命令………………………………………65 圖5-25 Delta 手臂圓路徑實驗………………………………………65. xi.

(13) 表目錄表2-1. 無刷直流馬達與有刷直流馬達比較表…………………………….16. 表2-2. Maxon Motor EC 45 Ø45 mm 136198 三相無刷直流馬達規格介…51. 表2-3. Maxon GP 52 C Ø52 mm 223101 行星減速機規格介紹…………53. 表2-4. Twintex TP-2305 電源共應器規格…………………………………56. xii.

(14) 第一章緒論 1.1 前言隨著現代科技的進步，自動化產業的提升與普及化，使得機器人應用與需求涵蓋範圍更加廣泛。機器人從早期運用於傳統工業，執行重複制式化工作，發展至今衍生至電子業、半導體業、金屬業、醫療業、軍事等領域。而在第四次工業革命(工業 4.0)中，機器人更是扮演不可或缺的角色，工作內容包含產線運作、協調、製成等。機器人再根據是否具備移動能力可分為移動型與固定型機器人。移動型機器人由於具備高靈活性，因此常運用於探索和服務領域，而固定型機器人由於擁有固定式基底與穩定的電源供應等特性，因此常使用於生產線上。機械手臂的加入不僅能夠減少成本，增加工作時間提升產業生產量。更能夠在高精度、高可靠性感知、路徑規劃和控制性，取代人類的不足。在產線的運作過程中，機械手臂須達到高精度的特性，因此機械手臂當中馬達的控制與馬達特性更加格外的重要。本研究運用三相無刷直流馬達作為機械手臂之控制馬達，並實現位置控制器設計於三相無刷直流馬達。而在馬達特性當中，無刷直流馬達相比傳統有刷馬達，少了電刷與軸的摩擦，具有高使用壽命、較安靜等優勢。因為少了電刷於軸的摩擦，無刷直流馬達可高速運轉且大幅降低維修機率。在自動化系統當中，無刷馬達已經逐漸取代直流馬達。就穩定性、控制性而已，無刷直流馬達是一個非常良好的驅動裝置，適合運用在各種機械結構當中。在控制理論當中，不論是行程定位之控制或是動態軌跡追蹤的控制，都和控制的精確度和優劣息息相關。而在控制器的優劣當中，可以分為兩大類，分別為準確性(Accuracy)和精確性(Precision)。準確性為實際測量平均值和目標值一致的程度，若誤差值極小，即為準確性佳。反之若誤差值極大，則表示為準確性差。而精確性的定義則為以相同的量測過程當中，重複性的測量一樣待測物，而在每次的測量過程當中，測量值會分佈於目標值的附近。而以此分佈值擴散的程度定 1.

(15) 義為精確程度。若每次擴散值分佈程度小，則定義為精確性佳，反之若擴散值分佈程度大，則為精確性差。即受控體在每次的測量當中，是否每次都能經去的達到目標值。整合上述之兩大性質，若我們能夠將受控體達成準確性佳與精確性佳之兩大特性，我們即為提出一項高精度之優良控制系統。. 圖 1-1 準確性與精確性示意圖在本研究當中，Delta 機械手臂控制之動態效能是必須受到關注的，在控制精準度高、系統之響應速度快、抗干擾能力強等性質，皆為 Delta 機械手臂運作需要具備之條件。在馬達驅動部分，可分為線性馬達與旋轉馬達。線性馬達具有直接驅動之優勢，可以直接解決在機械手臂機構設計當中的外界干擾因素，例如：背隙、齒隙、滑動或磨耗等干擾。但線性馬達通常在成本上，遠高於旋轉馬達之成本。而當我們使用旋轉式馬達作為驅動結構時，通常需要在機構設計當中外加齒輪、旋轉軸、連軸器等機械耦合傳輸軸承來傳遞馬達的動能。這樣的設計會造成多餘的系統耦合等干擾來源，但旋轉馬達之成本相較於線性馬達擁有更多的優勢。因此本研究在控制器設計當中來解決這些旋轉馬達之外界干擾因素，並降低機械手臂之生產成本。機器人機械手臂結構及組成方式中，可分為串聯式機械手臂和並聯式機械手臂。而傳統機械手臂設計大多數為串聯式機械手臂，其設計較容易並且可藉由連桿增加工作範圍，但卻容易在連桿之間造成累積誤差。而並聯式機械手臂則為多個連桿共同連接於移動平台，其優點為剛性強、承受力佳、吳連桿之間之累計誤差。本研究提出最佳化馬達控制，並實現於並聯式 Delta 機械手臂。 2.

(16) 1.2 文獻回顧關於 Delta 機械手臂領域，可分為結構、運動學、控制等領域。而大部分的論文主要爭對單一主題進行較深入的研究。因此本研究圍繞這些主題，針對不同領域主題進行深入研究與統整，並依序介紹相關研究之論文。. 1.2.1 機械運動學研究之回顧運動學在機械手臂當中是屬於非常重要的演算法，機械手臂可以藉由運動學來調整手臂的運動姿勢，得到各樣關節與空間中的位置與參數。在運動學當中可以分文正向運動學與逆向運動學。其中正向運動學是運用機械手臂中，每個馬達轉動之角度推算機械手臂之末端點位置。而逆向運動學則相反，運用機械手臂移動之末端點位置，得到手臂各個馬達關節之轉動角度。在機械手臂實際運作之狀況下，逆向運動學被大量使用，藉由逆向運動學使機械手臂末端點到達實際末端位置，而正向運動學多屬於驗證機械手臂之逆向運動學與目標位置是否準確。 Xuewen Yang, Zuren Feng, Chenyu Liu and Xiadong Ren 等學者 [1]，在 Delta 機械手臂正逆訓運動學推倒當中，運用了幾何的方式推導出 Delta 機械手臂之正逆向運動學。此方法不僅使運動學得到解析解之解答，也使的運動運算式更好運算。其中逆向運動學(Invers Kinematics)表示為. . . .  i  cos1 Ai B  L2  lˆi 2 / 2 L Ai B   tan 1 ( Ci B / z b ), i  1,2,3 2. 圖 1-2 Delta 機械手臂設備圖. (1-1). 圖 1-3 Delta 機械手臂運動學參數 3.

(17) 1.2.2 控制器設計之回顧控制方法可以實際使用於馬達、機械手臂等受控體。因此在控制器設計當中，控制方法屬於非常重要的環節。好的控制器設計具備高準確性、高精確性、高強健性的特質。 Atushi Ishigame, Tadashi Furukawa, Shunji Kawamoto, and Tsuneo Taniguchi 等學者[2]提出一種滑動控制器(Sliding Mode Controller, SMC)設計的方法，並運用模糊理論，將滑動控制器模糊化。此方法可以實現於非線性系統當中，也因為滑動控制器的使用，使的整體控制系統屬於強健。而在滑動控制器使用當中，系統穩態時會造成震盪的現象。因此此篇論文將滑動控制器模糊化，已模糊方法解決滑動控制造成的震盪現象。. (a) 滑動控制量. (b) 滑動控制量. (c) 轉角誤差. (d) 轉速誤差圖 1-4 系統時間響應 4.

(18) Oscar Barambones, Patix Alkorta, Jose Maria Gonzalez de Durana, and Enrique Kremers[3] 等學者提出一項強健的控制器設計方法，並運用於感應馬達。其控制器設計方法運用了滑動控制、適應控制(Adaptive Control, AC)、與估測器等方法，整合成一個強健的控制器。由於馬達使用上，通常會帶動附載。而在未知附載的情況下，通常需要一個附載感測器來估測附載量，並給予馬達相對的補償量，達到系統的穩定。此方法能在不同時間下估測出不同的附載量，並且在實際硬體結構上，可以省去附載估測器的安裝，大大降低硬體成本。其估測器設計方法是使用狀態回授估測之方法。先定義角加速度  m 為 B J.  m    m . KT e 1 iqs  TL J J. (1-2). 並定義矩陣參數為 z   m.  B J Az    0. Bz  [. KT J. TL . T. 1  J 0 . 0]T. C z  [1 0]. (1-3) (1-4). (1-5). (1-6). 因此可以將方程式與系統角速度輸出，重新以矩陣行式定義為 zˆ  Az z  Bz iqse. (1-7). y  m  C z z. (1-8). 5.

(19) 最後運用狀態回授方法，得到附載轉矩的估測量之方程式為 zˆ  Az zˆ  Bz iqse  H ( y  yˆ ). (1-9).  ( Az  HC z ) zˆ  B z iqse  Hy. (1-11). 在實驗模擬當中，作者分別在 1.5 秒與 2.5 秒時加入了 250 N.m 和 350 N.m 的附載，藉此測試附載估測器是否能準確的估測出系統附載。由圖 1-5 可得知分別在 1.5 秒與 2.5 秒時，附載估測器準確的估測出改變的兩不同附載，因此馬達轉速也分別在兩時段有些微的震盪，以穩定系統如圖 1-6 所示。馬達轉矩也分別於兩時段，藉由估測器補償，達到 250 N.m 和 350 N.m 的轉矩量如圖 1-7 所示。. 圖 1-5 附載估測量. 圖 1-6 馬達轉速. 圖 1-7 馬達轉矩. 圖 1-8 馬達輸出電流 6.

(20) 作者所設計的控制器，是以滑動模式控制作為基底。並且在控制器當中加入了適應控制，使控制器能夠呈現更好的響應結果。滑動控制具有良好的強健性的特性，適應控制則能夠面對系統的參數，具有大的不確定性。因此作者整合兩控制器的優點。作者在文章中，運用適應控制的方法，來估測滑動模式控制的滑動增益，使滑動增益能面對不同外界干擾，進行調整。由實驗結果我們可以看到，此方法位置控制器設計可以穩定的追上目標如圖 1-9 所示。馬達位置誤差量也持續維持在接近 0 的位置，而在 0 秒 1.5 秒與 3 秒附近的變化是因為給予馬達附載的改變，但由圖 1-10 可以看出誤差快速的回到 0。由圖 1-11 可以看出滑動增益因適應控制隨時間改變，系統也維持在滑動平面上如圖 1-12 所示。. 圖 1-9 目標與馬達位置訊號. 圖 1-10 馬達位置誤差. 圖 1-11 滑動增益. 圖 1-12 滑動平面. 7.

(21) Oscar Barambones, and Patxi Alkorta[4]等學者提出適應滑動控制(Adaptive Sliding Mode Control, ASMC)與估測器方法，運用於感應馬達。作者分別對於轉子磁通量與附載轉矩進行估測，包括電流與電壓的估測。藉由估測出轉子磁通量與附載，使系統更加穩定。作者運用同時結合滑動控制和適應控制，結合兩控制方法之優點。其中在滑動控制需要藉由符號函數使系統停留在滑動平面附近，但符號函數時常造成系統在穩態時的跳切現象。因此作者使用飽和函數來替換符號函數，以解決系統在穩態時造成的震盪。其實驗結果可分為模擬與實驗兩部分，由圖 1-13 與圖 1-14 可看到分控制器分別對於模擬與實驗都有良好的響應。其中在 1 秒與 2 秒的跳切現象，是因為作者在這兩時段加入附載干擾造成。. 圖 1-13 馬達位置模擬. 圖 1-14 馬達位置實驗 8.

(22) 圖 1-15 和圖 1-16 分別為馬達與目標位置之誤差的實驗與模擬結果。由圖 0~0.5 秒位置可看出震盪現象，是因為系統還沒追上目標造成。而在穩太後 1 秒與 2 秒附近的震盪是因為實驗中附載改變造成。. 圖 1-15 馬達誤差模擬. 圖 1-16 馬達誤差實驗圖 1-17 與圖 1-18 為馬達實際轉矩與轉矩估測量之模擬與實驗，由兩圖可得知，在附載改變的情況下，馬達可藉由估測出的轉矩量給予相對補償量。. 圖 1-17 馬達轉矩與轉矩估測量模擬. 圖 1-18 馬達轉矩與轉矩估測量實驗 9.

(23) 作者在文中將適應控制運用於滑動增益的估測，由模擬與實驗可看出滑動增益隨著系統不同的附載進行改變，如圖 1-19 與圖 1-20 所示。而滑動增益不只在 1 秒與 2 秒附載改變情況下調整，在 0~0.5 秒之間系統追上目標過程也同樣調整。. 圖 1-19 滑動增益模擬. 圖 1-20 滑動增益實驗最後由模擬與實驗可看出，此控制器系統有非常好的響應。在不同附載下，系統皆可收斂致滑動平面，由圖 1-21 與 1-22 所示。. 圖 1-21 滑動平面模擬. 圖 1-22 滑動平面實驗 10.

(24) 1.3 研究動機與目的隨著時代與科技的進步，自動化產業的興起，機械手臂的運用變得更加廣泛與普及化。因此機械手臂的穩定性、精準性、準確性、耐用性與硬體架構強健性變得更加重要。因此本研究針對這些特性進行研究，使手臂能達成上述等特性。目前機械手臂包含串聯式機械手臂與並聯式機械手臂，串聯式機械手臂擁有較大與靈活的移動範圍，但機械結構較為複雜。而其運作方式是藉由各關節桿件相連，與馬達轉動來對於手臂的空間位置與姿態進行調整。由於串聯式機械手臂由各關節和連桿相接，因此時常造成誤差的累積，機構穩定特性也叫並聯式手臂差。並聯式機械手臂則透過各關節的平移、旋轉，迴轉等特性來移動致空間各個位置。並聯式機械手臂在機械結構設計上，不僅較串聯式手臂單純，在硬體結構堅固性也賸餘串聯式機械手臂。因此本篇研究針對 Delta 串聯式機械手臂為基礎，進行研究與發展。在機械手臂精準性與準確性等特性中，馬達控制顯得格外重要。因此本篇文章針對馬達位置控制器進行設計與深入探討，使的馬達能夠達成良好的位置控制響應。好的控制器設計不僅對於馬達轉動精準度有良好響應。在硬體結構上，許多加裝的感測器，也能夠藉由控制器設計當中的估測器設計、控制方法來得到感測器所需之參數。因此好的控制器設計也能夠取代硬體結構上，許多感測元件，節省許多硬體成本。在馬達選擇上，我們也選用無刷馬達進行研究。因為無刷馬達少了電刷與軸的摩擦，使得馬達有更高的使用壽命和較安靜等特點。而在機械手臂在空間中動態追跡、定位、移動等功能上，機械手臂的路徑規劃為重要的角色。而在機械手臂路徑規劃當中，包括機械手臂的運動學推導，來使機械手臂能夠移動至目標位置。在運動學推導當中，包含正向運動學與逆向運動學，其中機械手臂最常使用逆向運動學。藉由此運動演算法，得到機械手臂馬達轉動方法與角度。最後經由路徑規劃，使手臂移動軌跡更加平滑順暢。因此本研究針對上述機械手臂穩定性、精準性、準確性耐用性等特性進行研究。 11.

(25) 1.4 本論文之貢獻本論文內容主要可以分為三大架構，分別為馬達控制器設計、機械手臂定位運動學推導、機械手臂路徑規劃等三大方向。在控制器設計當中，本文設計自適應滑動模式控制器。本文控制器針對馬達機械附載，系統外界干擾等相關因素進行研究和排除。針對馬達附載，本文藉由適應控制估測出附載量，並同時借用滑動控制排除外界其他干擾，使系統能夠穩定收斂。在機械手臂定位中，本文驗證 Delta 機械手臂之正逆向運動學，使手臂能夠準確定位於目標位置。在逆向運動學當中，本文採用兩種方法推導出運動演算法。分別使用單純數學運算方法，與空間中幾何方法來求得 Delta 機械手臂之逆向運動學。藉由逆向運動學，可以從空間中座標得到 Delta 機械手臂馬達轉動之角度。同時採用正向運動學，驗證空間座標的準確性。最後建置 Delta 機械手臂移動路徑，使 Delta 手臂能夠藉由定位、移動、軌跡追蹤等方法進行路徑移動。結合上述等方法建置出一台具有良好控制性與強健性之 Delta 機械手臂。. 本研究可分為以下五項貢獻，減述如下： 1.. 分析三相無刷直流馬達之內部構造，推倒三相無刷直流馬達電器方程式與機械動態方程式。. 2.. 分析三相無刷直流馬達，並針對三相無刷直流馬達進行自適應滑動控制器設計，排除馬達附載與外界干擾。. 3.. 推導 Delta 機械手臂正逆向運動學，藉由運動學使 Delta 機械手臂能夠精準在空間中定位。. 4.. 以 Visual Studio C#設計 Delta 機械手臂系統之 UI 介面，包含空間位置控制，馬達控制移動功能。. 5.. 整理並驗證其定位效能與結果，運用定位方法件致動態軌跡路徑。 12.

(26) 1.5 本論文之架構本論文區分為六個章節，各章節之標題及內容說明如下： [第一章]: 緒論說明研究背景與目標，並藉由參考文獻回顧，得知在過去相關領域研究中， Delta 機械手臂運動演算法，馬達控制器設計方法，對其效能之評估。 [第二章]: 理論基礎闡述本研究所使用的相關理論，其中包含 Delta 機械手臂正逆向運動學、高階控制器設計原理。 [第三章]: 控制器設計本篇針對所控制之三相無刷直流馬達進行控制器設計，設計方法為使用自適用滑動控制之方法。 [第四章]: 實驗設備針對 Maxon EC 三相無刷馬達、Maxon EPOS2 控制器、電源共應器與 Delta 機械手臂機構進行介紹。 [第五章]: 實驗結果與討論針對 Delta 機械手臂系統，控制器中改良部分進行比較。分別將滑動適應性控制器套用於 Delta 機械手臂系統中之三軸馬達，並展現其進行成果。 [第六章]: 結論與未來展望根據整體研究的效果及實驗的目標達成程度進行結論，並說明未來目標。 [第七章]: 參考文獻整理本研究所參考之相關引用，及參考之論文。. 13.

(27) 第二章理論基礎本章重點為本研究理論基礎之介紹，在本章當中可分為三大重點，以下章節會依據其三大重點詳細闡述。第一部分為無刷馬達的簡介和介紹，其中包含無刷馬達的基本結構、無刷馬達的數學模型、無刷馬達之驅動原理；第二部分為機械手臂的運動學介紹，包含正向運動學、逆向運動學的解說，了解機械手臂在空間中的移動規則與演算法；第三部分為高階控制器設計的原理和解說，當中包含了 Lyapunov 穩定性理論分析、滑動模式控制、適應控制等控制理論之解說。. 2.1 無刷馬達簡介無刷直流電動機(俗稱：無刷馬達)也被稱為電子轉向電機，在探討無刷直流馬達以前可先探討有刷直流馬達。有刷直流馬達在 19 世紀以來一直存在著，而無電刷的技術是近期隨著科技的進步才產生的產物。無刷直流馬達產生是由於 1960 年，固態技術的進步所貢獻。而由於 1980 年代擁有更好的永磁材料，使得無刷直流馬達的技術更加成熟。因為無刷直流馬達的產生，許多相關的應用與需求也逐步出現，例如：運輸系統、加熱和通風系統、工業工程系統、運動控制系統、定位和驅動系統等，個研究開始致力於無刷直流馬達的運用與研究。無刷直流馬達內部結構可分為旋轉式馬達定子(Stator)、轉子(Rotor)。定子是由三個繞組所構成，轉子是圍繞馬達周圍之極性相反的磁極。其內部結構與馬達使體圖如下圖 2-1 與 2-2 所示。. 圖 2-1 無刷直流馬達架構圖. 圖 2-2 無刷馬達實體圖 14.

(28) 2.1.1 無刷馬達之種類與變化隨著科技的進步，馬達在各樣產業中的運用也更加的廣泛。為了滿足各個產業中，馬達使用的不同需求，馬達的種類也產生了許多不同的變化。例如：在旋轉馬達的分類當中，就可以分為直流馬達、交流馬達、步進馬達。因此在各樣馬達分類當中，我們將其整理成下圖 2-3 所示。馬達. 線性馬達. 旋轉馬達交流馬達. 直流馬達. 直流有刷馬達. 直流無刷馬達. 永久磁鐵型同步馬達. 同步馬達. 磁阻馬達. 步進馬達. 感應馬達. 電磁鐵轉子型馬達. 圖 2-3 馬達分類本研究所使用的馬達為三相無刷直流馬達，其分類為旋轉式直流馬達的其中一種。其內層為圍繞馬達圓周圍極性相反的磁極所組成的轉子，外層則為電樞繞組所組成的定子如圖 2-4 所示。而三相無刷直流馬達之定子繞組是由三個繞組所構成，其最常見之結線方法為 Y 型結構如圖 2-5 所示。其運作方法為永久磁鐵產生轉子磁通，使定子產生磁極來吸引轉子。因此此方法可以免去電刷的應用[5]。. 圖 2-4 無刷直流馬達架構. 圖 2-5 三相繞組 Y 型結構 15.

(29) 2.1.2 無刷與有刷直流馬達比較直流馬達中的無刷直流馬達與有刷直流馬達之間，有著相同的物理意義，兩者皆是利用電磁鐵與永久磁鐵相互的作用產生軸心的扭力。但因為其內部結構的不同，使得其有著不同運作方式。無刷直流馬達的永久磁鐵為轉子，因為少了電刷與軸之間的摩擦，因此也有比較安靜、省電、較不易損壞等特性，同時保有了有刷馬達的加速特性。有刷直流馬達的永久磁鐵則為定子。因此本篇針對兩種驅動系統，進行不同特性的與響應比較[5]。表 2-1 無刷直流馬達與有刷直流馬達比較表馬達類型無刷直流馬達. 有刷直流馬達. 比較項目霍爾位置感測器，進行電換相方式. 電刷和整流子子換向. 馬達維護. 沒有電刷而較少需要. 需定期維護電刷和整流子. 馬達壽命. 較長. 較短轉速較高時碳刷的摩擦增. 轉速-轉矩特性. 額定負載下特性曲線平坦加因而降低了可用轉矩. 輸出功率. 高，因無電刷的損耗. 中等，因電刷的損耗. 馬達體積. 較小. 較大. 轉速範圍. 較高. 較低. 電磁干擾. 高. 低. 馬達價格. 較高. 較低. 驅動器控制架構. 複雜且成本高 16. 簡單且成本低.

(30) 2.1.3 三相無刷直流馬達數學模型. [5]～[8]. 由於無刷直流馬達結構中不具備換向片與碳刷，使馬達無法自動換向，因此換向必須透過三相變流器控制馬達的換向。三相無刷直流馬達的原理是透過控制定子三相線圈合成電樞磁場，帶動轉子上的永久磁鐵，最常使用的 Y 型結構如圖 2-6 所示。其中三個定子線圈包含 u、v、w，其中每一相都是由馬達的等效電阻、等效電感與馬達旋轉所產生的感應電動勢組成，如圖 2-7 所示。其中假設三相線圈上的等效電組、等效電感與三相氣隙皆相同，各相電流由各相端點流入中心相 n 的方向。. u. Lu u. R v. Luw. iv R. w. v. + eu -. iu. iw. w. 圖 2-6 馬達內部 Y 型結構圖. Lv. Lw. Luv. Lvw. + ev -. + ew -. R. 圖 2-7 三相無刷馬達等效電路圖圖. 三相無刷馬達參數與變數定義如下： n ：中心相。. R ：相電組。. Lu 、 Lv 、 Lw ：u、v、w 三相自感量。. Luv 、 Lvw 、 Luw ：u、v、w 三相互感量。 iu 、 iv 、 iw ：三相電流。. vu 、 vv 、 vw ：三相電壓。 eu 、 ev 、 ew ：三相反電動勢。 17. n.

(31) 因此我們可以將方程式表示如下：.  vu   R 0 0  iu   Lu d v    0 R 0 i    L  v    v  dt  vu vw   0 0 R  iw   Lwu. Lvu Lv Lwv. Lwu  iu   eu  Lvw   iv    ev  Lw  iw  ew . (2-1). 假設三相無刷馬達定子之間的氣隙是均勻的，我們可以將三相自感量與三相互感量假設為相同值：. Lu  Lv  Lw  L Luv  Lwv  Luw  M.  vu   R 0 0  iu  L  v    0 R 0   i   d M  v    v  dt  vw   0 0 R  iw   M. M L M. M  iu   eu  M   iv    ev  L  iw  ew . (2-2). 因 iu  iv  iw  0 我們可以整理出 Eq.(2-3)式 Miu  Miv  Miw. (2-3). 最後將 Eq.(2-3)式帶入 Eq.(2-2)可得：.  vu   R 0 0  iu  L  M d v    0 R 0 i    0  v    v  dt  vw   0 0 R  iw   0. L  M d  0 dt   0. 0 LM 0. 0  iu   eu  0   iv    ev  L  M  iw  ew . (2-4). 0  iu   vu   R 0 0  iu   eu  0   iv    vv    0 R 0   iv    ev  L  M  iw  vw   0 0 R  iw  ew . (2-5). 0 LM 0. 18.

(32) 最後可以得出電氣方程式如 E q.(2-6)所示：.  1   iu   L  M d   iv   0 dt    iw   0 . 0.    v R 0 0   iu   eu     u    0     vv    0 R 0   iv    ev    1   vw   0 0 R  iw  ew   L  M  0. 1 LM 0. (2-6). 經由 Eq.(2-6)電氣方程式，我們可以得到三相電流值。接著我們將定義電磁轉矩方程式，與機械動態方程式所使用的參數如下：. r ：轉子角速度。 J ：系統慣量。 Te ：電磁轉矩。 TL ：附載轉矩。 B ：阻尼係數。. 電磁轉矩方程式如 Eq.(2-7)所示，藉由電氣方程式所得的三相電流，我們可以經由電磁轉矩方程式得到電磁轉矩 Te 。. Te . eu iu  eviv  ewiw. r. (2-7). 機械動態方程式如 Eq.(2-8)所示 dr Te  TL  Br  dt J. (2-7). 藉由上述所整理出的三相無刷直流馬達電磁方程式與機械動態方程式，我們可以建立一個無刷三相無刷直流馬達的之數學模型。藉由整理出三相無刷直流馬達之數學模型，本研究將針對此模型進行控制器之設計。 19.

(33) 2.2 Delta 機械手臂運動學運動學與物體的位置、速度、加速度有關，但在運動學當中不討論其作用力。動力學則為探討物體在有作用力的情況下，位置、速度、加速度等運動量之變化。在機械手臂的運動學當中，與機械手臂當中的幾何參數有關，而機械手臂的運動學就是在機械手臂的幾何參數的運動特性。通常在機械手臂當中，一個馬達代表一個機械手臂的自由度。因此可想而知，當一個機械手臂上擁有越多的馬達，代表此機械手臂在空間中可以更加靈活的運動。通常串聯式機械手臂擁有 6 個自由度，就可以在 3 度空間當中運動。在機械手臂的運動學當中可分為正向與逆向運動學，正向運動學表示為已知手臂馬達角度計算出機械手臂末端點位置，而逆向運動學則為經由機械手臂終端點位置計算出手臂各馬達轉動角度。機械手臂的運動學，也和機械手臂的結構設計息息相關。通常機械手臂可分為兩個種類，一種為串聯式機械手臂，一種則為並聯式機械手臂。針對兩種不同結構的機械手臂，因為結構的差異，運動學的運算上也會有不同的方法。本研究所使用的 Delta 機械手臂，就是屬於並聯式的機械手臂，其運動學比起串聯式的機械手臂，也更加的單純。在 Delta 機器人當中，也因為馬達使用的不同，在結構上也有些微的差異，造成運動學計算的不同。如下圖 2-8 所示為使用旋轉馬達的 Delta 機械手臂，而下圖 2-9 則為使用線性馬達之 Delta 機械手臂。在推導 Delta 機械手臂運動學時，線性馬達式手臂因為少了一個連桿的連接，使的運動學更加的單純。本研究所使用的 Delta 機械手臂為旋轉式馬達 Delta 機械手臂。. 圖 2-8 旋轉式馬達 Delta 機器人. 圖 2-9 線性式馬達 Delta 機器人 20.

(34) 2.2.1 Delta 機械手臂參數設定 [1] 下圖 2-10 為 Delta 機器人的 3D 示意圖，Delta 機器人在結構上可分為移動基底與固定基底，由下圖可看出 Delta 機器人由三隻有相同運動學結構的手臂，並固定於一個基座上。在手臂中可分為上連桿與下連桿，其中上連桿 Ai Di 連接於手臂的固定基底，而下連桿 Ci Di 連接於移動基底。而 Delta 機械手臂是靠著固定於固定結構上的馬達，帶動手臂上連桿，再由手臂的上連桿帶動手臂下連桿。使三顆馬達，可以帶動手臂的末端點，再三維的空間中移動。其中手臂 Ci Di 是由平行四邊形所組成，此設計方法是為了消除手臂的旋轉自由度，確保手臂在三維空間中移動。手臂的上連桿 Ai Di 的長度定義為 L ，而下連桿的長度 Ci Di 則定義為 l 。三隻手臂的順序，分別由上圖定義出第一軸手臂逆時針方向，定義出第二軸與第三軸手臂。. z. O. x. A1 D1. C1 B. 圖 2-10 定義 Delta 機器人參數圖 21. y.

(35) 由圖 2-11 我們可以從看到 z 軸俯視 Delta 機械手臂，圖中我們可以清楚看出三肢手臂的位置。而在定義當中，我們需要先定義 Delta 機械手臂零點的基準位置。此零點位置是由三肢手臂固定點 A1 A2 A3 的中心點 O 點定義而成，並且當我們以此三個固定點畫一圓時，我們定義此三固定點組成的圓的圓半徑定義為 rb 。而機械手臂的三個移動點 C1C2C3 的中心點則定義為 B 點，由三移動點所組成的圓的圓半徑定義為 rm 。因此由下圖 2-11 可判斷出 Delta 機械手臂三個手臂之間的位置與關係，我們定義由 z 軸俯視手臂的角度， x 位置為第一隻手臂的位置。因圓內心的夾角為 360 ，有此可知三隻手臂之間個夾角為 120 。因此我們可以定義出三隻手臂的馬達轉動位置 Ai 點表示為 Eq.(2-8)式。 Ai  rb cos2 i  1 / 3, sin2 i  1 / 3 0, i  1,2,3. (2-8). y. A2. C2. rb O. C1 A1. rm. C3 A3 圖 2-11 Delta 機械手臂俯視圖 22. x.

(36) 2.2.2 Delta 機械手臂逆向運動學通常機械手臂在操作時，都是給予手臂末端點位置，計算出手臂之間每個馬達轉動的角度，此方法稱為逆向運動學。而逆向運動學的計算方法可分為許多方法，包括數值法、幾何法、和代數法。通常數值法是遇到於法求得解析解的情況所使用的方法，其運算的過程較為簡單。數值法主要是運用跌代的方式來求解，也因此在求解過程當中需要花費更多時間計算；幾何法通常會搭配代數方法使用，運算過程較單純使用代數法來的複雜。而代數法則在運算過程當中則是最困難的，但因為代數法通常不會運用到幾何空間的概念，因此在理解上更加地容易。本研究所提出的逆向運動學方法，主要為代數方法，因此在定義理解上並不會太困難。但由於使用代數方法，因此造成在數學運算過程中較複雜的情況。本研究針對 Delta 機器人進行逆向運動學運算，主要是先由我們所定義 Delta 機器人原點 O 點位置，與 Delta 機器人底端移動點 B 點位置，進行其他關節點相對位置的推導。最後以點對點之間，彼此距離的關係，求出 Delta 機器人逆向運動學。由下圖 2-12 可看出 Delta 機器人，手臂上點與點之間的關係。. O. rb. Ai. i. L. Di. z l. rm. B. Ci. 圖 2-12 Delta 機械手臂側視圖 23.

(37) 經由上述方法我們必須先將 Delta 機械人手臂上每點位置先定義出來，而在定義 Delta 機械手臂每點位置需要由 Delta 機器人的俯視圖與側視圖，觀察手臂中每個點位置之間，相對應的關係。因此我們將上圖 2-11 與 2-12 整理至下圖 2-13，使我們在觀測點位置時能夠更容易理解。由下圖 2-13(b)，我們可以從 Delta 機械手臂側視圖，定義出 Delta 機械手臂 Ai 、 Di 、 Ci 、 B 點之間相對應的關係至下列方程式。. y. O. rb. Ai. A2. i. C2. Di. rb O. C1 A1. L. z. x l. rm. C3 rm. A3. B. (a) Delta 機械手臂俯視圖. Ci. (b) Delta 機械手臂側面圖. 圖 2-13 Delta 機械手臂觀測圖其中 Ai 點是 Delta 機械人馬達旋轉的點位置，其定義方法由原點開始，以 rb 為半徑的長度，定義三隻手必馬達旋轉點 Ai 位置。 Di 則是經由 Delta 機械手臂之上手臂長度，相對應 Ai 所定義。 Ai  rb cos2 i 1/ 3, sin2 i 1/ 3, 0, i  1,2,3. (2-9).  L sin cos2 i  1 / 3 Di  Ai   L sin sin2 i  1 / 3 , i  1,2,3    L cos. (2-10). T. 24.

(38) B 點則是 Delta 機械手臂末端的移動點，因此藉著 B 點相對應 Delta 機械手. 臂之下手臂長度之間關係，我們可以推導出 Ci 的位置。由下列方程式 Eq.(2-11) 與 Eq.(2-12)表示為： B  x,. y, z . (2-11). Ci  Bi  rm cos2 i  1 / 3, sin2 i  1 / 3, 0, i  1,2,3. (2-12). 因此藉著上述點座標，我們分別得到 Delta 機械手臂 Ai 、 Di 、 Ci 、 B 點的位置。由於我們的到點座標的關係式，因此我們可以以點對點之間的關係求得長度方程式。我們藉由 Di 、 Ci 兩點求得 Delta 機械手臂下肢長度，其關係式由 Eq.(2-13)表示為： l 2  Di Ci. 2. (2-13). 為要求得 Di 、 Ci 兩點之間距離，我們要化簡 Di 、 Ci 兩點。因此以下我們以 Ai 相對應 Di 點的關係，進行方程式化簡，藉此得到 Eq.(2-14)式與 Eq.(2-15)式，表示為以下數學式： rb cos2 i  1 / 3  L sin  cos2 i  1 / 3   Di   rb sin2 i  1 / 3   L sin  sin2 i  1 / 3     0  L cos T. rb cos2 i  1 / 3  L sin cos2 i  1 / 3 Di   rb sin2 i  1 / 3  L sin sin2 i  1 / 3     L cos. 25. T. T. (2-14). (2-15).

(39) 接著我們化簡 Ci 得到 Eq.(2-16) Ci  x  rm cos2 i  1 / 3, y  rm sin2 i  1 / 3, z . (2-16). 另 Eq.(2-17)與 Eq.(2-18) ci  cos2 i  1 / 3. (2-17). si  sin2 i  1 / 3. (2-18). 將 Eq.(2-17)與 Eq.(2-18)帶入 Eq.(2-15)與 Eq.(2-16)，替換 Eq.(2-15)與 Eq.(2-16)中的 cos 項與 sin 項。並化簡方程式，得到 Di 與 Ci 兩點： Di  rb ci  L sin i ci , rb si  L sin i si ,  L cos i . (2-19). Ci  x  rmci , y  rm si , z. (2-20). 當我們取得 Di 、 Ci 兩點後，藉由兩點算長度公式可以列 Eq.(2-21)。因此整理完的 Di 、 Ci 兩點，帶入 Eq.(2-13)式得：. rb ci  L sin  i ci   x  rm ci 2    2 l 2   rb si  L sin  i si    y  rm si     2   L cos i  z  . (2-21). 整理 Eq.(2-21)得：. l 2  ci rb  L sin  i  rm   x . 2.  si rb  L sin  i  rm   y . 2.  L cos i  z . 2. 26. (2-22).

(40) 令 Eq.(2-23) rb  rm  re. (2-23). 將 Eq.(2-23)代入 Eq.(2-22)後得： l 2  ci re  L sin  i   x. 2.  si re  L sin  i   y . 2. (2-24).  L cos i  z . 2. 把 Eq.(2-24)式所有平方項展開，整理後得： l 2  ci re  L sin  i   2ci re  L sin  i x  x 2 2.  si re  L sin  i   2si re  L sin  i  y  y 2 2. (2-25).  L cos i   2 L cos i z  z 2 2. 繼續將 Eq.(2-25)剩餘的平方項展開，整理後得： l 2  ci re  2ci re L sin  i  ci L sin  i   2ci re  L sin  i x  x 2 2. 2. 2. 2.  si re  2si re L sin  i  si L sin  i   2si re  L sin  i  y  y 2 2. 2. 2. 2. (2-26).  L cos i   2 L cos i z  z 2 2. 由 Eq.(2-26)可提出以下方程式：. ci re  si re  re 2. 2. 2. 2. 2. (2-27). ci L sin  i 2  si L sin  i 2  L sin  i 2. (2-28). L sin i 2  L cosi 2  L2. (2-29). 2ci re L sin  i  2si re L sin  i  2re L sin  i. (2-30). 2. 2. 27.

(41) 因此將 Eq.(2-27) 、Eq.(2-28)、 Eq.(2-29) 、 Eq.(2-30)代入 Eq.(2-26)可化簡方程式，並將已知項與  i 項分開整理為以下方程式： l 2  re  2ci re x  x 2  2si re y  y 2  z 2  L2 2.  si yL sin  i  2ci xL sin  i. (2-31).  2re L sin  i  2 Lz cos i. 接著繼續將 Eq.(2-31)當中的已知項、 sini 項和 cos i 項，分別整理再一起得下列方程式：. l 2  re  ci re x  x 2  2si re y  y 2  z 2  L2 2.  2re L  2ci xL  2si yLsin i  2 Lz cos i. (2-32). 將已知項與 sin i 、 cos i 項之係數以變數表示為：. k  l 2  re  ci re x  x 2  2 si re y  y 2  z 2  L2. (2-33). a1  2ci re L  2ci xL  2si re L  si yL. (2-34). a 2  2 Lz. (2-35). 2. 因此將 Eq.(2-33) 、Eq.(2-34)、 Eq.(2-35)代入 Eq.(2-32)得到： k  a1 sin i  a2 cosi. (2-36). 接著我們另 Eq.(2-37) cos . a1 a1  a2 2. 2. , sin  . 28. a2 a1  a2 2. 2. (2-37).

(42) 1. 將 Eq.(2-35)同乘. a1  a 2 2. k a1  a 2 2. 得 Eq.(2-38) 2. . 2. a1 a1  a 2 2. 2. sin  i . a2 a1  a 2 2. 2. cos i. (2-38). 將 Eq.(2-36) Eq.(2-37)代入 Eq.(2-38)得 k a1  a 2 2. 2.  cos sin  i  sin  cos i. (2-39). 由三角函數的合角公式可由 Eq.(2-38)得： k a1  a 2 2. 2.  sin   i . (2-40). 接著反函數得：.  k    i  sin  2 2  a1  a 2 1.    . a    tan 1  2   a1 . (2-41). (2-42). 由 Eq.(2-42)反函數得到  之角度，代入(2-41)可以得到  i 之角度。因此推導出 Delta 機械手臂逆向運動學 Eq.(2-43)。由上圖 2-13 可得知  i 為手臂與 z 軸之夾角，因此將 90 -  i 則為 Delta 機械手臂水平位置與手臂轉動角度之夾角。.  k  i  sin   a2 a 2 2  1 1.    tan 1  a2  a    1 . 29. (2-43).

(43) 2.3 Lyapunov 理論一般在一個控制系統當中，確認控制系統的穩定性，式控制系統當中第一首要的任務。而在過去的古典理論當中所使用的 Routh-Hurwitz 和 Nyquist 穩定性理論，則都是通過決定系統的穩定性來確保系統的穩定。但這些方法只能運用在線性且非時便的系統當中，當面對非線性系統時，這些穩定性方法就不能使用了。因此我們在這裡介紹 Lyapunov 穩定性理論，Lyapunov 理論是由俄羅斯的科學家 Aleksandr Mikhailovic Lyapunov 提出的。此方法主要是來證明一個動力系統或在自製的微分方程當中的穩定性，此方法使用於在控制系統當中，檢驗其系統在平衡點附近的穩定度。此方法可以判斷系統在空間狀態中的非線性、時變系統的穩定性。此方法的最大特色為不需要針對複雜系統的狀態方程式進行求解，此方法帶給控制理論分析極大的貢獻。. 2.3.1 Lyapunov 穩定性理論我們在此假設一個非線性系統 Eq.(2-44)，來解說 Lyapunov 穩定性理論。. x  f t , x , t  0. (2-44). 假設存在一個 Lyapunov 函數 V t , x  ，並且此函數屬於正定函數 V t , x   0 ，而此函數徒刑可以構成一個有界的區域。我們則可以針對此 Lyapunov 函數進行一次微分，來分析此非線性系統的穩定性。而針對 Lyapunov 函數進行一次微分，可分為不同的情形。因此以下針對 Lyapunov 函數一次微分穩定性判斷，可分為以下三種情形進行討論： 1.. V t, x  0, V t, x  0, t  0 ，此時系統為漸近穩定。. 2.. V t, x  0, V t, x  0, t  0 ，此時系統為無法保證穩定。. 3.. V t, x  0, V t, x  0, t  0 ，此時系統為臨界穩定。 30.

(44) 經過上述 Lyapunov 穩定性理論的介紹過後，我要需要更加進一步的探討系統狀態有界與漸進穩定收斂的判斷。當我們的 Lyapunove 函數經過一次微分過後得到的狀態為 V t , x   0 時，而且此時在證明當中又很難得到 V t , x   0 的關係。這時我們必須引用 Barbala’s 引理來判斷非自主性(Non-autonomous)系統之穩定性狀態。藉由 Barbala’s 引理，我們能夠判斷是系統是否為有界，並藉由判斷系統有界證明穩定性收斂。. 2.3.2 Barbalat 引理 Barbalat’s 引理通常運用在當無法確定 Lyapunove 函數是否為穩定或是臨界穩定時使用。在這裡假設 f t  為可以可微分的函數同時在 t   時為有現值，並且此函數一次微分 f t  唯一均勻的連續函數時，則當 t   時 f t   0 。但如果此時 f t  為一個均勻連續函數的條件很難判斷時，我們則利用此函數兩次微分 ft  判斷其是否為有界。當我們判斷出 ft  為有界時，則可以證明 f t  為一個均勻連續的函數。藉此證明當 t   時， f t   0 。經由上述界上 Lyapunov 理論過後，我們在此補充注意事項：一、. 上述的 Lyapunov 四種穩定性判斷原則，皆具有充分的條件具不可逆性。. 二、. 至今目前為止，如何選擇一個 Lyapunov 函數 V ，並沒有完整建構此函數的流程。因此目前在設計 Lyapunov 函數 V ，建構此函數還是以個人經驗為主要之依據。. 三、. Lyapunov 函數具有下述幾項相關特質 1.. Lyapunov 函數屬於一項純量之函數。. 2.. Lyapunov 函數恆為一項正定函數。. 3.. Lyapunov 函數 V 不具唯一性。. 4.. Lyapunov 函數 V 之時間導數為非正定函數。 31.

(45) 2.4 滑動模式控制本篇將介紹滑動模式控制(Sliding Mode Control, SMC)，前蘇聯學者在 20 世紀 50 年代提出可變結構控制，其中滑動模式控制為其中主要應用之主軸。其原理是根據系統所期望的動態特性來設計系統的超平面，在藉使系統到達所設計之超平面上。當系統到達超平面時，將由控制器的切換函數使系統到達平衡點。. x(t0 ) 迫近模態. x(t s ) x ( )  0. 順滑模態. t s : S ( x)  0. 圖 2-14 系統狀態隨時間收斂至滑動平面在到達平衡點由上圖 2-14 所示，滑動模式控制的主要目的為將系統變數的初始值 x(t0 ) ，接著透過迫近模式使系統在時間 t s 中到達切換平面，使系統變數 x(t s ) 可在超空間 S(x)  0 上。接著藉著等效控制的方法，產生滑動模式的順滑層並同時使系統維持. 在順滑模態上。最後系統狀態在順滑層，藉由切換函數使系統到達平衡點，以此完成整個滑動模式控制。藉由上述介紹滑動模式的方法，使滑動模式運作方式更加明確。滑動模式能夠克服系統的不確定性，並且在對抗干擾與未建置的動態模型具有很好的強健性。尤其是對於非線性系統，滑動模式控制具有非常良好的控制效果。能夠使系統快速的進入滑動平面，且使系統收斂。 32.

(46) 藉由上述滑動模式的介紹，我們將以一個二皆的系統為範例，對滑動模式進行詳細的推導與解說。由 Eq.(2-43)的二皆系統，為本章節所使用的範例，其動態方程式如下 x  ax  bu. (2-45). 為了使我們的狀態 x 和 x 可以收斂到 0，因此我們定義滑動平面函數 s  x  x. (2-46). s  x  x  0. (2-47). 我們定義滑動平面 s  0. 藉由 Eq.(2-47)我們可以推導出 Eq.(2-45). x  e t. (2-48). 因此由 Eq.(2-45)我們可以得知，當時間 t   ， x 會趨近於 0 並且在收斂時的收斂速度，會隨著滑動增益  的影響。經由上述我們定義系統方程式 Eq.(2-45)，與滑動平面 Eq.(2-47)。我們可以藉由 Lyapunov 穩定性分析，並在 Lyapunov 穩定性分析過程中進行控制器設計，推導出滑動模式控制的控制率 Eq.(2-49) u  ueq  usw. (2-49). u eq  b 1 (ax  x ). (2-50). u sw  b 1k sgn( s). (2-51). 其中. 33.

(47) 在滑動控制的控制率當中，可以分為兩個部分。一個是等效控制量 u eq ，其目的是用來消除系統模型的影響，通常是藉由 Lyapunov 穩定度分析時，將系統的已知項消除。另一個部分則為滑動模式之切換項 u sw ，其目的是要將系統狀態維持在滑動平面上。而在滑動模式的切換項 u sw ，包含著符號函數(sign function) sgn() ，而其會造成 s 在 0  和 0  。而滑動模式的控制量也會隨著滑動增益  k 大小變化，而此變化就是滑動模式控制常見的跳切現象。由於 sgn() 是在  1 之間切換如圖 2-15 所示，造成跳切現象。因此許多文獻使用飽和函數(saturation function) sat() 如圖 2-16 所示，來抑制 sgn() 巨大變化造成跳的切現象。下式 Eq.(2-49)與 Eq.(2-50) 則為 sgn() 與 sat() 之方程。. sgn(s ). s sat ( ). . 1 -. s. . s. -1. 圖 2-15 符號函數示意圖.  1, sgn( s )    1,. 圖 2-16 飽和函數示意圖. s0 s0. s  1,  s s sat( )   ,    s     s    1, 34. (2-52). (2-53).

(48) 接下來我們要針對此滑動控制器進行 Lyapunov 穩定度分析，藉由 Lyapunov 穩定度分析證明此滑動控制器是穩定的。首先我們針對此滑動控制器需要收斂的滑動平面 s 來選擇我們得 Lyapunov 函數，如 E q.(2-51)所示： 1 V  s2 2. (2-51). 接著針對 Lyapunov 函數進行一次微分. V  ss. (2-52). 將我們的滑動平面一次微分項代入 Eq.(2-52)得到 Eq.(2-53). V  s(ax  bu  x). (2-53). 接著將我們的滑動控制律代入 Eq.(2-53)，而通常在設計控制器時，主要是由此階段設計控制器之控制率. V  s(ax  x  ax  x  k sgn( s))   sk sgn( s). (2-54). 最後整理 Eq.(2-54)得 Eq.(2-55) V  k s. (2-54). 因為設計 k 為正實數，由此證明 V 小於等於 0 V   k s  0. (2-54). 在滑動模式的特性當中，其具有良好的強健性。而系統的不確定項(uncertainty) 或干擾(disturbance)可以透過調整 k 值大小，使 Lyapunov 函數一次微分 V  0 ，讓系統保持穩定。. 35.

(49) 2.5 適應性控制適應控制是一種對於系統當中的參數變化，具有適應能力的一種控制方法，此控制方法也屬於非線性控制的一種。在一些系統當中，具有一些較大的參數不確定性，如附載、干擾等因素，這些不確定性會隨著時間改變。因此適應控制，主要是針對這些系統參數不確定性，進行估測並給予相等之控制量。其控制方法最早是在 1950 年代時被提出的，其主要概念是控制器能夠根據外界環境的變化，再經由控制器做回授調整。使控制器能夠根據外界不確定性，隨著時間進行自我適應性的調整。在目前的研究當中，適應控制的方法已經具有一定的成熟度，也有許多文獻提出新的自適應性控制的架構。而在適應控制當中，可以分為兩大類。其中一類是自我調變控制器，如圖 2-17 所示，其為自我調變控制器之流程架構圖。自我調變控制器，主要為針對系統未知參數進行估測。其作用方式主要為，當我們設計一個控制器需要系統未知參數時，這時我們便需要設計一項針對這些未知參數的估測器，並且把估測器的估測值給控制器使用。其優點為使用上較為彈性，因為其就容易結合不同得控制器與估測器一起使用。但其缺點就是估測到參數的正確性較差，也因此會造成系統最後的響應較差。. r . e. 控制器. u. 受控系統. -. 估測器圖 2-17 自我調變控制器示意圖 36. y.

(50) 在適應控之當中的另一大類則是模型參考自適應控制器(Model Reference Adaptive Controllers, MRAC)，而參考模型控制器之流程示意如下圖 2-18 所示。其主要運作方式為定義一個理想閉迴路的參考模型，藉由自適應機制再利用參考模型的輸出調整控制器的參數。而將參考模型全部規劃在一個控制系統的閉迴路時，可以反映出特定閉迴路的穩定度、暫態規格、安定時間、與穩態規格等。當設計出一個參考的閉迴路模型時，其輸出則代表受控系統希望得到的響應。接著與真實的響應後廂比較後，得到其誤差，再經由適應律輸出調整控制器，使我們的受控系統可以輸出我們動態符合的期望。. 參考模型. r.  e -. 控制器. u. ym. 受控系統.  -. y. 適應律. 圖 2-18 參考模型控制器示意圖本研究所使用的自適應控制方法，則是屬於參考模型自適應控制器設計之方法。本研究所使用的受控體為三相無刷直流馬達，其控制器設計需要注意的有系統與外界的干擾，另一項則是我們馬達所乘載得附載。而在實驗過程當中，發現系統在進入穩態時會有一定的穩態誤差。因此本研究使用參考模型適應控制的方法，來估測馬達的附載量，使控制器可以給於系統相對的控制補償量。並且利用模型參考適應控制的方法，可以省去在實驗設備成本上的附載感測器部分。此方法可以使控制器，得到相當完善的響應結果。 37.