台灣百年地震損失與模擬

台灣百年地震損失與模擬

講者：財金碩一 R98723067 江易燊 電信碩二 R97942121 林宜鴻

2010/01/06

大綱

一、研究動機

二、資料來源

三、模型建立

四、模擬預測

五、研究結果

六、未來展望

研究動機



台灣地震損失資料不十分齊全。



現存最完整的損害資料：

◦ 中央氣象局的地震災害房屋倒塌數

◦ 台灣某年的房價成交金額



希望能用數學模型來描述地震損失

◦ 可用於建立地震保險的相關資料

◦ 可計算地震保險保費

資料來源



以 1900~1999 百年來的地震資料為樣本。

◦ 來自中央氣象局，共 88 筆

◦ 排除掉短時間內連續餘震（如相差數十秒不到）

◦ 短時間內連續餘震採用損失相加的方式歸類

◦ 財產損失只計算「房屋」倒塌的損失

◦ 只計算「全倒 + 半倒」房屋的損失

A. 地震資料

資料來源

B. 人口資料



以 1901~2006 百餘年來的人口資料為樣本。

◦ 1905~1943 年人口資料：

來自《臺灣省五十一年來統計提要》

◦ 1949~2006 年人口資料：

來自《台灣社會變遷全記錄》

◦ 1901~1904 年的人口使用外插法估計

◦ 1944~1948 年的人口使用內插法估計

資料來源



使用 2008 年 Q1~Q4 台灣地區房價資料

◦ 來自內政部地政司全球資訊網

◦ 使用台灣 21 個縣市的房價資料

◦ 將台北市排除

◦ 每個縣市中，抽取約三分之一人口密度較高的 鄉／鎮／市／區

ex: 台北縣取新店市、中和市，但不取萬里鄉

C. 房價資料

資料來源

資料來源

總體模型

 一次地震的損失：倒塌房價的總和

 一段週期間的總損失，如一年：所有地震損失之和

 為一個複合分配

S

1 2 ... _C

X P P P

X C P

   

為損失金額 為倒塌屋數為房價

1 2

1 1 1

... ⁱ

N N C

N i ij

i i j

S X X X X P

S N

  

    





為總損失為該週期的地震次數 , , N C P

估計 三個分配

總體模型

估計固定週期發生地震頻率的分配 估計固定週期發生地震頻率的分配

估計每次地震倒塌房屋數量的分配 估計每次地震倒塌房屋數量的分配

估計每棟房屋價格分配（預測損失）

估計每棟房屋價格分配（預測損失）

地震頻率



地震發生頻率之模型建立

◦ 統計直觀而言，在連續的時間內發生的不連續事 件（地震），應該會呈現一 Poisson 分佈。



Question ： Poisson 的時間區間該取多大？

◦ Poisson ：計算某段時間區間內發生特定事件的次 數，即為觀察到的 λ ！

...

2 , 1 , 0

! , )

( 

k 

k k e

p

k 



地震頻率



思考：

◦ 取時間區間為一年，似乎很符合直觀

◦ 但考慮地震發生的特性，可能兩三年才會發生一 次災難性地震，若取一年期為觀察區間，容易

觀

察到太多 0 次的樣本，而影響到後續的參數分 析

◦ 故取時間區間為兩年，會比一年來得好

◦ 即 Poisson 分佈中的 λ≡ 每兩年期間內發生地震

一年期的 Poisson 地震頻率模型

地震頻率模型



Chi-Square 檢定

 X² = Chi-Square 統計量

 O_i = 觀測到的頻率

 E_i = 理論上的頻率

一年期的 Poisson 地震頻率模型

地震次數 觀測次數 期望值

0 53 41.478291

1 26 36.500896

2 13 16.060394

3 2 4.711049

4 2 1.036431

5 2 0.182412

6 0 0.026754

7 0 0.003363

8 0 0.000370

9 0 0.000036

2

88 /100 0.88 172.9( Wrong )





 



一年期的 Poisson 地震頻率模型



需注意合併資料，直到每組期望值都超過 5



結果依然不甚理想

地震次數 觀測次數 期望值

0 53 41.478291

1 26 36.500896

2 13 16.060394

3+ 8 5.960418

2 2

(2,0.05)

88 /100 0.88

7.502548 > 5.991



 

 

 

兩年期的 Poisson 地震頻率模型

兩年期的 Poisson 地震頻率模型



兩年期較為接近 Poisson

地震次數 觀測次數 期望值

0 12 8.602243

1 16 15.139948

2 12 13.323154

3 2 7.816250

4+ 8 5.118404

2 2

(3,0.05)

88 / 50 1.76

7.472632 < 7.815



 

 

 

倒塌房屋

 全倒的房屋數，大部分為少量居多（如幾十棟），

但偶爾會出現龐大的倒塌量（如 921 大地震倒塌 十萬 棟以上）。

 故其累積分配會呈現極端的『 Γ 』形狀。

 若先將房屋倒塌數取自然對數，則可得到較為正 常的機率分佈圖，如下頁：

原始倒塌房屋分配

對數倒塌房屋



房屋倒塌數的模型建立

◦ ln( 經人口調整後的房屋倒塌數 ) ？

◦ 但若該次地震倒塌 0 棟房子，則取 ln 後會出問題

…

∵ln(0)=-∞

◦ 解決方法：

使用 ln( 經人口調整後的房屋倒塌數 +n) ， n 為我 們

選定的一個很小的常數（例如 4 ）

◦ n 如何取？

選定 3~8 的常數，使得 K-S 值最小 ( 其實差異不

大 ) 21

對數倒塌房屋分配

對數倒塌房屋模型



接前頁之分析，我們以 ln( 經人口調整後的房 屋倒塌數 +n) 為主要分析的變數對象

◦ 令 Y=ln( 經人口調整後的房屋倒塌數 +n)

◦ 則 Y 會呈現什麼樣的分佈？

◦ Y 可能的分佈： Exponential Distribution Lognormal Distribution Weibull Distribution Other Distributions…



哪一個會最接近資料分布？

◦ 用 MLE 嘗試可能的模型，並利用畫圖和 K-S 檢 定。

對數倒塌房屋模型



Kolmogorov–Smirnov test （ K-S 檢定）

◦ 鑑定樣本資料與某特定分配間的契合度

◦ K-S 檢定統計量 =

為樣本資料的累積分配函數

為目標欲鑑定的分配之累積函數

) (x F

) (x F_n

對數房屋倒塌模型分析 Exponential

Match

對數房屋倒塌模型分析 Lognormal M

atch

對數房屋倒塌模型分析 Weibull Mat

ch

對數房屋倒塌模型分析 Weibull



Weibull 分配機率密度函數



利用 Maximum Likelihood Estimate



K-S 檢定：



對數房屋倒塌模型會滿足 Weibull

1 ( / )

( ) 0

( )

0 0

: :

k x k

k x e x

f x

x K Shape Scale



 



 

 

 

 



1.8830 5.3087 K   

(88,0.025)

0.0709 0.14274

D   KS 

修正倒塌房屋模型



以房屋倒塌數為損失估計的重點

◦ 1920 年倒塌 100 棟房屋的意義與 2008 年倒塌 100 棟

房屋的意義相同嗎？

◦ 假設房屋建築品質具有時間上的同質性

◦ 則房屋倒塌數明顯需要經過人口密度調整

◦ 假設台灣面積不變，人口密度的比例即可看成為 總人口數的比例

◦ 以 2006 年年底的人口密度為 1 （基準），其他年 份

的人口密度再以比率換算

總體模型 ( 修正 )

估計每兩年中發生地震頻率的分配 估計每兩年中發生地震頻率的分配

每次地震全倒的房屋數量分配 每次地震全倒的房屋數量分配

全倒的房屋數量分配用人口數調整 全倒的房屋數量分配用人口數調整

全倒房屋數量取自然對數 全倒房屋數量取自然對數

估計每棟房屋價格分配（預測）

經人口調整後房屋倒塌模型分析

經人口調整後房屋倒塌模型分析

經人口調整後房屋倒塌模型分析

經人口調整後 Weibull 模型分析



Weibull 分配機率密度函數



利用 Maximum Likelihood Estimate



K-S 檢定：



經人口調整後的房屋倒塌模型亦滿足 Weibul l 分配！

1 ( / )

( ) 0

( )

0 0

: :

k x k

k x e x

f x

x K Shape Scale



 



 

 

 

 



2.039 k

6.579, 

 

14274 .

0 D

0.0724

D  



房價分配



內政部網站上大約有 30000 筆房屋交易資 料，

依前述抽樣方法抽出約 10000 筆資料 ( 為 何選

取 1/3 ？ ) ，檢視其是否合乎特定分配。



房價的平均數約為 560 萬



房價的中位數約為 450 萬



Claim ：房價會是接近一個 lognormal 的分

全台房價分配

房價分配 Lognormal 模型



Lognormal 分配機率密度函數：



利用 Maximum Likelihood Estimate ：

) 6407 .

0 ,

1099 .

6 (

~

   

房價模型

分配參數回顧



分配參數



模擬一次代表兩年的損失

◦ 以 代表一年的損失，符合我們的直覺。

1 1 1

~ (1.76)

ln ~ (5.3087,1.8830) ln ' ~ (6.579,2.039) 2008 ~ log(6.1099,0.6407)

~ , ,

Ci

N N

i ij

i i j

S X P

N P C W C W P

S N C P compound

  







兩年地震發生頻率

一次地震房屋倒塌數

修正一次地震房屋倒塌數 年的房價

兩年區間的地震損失

S

100 年的未調整損失模擬

100 年的未調整損失模擬

= 236 = 4.6

= 8229

59.2%

= 5704

= 2 3550 VaR(0.05) = 834

CVaR(0.05) = 4022 VaR(0.01) = 8229 CVaR(0.01) = 8229

 



 



 



 

 平均損失億

中位損失億 右偏分配 最大損失億 第二損失億 總損失的

總和損失 兆億

億 越接近尾端損失越大

億

億 只有100次，所以相等

億

400000 次的未調整損失模擬

400000 次的未調整損失模擬

= 1495 = 5.6

= 6484

18.18%

= 4394

= 59819 VaR(0.05) = 941

CVaR(0.05) = 2 8909 VaR(0.01) = 9081

CVaR(0.01) = 13 3513















 平均損失億

中位損失億 右偏分配 最大損失兆 第二損失兆 總損失的 總和損失 兆

億 越接近尾端損失越大

兆億

億 越接近尾端損失越大

兆億

未調整損失模擬討論



在 100 年的模擬中，可以看出只有幾次會發 生特別大的損失，前兩次損失佔了百年損失 的 59.2% ，算是符合台灣地震的特性。



把模擬次數加到 40 萬次，則更容易看到一些 更極端的損失值。



中位數遠小於平均數，極端右偏的損失。



如果只考慮 VaR ，而不考慮 CVaR ，會遠遠低

估後尾所帶來的風險。

100 年的調整損失模擬

100 年的調整損失模擬

= 4032 = 25.3

= 15 6453

70.23%

= 12 6749

= 40 3200 VaR(0.05) = 1 6318 CVaR(0.05) =7 2510 VaR(0.01) = 15 6453 CVaR(0.01) = 15 6453















 平均損失億

中位損失億 右偏分配 最大損失兆億 第二損失兆億 總損失的 總和損失 兆億

兆億 越接近尾端損失越大

兆億

兆億 只有100次，所以相等

兆億

400000 次的調整損失模擬

400000 次的調整損失模擬

= 1 40 = 19

= 30785

13.13%

= 23844

= 416060 VaR(0.05) = 5848

CVaR(0.05) =20 2542 VaR(0.01) = 6 8016

CVaR(0.01) = 93 5799















 平均損失兆億

中位損失億 右偏分配 最大損失兆 第二損失兆 總損失的 總和損失 兆

億 越接近尾端損失越大

兆億

兆億 越接近尾端損失越大

兆億

調整損失模擬討論



調整損失，和非調整損失有類似的特性，右 偏分配和可能會有一兩次的極大損失。



在調整損失過後，不管是模擬 100 或 40 萬 次，整體損失會上升數倍。



舉 40 萬次為例，平均損失上升 6.95 倍，中

位數上升 4.13 倍， CVaR(0.05) 和 CVaR(0.0

1) 上升 7 倍，可知越尾端的資料會往上調整

的越多。

研究結果

(a) 未經人口密度調整的房屋倒塌模型

(b) 經過人口密度調整的房屋倒塌模型

研究結果

未經人口密度調整的房屋倒塌數

 可用 Weibull Distribution 描述其倒塌數分配

 Weibull(λ, k)=W(λ =5.3087, k=1.8830)

 K-S 檢定： D=0.0709< D(88,0.025)=0.14274

 k=2 in Weibull Distr.

→ Rayleigh Distribution

(often use in mechanics, dynami- cs, especially in vibration)

研究結果

經過人口密度調整的房屋倒塌數

 可用 Weibull Distribution 描述其倒塌數分配

 Weibull(λ, k)=W(λ =6.579, k=2.039)

 K-S 檢定： D=0.0724< D(88,0.025)=0.14274

更近似於

Rayleigh Distribution!

並且較合乎現實情況

研究結果

地震頻率分佈

 可用 Poisson Distribution 描述其發生頻率

 Poisson(λ)=P(λ =1.76)

 Chi-Square 檢定： χ2 =7.473< χ2(3,0.05)=7.8 15

使用兩年期間隔時間，

更能符合現實情形

研究結果

房屋價格分佈

 可用 Lognormal Distribution 描述其價格分佈

 LogN(μ, σ)=LogN(μ=6.1099, σ=0.6407)

 從全台 21 縣市內抽樣，以人口數多之鄉鎮為主

取 10000 筆資料做分析，

結果極度吻合 Lognormal 模型，如右圖

研究結果

模擬預測

 模擬未來 100 次及 400000 次之結果

 100 次：平均損失 4032 億，最大損失 15 兆 6453 億 元

 400000 次：平均損失 1 兆 40 億

 台灣 2008 年 GDP ： 12.7 兆元

未來展望



應用在地震保險上：

◦ 此模型分析可用來計算地震險（房屋）的保險金

◦ 可用來預測未來數年內，地震造成房屋的總損失



Some Problem

◦ 地震具有區域性→應將房價分區（北中南東）

◦ 觀察者偏差：抽取的樣本與實際倒塌者是否一樣

◦ 房價資料：透天還是公寓？

◦ 人口密度調整，可否改進？（人口與房屋分佈可 能不同、人口調查與地震時間點差異）

◦

未來展望



房價指數 V.S. 物價指數

損失：房屋→房價指數

補償：金錢→物價指數（貨幣指數）



可延伸的研究主題

◦ 分區討論並建立各分區的個別地震、房價模型

◦ 模擬過程：先決定地震發生在哪區（歷史資料：

北 =0.1, 中 =0.3 , 南 =0.1, 東 =0.5 ），再 使用該區的

模型模擬並預測。

參考文獻



郭逸龍，「由統計分析方法估計台灣地 震損失」



潘照芳，「台灣地區地震危害度分析」

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