1-2

(1)

§數線上的幾何

主題1：距離與分點公式 1.數線上兩點的距離公式： (1)設 P 為數線上一點﹐其所對應的實數為 a，則 P 點到原點 O 的距離OP| |a 。 (2)設 P﹐Q 為數線上兩點，其所對應的實數分別為 a,b，則 P,Q 兩點的距離PQ|a b |。 2.數線上的分點公式：已知數線上相異兩點A a( ), B b( )且_{AP PB m n}_: _ _: ，則： (1)內分點：P(x)AB ，則x mb na m n    (2)外分點：P(x)AB ，則x mb na m n    3.中點公式：已知數線上兩點A a( ), B b( )，則_AB的中點P 坐標為 2 a b

(2)

※重要範例 1.（　　　）設 r﹐sQ 且 r < s﹐若 r < t < s﹐則 t 值可為下列何者﹖　(1) 7 r s 　(2)2 2 7 r s 　 (3)3 3 7 r s 　(4)4 4 7 r s 　(5)5 2 7 r s 【解答】5 由分點公式知：若r < t < s﹐t 為 r﹐s 的內分點 則t nr ms m n   ﹐故選(5) 2.數線上有二定點 A(3)﹐B(5)﹐又 P 為數線上另一點﹐滿足PA PB: 3: 2﹐則： (1)當點 P 在A B, 之間時﹐P 的坐標為____________﹒ (2)當點 P 不在A B, 之間時﹐P 的坐標為____________﹒ 【解答】(1)9 5;(2)21 (1)設P x( )﹐則 2 ( 3) 3 5 9 3 2 5 x       ﹒ (2)若 P 不介於 A﹐B 之間﹐則 P 在 B 右側，5 2 ( 3) 1 1 2 x       ，即_{15 = 6  x，得 x = 21﹒} 3.在數線上﹐設A( 1), B( 5) ﹐點P x( )滿足AP PB: 2 : 7﹐求x﹒ 【解答】 17 9  或3 5 (1)點 P 在AB上時， 7( 1) 2( 5) 17 2 7 9 x       ﹒ (2)點 P 不在AB上時﹐點A 在BP上﹐且BA AP: 5 : 2，故 1 2( 5) 5 5 2 x      ，5x10 7，5x3， 3 5 x ﹒

(3)

隨堂練習.在數線上﹐設P(7), O(0)﹐點Q x( )滿足PQ QO: 5 : 3﹐求x﹒ 【解答】 21 8 x 或 21 2  (1)若點 Q 在PO上時﹐如圖，由分點公式得 5 0 3 7 21 3 5 8 x      ﹒ (2)若點 Q 不在PO上時，如圖，由分點公式得0 2 3 7 3 2 x    即2x  21 = 0，得 21 2 x  ﹒ 4.在坐標平面上﹐正方形 ABCD 的四個頂點坐標分別為A(0,1)﹐B(0,0)﹐C(1,0)﹐D(1,1)﹒設 P 為正方形 ABCD 內部的一點﹐若△PDA 與△PBC 的面積比為1: 2﹐且△PAB 與△PCD 的面 積比為2 : 3﹐則P 點的坐標為____________﹒（化成最簡分數）【解答】 ( , )2 2 5 3 P △PAB：△PCD2 : 3_﹐ 由分點公式知 2 5 a ﹐△PDA：△PBC1: 2_﹐ 由分點公式知 2 3 b ﹐故 ( , )2 2 5 3 P ﹒

(4)

5.數學兼哲學家伽利略於西元 1632 年出版《對話錄》一書觸怒教廷﹐之後被判終身監禁而在獄中過世﹐享年78 歲；出版《對話錄》一書到過世是伽利略一生中最黑暗的 10 年﹒伽利略年輕時發明十倍率的望遠鏡﹐並於次年發現木星的歐羅巴衛星﹐從他發明望遠鏡到出版《對話錄》的黃金歲月剛好是他發現歐羅巴衛星時年紀的一半﹒試問伽利略於西元幾年發明望遠鏡？【解答】1609 年設伽利略於x 歲時發明望遠鏡﹐發現衛星時為 x  1 歲﹐ 由已知條件知(78 10) 1 2 x x     ﹐可解得x = 45； 故發明望遠鏡為1632  (68  45) = 1632  23 = 1609（年）﹒

(5)

主題2：一次不等式 1.一次不等式：設a,bR_{，則不等式}_ax__b_的解為 0 0 0 0 0 0 b a x a a b a x a b x R a b x  _{ } _  _      _{ <} _<  _  <        _   ，，，，無解 2.一次不等式：設a,bR_{，則不等式}_ax__b_的解為：                        <     無解，，，， x b R x b a a b x a a b x a a 0 0 0 0 0 0

(6)

※重要範例 1.設 a，bR，則下列敘述何者正確？(A)若 a  b，則 b a 1 1 < 　(B)若 b a  0，則 ab  0　(C)若 ab  0，則 b a  0　(D)若 ab  0，則 b a  0　(E)若 b a  0，則 ab  0。 【解答】(B)(C)(E) 利用1.當 ab  0 時，a  b　　 b a 1 1 < 2.當 ab < 0 時，a  b　　 b a 1 1  3. b a  0　　ab  0；4 b a  0　　ab  0，b  0 2.（　　　）設 a﹐b﹐c﹐d_R_{﹐則下列敘述何者錯誤﹖(1)}a0，b0時，_{a b}_{ }_a2__b2 (2)若(a  1)(b  1) = 0﹐則 a﹐b 中至少有一個為 1　(3)若b d a c 且ac < 0，則 bc < ad　 (4) _a2 __a　(5)b ₁ a b > a 　解答　 45 解析 (4)╳； _a2 __{| |}_a (5)╳；若 a < 0 時﹐b 1 a  　　b < a 3.設 a 是實數﹐若滿足 5x  8 < 9x  a 的實數 x 之範圍是 x > 3﹐則a_{____________}_﹒ 【解答】4 由9x  5x > 8  a﹐得 4x > 8  a﹐即 8 3 4 a x   ﹐故a = 4﹒ 隨堂練習.設 x 是實數，且 4 3 5 1 2 x x     ，則x 的範圍為____________﹒ 【解答】 8 13 x 由原式得(5 4) 3 1 2 x  ﹐即 13 4 2 x ﹐亦即 8 13 x ﹒

(7)

4.法國物理學家查理（Charles）發現在等壓之下，氣體的體積 V（公升）與溫度 T（C）成正比﹐現有一莫耳的氫在一大氣壓下V 0.08213T 22.4334，若氣體的體積想控制在20 公升內，試問溫度需控制在攝氏零下多少度以下？（取整數）【解答】 30 0.08213 22.4334 20 V  T  _﹐0.08213T2.4334 0 _﹐ 2.4334 29.6 30 0.08213 T      （C）﹒ 5.某火力發電廠燒煤發電﹐會產生大量的空氣污染﹐若精算出要清除r%的空氣污染﹐每度電需成本C 元﹐ 4 100 r C r   ﹐0 <r 100﹒已知該電廠清除空氣污染的成本不大於4 元﹐試求 r 的最大值﹒ 【解答】50 依題意： 4 4 100 r C r    ﹐整理得r50﹒ 隨堂練習.根據都卜勒效應﹐靜止的行人聽到警車鳴笛聲聲波的頻率是 f﹐v（公尺/秒）表消防車接近該行人的車速 132000 330 f v   ﹐若測得頻率f 至少為 440﹐試問車速至少每秒多少公尺？【解答】30 132000 440 330 v  ﹐解得v30（公尺/秒）﹒ 6.不等式 2  x  4  2x  6 的解為　　　　　。【解答】 1 3 2 _ _  x 【解答】2  x  4  2x  6　　        6 2 4 3 4 2 x x 　　       2 2 3 2 x x 　　 1 3 2 _ _  x 7.若 2x  1，x，2x  1 表一個鈍角三角形的三邊長，則實數 x 的範圍為　　　　　。 【解答】2 < x < 8 (1) 2x  1  0，x  0，2x  1  0　　 2 1  x (2)                  x x x x x x x x x ) 1 2 ( ) 1 2 ( 1 2 ) 1 2 ( 1 2 ) 1 2 ( 　x  2 (3) (2x  1)  x  x  1  3　∴　2x  1  x，又 2x  1 2x  1　∴　2x  1 為最大邊 (4)∵　為鈍角△　∴　(2x  1)2_{ x}2_{ (2x  1)}2_{　x(x  8) < 0　　0 < x < 8} (5)由(1)(2)(4)得 2 < x < 8

(8)

隨堂練習.解下列不等式（就 a，b 之值討論之）： (1) a(x  b2_{)  b(x  a}2_{)　(2) a}2_x_{ 2  4x  a} 【解答】(1) (a  b)x  ab2_{ a}2_b_{　(a  b)x  ab(a  b)}  a  b 時，x  b a b a ab   ) ( ， a < b 時，x < b a b a ab   ) (  a  b < 0 時，恆成立，即 x 為任意實數， a  b  0 時，不成立，即 x 無實數解 (2) (a2_{ 4)x  a  2　　(a  2)(a  2)x  a  2}  a2_{ 4  0，即 a  2 或 a <  2 時，x } 2 1  a ， a2  4 < 0，即  2 < a < 2 時，x < 2 1  a  a  2 時，0  0，無解， a   2 時，x 為任意實數 8.設 x，y  R， 2  x < 3，1 < y  4，求(1) 2x  y 的範圍。　(2) xy 的範圍。　(3) x_y 的範圍。【解答】(1)  8  2x  y < 5　(2)  8  xy < 12　(3)  2 < _yx < 3 (1)  4  2x < 6   4   y <  1  8  2x  y < 5 (2)(i) 0 x < 3  1< y  4 0 xy < 12或(ii)  2  x < 0 ∴ 0<  x  2  1< y  4 0  xy  8 0 xy   8 　∴　 8  xy < 12 (3) 1 < y  4　　1y 1_ 4 1  3x2 　仿(2)，　　  2 < x_y < 3 隨堂練習.（　　　）.x﹐y_R_﹐若  3 x 2﹐1 y 3_{﹐則下列敘述何者正確﹖　(1)} 4 x y 1      　(2) 2 4x 9　(3) 3 xy6　(4)₁__x2__y2_₁₈₍₅₎ ₁ x ₂ y    【解答】4 (1)╳；∵　 3 x 2_﹐    3 y 1　　∴　   6 x y 1 (2)╳；∵　  3 x 2　　∴　₀__x2_₉ (3)╳；  3 3 xy 2 3　　∴　 9 xy6 (4)○；∵　₀__x2_₉_﹐₁__y2_₉_∴₁__x2__y2_₁₈ (5)╳；∵　  3 x 2﹐1 1 1 3 y 　　∴　 1 3 1 x 2 1 y       _ 3 x 2 y   

(9)

主題3：絕對值 1.絕對值：設aR，| a|表數線上

a

與原點的距離。 ※絕對值的定義：設 a 為實數﹐則規定| | , 0 , 0 a a a a a    _ _<  當時當時 2.絕對值的基本性質：設a b, 均為實數﹐則： (1)| | 0a  _{﹒ (2)}_{| |}_a 2__a2_{﹒ (3)}_|_{a b}  _{| |}_{b a}_|_﹒ (4)|a b | | | | |a  b _{﹒ (5)}| | | | | | b b a  a ﹐其中a0﹒ (6) a2 | |a 3.|ab||a||b|，且等號成立 ab0 4.xa babxab_； xa b xabxab 5. 2 2 n m n m x m x n       _； 2 2 n m n m x n x m x        6. a  b  ab  a  b 7. f(x) xa1  xa2  xan 且a1 a2 an則：

n

為奇數； 2 1  a_n x _時有_Min_；

n

為偶數； 2 1 2    _n n x a a _時有_Min

(10)

※重要範例 1.設 a﹐b﹐c 是整數﹐已知|a2 | 3 | b 5 | 4 |c 1| 2﹐求a﹐b﹐c 之值﹒ 【解答】a = 0 或 4﹐b = 5﹐c = 1 因為| a  2 |  0﹐| b  5 |  0﹐|c 1| 0_﹐ 所以| b  5 | = 0﹐| c  1 | = 0﹐| a  2 | = 2﹐才滿足原方程式﹐ 故b = 5﹐c = 1﹐a = 2  2 = 4 或 a = 2  2 = 0﹐ 即a = 4 或 0﹐b = 5﹐c = 1﹒ 2.已知x y, 均為實數，且  4 x 6，  3 y 2，試求| 2x 9 | |x 8 | |x y 10 |_ ₍_y_₄₎2 __？【解答】∵  4 x 6且  3 y 2 ∴2x 9 0, x 8 0, x y 10 0< ，y 4 0 2 | 2x 9 | |x 8 | |x y 10 | (y4) | 2x 9 | |x 8 | |x y 10 | |y 4 |          (2x 9) (x 8) (x y 10) (y 4)          15  隨堂練習.已知 < <3 x 2且 < <6 y 3，求 ₍_{x y}_{ }₆₎2 _ ₍_{x y}_{ }₈₎2 _ ₄_x2_₂₈_x_₄₉ _？【解答】∵ < <3 x 2且 < <6 y 3 ∴ <  <9 x y 5且 <  <6 x y 8 得x y  <6 0, x y  8 0, 2x 7 0 原式|x y  6 | |x y  8 | | 2x7 | 　　       (x y 6) (x y 8) (2x7) 　　5 3.設a1，試化簡 _a2_₂_a_{ }₁ _a2_₂_a_₁_﹒ 【解答】∵a1 _∴a 1 0 2 ₂ ₁ 2 ₂ ₁ a  a  a  a 2 2 (a 1) (a 1)     |a 1| |a 1|     (a 1) (a 1)     2  隨堂練習.設0< <x 1﹐試化簡 2 2 2 2 1 1 2 2 x x x x      ﹒ 【解答】∵0< <x 1 ∴1 1 x 0 x   2 2 2 2 1 1 2 2 x x x x      2 2 1 1 1 1 (x ) (x ) |x | |x | x x x x         1 1

(11)

4.有兩家無線電計程車行﹐甲家是車資一律 8 折收費﹐乙家是超過 100 元的車資 7 折計費﹐ 即滿 100 元時﹐收費為100 0.7 | x100 |﹒若兩家的收費相同時﹐原始的車資為多少元？【解答】300 設原始的車資為x 元，依題意：0.8x100 0.7 | x100 |，得x300（元）﹒ 5.解下列絕對值不等式： (1) 1 < | x  1 |　(2) | x  2 | < 5　(3) 1 < | x  1 | < 4　(4) 4 1 < | 2 x  1 | < 2 1 　(5) 3 | x  2 |  10  x 【解答】(1) x  2 或 x < 0　(2)  3 < x < 7　(3)  5 < x <  2 或 0 < x < 3 (4) 1 < x < 2 3 或 2 5 < x < 3　(5)  2  x  4 (1) 1 < | x  1 | 利用性質 | x |  a（a  0）　　x  a 或 x <  a，得 x  1 > 1 或 x 1 <  1　∴　x  2 或 x < 0 (2) | x  2 | < 5 利用性質 | x | < a（a  0）　　 a < x < a，得  5 < x  2 < 5　　 3 < x < 7 (3) 1 < | x  1 | < 4 《方法1》    <   < 4 | 1 | | 1 | 1 x x 　　    <  <   <    4 1 4 1 1 1 1 x x x 或 　    < <   <  3 5 2 0 x x x 或　　 5 < x <  2 或 0 < x < 3 《方法2》若x  1  0，即 x  1，則 1 < x  1 < 4　　0 < x < 3 ∴　0 < x < 3…… 若x  1 < 0，即 x < 1，則 1 <  (x  1) < 4　　 4 < x  1 <  1　　 5 < x <  2 ∴　 5 < x <  2…… 或成立得  5 < x <  2 或 0 < x < 3 (4)

<

4

1

| 1 2 x | < 2 1 ，即 2 1 < | x  2 | < 1，同(3)的解法，得 1 < x < 2 3 或 2 5 < x < 3 (5) 3 | x  2 |  10  x　　 (10  x)  3(x  2)  10  x　　x 10  3x  6  10  x 　          x x x x 10 6 3 6 3 10 　　       16 4 4 2 x x 　　       4 2 x x ∴　 2  x  4

(12)

6.如下圖所示﹐數線上有 A﹐B﹐C﹐D﹐E﹐F 六個公車站牌；已知其中有一路段標線為紅色 警示﹐此紅色路段在B 站 4 公里的範圍內﹐且在 E 站 2.4 公里的範圍內﹐試問此路段在哪兩 公車站牌之間？其長度最長又是多少公里？【解答】 C﹐D 之間﹐0.4 公里﹒ 設紅色警示路段的左端點為a﹐右端點為 b﹐ 則| a  1.5 |  4，| b  1.5 |  4﹐ 且| a  4.5 |  2.4，| b  4.5 |  2.4﹒ 由此可解得_{2.1  a  2.5 且 2.1  b  2.5﹒} 由a < b 可知﹐紅色警示的最大範圍 a  x  b 為 a = 2.1﹐b = 2.5； 即紅色警示路段在公車站牌C﹐D 之間﹐其長度最長是 0.4 公里﹒ 7..x，y  R，| x  2 1 |  2 3 ，| y  2 5 |  2 1 ，求 (1) x  y　(2) xy　(3) x_y 　(4) xy  3x  2y  1 之範圍。【解答】(1)  5  x  y   1　(2)  6  xy  3　(3)  1  x_y  2 1 　(4)  5  xy  3x  2y  1   1 ∵　| x  2 1 |  2 3 且 | y  2 5 |  2 1 ∴　 2 3  x  2 1  2 3 且  2 1  y  2 5  2 1 　　 2  x  1 且 2  y  3　　 3   y   2 (1)  5  x  y   1　(2)  6  xy  3　(3)  1  x_y  2 1 (4) xy  3x  2y  1  (x  2)(y  3)  5 ∵　 2  x  1 且 2  y  3　∴　 4  x  2   1 且 1  y  3  0 　0  (x  2)(y  3)  4　　 5  (x  2)(y  3)  5   1 ∴　 5  xy  3x  2y  1   1 隨堂練習.設 x，y 為實數，| x  3 | < 2，| y  5 | < 3，則使 | xy  15 | < k 成立之最小 k 值為　　。【解答】25 ∵　| x  3 | < 2　∴　 2 < x  3 < 2　　1 < x < 5…… 　　| y  5 | < 3　∴　 3 < y  5 < 3　　2 < y < 8…… 由與2 < xy < 40　　 13 < xy  15 < 25　　| xy  15 | < 25

(13)

9.不等式 2 < | x  1 | < 9 之解為　　　　　。【解答】 8 < x <  1 或 3 < x < 10 2 < | x  1 | < 9　　| x  1 |  2 且 | x  1 | < 9 　x  1  2 或 x  1 <  2； 9 < x  1 < 9　　x  3 或 x <  1； 8 < x < 10 ∴　 8 < x <  1 或 3 < x < 10 隨堂練習 . 解：3 < |  3x  8 |  6。【解答】 3 2  x < 3 5 或 3 11 < x  3 14 3 < |  3x  8 |  6 　         < 6 8 3 8 3 3 x x 　　

















<











6

8

3

6

3

8

3

8

3 x

x

_或

　



























<

3

14

3

2

3

14

3

11

3

5 x

x

或

故 3 2  x < 3 5 或 3 11 < x  3 14 10.xR，若 | x  2 |  5 為 | x  1 |  k 的充分條件，則 k 之最小值  　　　。【解答】8 | x  2 |  5　　 3  x  7，| x  1 |  k　　(  k  1)  x  (k  1) 若 | x  2 |  5 為 | x  1 |  k 之充分條件，則{x |  3  x  7}{x | (  k  1)  x  (k  1)} 即















7

1

3

1 k

k

　　









8

2 k

k

，得k  8，所以 k 之最小值為 8

(14)

11.設 a，b，xR，若 | ax  1 |  b 之解為  2  x  5，求 a，b 之值。 【解答】a   3 2 ，b  3 7 【詳解】| ax  1 |  b　　 2  x  5　　 2  2 3  x  2 3  5  2 3 　　 2 7  x  2 3  2 7 　 　| x  2 3 |  2 7 　　|  3 2 | | x  2 3 |  3 2 ． 2 7 　　|  3 2 x  1 |  3 7 ∴　a   3 2 ，b  3 7 隨堂練習.a，bR，若 | ax  1 |  b 之解為「 2  x  4」，求數對(a，b)為　　　　　。【解答】(  1，3)  2  x  4　　(  2  1)  (x  1)  (4  1) | x  1 |  3　　|  x  1 |  3 與 | ax  1 |  b 同義 即a   1，b  3 12.（　　　）滿足不等式 11 < |2x + 3| < 21 的整數 x 有幾個﹖　(1) 6　(2) 7　(3) 8　(4) 9　 (5) 10　個【解答】3 原式　　 | 2 3 | 11 | 2 3 | 21 x x     _{ <}    j k 由﹐ 　2x + 3 > 11 或 2x + 3 <  11∴ ∴　x > 4 或 x <  7 由﹐ 　 21 < 2x + 3 < 21　　∴　 12 < x < 9∴ _{　　 12 < x <  7 或 4 < x < 9} 又xZ　　∴　x =  11﹐ 10﹐ 9﹐ 8﹐5﹐6﹐7﹐8 共 8 個隨堂練習.解： x < 1 3 5x4 　解答　 2 7 5 x   <  或 1 4 5 x  _{ <} 解析 1 3 5 4 3 x x   <       3 1 3 5 4 3 5 4 3 x x x  <  <         或  2 4 1 7 5 5 x x x  < <      _ _  或　故 7 2 5 x   <  或 1 4 5 x   <

(15)

隨堂練習.設 x 為實數﹐已知3 | 3<   x 8 | 6﹐求x 的範圍﹒ 【解答】2 5 3 <x 3或 11 14 3 < x 3 3 < | 3x  8 |  6﹐即 3 < | 3x  8 |  6﹐亦即3 3 | 8| 6 3 x <   ﹐ 可得1 | 8| 2 3 x <   ﹐圖形如下﹐得2 5 3 <x 3或 11 14 3 < x 3 ﹒ 13.設 x 是實數﹐且 y = | x  5 |  | x  3 |﹐則 y 的最小值為____________﹒ 【解答】8 x  5 時﹐y = x  5  x  3 = 2x  2  8﹒  3  x < 5 時﹐y = 5  x  x  3 = 8﹒ x <  3 時﹐y = 5  x  3  x = 2  2x > 8﹒ 故y 的最小值為 8﹒ 14.設 x 為實數且|x 1| |x 3 | 4﹐則x 的範圍為____________﹒ 【解答】1  x  3 決定|x1|，|x3 |正負的x 有1﹐3﹒ (1)x3時，(x 1) (x 3) 4﹐得x3（不合）﹒ (2)  1 x 3時，(x  1) (3 x) 4 恆成立，得  1 x 3﹒ (3)x< 1時，   (x 1) (3 x) 4 ，得x 1（不合）﹒ 由(1)(2)(3)知  1 x 3﹒ 隨堂練習 . xR﹐|x + 5| + |x  3| = 8 之解為____________﹒ 【解答】 5  x  3 利用|a| + |b| = |a + b|　　ab  0 ∵　|x + 5| + |x  3| = |x + 5| + |3  x|  |(x + 5) + (3  x)| = 8 ∴　此時(x + 5)(3  x)  0　　∴　(x + 5)(x  3)  0  5  x  3 隨堂練習_{. 解方程式|x  2| + |x + 3| = 6﹐則 x 的值為____________﹒} 【解答】5 2或 7 2  (1)若 x  2 時，原式 (x  2) + (x + 3) = 6　　∴　x =5 2（合） (2)若 3  x < 2 時，原式 (2  x) + (x + 3) = 6　　∴　5 = 6（不合） (3)若 x <  3 時，原式 (2  x)  (x + 3) = 6　　∴　x 7 2   （合）

(16)

15.若方程式|x + 1| + |x  3| = k 無實數解﹐則 k 之範圍為____________﹒ 【解答】k < 4 ∵　|x + 1| + |x  3| = |x + 1| + |3  x|  |(x + 1) + (3  x)| = 4 ∴　最小值 = 4，即|x + 1| + |x  3|  4 恆有解 k < 4 時，|x + 1| + |x  3| = k 無解 隨堂練習.若方程式 x   1 x 4 k 無實數解﹐求k的範圍﹒ 【解答】k<5 ∵ x       1 x 4 x 1 4 x (x 1) (4x) 5 ∴ x  1 x 4 最小值為5 ∴只要k值比5 小，x_{就找不到答案，即方程式無解} k<5 16.(1)作圖 y = |x  4| + 2|x  2| + |x  3|﹒（請用尺﹐否則不予計分） (2)設 k 為實數﹐若不等式|x  4| + 2|x  2| + |x  3| < k 無解﹐求 k 的範圍﹒ 【解答】(1)略；(2)k < 3 (1) y = |x  4| + 2|x  2| + |x  3| 　x  4 時﹐y = (x  4) + 2(x  2) + (x  3) = 4x  11 　3  x < 4 時﹐y =  (x  4) + 2(x  2) + (x  3) = 2x  3 　2  x < 3 時﹐y =  (x  4) + 2(x  2)  (x  3) = 3 　x < 2 時﹐y =  (x  4)  2(x  2)  (x  3) =  4x + 11 (2)由圖知：y  3 恆成立 　　若|x  4| + 2|x  2| + |x  3| < k 無解　　∴　k < 3

(17)

隨堂練習.（　　　）設 f (x) = |x + 4| + |x  1| + |x  3| + |x  5|﹐x_R_{﹐則下列敘述何者正確﹖} (1) x = 1 時 f (x)有最小值　(2) x = 2 時 f (x)有最小值　(3) x = 2.9 時 f (x)有最小值　 (4)最小值 = 11　(5) f (x)的圖形含一水平線段 【解答】12345 作圖如下： 5 4 1 3 5 6 25 21 11 11 15 19 x y   由圖知：(1)(2)(3)(4)(5)皆正確 17.不等式|x  3| + |x + 4| < 11 的解為____________﹒ 【解答】  6 < x < 5 (1) x  3 時　(x  3) + (x + 4) < 11　　∴　x < 5　　3  x < 5…… (2)  4  x < 3 時　 (x  3) + (x + 4) < 11　　∴　7 < 11　　 4  x < 3…… (3) x <  4 時　 (x  3)  (x + 4) < 11　　∴　x >  6　　 6 < x <  4……  È  È 　　∴  6 < x < 5 18.求不等式|x <1| | 2x3 |的實數解﹒ 【解答】 4 3 x< 或x > 2 解不等式| x  1| < | 2x  3| 時﹐ 首先將數線以x = 1 與 3 2 x 為界分割成三段﹐然後分段討論解之﹒ 當 3 2 x 時，原式化為x  1 < 2x  3﹐可得 x > 2，在數線上標出﹒ 當1 3 2 x  < 時，原式化為x  1 <  2x  3﹐即 4 3 x< ，合併1 3 2 x  < ﹐ 得1 4 3 x  < ，在數線上標出﹒ 當 x < 1 時，原式化為 x  1 <  2x  3，即 x < 2，合併 x < 1， 　　得 x < 1，在數線上標出﹒ 由上面結果可得，原不等式之解為 4 3 x< 或x > 2﹒

(18)

19.設 x 是實數﹐試解不等式：2 |x 1| |x2 |﹒ 【解答】  4 x 0 決定|x1|，|x2 |正負的x 有1﹐2﹒ (1)x2時，2(x  1) x 2，得x 4﹐知無解﹒ (2)  <1 x 2時，2(x  1) 2 x，得x0﹐知  1 x 0﹒ (3)x< 1時，2(x  1) 2 x，得x 4﹐知  < 4 x 1﹒ 由(1)(2)(3)得  4 x 0﹒ 20.求不等式|x 1| | 2x4 |的實數解﹒ 【解答】x1或x5 由於x   1 x ( 1)﹐2x 4 2(x2)，可將x 以1, 2為界分成三段： (1)x2時，x 1，故x 1 0，2x 4 0，原不等式化為x 1 2x4﹐ 即x5﹐合併x2﹐得x5﹒ (2)  <1 x 2時，x 1 0，2x <4 0，原不等式化為x  1 2x4，3x3，﹐ 即x1，合併  <1 x 2，得  1 x 1﹒ (3)x< 1時，x<2，故x <1 0，2x <4 0，原不等式化為   x 1 2x4，即x5，合併x< 1，得x< 1﹒ 由(1)得x5，由(2)得  1 x 1，由(3)得x< 1。聯合三者得x1或x5﹒

(19)

21.有線電視公司的位置在坐標平面上的原點O，現有新申請裝機的A(1,4)，B(3,3)的兩戶人家。已知工程人員沿著y mx 到達A(1, )m ，B(3,3 )m ，再往北或往南拉線到此兩戶人家，使電路線_AA_BB為最短時，試求m 值﹒ 【解答】1 電路線長：L|m4 | | 3 m3 |， (1)m4時，L4m 7 9﹐L9時m4﹒ (2)1 <m 4時，L2m1﹐在m1時﹐L 有最小值 3﹒ (3)m<1時，L 4m 7 3﹒ 知m1時﹐電路線最短﹒ 22.設a b, _{是實數﹐試證： | a  b |  | a |  | b |﹐且當 ab  0 時﹐| a  b | = | a |  | b |﹒} 【解答】因為|a b |﹐| | | |a  b 都是正數或0﹐ 2 2 2 2 2 |a b | (| | | |)a  b (a b ) (| |a 2 | | | | | | )a b  b 2 ₂ 2 2 _{2 | | | |} 2 ₂₍ _{| | | |) 0} a ab b a a b b ab a b          _﹐ 所以_|_{a b}_ _|2__{(| | | |)}_a _ _b 2_﹐即_|_{a b}_{ }_{| | | | |}_a _ _b _﹐ 又當|a b | | | | | a  b 時﹐_|_{a b}_ _|2__{(| | | |)}_a _ _b 2_﹐ 故ab| | | | 0a b  ﹐即ab| | | | 0a b  得證﹒ 隨堂練習.設 a,b 是實數，試證： (1) | a |  | b |  | a  b |﹒ (2) | x  a |  | x  b |  | a  b |﹐對任意實數 x 恆成立﹒ 【解答】(1) (| a |  | b |)2_{ | a  b |}2_{= | a |}2_{ 2| a || b |  | b |}2_{ (a}2_{ 2ab  b}2₎ = 2(| a || b |  ab )  0﹐且當 ab  0 時，「=」號成立﹒ (2)因為a b (x b ) (x a )對任意實數x 皆成立， 又由(1)知| x  b |  | x  a |  |( x  b )  ( x  a)| = | a  b |， 所以| x  a |  | x  b |  | a  b |恆成立﹒