第四章 一元一次不等式

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4.1 ̙ඈё

看下面的式子: − < 57 − 、3 + 4 > 1 + 4、2x < 6、a + 2 > a + 1、 5 3 12 5+ ≠ − 、a ≠ 。 0 這些式子含有我們已經學過的符號「<」、「>」或「≠ 」,這些符 號都叫做不等號。在這些式子中,有的只表示不等號的左、右兩 邊不相等;有的不僅表明不等號的左、右兩邊不相等,而且表明 哪邊大哪邊小。像這種表示不相等關係的式子,叫做不等式。 小於號「<」與大於號「>」,都是表明大小關係的不等號。 在中學數學中研究的不等式,如果不特別說明,都是指大小關係 的不等式。

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1. (口答) 用小於號「<」或大於號「>」填空: (1) 5 ___− − ; (2) 3 −2 ___ 0; (3) 9 ___ 14− ; (4) 3.254 ___ 31 4; (5) 2 1 7 3; (6) 1 1 2 3 − − 。 2. (口答) 用小於號「<」或大於號「>」填空: (1) 7 3 ___ 4 3+ + ; (2) 7 3 ___ 4 3− − ; (3) 7 3 ___ 4 3× × ; (4) 7 ( 3) ___ 4 ( 3)× − × − 。 3. 用不等式表示: (1) a 是正數; (2) a 是負數; (3) x 不等於 1; (4) m + n 是正數; (5) x 的 4 倍大於 7; (6) b 與 6 的和小於 5。

(3)

下面我們來研究不等式的基本性質。 看不等式 7 > 4。 我們先看看上面做過的練習第 2 題的答案,然後把 3 換成 5, 做同樣的試驗: 1. 兩邊都加上(或都減去)5,結果怎樣?不等號的方向變了 嗎? 7 5 ___ 4 5+ + , 7 5 ___ 4 5− − 。 2. 兩邊都乘以 5,結果怎樣?不等號的方向變了嗎? 7 5 ___ 4 5× × 。 3. 兩邊都乘以 5− ,結果怎樣?不等號的方向變了嗎? 7 ( 5) ___ 4 ( 5)× − × − 。 我們發現:在第 1 種情況與第 2 種情況下,不等號的方向不 變;在第 3 種情況下,在不等式的兩邊都乘以同一個負數後,不 等號的方向改變了。 換一個不等式 2− < 再試一試。 6 一般地說,不等式有下面三條基本性質: 1. 不等式的兩邊都加上(或都減去)同一個數,不等號的方 向不變。 這就是說:如果 a < ,那麼 a c b cb + < + (或 a c b c+ < + ); 如果 a b> ,那麼 a c b c+ > + (或 a c b c+ > + )。 2. 不等式的兩邊都乘以(或都除以)同一個正數,不等號的 方向不變。 這就是說:如果a< ,並且b c > ,那麼 ac bc0 < (或 a b c < );c 如果 a b> ,並且c > ,那麼 ac bc0 > (或 a b c > )。 c

(4)

3. 不等式的兩邊都乘以(或都除以)同一個負數,不等號的 方向改變。 這就是說:如果 a < ,並且 c < 0,那麼 ac bcb > (或 a b c > );c 如果 a b> ,並且 c < 0,那麼 ac bc< (或 a b c < )。 c 想一想:如果不等式的兩邊都乘以零,會出現什麼結果呢? 【ּ 1】 按照下列條件,寫出仍能成立的不等式: (1) 5< ,兩邊都加上 29 − ; (2) 9> ,兩邊都減去 10; 5 (3) 5− < ,兩邊都乘以 4; 3 (4) 14 > − ,兩邊都除以 28 − ;

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ྋ ! (1) 根據不等式的性質 1,在不等式 5 < 9 的兩邊都加上 2 − ,不等號的方向不變,所以 5 ( 2)+ − < + − , 9 ( 2) 即 3< ; 7 (2) 根據不等式的性質 1,得 9 10− > − , 5 10 即 1 5 − > − ; (3) 根據不等式的性質 2,得 5 4 3 4 − × < × , 即 20 12 − < ; (4) 根據不等式的性質 3,得 14 ( 2)÷ − < − ÷ − , 8 ( 2) 即 7 4 − < 。

(5)

【ּ 2】 設 a b> ,用不等號連結下列各題中的兩式: (1) 3a− 與b− ; (2) 3 2a 與 2b ; (3) a− 與 b− 。

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ྋ !! (1) 因為 a b> ,兩邊都減去 3,由不等式性質 1,得 3 3 a− > − ; b (2) 因為 a b> ,而 2 0> ,由不等式性質 2,得 2a >2b; (3) 因為 a b> ,而 1 0− < ,由不等式性質 3,得 a b − < − 。

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1. 按照下列條件,寫出仍能成立的不等式: (1) − < ,兩邊都加上 9; 7 8 − < ,兩邊都加上 97 8 − 。 (2) 5> − ,兩邊都減去 6; 2 5> − ,兩邊都減去 62 − 。 (3) − > − ,兩邊都乘以 7; 3 4 − > − ,兩邊都乘以 73 4 − 。 (4) − < ,兩邊都除以 8; 8 0 − < ,兩邊都除以 88 0 − 。 2. 設 a < ,用不等號連結下列各題中的兩式: b (1) a+ 與5 b+ ; (2) 5 3a 與 3b ; (3) 5a− 與 5b− ; (4) 3 a 與 3 b

4.2 ̙ඈё۞ྋะ

看不等式 2x < 。這是一個含有未知數的不等式。用 2 代替6 x,不等式能夠成立;用 3 代替 x,不等式不能成立。同方程類似, 我們可以說,2 是不等式 2x < 的解,3 不是不等式 26 x < 的解。 6

(6)

可以發現,1、0、 2.5− 、 4− 等數也都是不等式 2x < 的解。6 實際上,用小於 3 的任何一個數代替 x,不等式都能成立;而用 等於或大於 3 的任何一個數代替 x,不等式都不能成立。因此, 小於 3 的每一個數都是不等式 2x < 的解;而大於或等於 3 的任6 何一個數,都不是不等式 2x < 的解。可以看出,不等式 26 x < 有6 無限多個解。 我們說,不等式 2x < 的所有解,組成不等式 26 x < 的解之6 集合,簡稱不等式 2x < 的解集。一般地說,一個含有未知數的6 不等式之所有解,組成這個不等式的解之集合,簡稱這個不等式 的解集。 不等式 2x < 的解集,可以記作6 x < 。 3 求不等式的解集之過程,叫做解不等式。 不等式的解集可以在數軸上直觀地表示出來。例如: 如果不等式的解集是x < ,就可以用數軸上表示 3 的點之左3 邊部分來表示(圖 4-1),這裡的空心圓圈表示不包括 3 這一點。 如果不等式的解集是x ≥ − (記號「2 ≥ 」讀作「大於或等於」, 意思也可說是「不小於」;類似地,記號「≤ 」讀作「小於或等於」, 意思也可說是「不大於」),就可以用數軸上表示 2− 的點與它的 右邊部分來表示(圖 4-2),這裡的實心圓圈表示包括 2− 這一點。 圖 4-1 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 圖 4-2 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1

(7)

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1. 根據下列數量關係,列出不等式: (1) x 的 3 倍大於 1; (2) x 與 5 的和是負數; (3) y 與 1 的差是正數; (4) x 的一半不大於 10。 2. 通過試驗求出下列不等式的解集,並與不等式 2x < 的解集6 進行比較: (1) 2x+ < ; (2) 1 7 4x <12。 3. 在數軸上表示下列不等式的解集: (1) x > ; (2) 5 x ≥ ; 0 (3) x ≤ ; 3 (4) 21 2 x < − 。

4.3 Тྋ̙ඈё

我們已經知道,不等式 2x < 的解集是6 x < 。另外,從上一3 節練習第 2 題的結果可知,不等式 4x <12的解集也是x < 。所3 以不等式 2x < 與不等式 46 x <12的解集相同。 一般地說,如果兩個不等式的解集相同,那麼這兩個不等式 叫做同解不等式。 因此,不等式 2x < 與不等式 46 x <12是同解不等式。從上一 節練習第 2 題的結果還可知道,不等式 2x < 與不等式 26 x+ < 1 7 (即 2x+ < + )也是同解不等式。 1 6 1 關於兩個不等式的同解,一般有下面三條原理。 不等式同解原理 1:不等式的兩邊都加上(或都減去)同一個 數或同一個整式,所得的不等式與原不等式是同解不等式; 不等式同解原理 2:不等式的兩邊都乘以(或都除以)同一個 正數,所得的不等式與原不等式是同解不等式; 不等式同解原理 3:不等式的兩邊都乘以(或都除以)同一個 負數,並把不等號改變方向後,所得的不等式與原不等式是同解 不等式。

(8)

【ּ】 為什麼下列各題中的兩個不等式是同解不等式? (1) 21x <14x+ 與 78 x < ; 8 (2) 5− + ≤ − 與x 4 x ≤ ; 1 (3) 16− x ≥ −144與 x ≤ 。 9

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ྋ !! (1) 因為在不等式 21x <14x+ 的兩邊都減去 14x,就可8 以得到 7x < ,所以由不等式同解原理 1,可知這兩個8 不等式是同解不等式; (2) 因為在不等式 5− + ≤ − 的兩邊都加上 5,就可以x 4 得到x ≤ ,所以由不等式同解原理 1,可知這兩個不等1 式是同解不等式; (3) 因為在不等式 16− x ≥ −144的兩邊都除以 16− ,並且 把不等號改變方向後,就可以得到 x ≤ ,所以由不等式9 同解原理 3,可知這兩個不等式是同解不等式。 由這個例題中的第(1)、(2)兩個小題可以看出,把不等式中的 任何一項的符號改變後,從不等號的一邊移到另一邊,所得的不 等式與原不等式是同解不等式。就是說,解方程的移項法則對於 解不等式同樣適用。 注意:在運用不等式同解原理 3 時,不要忘記改變不等號的方向。

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為什麼下列各題中的兩個不等式是同解不等式? (1) 3x ≤ 與9 x ≤ ; 3 (2) 2x− <7 6x 與 7 4x− < ; (3) 8 3.5+ x ≤ 4.5與 3.5x ≤ −3.5; (4) −4x < 448與 x > −112;

4.4 ˘̮˘Ѩ̙ඈёᄃι۞ྋڱ

我們來看下面的不等式: 2x < 、 46 x− > 、7 3 2 1 0 3 y y− < 。

(9)

這些不等式,只含有一個未知數,並且未知數的次數是一次。這 樣的不等式,叫做一元一次不等式。 解一元一次不等式,就是求這個不等式的解集之過程。它的 一般步驟與解一元一次方程類似,但一定要注意當兩邊都乘以(或 都除以)同一個負數時,不等號的方向必須改變。 【ּ 1】 解不等式 3(1− <x) 2(x+ ,並把它的解集在數軸上表示9) 出來。

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ྋ !! 去括號,得 3 3− x < 2x+ 。 18 移項,得 3x 2x 18 3 − − < − 。 合併同類項,得 5x 15 − < 。 兩邊都除以 5− ,得 3 x > − 。 這個不等式的解集在數軸上表示如下(圖 4-3): 【ො】數軸-3 處的空心圓圈表示不包含-3 這一個點。 【ּ 2】 解不等式2 2 1 2 3 x x + − ,把它的解集在數軸上表示出來。

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ྋ !! 去分母(兩邊同時乘以 6),得 3(2+ x)≥ 2(2x− 。 1) 去括號,得 6 3+ x ≥ 4x− 。 2 移項,得 3x−4x ≥ − − 。 2 6 圖 4-3 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1

(10)

合併同類項,得 8 x − ≥ − 。 兩邊都除以 1− ,得 8 x ≤ 。 這個不等式的解集在數軸上表示如下(圖 4-4): 【ො】數軸 8 處的實心圓圈表示包含 8 這一個點。 在解例 2 的過程中,在去括號得出 6 3+ x ≥4x− 後,如果把2 含 x 的項移到不等號的右邊,那麼得 6+ ≥2 4x−3x 。 合併同類項,得 8≥ 。 x 即 8 x ≤ 。 這兩種解法都是正確的,後一種解法比較簡便。 【ּ 3】 x 取什麼值時,代數式 2x− 的值: 5 (1) 大於 0? (2) 不大於 0? 分析: 問「x 取什麼值時,代數式 2x− 的值大於 0」,就是問5 「x 取什麼值時,不等式 2x− > 5 0 成立」。為此就要求這個不等式的解集。同樣,問「x 取 什麼值時,代數式 2x− 的值不大於 0」,就是求 5 2x− ≤ 5 0 的解集。

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ྋ !! (1) 根據題意,要求不等式 2x− > 5 0 圖 4-4 4 5 6 7 8 9 10 -2 -1 0 1 2 3

(11)

的解集。解這個不等式,得 2 5 5 2 x x > > 所以當 x 取大於5 2 的值時, 2x− 的值大於 0。 5 (2) 根據題意,要求不等式 2x− ≤ 5 0 的解集。解這個不等式,得 2 5 5 2 x x ≤ ≤ 所以當 x 取不大於5 2 的值時, 2x− 的值不大於 0。 5 【ּ 4】 求不等式 3x−10 ≤ 的正整數解。 0

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ྋ !! 解不等式 3x−10 ≤ ,得 0 1 3 3 x ≤ 。 因為不大於31 3 的正整數有 1、2、3 這三個,所以不等 式 3x−10≤ 的正整數解是 1、2、3。 0

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1. 解下列不等式,並把它們的解集在數軸上表示出來: (1) x+ > ; (2) 3 2 −2x <10; (3) 3x+ <1 2x− ; (4) 5 2 5− x ≥ −8 2x; (5) 1(3 ) 3 2 −x ≥ ; (6) 2 1 3 5 2 x x − + ≥ − 。

(12)

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2. x 取什麼值時,代數式 3x+ 的值: 7 (1) 不小於 1; (2) 不大於 1。 3. 求不等式10(x+ + ≤4) x 84的非負整數解。

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1. 按照下列條件,寫出仍能成立的不等式: (1) 5> − ,兩邊都加上 8; 4 (2) 1 3< ,兩邊都減去 4; (3) − < − ,兩邊都乘以 2; 3 2 (4) 14− < 20,兩邊都除以 2; (5) − < − ,兩邊都除以 34 1 − ; (6) − < − ,兩邊都除以 48 4 − 。 2. 已知 a < ,用不等號連結下列各題中的兩式: b (1) a+ 與1 b+ ; (2) 1 a− 與3 b− ; 3 (3) 3− 與 3ba − ; (4) 4 a 與 4 b ; (5) 7 a − 與 7 b − ; (6) a b− 與 0。 3. 根據下列數量關係,列出不等式: (1) x 的 2 3 減去 5 小於 1; (2) x 與 6 的和不小於 9; (3) 8 與 y 的 2 倍之和是正數; (4) a 的 3 倍與 7 的差是負數。 4. 在數軸上表示不等式的解集: (1) x > ; (2) 3 x ≥ − ; (3) 2 x ≤ ; (4) 04 x < 。

(13)

5. 為什麼下列各題中的兩個不等式是同解不等式? (1) 1 2 2 > x與1 4x> ; (2) 4x− ≥ 與 42 6 x ≥ ; 8 (3) 3.14x < 與0 x < ; 0 (4) 4 5 17 x ≤ − 與 68 5x− ≥ ; (5) 22 0 7 x − < 與 x > ; (6) 0 2 4 3 x x − > − 與 3x <8x 。 6. 說明下列不等式變形的根據是不等式哪一條同解原理: (1) 如果x+ > ,那麼2 7 x > − ; 7 2 (2) 如果 3x > −1 2x,那麼 3x+2x > ; 1 (3) 如果 2x < − ,那麼5 5 2 x < − ; (4) 如果 3 2 x − < ,那麼x > − 。 6 7. 用小於號「<」或大於號「>」填空,使所得的不等式與原不 等式是同解不等式,並說出根據的是不等式哪一條同解原理。 (1) 如果− < ,那麼 ___ 5a 5 a − ; (2) 如果 3a > ,那麼 ___ 26 a 。 8. 解下列不等式,並把它們的解集在數軸上表示出來: (1) 5x > − ; (2) 10 − < − ; 3x 12 (3) 3 2x ≥ ; (4) 3 3 5 x − < − ; (5) 8x− ≥1 6x+ ; (6) 5 3x− < +5 1 5x; (7) 3(2x+ >5) 2(4x+ ; (8) 3) 10 4(− x− ≤3) 2(x− ; 1) (9) 3 6 2 5 x> x+ ; (10) 2(4 3) 5(5 12) 3 6 x x+ 。 9. 解下列不等式: (1) 5 3 2 2 2 x+ > x+ ; (2) 1 1 1 3 2 6 y+ y y− ;

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(3) 2 3( 1) 3 1 8 4 x+ x− + > − ; (4) 3 2 9 2 5 1 3 3 2 xx x+ 。 10. 不求出下列各題中的兩數之積,分別說出這些積是大於 0,小 於 0,還是等於 0。 (1) 3 與 2; (2) 1 5 − 與 1 2 − ; (3) 0.4− 與 0.7; (4) 1.5 與 6− 。 11. 用小於號「<」或大於號「>」填空: (1) 當a > 、0 b > 時,0 ab ___ 0; (2) 當a < 、0 b > 時,0 ab ___ 0; (3) 當a < 、0 b< 時,0 ab ___ 0; (4) 當a > 、0 b< 時,0 ab ___ 0。 12. x 取什麼值時,代數式 4x+ 的值: 8 (1) 是正數? (2) 是負數? (3) 是 0?

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一、本章主要內容是不等式與它的性質、不等式的解集與不 等式同解原理、一元一次不等式與它的解法。 二、現實世界中的同類量(如長度與長度、時間與時間)之間, 有相等關係,也有不等關係。相等關係用等式來表示,不等關係 用不等式來表示。兩個可以比大小的量 a 與 b 之間,在 a b< 、 a = 、a bb > 三個式子之中,必定有一個成立並且只有一個成立。 三、不等式與方程的同解原理,以及一元一次不等式與一元 一次方程的解法步驟與解的情況,可以對比如下:

(15)

方 程 不 等 式 同 解 原 理 兩邊都加上(或都減去)同一 個數或同一個整式,所得的 方程與原方程同解。 兩邊都加上(或都減去)同一 個數或同一個整式,所得的 不等式與原不等式同解。 兩邊都乘以(或都除以)同一 個不等於零的數,所得的方 程與原方程同解。 兩邊都乘以(或都除以)同一 個不等於零的正數,所得的 不等式與原不等式同解。 兩邊都乘以(或都除以)同一 個不等於零的負數,並且把 不等號改變方向,所得的不 等式與原不等式同解。 解 法 步 驟 解一元一次方程: 1. 去分母; 2. 去括號; 3. 移項; 4. 合併同類項; 5. 方程兩邊都除以未知數 的係數。 解一元一次不等式: 1. 去分母; 2. 去括號; 3. 移項; 4. 合併同類項; 5. 不等式兩邊都除以未知 數的係數。 在上面步驟 1 與步驟 5 中, 如果乘數或除數是負數,要 把不等號改變方向。 解 的 情 況 一元一次方程只有一個解。 一元一次不等式的解集含有 無限多個數。

(16)

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1. 不等式有哪些基本性質? 2. 舉例說明什麼叫不等式的解集,什麼叫同解不等式。 3. 不等式有哪些同解原理?它與方程同解原理有什麼異同? 4. 解下列不等式,並把它們的解集在數軸上表示出來: (1) 2(x− > ; (2) 3) 4 2x− ≤3 5(x− ; 3) (3) 1( 2) 2 5 x− ≤ − ; (4) x 5 1 1 3 2 x x< 。 5. 下面各題的解法對不對?為什麼? (1) − = ,兩邊都乘以 1x 6 − ,得x = − ; 6 (2) − > ,兩邊都乘以 1x 6 − ,得x > − ; 6 (3) − ≤ ,兩邊都乘以 1x 6 − ,得x ≤ − 。 6 6. 下面各題的解法對不對?為什麼? (1) 7 5 8 6 7 8 6 5 1 1 x x x x x x + > + − > − − > > − (2) 6 3 4 4 6 4 4 3 2 1 1 2 x x x x x x − < − − < − + < − > 7. 解下列不等式: (1) 2(3x− −1) 3(4x+ > −5) x 4(x− ; 7) (2) 3[x−2(x−1)]≤ 4x ; (3) 1(3 1) 7 10.1 2 5 x x− + < x+ ;(4) 5 31 4 1 3 2 8 x x+ + ≥ − − 。 8. a 取什麼值時,代數式 3 2a− 的值: (1) 大於 1? (2) 等於 1 (3) 小於 1? 9. y 取什麼值時,代數式 3 3y − 的值: (1) 大於 3 2y − 的值? (2) 小於 2y − 的值? 3

(17)

10. (1) 5a >4a對不對? (2) 3 a 小於 a 對不對? (3) a 與 a− 那一個大? 11. 某數的 2 倍加上 5,不大於這個數的 3 倍減去 4,求這個數的 範圍。 12. 求不等式 64 3− x > 的正整數解之個數。 4 13. 三個連續自然數的和小於 15,這樣的自然數組共有多少? 14. (1) 如果一個正數大於另一個正數,那麼它們的絕對值誰大 誰小?舉例說明。 (2) 如果一個負數大於另一個負數,那麼它們的絕對值誰大 誰小?舉例說明。 (3) 如果一個數大於另一個數,那麼它們的相反值誰大誰 小?舉例說明。 *15. 用小於號「<」或大於號「>」填空: (1) 如果 a < ,那麼b a b− ___ 0; (2) 如果 a = ,那麼b a b− ___ 0; (3) 如果 a > ,那麼b a b− ___ 0。 *16. 用小於號「<」或大於號「>」填空: (1) 如果a b− < ,那麼 ___0 a b ; (2) 如果a b− = ,那麼 ___0 a b ; (3) 如果a b− > ,那麼 ___0 a b 。 *17. 用小於號「<」或大於號「>」填空: (1) 當a > 、 ___0 b 時,ab > ; 0 (2) 當a > 、 ___0 b 時,ab < 。 0 *18. (1) a b+ 一定大於 a 嗎?為什麼? (提示:分b > 、0 b= 、0 b < 三種情況討論。) 0 (2) a b− 一定大於 a 嗎?為什麼?

數據

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參考文獻

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