第四章 一元一次不等式

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看下面的式子： − < 57 − 、3 + 4 > 1 + 4、2x < 6、a + 2 > a + 1、 5 3 12 5+ ≠ − 、a ≠ 。 0 這些式子含有我們已經學過的符號「<」、「>」或「≠ 」，這些符 號都叫做不等號。在這些式子中，有的只表示不等號的左、右兩 邊不相等；有的不僅表明不等號的左、右兩邊不相等，而且表明 哪邊大哪邊小。像這種表示不相等關係的式子，叫做不等式。 小於號「<」與大於號「>」，都是表明大小關係的不等號。 在中學數學中研究的不等式，如果不特別說明，都是指大小關係 的不等式。

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1. (口答) 用小於號「<」或大於號「>」填空： (1) 5 ___− − ； (2) 3 −2 ___ 0； (3) 9 ___ 14− ； (4) 3.254 ___ 31 4； (5) 2 1 7 3； (6) 1 1 2 3 − − 。 2. (口答) 用小於號「<」或大於號「>」填空： (1) 7 3 ___ 4 3+ + ； (2) 7 3 ___ 4 3− − ； (3) 7 3 ___ 4 3× × ； (4) 7 ( 3) ___ 4 ( 3)× − × − 。 3. 用不等式表示： (1) a 是正數； (2) a 是負數； (3) x 不等於 1； (4) m + n 是正數； (5) x 的 4 倍大於 7； (6) b 與 6 的和小於 5。

下面我們來研究不等式的基本性質。 看不等式 7 > 4。 我們先看看上面做過的練習第 2 題的答案，然後把 3 換成 5， 做同樣的試驗： 1. 兩邊都加上(或都減去)5，結果怎樣？不等號的方向變了 嗎？ 7 5 ___ 4 5+ + ， 7 5 ___ 4 5− − 。 2. 兩邊都乘以 5，結果怎樣？不等號的方向變了嗎？ 7 5 ___ 4 5× × 。 3. 兩邊都乘以 5− ，結果怎樣？不等號的方向變了嗎？ 7 ( 5) ___ 4 ( 5)× − × − 。 我們發現：在第 1 種情況與第 2 種情況下，不等號的方向不 變；在第 3 種情況下，在不等式的兩邊都乘以同一個負數後，不 等號的方向改變了。 換一個不等式 2− < 再試一試。 6 一般地說，不等式有下面三條基本性質： 1. 不等式的兩邊都加上(或都減去)同一個數，不等號的方 向不變。 這就是說：如果 a < ，那麼 a c b cb + < + (或 a c b c+ < + )； 如果 a b> ，那麼 a c b c+ > + (或 a c b c+ > + )。 2. 不等式的兩邊都乘以(或都除以)同一個正數，不等號的 方向不變。 這就是說：如果a< ，並且b c > ，那麼 ac bc0 < (或 a b c < )；c 如果 a b> ，並且c > ，那麼 ac bc0 > (或 a b c > )。 c

3. 不等式的兩邊都乘以(或都除以)同一個負數，不等號的 方向改變。 這就是說：如果 a < ，並且 c < 0，那麼 ac bcb > (或 a b c > )；c 如果 a b> ，並且 c < 0，那麼 ac bc< (或 a b c < )。 c 想一想：如果不等式的兩邊都乘以零，會出現什麼結果呢？ 【ּ 1】 按照下列條件，寫出仍能成立的不等式： (1) 5< ，兩邊都加上 29 − ； (2) 9> ，兩邊都減去 10； 5 (3) 5− < ，兩邊都乘以 4； 3 (4) 14 > − ，兩邊都除以 28 − ；

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ྋ ! (1) 根據不等式的性質 1，在不等式 5 < 9 的兩邊都加上 2 − ，不等號的方向不變，所以 5 ( 2)+ − < + − ， 9 ( 2) 即 3< ； 7 (2) 根據不等式的性質 1，得 9 10− > − ， 5 10 即 1 5 − > − ； (3) 根據不等式的性質 2，得 5 4 3 4 − × < × ， 即 20 12 − < ； (4) 根據不等式的性質 3，得 14 ( 2)÷ − < − ÷ − ， 8 ( 2) 即 7 4 − < 。

【ּ 2】 設 a b> ，用不等號連結下列各題中的兩式： (1) 3a− 與b− ； (2) 3 2a 與 2b ； (3) a− 與 b− 。

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ྋ !! (1) 因為 a b> ，兩邊都減去 3，由不等式性質 1，得 3 3 a− > − ； b (2) 因為 a b> ，而 2 0> ，由不等式性質 2，得 2a >2b； (3) 因為 a b> ，而 1 0− < ，由不等式性質 3，得 a b − < − 。

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1. 按照下列條件，寫出仍能成立的不等式： (1) − < ，兩邊都加上 9； 7 8 − < ，兩邊都加上 97 8 − 。 (2) 5> − ，兩邊都減去 6； 2 5> − ，兩邊都減去 62 − 。 (3) − > − ，兩邊都乘以 7； 3 4 − > − ，兩邊都乘以 73 4 − 。 (4) − < ，兩邊都除以 8； 8 0 − < ，兩邊都除以 88 0 − 。 2. 設 a < ，用不等號連結下列各題中的兩式： b (1) a+ 與5 b+ ； (2) 5 3a 與 3b ； (3) 5a− 與 5b− ； (4) 3 a 與 3 b 。

4.2 ̙ඈё۞ྋะ

看不等式 2x < 。這是一個含有未知數的不等式。用 2 代替6 x，不等式能夠成立；用 3 代替 x，不等式不能成立。同方程類似， 我們可以說，2 是不等式 2x < 的解，3 不是不等式 26 x < 的解。 6

可以發現，1、0、 2.5− 、 4− 等數也都是不等式 2x < 的解。6 實際上，用小於 3 的任何一個數代替 x，不等式都能成立；而用 等於或大於 3 的任何一個數代替 x，不等式都不能成立。因此， 小於 3 的每一個數都是不等式 2x < 的解；而大於或等於 3 的任6 何一個數，都不是不等式 2x < 的解。可以看出，不等式 26 x < 有6 無限多個解。 我們說，不等式 2x < 的所有解，組成不等式 26 x < 的解之6 集合，簡稱不等式 2x < 的解集。一般地說，一個含有未知數的6 不等式之所有解，組成這個不等式的解之集合，簡稱這個不等式 的解集。 不等式 2x < 的解集，可以記作6 x < 。 3 求不等式的解集之過程，叫做解不等式。 不等式的解集可以在數軸上直觀地表示出來。例如： 如果不等式的解集是x < ，就可以用數軸上表示 3 的點之左3 邊部分來表示(圖 4-1)，這裡的空心圓圈表示不包括 3 這一點。 如果不等式的解集是x ≥ − (記號「2 ≥ 」讀作「大於或等於」， 意思也可說是「不小於」；類似地，記號「≤ 」讀作「小於或等於」， 意思也可說是「不大於」)，就可以用數軸上表示 2− 的點與它的 右邊部分來表示(圖 4-2)，這裡的實心圓圈表示包括 2− 這一點。 圖 4-1 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 圖 4-2 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1

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1. 根據下列數量關係，列出不等式： (1) x 的 3 倍大於 1； (2) x 與 5 的和是負數； (3) y 與 1 的差是正數； (4) x 的一半不大於 10。 2. 通過試驗求出下列不等式的解集，並與不等式 2x < 的解集6 進行比較： (1) 2x+ < ； (2) 1 7 4x <12。 3. 在數軸上表示下列不等式的解集： (1) x > ； (2) 5 x ≥ ； 0 (3) x ≤ ； 3 (4) 21 2 x < − 。

4.3 Тྋ̙ඈё

我們已經知道，不等式 2x < 的解集是6 x < 。另外，從上一3 節練習第 2 題的結果可知，不等式 4x <12的解集也是x < 。所3 以不等式 2x < 與不等式 46 x <12的解集相同。 一般地說，如果兩個不等式的解集相同，那麼這兩個不等式 叫做同解不等式。 因此，不等式 2x < 與不等式 46 x <12是同解不等式。從上一 節練習第 2 題的結果還可知道，不等式 2x < 與不等式 26 x+ < 1 7 (即 2x+ < + )也是同解不等式。 1 6 1 關於兩個不等式的同解，一般有下面三條原理。 不等式同解原理 1：不等式的兩邊都加上(或都減去)同一個 數或同一個整式，所得的不等式與原不等式是同解不等式； 不等式同解原理 2：不等式的兩邊都乘以(或都除以)同一個 正數，所得的不等式與原不等式是同解不等式； 不等式同解原理 3：不等式的兩邊都乘以(或都除以)同一個 負數，並把不等號改變方向後，所得的不等式與原不等式是同解 不等式。

【ּ】 為什麼下列各題中的兩個不等式是同解不等式？ (1) 21x <14x+ 與 78 x < ； 8 (2) 5− + ≤ − 與x 4 x ≤ ； 1 (3) 16− x ≥ −144與 x ≤ 。 9

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ྋ !! (1) 因為在不等式 21x <14x+ 的兩邊都減去 14x，就可8 以得到 7x < ，所以由不等式同解原理 1，可知這兩個8 不等式是同解不等式； (2) 因為在不等式 5− + ≤ − 的兩邊都加上 5，就可以x 4 得到x ≤ ，所以由不等式同解原理 1，可知這兩個不等1 式是同解不等式； (3) 因為在不等式 16− x ≥ −144的兩邊都除以 16− ，並且 把不等號改變方向後，就可以得到 x ≤ ，所以由不等式9 同解原理 3，可知這兩個不等式是同解不等式。 由這個例題中的第(1)、(2)兩個小題可以看出，把不等式中的 任何一項的符號改變後，從不等號的一邊移到另一邊，所得的不 等式與原不等式是同解不等式。就是說，解方程的移項法則對於 解不等式同樣適用。 注意：在運用不等式同解原理 3 時，不要忘記改變不等號的方向。

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為什麼下列各題中的兩個不等式是同解不等式？ (1) 3x ≤ 與9 x ≤ ； 3 (2) 2x− <7 6x 與 7 4x− < ； (3) 8 3.5+ x ≤ 4.5與 3.5x ≤ −3.5； (4) −4x < 448與 x > −112；

4.4 ˘̮˘Ѩ̙ඈёᄃι۞ྋڱ

我們來看下面的不等式： 2x < 、 46 x− > 、7 3 2 1 0 3 y y − _{− < 。}

這些不等式，只含有一個未知數，並且未知數的次數是一次。這 樣的不等式，叫做一元一次不等式。 解一元一次不等式，就是求這個不等式的解集之過程。它的 一般步驟與解一元一次方程類似，但一定要注意當兩邊都乘以(或 都除以)同一個負數時，不等號的方向必須改變。 【ּ 1】 解不等式 3(1− <x) 2(x+ ，並把它的解集在數軸上表示9) 出來。

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ྋ !! 去括號，得 3 3− x < 2x+ 。 18 移項，得 3x 2x 18 3 − − < − 。 合併同類項，得 5x 15 − < 。 兩邊都除以 5− ，得 3 x > − 。 這個不等式的解集在數軸上表示如下(圖 4-3)： 【ො】數軸－3 處的空心圓圈表示不包含－3 這一個點。 【ּ 2】 解不等式2 2 1 2 3 x x + _≥ − ，把它的解集在數軸上表示出來。

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ྋ !! 去分母(兩邊同時乘以 6)，得 3(2+ x)≥ 2(2x− 。 1) 去括號，得 6 3+ x ≥ 4x− 。 2 移項，得 3x−4x ≥ − − 。 2 6 圖 4-3 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1

合併同類項，得 8 x − ≥ − 。 兩邊都除以 1− ，得 8 x ≤ 。 這個不等式的解集在數軸上表示如下(圖 4-4)： 【ො】數軸 8 處的實心圓圈表示包含 8 這一個點。 在解例 2 的過程中，在去括號得出 6 3+ x ≥4x− 後，如果把2 含 x 的項移到不等號的右邊，那麼得 6+ ≥2 4x−3x 。 合併同類項，得 8≥ 。 x 即 8 x ≤ 。 這兩種解法都是正確的，後一種解法比較簡便。 【ּ 3】 x 取什麼值時，代數式 2x− 的值： 5 (1) 大於 0？ (2) 不大於 0？ 分析： 問「x 取什麼值時，代數式 2x− 的值大於 0」，就是問5 「x 取什麼值時，不等式 2x− > 5 0 成立」。為此就要求這個不等式的解集。同樣，問「x 取 什麼值時，代數式 2x− 的值不大於 0」，就是求 5 2x− ≤ 5 0 的解集。

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ྋ !! (1) 根據題意，要求不等式 2x− > 5 0 圖 4-4 4 5 6 7 8 9 10 -2 -1 0 1 2 3

的解集。解這個不等式，得 2 5 5 2 x x > > 所以當 x 取大於5 2 的值時， 2x− 的值大於 0。 5 (2) 根據題意，要求不等式 2x− ≤ 5 0 的解集。解這個不等式，得 2 5 5 2 x x ≤ ≤ 所以當 x 取不大於5 2 的值時， 2x− 的值不大於 0。 5 【ּ 4】 求不等式 3x−10 ≤ 的正整數解。 0

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ྋ !! 解不等式 3x−10 ≤ ，得 0 1 3 3 x ≤ 。 因為不大於31 3 的正整數有 1、2、3 這三個，所以不等 式 3x−10≤ 的正整數解是 1、2、3。 0

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1. 解下列不等式，並把它們的解集在數軸上表示出來： (1) x+ > ； (2) 3 2 −2x <10； (3) 3x+ <1 2x− ； (4) 5 2 5− x ≥ −8 2x； (5) 1(3 ) 3 2 −x ≥ ； (6) 2 1 3 5 2 x x − + ≥ − 。

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2. x 取什麼值時，代數式 3x+ 的值： 7 (1) 不小於 1； (2) 不大於 1。 3. 求不等式10(x+ + ≤4) x 84的非負整數解。

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1. 按照下列條件，寫出仍能成立的不等式： (1) 5> − ，兩邊都加上 8； 4 (2) 1 3< ，兩邊都減去 4； (3) − < − ，兩邊都乘以 2； 3 2 (4) 14− < 20，兩邊都除以 2； (5) − < − ，兩邊都除以 34 1 − ； (6) − < − ，兩邊都除以 48 4 − 。 2. 已知 a < ，用不等號連結下列各題中的兩式： b (1) a+ 與1 b+ ； (2) 1 a− 與3 b− ； 3 (3) 3− 與 3ba − ； (4) 4 a 與 4 b ； (5) 7 a − 與 7 b − ； (6) a b− 與 0。 3. 根據下列數量關係，列出不等式： (1) x 的 2 3 減去 5 小於 1； (2) x 與 6 的和不小於 9； (3) 8 與 y 的 2 倍之和是正數； (4) a 的 3 倍與 7 的差是負數。 4. 在數軸上表示不等式的解集： (1) x > ； (2) 3 x ≥ − ； (3) 2 x ≤ ； (4) 04 x < 。

5. 為什麼下列各題中的兩個不等式是同解不等式？ (1) 1 2 2 > x與1 4x> ； (2) 4x− ≥ 與 42 6 x ≥ ； 8 (3) 3.14x < 與0 x < ； 0 (4) 4 5 17 x ≤ − 與 68 5x− ≥ ； (5) 22 0 7 x − < 與 x > ； (6) 0 2 4 3 x x − > − 與 3x <8x 。 6. 說明下列不等式變形的根據是不等式哪一條同解原理： (1) 如果x+ > ，那麼2 7 x > − ； 7 2 (2) 如果 3x > −1 2x，那麼 3x+2x > ； 1 (3) 如果 2x < − ，那麼5 5 2 x < − ； (4) 如果 3 2 x − < ，那麼x > − 。 6 7. 用小於號「<」或大於號「>」填空，使所得的不等式與原不 等式是同解不等式，並說出根據的是不等式哪一條同解原理。 (1) 如果− < ，那麼 ___ 5a 5 a − ； (2) 如果 3a > ，那麼 ___ 26 a 。 8. 解下列不等式，並把它們的解集在數軸上表示出來： (1) 5x > − ； (2) 10 − < − ； 3x 12 (3) 3 2x ≥ ； (4) 3 3 5 x − < − ； (5) 8x− ≥1 6x+ ； (6) 5 3x− < +5 1 5x； (7) 3(2x+ >5) 2(4x+ ； (8) 3) 10 4(− x− ≤3) 2(x− ； 1) (9) 3 6 2 5 x− _> x+ ； (10) 2(4 3) 5(5 12) 3 6 x− _≥ x+ 。 9. 解下列不等式： (1) 5 3 2 2 2 x+ _> x+ ； (2) 1 1 1 3 2 6 y+ ₋ y− _≥ y− ；

(3) 2 3( 1) 3 1 8 4 x+ x− + > − ； (4) 3 2 9 2 5 1 3 3 2 x− ₋ − x _≤ x+ 。 10. 不求出下列各題中的兩數之積，分別說出這些積是大於 0，小 於 0，還是等於 0。 (1) 3 與 2； (2) 1 5 − 與 1 2 − ； (3) 0.4− 與 0.7； (4) 1.5 與 6− 。 11. 用小於號「<」或大於號「>」填空： (1) 當a > 、0 b > 時，0 ab ___ 0； (2) 當a < 、0 b > 時，0 ab ___ 0； (3) 當a < 、0 b< 時，0 ab ___ 0； (4) 當a > 、0 b< 時，0 ab ___ 0。 12. x 取什麼值時，代數式 4x+ 的值： 8 (1) 是正數？ (2) 是負數？ (3) 是 0？

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一、本章主要內容是不等式與它的性質、不等式的解集與不 等式同解原理、一元一次不等式與它的解法。 二、現實世界中的同類量(如長度與長度、時間與時間)之間， 有相等關係，也有不等關係。相等關係用等式來表示，不等關係 用不等式來表示。兩個可以比大小的量 a 與 b 之間，在 a b< 、 a = 、a bb > 三個式子之中，必定有一個成立並且只有一個成立。 三、不等式與方程的同解原理，以及一元一次不等式與一元 一次方程的解法步驟與解的情況，可以對比如下：

方 程 不 等 式 同 解 原 理 兩邊都加上(或都減去)同一 個數或同一個整式，所得的 方程與原方程同解。 兩邊都加上(或都減去)同一 個數或同一個整式，所得的 不等式與原不等式同解。 兩邊都乘以(或都除以)同一 個不等於零的數，所得的方 程與原方程同解。 兩邊都乘以(或都除以)同一 個不等於零的正數，所得的 不等式與原不等式同解。 兩邊都乘以(或都除以)同一 個不等於零的負數，並且把 不等號改變方向，所得的不 等式與原不等式同解。 解 法 步 驟 解一元一次方程： 1. 去分母； 2. 去括號； 3. 移項； 4. 合併同類項； 5. 方程兩邊都除以未知數 的係數。 解一元一次不等式： 1. 去分母； 2. 去括號； 3. 移項； 4. 合併同類項； 5. 不等式兩邊都除以未知 數的係數。 在上面步驟 1 與步驟 5 中， 如果乘數或除數是負數，要 把不等號改變方向。 解 的 情 況 一元一次方程只有一個解。 一元一次不等式的解集含有 無限多個數。

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1. 不等式有哪些基本性質？ 2. 舉例說明什麼叫不等式的解集，什麼叫同解不等式。 3. 不等式有哪些同解原理？它與方程同解原理有什麼異同？ 4. 解下列不等式，並把它們的解集在數軸上表示出來： (1) 2(x− > ； (2) 3) 4 2x− ≤3 5(x− ； 3) (3) 1( 2) 2 5 x− ≤ − ； (4) x 5 1 1 3 2 x ₋ x− _{< 。} 5. 下面各題的解法對不對？為什麼？ (1) − = ，兩邊都乘以 1x 6 − ，得x = − ； 6 (2) − > ，兩邊都乘以 1x 6 − ，得x > − ； 6 (3) − ≤ ，兩邊都乘以 1x 6 − ，得x ≤ − 。 6 6. 下面各題的解法對不對？為什麼？ (1) 7 5 8 6 7 8 6 5 1 1 x x x x x x + > + − > − − > > − (2) 6 3 4 4 6 4 4 3 2 1 1 2 x x x x x x − < − − < − + < − > 7. 解下列不等式： (1) 2(3x− −1) 3(4x+ > −5) x 4(x− ； 7) (2) 3[x−2(x−1)]≤ 4x ； (3) 1(3 1) 7 10.1 2 5 x x− + < x+ ；(4) 5 31 4 1 3 2 8 x x+ + ≥ − − 。 8. a 取什麼值時，代數式 3 2a− 的值： (1) 大於 1？ (2) 等於 1 (3) 小於 1？ 9. y 取什麼值時，代數式 3 3y − 的值： (1) 大於 3 2y − 的值？ (2) 小於 2y − 的值？ 3

10. (1) 5a >4a對不對？ (2) 3 a 小於 a 對不對？ (3) a 與 a− 那一個大？ 11. 某數的 2 倍加上 5，不大於這個數的 3 倍減去 4，求這個數的 範圍。 12. 求不等式 64 3− x > 的正整數解之個數。 4 13. 三個連續自然數的和小於 15，這樣的自然數組共有多少？ 14. (1) 如果一個正數大於另一個正數，那麼它們的絕對值誰大 誰小？舉例說明。 (2) 如果一個負數大於另一個負數，那麼它們的絕對值誰大 誰小？舉例說明。 (3) 如果一個數大於另一個數，那麼它們的相反值誰大誰 小？舉例說明。 *15. 用小於號「<」或大於號「>」填空： (1) 如果 a < ，那麼b a b− ___ 0； (2) 如果 a = ，那麼b a b− ___ 0； (3) 如果 a > ，那麼b a b− ___ 0。 *16. 用小於號「<」或大於號「>」填空： (1) 如果a b− < ，那麼 ___0 a b ； (2) 如果a b− = ，那麼 ___0 a b ； (3) 如果a b− > ，那麼 ___0 a b 。 *17. 用小於號「<」或大於號「>」填空： (1) 當a > 、 ___0 b 時，ab > ； 0 (2) 當a > 、 ___0 b 時，ab < 。 0 *18. (1) a b+ 一定大於 a 嗎？為什麼？ (提示：分b > 、0 b= 、0 b < 三種情況討論。) 0 (2) a b− 一定大於 a 嗎？為什麼？