4-4-3二次曲線-雙曲線

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(1)4-3 雙曲線【目標】首先由雙曲線的定義及雙曲線的尺規描點作圖來認識雙曲線及其幾何性質；再者，利用解析法推導出雙曲線的標準式及經過平移､伸縮後的雙曲線方程式，作為進一步探討雙曲線的基礎。【討論】 1. 設在平面上，給定兩相異點 F , F ′ ，及一線段長 2a ，其中 FF ′ > 2a ，則所有滿足 | PF − PF ′ | = 2a 的動點 P 所形成的圖形稱為雙曲線， F 及 F ′ 稱為焦點，如圖所示，左邊一支距焦點 F 較遠，滿足 PF − PF ′ = 2a ；右邊一支距焦點 F 較近，滿足 PF − PF ′ = −2a 。 2. 給定雙曲線 Γ 的兩焦點 F , F ′ ，及線段長 2a ( FF ′ > 2a )時，可用尺規作圖描畫出 Γ 上的一些點，再將這些點以平滑曲線連接，就可以呈現 Γ 的圖形。首先，以 F ′ 為圓心， 2a 為半徑作圓，則 F 在圓外( FF ′ > 2a )。在圓上取任意點 K (使 ∠FKF ′ = 90° 之點 K 除外)，連 KF ，並作 KF 的中垂線交直線 KF ′ 於 P ，則 | PF − PF ′ | = | PK − PF ′ | = KF ′ = 2a ，故點 P 在 Γ 上，逐次改變點 K 的位置，並作出對應的點 P ，即可得到 Γ 的近似圖形，如圖所示。 3. 在雙曲線 Γ 中，兩焦點連接線段 FF ′ 的中點 O 稱為 Γ 的中心，直線 FF ′ 與 Γ 的交點 A, A′ 稱為頂點， AA′ 稱為貫軸；兩焦點的距離以 2c 表示，故 OF = c ；又仿橢圓的情形可證明 OA = OA′ = a ，故 AA′ = 2a ，即 Γ 上的任意點 P 滿足 | PF − PF ′ | = AA′ 。由於 c > a ，可令 b = c 2 − a 2 ，再以 O 為中心作一邊長為 2a 及 2b 的矩形，其中 2a 的邊與貫軸平行，則此矩形兩對角線所在的直線稱為 Γ 的漸近線，如圖所示。設過 O 且垂直貫軸的直線交矩形於 B, B′ ，則 BB′ 稱為共軛軸。於是 a 為半貫軸､ b 為半共軛軸､ c 為焦點到中心的距離， c > a, c > b ，且 c 2 = a 2 + b 2 。. 31.

(2) 4. 5.. a = b 的雙曲線，其貫軸長 2a 等於共軛軸長 2b ，. 稱為等軸雙曲線。將一個半貫軸為 a ､半共軛軸為 b ､焦點到中心距離為 c 的雙曲線置於坐標平面上，使雙曲線的中心在原點､貫軸在 x 軸上，如圖。此時，兩焦點為 F (c, 0) 及 F ′(−c, 0) ，由雙曲線定義知：當點 P( x, y ) 在雙曲線上時， | PF − PF ′ | = 2a ⇒| ( x − c) 2 + y 2 − ( x + c) 2 + y 2 | = 2a. ⇒ ( x − c ) 2 + y 2 − ( x + c ) 2 + y 2 = ±2 a ⇒ ( x − c) 2 + y 2 = ( x + c) 2 + y 2 ± 2a ⇒ ( x − c) 2 + y 2 = ( x + c) 2 + y 2 ± 4a ( x + c) 2 + y 2 + 4a 2 ⇒ −2cx = 2cx ± 4a ( x + c) 2 + y 2 + 4a 2 ⇒ ± a ( x + c) 2 + y 2 = a 2 + cx ⇒ a 2 [( x + c) 2 + y 2 ] = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2. ⇒ a 2 x 2 + 2a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y 2 = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2 ⇒ (c 2 − a 2 ) x 2 − a 2 y 2 = a 2 (c 2 − a 2 ) x2 y 2 − = 1。 a 2 b2 x2 y 2 另一方面，當點 P( x, y ) 滿足 2 − 2 = 1 時， a b 可以仿橢圓求出 PF 及 PF ′ 的長， ⇒ b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2b 2 ⇒. 6.. 並證明 | PF − PF ′ | = 2a ，得知點 P( x, y ) 在該雙曲線上，因此該雙曲線的方程式為. 7.. 8.. x2 y 2 − = 1。 a 2 b2. x0 2 y0 2 x2 y 2 − = 1 ，當點 ( x , y ) 在 Γ 上時， − =1。 0 0 a 2 b2 a 2 b2 x 2 (− y0 ) 2 於是， 02 − = 1 ，即點 ( x0 , − y0 ) 在 Γ 上。 a b2 因此， Γ 對 x 軸(貫軸)對稱；同理， Γ 對 y 軸(共軛軸)對稱； Γ 也就對原點(中心)對稱。又 Γ 的漸近線通過原點，如圖。 b b 兩漸近線方程式為 y = x 與 y = − x ， a a x y x y 即 − =0與 + =0， a b a b 亦即 bx − ay = 0 與 bx + ay = 0 。今設 P( x0 , y0 ) 是 Γ 上的一動點，兩條漸近線為 L1 : bx − ay = 0 及 L2 : bx + ay = 0 ，. 假設雙曲線 Γ :. 如圖所示，則點 P 到 L1 的距離 32.

(3) d ( P, L1 ) =. | bx0 − ay0 |. a 2 + b2. a 2b 2. =. a + b | bx0 + ay0 | 2. 2. = =. | bx0 − ay0 | | bx0 + ay0 | a 2 + b 2 | bx0 + ay0 | a 2b 2 a +b 2. 2. ⋅. =. | b 2 x0 2 − a 2 y0 2 | a 2 + b 2 | bx0 + ay0 |. 1 。 | bx0 + ay0 |. 當點 P ( x0 , y0 ) 在第一或第三象限中，逐漸遠離中心(原點)時， | bx0 + ay0 | 漫無限制增大，又. 9.. a 2b2 a2 + b2. 是定值，故 d ( P, L1 ) 遞減並趨近於 0 ；. 同理，當點 P( x0 , y0 ) 在第二或第四象限中，逐漸遠離中心時， d ( P, L2 ) 遞減趨近 0 。總之，雙曲線上的動點無論往哪個方向遠離中心，都會逐漸靠近一條漸近線，且距離趨近於 0 。所以，漸近線名副其實。如果將半貫軸為 a ､半共軛軸為 b ､焦點到中心距離為 c 的雙曲線置於坐標平面上時，中心在原點､貫軸在 y 軸上，如圖， y 2 x2 − = 1， a 2 b2 y x y x 且它的兩條漸近線方程式為 − = 0 與 + = 0 ， a b a b 即 ax − by = 0 與 ax + by = 0 。. 則可得其方程式為. 方程式. x2 y 2 y 2 x2 − = − = 1 都稱為雙曲線的標準式。 1 及 a 2 b2 a 2 b2. 【性質】 1. 雙曲線的標準式： a > 0, b > 0，方程式. x2 y 2 y 2 x2 − = 1 及 − = 1 的圖形都是雙曲線，中心在原點， a 2 b2 a 2 b2. 貫軸､共軛軸都在坐標軸上，半貫軸為 a ､半共軛軸為 b ，且焦點到中心的距離 c = a 2 + b 2 。 x2 y 2 − = 1 ：貫軸在 x 軸上，頂點 (a, 0), (− a, 0) ，焦點 (c, 0), (−c, 0) ， a 2 b2 x y 漸近線為 bx ± ay = 0 (即 ± = 0 )。 a b y 2 x2 (2) 2 − 2 = 1 ：貫軸在 y 軸上，頂點 (0, a ), (0, − a) ，焦點 (0, c), (0, − c) ， a b y x 漸近線為 ax ± by = 0 (即 ± = 0 )。 a b. (1). 2.. 雙曲線的標準式(半長軸 a ，半短軸 b, c = a 2 − b 2 )：方程式中心頂點貫軸直線焦點 x y − 2 =1 2 a b 2 y x2 − 2 =1 2 a b 2. 2. (± a, 0). y = 0 ( x 軸). (± c, 0). (0, ± a). x = 0 ( y 軸). (0, ± c). (0, 0). 33. 漸近線 x y ± =0 a b y x ± =0 a b.

(4) 【討論】 1. 當 p, q 是正實數時，雙曲線 Γ :. 2.. x2 y2 y2 x2 x2 y 2 ′ 1 與 : 1 ( 即 − = −1 ) − = Γ − = p2 q2 q2 p2 p2 q2. 的貫軸､共軛軸互換，且漸近線相同，如圖。我們稱 Γ 與 Γ′ 是一組共軛雙曲線，或稱 Γ 的共軛雙曲線是 Γ′ ；反之， Γ′ 的共軛雙曲線是 Γ 。設 t 是一個正實數， x2 y 2 − = 1 以原點為中心伸縮 t 倍， a 2 b2 即將 Γ 上的點 P( x0 , y0 ) 變換成點 P′(tx0 , ty0 ) ，. 若將雙曲線 Γ :. x0 2 y0 2 x2 y 2 − = 1 ，得 − =1。 a 2 b2 a 2 b2 (tx ) 2 (ty ) 2 x 2 y 2 於是， 0 2 − 0 2 = 02 − 02 = 1 。 (ta ) (tb) a b. 則由於點 P( x0 , y0 ) 滿足. 表示點 P′(tx0 , ty0 ) 在雙曲線 Γ′ :. x2 y2 − = 1 上， (ta) 2 (tb) 2. 如圖所示。因此，半貫軸為 a ､半共軛軸為 b 的雙曲線伸縮 t 倍後仍是一個雙曲線，其半貫軸為 ta ､半共軛軸為 tb ，分別是原雙曲線的 t 倍。雙曲線 Γ′ 的方程式亦可表為. x2 y 2 − = t2 。 a 2 b2. x2 y 2 − = k 的圖形是雙曲線， a 2 b2 x2 y 2 它可由雙曲線 2 − 2 = 1 伸縮 k 倍而得， a b 2 2 2 x y x y2 又 2 − 2 = −k 是 2 − 2 = k 的共軛雙曲線， a b a b x y x2 y 2 而這些雙曲線的漸近線都是 ± = 0 ( 2 − 2 = 0 )。 a b a b 2 2 2 2 x y y x 形如 2 − 2 = 1 或 2 − 2 = 1 的雙曲線都是等軸雙曲線， a a a a 2 2 y x 例如 x 2 − y 2 = 1, − = 1 即為等軸雙曲線。 4 4 等軸雙曲線 x 2 − y 2 = 1 的中心在原點､半貫軸及半共軛軸都是 1 ，若將此雙曲線沿水平方向伸縮 a 倍( a > 0 )､鉛直方向伸縮 b 倍( b > 0 )，即將原雙曲線上的點 ( x0 , y0 ) 變換成 (ax0 , by0 ) ，. 所以 k > 0 時，. 3.. 則由於點 ( x0 , y0 ) 滿足 x 2 − y 2 = 1 ，得 x0 2 − y0 2 = 1 。 (ax0 ) 2 (by0 ) 2 − = x0 2 − y0 2 = 1 ， 2 2 a b x2 y 2 表示點 (ax0 , by0 ) 在雙曲線 2 − 2 = 1 上。 a b. 於是，. 34.

(5) 因此，半貫軸為 a ､半共軛軸為 b 的雙曲線，可由半貫軸及半共軛軸皆為 1 的等軸雙曲線，在貫軸方向伸縮 a 倍､共軛軸方向伸縮 b 倍而得。. 4.. 設 a > 0, b > 0, c = a 2 + b 2 ，若將中心位於原點的雙曲線 x2 y 2 − = 1 平移向量 (h, k ) ， a 2 b2 則平移後仍是一個雙曲線 Γ′ ，中心位於點 (h, k ) ，頂點為 (h + a, k ), (h − a, k ) ；焦點為 (h + c, k ), (h − c, k ) ； Γ:. 如圖所示， ( x − h) 2 ( y − k ) 2 − =1， a2 b2 x−h y−k 而漸近線為 ± = 0。 a b y 2 x2 另一方面，將雙曲線 Γ : 2 − 2 = 1 ， a b 平移向量 (h, k ) ，則得雙曲線 Γ′ ，. 其方程式為. ( y − k ) 2 ( x − h) 2 − =1， a2 b2 其中心在點 (h, k ) ，頂點為 (h, k + a ), (h, k − a) ；焦點為 (h, k + c), (h, k − c) ；. 方程式為. 如圖所示，而漸近線為. y−k x−h ± = 0。 a b. 【性質】 1. 共用漸近線的雙曲線族：給定 a > 0, b > 0 ，對任意非 0 實數 p ，方程式 x a. 其漸近線同為 ±. 2.. x2 y 2 − = p 的圖形都是雙曲線， a 2 b2. y =0。 b. 中心在 (h, k ) 的雙曲線( a > 0, b > 0, c = a 2 + b 2 ) 方程式頂點焦點 ( x − h) ( y − k) − =1 a2 b2 ( y − k ) 2 ( x − h) 2 − =1 a2 b2 2. 2. ( h ± a, k ). ( h ± c, k ). ( h, k ± a ). ( h, k ± c ). 35. 漸近線 x−h y−k ± =0 a b y−k x−h ± =0 a b.

(6) 3.. 一般而言，當 a > 0, b > 0 時， ( x − h) 2 ( y − k ) 2 − =1 a2 b2 ( y − k ) 2 ( x − h) 2 或有鉛直貫軸的雙曲線 − =1， a2 b2. 無論是有水平貫軸的雙曲線. 4.. 其方程式皆可化為如下的形式： Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ，其中 AC < 0 ( A, C 異號)；反之，一個形如上式的方程式可以配方法判定其圖形是否為雙曲線。 a > 0, b > 0 時， ( x − h) 2 ( y − k ) 2 ( y − k ) 2 ( x − h) 2 − =1 − =1及 2 2 a b a2 b2 都可化為形如 Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 的形式，其中 AC < 0 ；. 雙曲線. 反之，形如 Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ( AC < 0 )的方程式，可用配方法化為 A( x +. D 2 E 2 D2 E2 ) + C( y + ) = + −F ， 2 2A 2C 4A 4C 2. D2 E2 + − F ，則 4 A2 4C 2 (1) k ≠ 0 時，圖形為雙曲線。 (2) k = 0 時，圖形為相交兩直線。. 令k =. 36.

(7) 【定義】 1. 雙曲線(截痕)：當 0 ≤ β < α 時，則割平面和 Ω 交於上下兩曲線，在上下塞進兩個球(此時它們分居 Ω 的的上下兩部分)與割平面 E 相切於 F 和 F ' 點，而與 Ω 相切於圓 C1 和 C2 。 2. 雙曲線(hyperbola)：設平面上兩相異點 F 與 F ' 及一正數 a ，且 FF ' > 2a ，則平面上滿足. | PF − PF ' |= 2a 的所有點 P 所形成的圖形稱為雙曲線， F , F ' 稱為焦點 3. 4.. (focus)， FF ' 的中點稱為中心。中心：兩焦點連線段的中點。頂點(vertex)：過兩焦點的直線與雙曲線的交點。. 5.. 貫軸(transversal axis)：設過兩焦點的直線交雙曲線於 A, A' ，則 AA' 稱為貫軸， AA' 的長度稱為貫軸長。. 6.. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 14.. 共軛軸 (conjugate axis) ：過頂點 A, A' 分別作貫軸 AA' 的垂線交兩漸近線於 B1 , B2 , B3 , B4 ，則四邊形 B1 , B2 , B3 , B4 為一矩形，且兩對角線就是兩漸近線。過中心 O 垂直貫軸的直線是雙曲線的一條對稱軸，假設它與矩形交於. B, B' ，那麼， OB = OB' = b ，我們稱線段 BB 為此雙曲線的共軛軸，其長度稱為共軛軸長 = 2b 。焦距(focal length)：焦點到頂點的距離，一般以 c 表示。焦半徑：雙曲線上任一點與焦點的連線段(有兩組 PF , PF ' )。弦：雙曲線上兩相異點的連線段。焦弦：過焦點的弦。正焦弦(latus rectum)：焦弦中與貫軸長垂直者。漸近線(asymptotic line)：包含矩形對角線的直線。內部、外部：平面上除了雙曲線上之外，其餘部分被分為三部分，其中兩部分為含焦點的區域，稱為內部;另一部分為不含焦點的區域，稱為外部。註：. (1) 橢圓內部的任意點 I ，恆有 IF + IF ' < 2a 。 (2) 橢圓外部的任意點 E ，恆有 EF + EF ' > 2a 。. 37.

(8) 【定義】 1. 貫軸平行 x 軸的雙曲線標準式：設雙曲線的兩焦點為 F (c,0), F ' (−c,0) ，貫軸長 2a ，且 c > a > 0 ，則其方程式. x2 y2 為 2 − 2 = 1 ，其中 b 2 = c 2 − a 2 。 a b 證明：設 P ( x, y ) 為雙曲線上的任一點，則 PF − PF ' = 2a. ⇔. ( x − c ) 2 + y 2 − ( x + c ) 2 + y 2 = 2a. ⇔ ( x − c ) 2 + y 2 − ( x + c ) 2 + y 2 = ±2 a ⇔ ( x − c) 2 + y 2 = ( x + c ) 2 + y 2 ± 2a ⇔ ( x − c ) 2 + y 2 = ( x + c ) 2 + y 2 ± 4 a ( x + c ) 2 + y 2 + 4a 2 ⇔ ±4a ( x + c) 2 + y 2 = 4a 2 + 4cx ⇔ ± a ( x + c) 2 + y 2 = a 2 + cx ⇔ a 2 (( x + c) 2 + y 2 ) = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2 ⇔ a 2 x 2 + 2a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y 2 = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2 ⇔ (c 2 − a 2 ) x 2 − a 2 y 2 = a 2 ( c 2 − a 2 ) ⇔ b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2 b 2 x2 y2 − = 1。 a2 b2 貫軸平行 y 軸的雙曲線標準式：設雙曲線的兩焦點為 F (0, c), F ' (0,−c) ，貫軸長 2a ，且 c > a > 0 ，則其方程 ⇔. 2.. x2 y2 − = −1 ，其中 b 2 = c 2 − a 2 。 a2 b2 證明：設 P ( x, y ) 為雙曲線上的任一點，. 式為. 則 PF − PF ' = 2a. ⇔. x 2 + ( y − c ) 2 − x 2 + ( y + c ) 2 = 2a. ⇔. x 2 + ( y − c ) 2 − x 2 + ( y + c ) 2 = ±2 a. ⇔. x 2 + ( y − c ) 2 = x 2 + ( y + c) 2 ± 2a. ⇔ x 2 + ( y − c ) 2 = x 2 + ( y + c ) 2 ± 4 a x 2 + ( y + c ) 2 + 4a 2 ⇔ ±4a x 2 + ( y + c) 2 = 4a 2 + 4cy ⇔ ± a x 2 + ( y + c) 2 = a 2 + cy ⇔ a 2 ( x 2 + ( y + c) 2 ) = a 4 + 2a 2 cy + c 2 y 2 ⇔ a 2 x 2 + a 2 y 2 + 2a 2 cy + a 2 c 2 = a 4 + 2a 2 cy + c 2 y 2 ⇔ a 2 x 2 − (c 2 − a 2 ) y 2 = − a 2 (c 2 − a 2 ) ⇔ a 2 x 2 − b 2 y 2 = − a 2 b 2 x2 y2 ⇔ 2 − 2 = −1 。 b a. 38.

(9) 【類型】 1. 中心在原點(標準式)：方程式. x2 y2 − = 1 (左右型) a2 b2. x2 y2 − = −1 (上下型) b2 a2. | x |≥ a, y ∈ R (0,0). x ∈ R, | y |≥ a (0,0). (± a,0). (0,± a). (0,±b). (±b,0). (± c,0). (0,±c). a x=± c x = 0, y = 0. a2 y=± c x = 0, y = 0. 2b 2 a 2a 2b 2c. 2b 2 a 2a 2b 2c. c x±a a. c y±a a. PF c = >1 d ( P, L ) a ⎧ x = a secθ ,θ ∈ R ⎨ ⎩ y = b tan θ x y x y − = 0或 + = 0 a b a b 2 2 c = a + b2. PF c = >1 d ( P, L ) a ⎧ x = b tan θ ,θ ∈ R ⎨ ⎩ y = a sec θ x y x y − = 0或 + = 0 b a b a 2 2 c = a + b2. 圖形 Γ. 範圍中心 O 貫軸頂點 A, A' 共軛軸頂點 B, B ' 焦點 F. 2. 準線對稱軸正焦弦長貫軸長共軛軸長焦距焦半徑離心率 e 參數式漸近線. e=. 基本關係註： 1. a, b, c 均大於 0 ，且 c 最大。. 39. e=.

(10) 2.. 中心不在原點：方程式. ( x − h) 2 ( y − k ) 2 − =1 a2 b2. ( x − h) 2 ( y − k ) 2 − = −1 b2 a2. | x − h |≥ a, y ∈ R (h, k ) ( h ± a, k ) (h, k ± b) ( h ± c, k ). x ∈ R, | y − k |≥ a (h, k ) (h, k ± a) (h ± b, k ) (h, k ± c). a2 c x − h = 0, y − k = 0. a2 c x − h = 0, y − k = 0. 2b 2 a 2a 2b 2c. 2b 2 a 2a 2b 2c. c ( x − h) ± a a. c ( y − k) ± a a. PF c = >1 d ( P, L ) a ⎧ x = h + a secθ ,θ ∈ R ⎨ ⎩ y = k + b tan θ x−h y−k − =0 a b x−h y−k 或 + =0 a b c2 = a2 + b2. PF c = >1 d ( P, L ) a ⎧ x = h + b tan θ ,θ ∈ R ⎨ ⎩ y = k + a sec θ x−h y−k − =0 b a x−h y−k 或 + =0 b a c2 = a2 + b2. 圖形 Γ. 範圍中心 O 貫軸頂點 A, A' 共軛軸頂點 B, B' 焦點 F 準線對稱軸. x−h =±. 正焦弦長貫軸長共軛軸長焦距焦半徑離心率 e 參數式. 漸近線. e=. y−k =±. e=. 基本關係【問題】 1. 試問型如 ax 2 + cy 2 + dx + ey + f = 0 的方程式，何種條件下其圖形為一雙曲線？ 2. 試問幾個獨立條件可以決定雙曲線方程式？ 3. 試問參數式當中的角度 θ ，在圖形上的幾何意義是否表示點與中心的連線與 x 軸正向的夾角？ 4. 給定一個雙曲線的圖形，是否可用作圖方法求出此雙曲線的焦點？ 40.

(11) 【證明】 1. 焦半徑：. PF = ( x − c) 2 + y 2 = ( x − c) 2 + b 2 (. x2 − 1) = a2. (a 2 + b 2 ) 2 x − 2cx + (c 2 − b 2 ) a2. c c2 2 c x − 2cx + a 2 = ( x − a ) 2 = x − a ， 2 a a a c 同理 PF ′ = x + a 。 a 正焦弦長：設過焦點 F (c,0) 與 x 軸垂直的弦交雙曲線於 (c, y ) ， =. 2.. 2 c2 y2 b2 b2 2 2 c 2 2 y b ⇒ y = b × y − = 1 ⇒ = ( − 1 ) ⇒ = ± ， a a2 b2 a2 a2 2b 2 b2 b2 故正焦弦長為 ( ) − (− ) = 。 a a a 【定義】 1. 等軸雙曲線：雙曲線中若貫軸長等於共軛軸長時，稱等軸雙曲線，此時二漸近線互相垂直。. 則. 2.. 共軛雙曲線：有共同的漸近線的兩雙曲線，稱為共軛雙曲線。有相同的漸近線且 Γ1 的貫軸、共軛軸分別為 Γ2 的共軛軸與貫軸。例如： ( x − h) 2 ( y − k ) 2 ( x − h) 2 ( y − k ) 2 Γ1 : − = 1 的共軛雙曲線為 Γ : − = −1 。 2 a2 b2 a2 b2. 41.

(12) 【方法】 1. 求雙曲線方程式的解題步驟： (1) 先判別雙曲線為上下型或左右型。 ( x − h) 2 ( y − k ) 2 (a)若為左右型，則方程式為 − = 1 ( a, b > 0 )形式； a2 b2 ( x − h) 2 ( y − k ) 2 − = −1 ( a, b > 0 )形式。 (b)若為上下型，則方程式為 b2 a2 (2) 求出中心及貫軸長、共軛軸長。 2. 若已知漸近線為 L1 : a1 x + b1 y + c1 = 0, L2 : a 2 x + b2 y + c 2 = 0 ，則雙曲線的方程式可以表成形如 (a1 x + b1 y + c1 )(a 2 x + b2 y + c 2 ) = k 。 3. 任何雙曲線 L1 : ax 2 + cy 2 + dx + ey + f = 0 必可分解成 (a1 x + b1 y + c1 )(a 2 x + b2 y + c 2 ) = k (k ≠ 0) 之型式，而漸近線為 a1 x + b1 y + c1 = 0 及 a 2 x + b2 y + c 2 = 0 。【討論】. 1.. 若 | PF − PF ' |= 2a < FF ' = 2c ，則 P 點軌跡為雙曲線。. 2.. 若 | PF − PF ' |= 2a = FF ' = 2c ，則 P 點軌跡為兩射線。. 3.. 若 | PF − PF ' |= 2a > FF ' = 2c ，則 P 點軌跡無圖形。. 4.. 若方程式為 | ( x − x1 ) 2 + ( y − y1 ) 2 − ( x − x 2 ) 2 + ( y − y 2 ) 2 |= k 形式，則其圖形可能為雙曲線、兩射線或無圖形。 ( x − h) 2 ( y − k ) 2 若方程式為 + = 1 ，當 pq < 0 ，則圖形為雙曲線。 p q. 5.. 42.

(13) 【性質】 1. 漸近線的意義： (說明一) 設雙曲線上一點 P( x1 , y1 ) ，過此點與 x 軸垂直的直線交較靠近的漸近線於 Q ( x1 , y 2 ) ，則 y1 − y 2 = b2 (. x1. 2. − 1) −. bx1 a. a b 2 = ( x1 − a 2 − x1 ) a b a2 = a x 2 − a2 + x 1 1. =. 2. ab x1 − a 2 + x1 2. ，. 故 lim ( y1 − y 2 ) = lim. x1 → ∞. 2.. x1 →∞. x1 − a 2 + x1 2. = 0。. 此距離大於 P 到雙曲線漸近線的距離，故 P 到雙曲線漸近線的距離也趨近於 0 。 (說明二) x2 y2 設 P ( x0 , y 0 ) 在雙曲線 2 − 2 = 1 上， a b 若 L1 : bx − ay = 0, L2 : bx + ay = 0 ， d ( P, L1 )d ( P, L2 ) | bx0 − ay 0 | | bx0 + ay 0 | = × a2 + b2 a2 + b2 2 2 | b 2 x0 − a 2 y 0 | a 2b 2 = ， = a2 + b2 a2 + b2 此與 P ( x0 , y 0 ) 點無關。試證明從雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離等於共軛軸的半長。證明： d ( F , L1 ) = d ( F ' , L1 ) =. 3.. ab. 雙曲線. | bc | a2 + b2. =b。. x2 y2 a 2b 2 − = 1 上任一點到兩漸近線距離乘積為定值。 a2 b2 a2 + b2. 證明：設 P ( x0 , y 0 ) 在雙曲線上，兩漸近線 L1 : bx − ay = 0, L2 : bx + ay = 0 ，. | bx0 − ay 0 | | bx0 + ay 0 | | b 2 x0 − a 2 y 0 | a 2b 2 = ⇒ d ( P, L1 )d ( P, L2 ) = 。 × = a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 2. 43. 2.

(14) 4.. 設圓 C1 ，圓心 B ，一定點 A ，若圓 C 與圓 C1 相切時，並過點 A ，則其圓心軌跡為雙曲線。 (1) 若圓 C 與圓外切時，則其圓心軌跡為橢圓。因此時 P1 A − P1 B = r − (r + rC1 ) = − rC1 ，即為以 A, B 為兩焦點，且貫軸長 rC1 之雙曲線的右分支。. (2) 若圓 C 與圓內切時，則其圓心軌跡為橢圓。因此時 P2 A − P2 B = r − (r − rC1 ) = rC1 ，即為以 A, B 為兩焦點，且貫軸長 rC1 之雙曲線的左分支。. 5. 6.. 過雙曲線上一點 P 的切線上除了切點 P 以外的點都落在雙曲線的外部。對稱性：可用變數變換或幾何方法說明雙曲線對貫軸及共軛軸都對稱。. 44.

(15) 【作圖】 1. 我們應該如何畫出雙曲線？ (1) 方法一：以點 F ' 為圓心， 2a 為半徑畫圓 C ' ，取 F 在圓 C 外，設 Q 在圓 C ' 上，取 FQ 的中點 R ，過點 R 作 FQ 的中垂線，過 Q 作直線 F ' Q ，兩線的交點 P 滿足到兩定點 F , F ' 之距離差的絕對值. ( | PF − PF ' |= 2a < FF ' = 2c )為定值，所有動點 P 所組成的軌跡即為雙曲線，其中定點 F , F ' 稱為雙曲線的焦點。. 45.

(16) 補充：圓錐曲線的光學性質【定義】 1. 切線(tangent line)(逼近定法)與切點(point of tangency)：設 L 為曲線 Γ 的一條割線， L 與曲線 Γ 交於 P, Q 兩點，今固定 P 點而讓另一個交點 Q 點沿著曲線逐漸趨近於 P 點，當 Q 點與 P 點非常接近時，若割線 L 與直線 L0 也非常接近，我們就稱 L0 為曲線 Γ 的切線， P 點稱為切點。 2. 切線與法線(內外部定法)：設 Γ 為一圓錐曲線，點 P 在 Γ 上，若直線 L 恰交 Γ 於點 P ，且直線 L 上除了點 P 之外的任意點都在 Γ 的外部，則稱直線 L 是 Γ 的切線，稱點 P 為切點；而過 P 垂直切線 L 的直線稱為 Γ 上在切點 P 的法線。 3. 割線斜率：若 P (a, f (a)) 為函數 y = f ( x) 圖形上的一個固定點，令 Q(a + h, f (a + h)) 為圖形上趨近 P 點的動點， f ( a + h) − f ( a ) f ( a + h) − f ( a ) 則割線 PQ 的斜率為 = 。 h ( a + h) − a 4. 切線斜率與法線：當 Q 點沿著 y = f ( x) 的圖形逐漸趨近 P 點時，若割線 PQ 也非常趨近過 P 點的一條直線， f ( a + h) − f ( a ) 此時切線斜率為 lim ， P 點為切點， h →0 h 而過 P 點且垂直此切線的直線稱為過 P 點的法線。 5. 平均變化率：設函數 y = f ( x) 在 x = a 處及鄰近有意義， f ( a + h) − f ( a ) f ( a + h) − f ( a ) 我們稱 = 為函數 y = f ( x) h ( a + h) − a 由 x = a 至 a + h 之間的平均變化率(或稱為差商)。 6. 瞬時變化率：設函數 y = f ( x) 在 x = a 處及鄰近有意義，當 h 趨近 0 時， f ( a + h) − f ( a ) f ( a + h) − f ( a ) 若的極限值存在，也就是 lim 存在， h →0 h h f ( a + h) − f ( a ) 我們稱 lim 為函數 y = f ( x) h →0 h 在 x = a 處的瞬時變化率(或稱為函數 y = f ( x) 在 x = a 處的導數)， f ( a + h) − f ( a ) 以 f ' (a) 表示，即 f ' (a) = lim 。 h →0 h f ( x) − f ( a ) 亦可表成為 f ' (a) = lim 。 x→a x−a 7. 切線方程式：以 P (a, f (a)) 為切點的切線方程式為 y − f (a) = f ' (a)( x − a) 。 8. 法線方程式： −1 以 P (a, f (a)) 為切點的切線方程式為 y − f (a) = ( x − a) 。 f ' (a) 46.

(17) 【討論】 1. 切線與曲線，是否必交於一點？ 2. 直線與曲線交於一點，是否必為切線？ 3. 已知斜率，如何求切線？ 4. 已知切點，如何求切線？ 5. 過曲線外一點，如何求切線？【方法】 1. 圓錐曲線與直線的關係：設 Γ : ax 2 + cy 2 + dx + ey + f = 0 = 0 為一圓錐曲線的方程式，直線 L : αx + βy + γ = 0 ，討論 Γ 與 L 的交點個數， ⎧ ax 2 + cy 2 + dx + ey + f = 0 = 0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(1) 依⎨ 的實數解 ( x, y ) 的個數， ⎩αx + β y + γ = 0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2) 將(2)中 L 的方程式代入(1)(消去其中一個變數)， (1) 若化成一個一元二次方程式 Ax 2 + By + C = 0 ，根據判別式 D = B 2 − 4 AC ，則得到： (a) 當 D > 0 時， L 與 Γ 交於相異兩點。 (b) 當 D = 0 時， L 與 Γ 相切於一點(此時 L 為切線)。 (c) 當 D < 0 時， L 與 Γ 沒有交點。 (2) 若化成一個一元一次方程式，因有一解， L 與 Γ 相交於一點。 (此時 L 並非 Γ 的切線). 47.

(18) 【方法】 1. 給定斜率 m 求切線：斜率 m 的切線. 圓錐曲線. (1). y 2 = 4cx. (2). x 2 = 4cy. c m y = mx − cm 2 y = mx +. x2 y2 + 2 =1 y = mx ± a 2 m 2 + b 2 2 a b 2 x y2 (4) + =1 y = mx ± b 2 m 2 + a 2 b2 a2 x2 y2 (5) − =1 y = mx ± a 2 m 2 − b 2 a2 b2 x2 y2 (6) − 2 + 2 = 1 y = mx ± a 2 − b 2 m 2 b a v 將上表中的方程式沿向量 v = (h, k ) 平移時，切線方程式亦隨之沿向量平移。證明：設切線為 y = mx + k ，代入原方程式，利用相切時判別式為零解 k 。 (3). ⎧ y 2 = 4cx (1) ⎨ ⎩ y = mx + k ⇒ (mx + k ) 2 = 4cx ⇒ m 2 x 2 + (2mk − 4c) x + k 2 = 0 ⇒ D = (2mk − 4c) 2 − 4m 2 k 2 = 0 ⇒ −16mkc + 16c 2 = 0 c ⇒k= 。 m 2 ⎧ x = 4cy (2) ⎨ ⎩ y = mx + k. ⇒ x 2 = 4c(mx + k ) ⇒ x 2 − 4cmx − 4ck = 0 ⇒ D = (4cm) 2 + 4(4ck ) = 0 ⇒ k = −cm 2 。 (3) (4) (5) (6) ⎧ x2 y2 =1 ⎪ + ⇒ qx 2 + p(mx + k ) 2 = pq q ⎨p ⎪ y = mx + k ⎩ ⇒ ( pm 2 + q) x 2 + 2 pmkx + p(k 2 − q) = 0 ⇒ D = (2 pmk ) 2 − 4( pm 2 + q) p(k 2 − q) = 0 ⇒ k 2 − pm 2 − q = 0 ⇒ k = ± pm 2 + q 。. 48.

(19) 2. 過圓錐曲線(二元二次方程式)上一點求切線：(一代、一不代公式) 過圓錐曲線 Γ : ax 2 + cy 2 + dx + ey + f = 0 上一點 P ( x0 , y 0 ) 的切線方程式為 ax0 x + cy 0 y + d (. x + x0 y + y0 ) + e( ) + f = 0。 2 2. (證法一)： ⎧ax 2 + cy 2 + dx + ey + f = 0 ⎨ ⎩ y = m( x − x 0 ) + y 0 ⇒ ax 2 + c(mx − (mx0 − y 0 )) 2 + dx + e(mx − (mx0 − y 0 )) + f = 0. ⇒ (a + cm 2 ) x 2 + (−2cm(mx0 − y 0 ) + d + em) x + (c(mx0 − y 0 ) 2 − e(mx0 − y 0 ) + f ) = 0 ⇒ D = (−2cm(mx0 − y 0 ) + d + em) 2 − 4(a + cm 2 )(c(mx0 − y 0 ) 2 − e(mx0 − y 0 ) + f ) = 0 ⇒ D = (2cm(mx0 − y 0 ) − (d + em)) 2 − 4(a + cm 2 )(c(mx0 − y 0 ) 2 − e(mx0 − y 0 ) + f ) = 0 ⇒ 4c 2 m 2 (mx0 − y 0 ) 2 + (d + em) 2 − 4cm(mx0 − y 0 )(d + em) − 4ac(mx0 − y 0 ) 2 + 4ae(mx0 − y 0 ) − 4af − 4c 2 m 2 (mx0 − y0 ) 2 + 4cem 2 (mx0 − y0 ) − 4cfm 2 = 0 ⇒ (d + em) 2 − 4cm(mx0 − y 0 )(d + em) − 4ac(mx0 − y 0 ) 2 + 4ae(mx0 − y 0 ) − 4af + 4cem 2 (mx0 − y 0 ) − 4cfm 2 = 0 ⇒ (d + em) 2 + 4(ae − cdm)(mx0 − y 0 ) − 4ac(mx0 − y 0 ) 2 − 4af − 4cfm 2 = 0 ⇒ d 2 + e 2 m 2 + 2dem + 4 aex0 m − 4 cdx0 m 2 − 4 aey 0 + 4 cdy 0 m − 4acx0 m 2 − 4acy 0 + 8acx0 y 0 m − 4af − 4cfm 2 = 0 2. 2. ⇒ (e 2 − 4c(ax 0 + dx 0 + f ))m 2 + (4 aex 0 + 4 cdy 0 + 8acx0 y 0 + 2de)m 2. + (d 2 − 4a (cy 0 + ey 0 + f )) = 0 2. 又 ax0 + cy 0 + dx 0 + ey 0 + f = 0 2. 2. ⇒ (4c 2 y 0 + 4cey0 + e 2 )m 2 + (4 aex 0 + 4 cdy 0 + 8acx0 y 0 + 2de)m − 4 aey 0 2. + (4a 2 x 0 + 4adx0 + d 2 ) = 0 2. ⇒ (2cy 0 + e) 2 m 2 + 4(2cy 0 + e)(2ax0 + d ) + (2ax0 + d ) 2 = 0 ⇒ ((2cy 0 + e)m + (2ax0 + d )) 2 = 0 d ax0 + 2ax0 + d 2 ⇒m=− =− e 2cy 0 + e cy 0 + 2 故切線為 d (ax0 + ) 2 ( x − x ) + y ⇒ (cy + e ) y + (ax + d )( x − x ) − y (cy + e ) = 0 y=− 0 0 0 0 0 0 0 e 2 2 2 (cy 0 + ) 2 2 2 又 ax0 + cy 0 + dx 0 + ey 0 + f = 0 兩式相加得 ax0 x + cy 0 y + d (. x + x0 y + y0 ) + e( ) + f = 0。 2 2 49.

(20) (證法二)：使用偏微分法. d 2ax0 + d dy 2 =− =− 2ax0 dx + 2cy 0 dy + ddx + edy = 0 ⇒ e dx 2cy 0 + e cy 0 + 2 故切線為 d (ax0 + ) 2 ( x − x ) + y ⇒ (cy + e ) y + (ax + d )( x − x ) − y (cy + e ) = 0 y=− 0 0 0 0 0 0 0 e 2 2 2 (cy 0 + ) 2 2 2 又 ax0 + cy 0 + dx 0 + ey 0 + f = 0 ax0 +. 兩式相加得 ax 0 x + cy 0 y + d (. x + x0 y + y0 ) + e( ) + f = 0。 2 2. (證法三)：過圓錐曲線(標準式)上一點 P ( x0 , y 0 ) 求切線：(圓也適用) 圓錐曲線切線方程式 x + x0 y 0 y = 4c( y 2 = 4cx ) (1) 2 y + y0 x0 x = 4c( ) x 2 = 4cy (2) 2 x0 x y 0 y x2 y2 + 2 =1 (3) + 2 =1 2 a2 b a b 2 2 x x y y x 0 0y + = 1 + =1 (4) 2 b2 a2 b a2 x0 x y 0 y x2 y2 − 2 =1 (5) − 2 =1 2 a2 b a b 2 2 x x y y x y (6) − 2 + 2 = 1 − 02 + 02 = 1 b a b a v 將上表中的方程式沿向量 v = (h, k ) 平移時，切線方程式亦隨之沿向量平移。證明： ⎧ y 2 = 4cx y − y0 (1) ⎨ ⇒ y 2 = 4c( + x0 ) m ⎩ y = m( x − x 0 ) + y 0. ⇒ my 2 − 4cy + 4c( y 0 − mx0 ) = 0 ⇒ D = (4c) 2 − 16cm( y 0 − mx0 ) = 0 ⇒ cx0 m 2 − cy 0 m + c 2 = 0 ，又 y 0 = 4cx0 2. 2. y 2 ⇒ 0 m 2 − cy 0 m + c 2 = 0 ⇒ y 0 m 2 − 4cy 0 m + 4c 2 = 0 4 2c ⇒ ( y 0 m − 2c) 2 = 0 ⇒ m = y0. 50.

(21) 故切線 y =. x + x0 2c 2 ⋅ ( x − x0 ) + y 0 ，又 y 0 = 4cx0 ，得 y 0 y = 4c( )。 2 y0. 51.

(22) ⎧ x 2 = 4cy (2) ⎨ ⎩ y = m( x − x 0 ) + y 0 ⇒ x 2 = 4c(m( x − x0 ) + y 0 ) ⇒ x 2 − 4cmx + 4c(mx0 − y 0 ) = 0. ⇒ D = (4cm) 2 − 16c(mx0 − y 0 ) = 0 ⇒ cm 2 − x0 m + y 0 = 0 ，又 x0 = 4cy 0 2. 2. ⇒ cm 2 − x0 m + ⇒m=. x0 2c. 故切線 y =. (3). x0 2 = 0 ⇒ 4c 2 m 2 − 4cx0 m + x0 = 0 ⇒ (2cm − x0 ) 2 = 0 4c. y + y0 x0 2 ⋅ ( x − x0 ) + y 0 ，又 x0 = 4cy 0 ，得 x0 x = 4c( )。 2c 2. (4) (5) (6) ⎧ x2 y2 =1 ⎪ + q ⎨p ⎪ y = m( x − x ) + y 0 0 ⎩. ⇒ qx 2 + p(m( x − x0 ) + y 0 ) 2 = pq ⇒ qx 2 + p (mx − (mx0 − y 0 )) 2 = pq ⇒ ( pm 2 + q ) x 2 − 2 pm(mx0 − y 0 ) x + p ((mx0 − y 0 ) 2 − q) = 0 ⇒ D = (2 pm(mx0 − y 0 )) 2 − 4( pm 2 + q) p((mx0 − y 0 ) 2 − q ) = 0 ⇒ q(mx0 − y 0 ) 2 − q 2 − pqm 2 = 0 ⇒ (mx0 − y 0 ) 2 − q − pm 2 = 0 ⇒ ( p − x0 )m 2 + 2 x0 y 0 m + (q − y 0 ) = 0 又 qx 0 + py 0 = pq p 2 q 2 2 2 ⇒ y 0 m 2 + 2 x0 y 0 m + x0 = 0 ⇒ p 2 y 0 m 2 + 2 x0 y 0 pqm + q 2 x 0 = 0 q p qx ⇒ ( py 0 m + qx0 ) 2 = 0 ⇒ m = − 0 。 py 0 2. 2. 2. 2. 故切線 y = (−. 2. qx 0 x y )( x − x0 ) + y 0 ，又 0 + 0 = 1 ， py 0 p q. 得 py 0 y = − qx0 x + qx0 + py 0 ⇒ qx0 x + py 0 y = 1 ， 2. 2. x0 x y 0 y 1 + = 。 p q pq 過圓錐曲線外一點 P ( x0 , y 0 ) 求切線：假設切線為 y − y 0 = m( x − x0 ) ，代回二次曲線解聯立，化成一個一元二次方程式 Ax 2 + Bx + C = 0 ，利用相切時判別式 D = B 2 − 4 AC = 0 求解。即. 3.. 52. 2.

(23) 【問題】 1. 就雙曲線外一點 P 的位置，討論過 P 點切線的數目？ (解：雙曲線上一點恰可找到一條切線，過雙曲線內部的點不可能有切線，過雙曲線外部一點可能有兩切線，也可能只有一條切線，但過雙曲線的中心沒有切線。) 【性質】 1. 圓錐曲線的切線： (1) 過錐線內部任意點沒有切線。 (2) 過錐線上任意一點，恰有一條切線。 (3) 過拋物線與橢圓外部任意點恰有兩條切線。 (4) 過雙曲線外部的點可能有兩條切線、一條切線或沒有切線。 (a) 點不是中心也不在漸近線上時，有兩條切線。 (b) 點在漸近線上(非中心)時，有一條切線。 (c) 當點是中心時，沒有切線。 x2 y2 2. 試證：橢圓 Γ : 2 + 2 = 1 之「平行弦(斜率 m )的中點」軌跡是一條線段， a b 此線段稱為此橢圓的直徑，記作 Dm ，直徑 Dm 所在的直線方程式是 b 2 x + a 2 my = 0 。 b2 為斜率之平行弦的中點軌跡又是另一條直徑 a2m b2 Dm '，直徑 Dm ' 的方程式為 b 2 x + a 2 m' y = 0，得 b 2 x + a 2 (− 2 ) y = 0，即 y = mx ， a m. 3. 以直徑 Dm 的斜率 m' = −. 我們稱 Dm ' 和 Dm 為共軛直徑，它們斜率的乘積為定值 −. b2 。 a2. x2 y2 − = 1 之「平行弦(斜率 m )的中點」軌跡是一條線段， a2 b2 這條線段在通過中心的一條直線 b 2 x − a 2 my = 0 裡(稱雙曲線的直徑)。 5. 試證：拋物線 Γ : y 2 = 4cx 之「平行弦(斜率 m )的中點」軌跡是一條線段， 2c 這條線段在與對稱軸平行的一條直線 y = 上(稱拋物線的直徑)。 m. 4. 試證：雙曲線 Γ :. 53.

(24) 【定義】 1. 有心錐線：橢圓與雙曲線都有一個對稱中心，稱為有心錐線。【性質】有心錐線的光學性質：有心錐線上任意一點 P ，都對應兩條焦半徑 PF , PF ′ ，這兩條焦半徑與通過 P 點的切線，它們所夾出來的角度相等。註：可以利用切線、法線、焦半徑等與軸的焦點以及角平分線的性質來證明。 1. 拋物線的光學性質：由焦點射出的光線，射到拋物線上任一點時，若依光的反射規則(即入射角等於反射角)，則其反射光會沿著與拋物線的對稱軸平行的方向射出；反之，與對稱軸平行的入射光，反射後必經過拋物線的焦點。 (即若拋物線的焦點為 F ，設 P 是拋物線上的任一點， L 是拋物線在 P 點的切線，則入射光線 PF 經過 P 點的完全反射，反射光線會平行對稱軸。) 證明： (1) 方法一：過點 P ( x0 , y 0 ) 切拋物線 y 2 = 4cx 的切線 L 為 yy 0 = 2c( x + x0 ) ，設切線 L 與 x 軸交於點 Q ，令 y = 0 得 Q(− x0 ,0) ，因此 FQ =| c − (− x0 ) |=| x0 + c | ，又 PF = ( x 0 − c) 2 + y 0 = ( x0 + c) 2 =| x0 + c | ， 2. 得 PF = QF ，故 ∆PFQ 為等腰三角形，即 θ = α ，又 PF ' 平行 x 軸，故 θ ' = α ，由上知 θ = θ ' 。( F ' 視為無窮遠處). (2) 方法二：亦可以使用切線與焦半徑兩直線的夾角公式直接求之， 2c ⎧ ⎪m L = y ⎪ 0 已知 ⎨ ，又 y 0 2 = 4cx0 ， ⎪m = y 0 ⎪⎩ PF x0 − c y0 2c − 2 − 2cx0 − 2c 2 2c y x0 − c 2c ( x 0 − c ) − y 0 = = = 則 tan α = 0 ， y0 2c x 0 y 0 + cy 0 y0 y 0 ( x 0 − c) + 2cy 0 1+ × y 0 x0 − c 2c 且 tan β = ，由上知 θ = θ ' 。 y0 54.

(25) 2. 橢圓的光學性質：由一焦點射出的光線，射到橢圓上任意點，反射後都會經過另一焦點。 (即若橢圓的焦點為 F , F ′ ，設 P 是橢圓上的任一點， L 是橢圓在 P 點的切線，則入射光線 PF 經過 P 點的完全反射，反射光線會經過 F ′ ( 即反射光線為 PF ′ )。) 證明： (1) 方法一：橢圓 Γ 的焦點為 F , F ′ ，長軸長 2a ，以 F ' 為圓心， 2a 為半徑作圓 C ' ，對 Γ 上的任意點 P ，若點 Q 為由 F ' 至 P 的焦弦 PF ' 的延長線與圓 C ' 的交點時，線段 QF 的中垂線 L 就是 Γ 上以 P 為切點的切線，可得 θ = θ ' 。. (2) 方法二：. x x y y x2 y2 + 2 = 1 的切線 L 為 02 + 02 = 1 ， 2 a b a b 設切線 L 與 x 軸交於點 Q ，過點 P ( x0 , y 0 ) 切橢圓. a2 令 y = 0 得 Q( ,0) ， x0 a 2 − cx0 a 2 + cx0 a2 a2 − c |=| + c |=| 因此 FQ =| | 及 F ' Q =| |， x0 x0 x0 x0 c c 又 PF =| a − x0 |, PF ' =| a + x0 | ， a a 得 PF : P ' F = FQ : F ' Q ，故切線平分 ∠F ' PF 的外角(即 θ = α )，又 θ ' = α (對頂角)，由上知 θ = θ ' 。. 55.

(26) (3) 方法三：亦可以使用切線與焦半徑兩直線的夾角公式直接求之， x x y y x2 y2 過點 P ( x0 , y 0 ) 切橢圓 2 + 2 = 1 的切線 L 為 02 + 02 = 1 ， a b a b 直線 PF 為 y 0 x − ( x0 − c) y − cy0 = 0 ，直線 PF ′ 為 y 0 x − ( x0 + c) y + cy 0 = 0 ，設切線 L 與直線 PF 的夾角為 θ ，切線 L 與直線 PF ′ 的夾角為 θ ′ ，得 cos θ | b 2 x0 y 0 − a 2 y 0 ( x0 − c ) | = 2 2 2 b 4 x0 + a 4 y 0 y 0 + ( x 0 − c ) 2 | a 2 cy0 − c 2 x0 y 0 |. =. b2 2 x ) + ( x0 − c ) 2 2 0 a 2 | cy0 (a − cx0 ) |. b 4 x0 + a 4 y 0 2. =. 2. 2. 4. b 4 x0 + a 4 y 0 2. =. (b 2 −. c2 2 b x0 + a y 0 x − 2cx0 + a 2 2 0 a 2 | cy0 (a − cx0 ) | 4. =. 2. 2. (a −. c x0 ) 2 a. | acy0 |. ， 2 2 b x0 + a 4 y 0 及 cos θ ′ | b 2 x0 y 0 − a 2 y 0 ( x0 + c ) | = 2 2 2 b 4 x0 + a 4 y 0 y 0 + ( x 0 + c ) 2 4. | a 2 cy0 + c 2 x0 y0 |. =. b2 2 x ) + ( x0 + c ) 2 2 0 a 2 | cy0 (a + cx0 ) |. b 4 x0 + a 4 y 0 2. =. 2. 4. b 4 x0 + a 4 y 0 2. =. (b 2 −. c2 2 x + 2cx0 + a 2 b x0 + a y 0 2 0 a 2 | cy0 (a + cx0 ) | 4. =. 2. 2. 2. | acy0 |. (a +. c x0 ) 2 a. ，. b x0 + a y 0 故 cos θ = cos θ ′ ，又 θ 與 θ ′ 都是銳角，得θ = θ ′ 。 4. 2. 4. 2. 56.

(27) 3.. 雙曲線的光學性質：由一焦點射出的光線，射到雙曲線上任意點，反射光的相反射線會經過另一焦點。 (即若雙曲線的焦點為 F , F ′ ，設 P 是雙曲線上的任一點， L 是雙曲線在 P 點的切線，則入射光線 PF 經過 P 點的完全反射，反射光線會經過 F ′ (即反射光線為 PF ′ )。) 1. 方法一：雙曲線 Γ 的焦點為 F , F ′ ，貫軸長 2a ，以 F ' 為圓心， 2a 為半徑作圓 C ' ，對 Γ 上的任意點 P ，若點 Q 為由 F ' 至 P 的焦弦 PF ' 的延長線與圓 C ' 的交點時，線段 QF 的中垂線 L 就是 Γ 上以 P 為切點的切線，可得 θ = θ ' 。. 2.. 方法二：. x x y y x2 y2 − 2 = 1 的切線 L 為 02 − 02 = 1 ， 2 a b a b 設切線 L 與 x 軸交於點 Q ，過點 P ( x0 , y 0 ) 切雙曲線. a2 令 y = 0 得 Q( ,0) ， x0 因此 FQ = c − 又 PF =. a2 a2 及 F 'Q = c + ， x0 x0. c c x0 − a 及 PF ' = x0 + a ， a a. 得 PF : P ' F = FQ : F ' Q ，故切線是 ∠F ' PF 的角平分線，則θ = θ ' 。. 57.

(28) 3.. 方法三：亦可以使用切線與焦半徑兩直線的夾角公式直接求之 x x y y x2 y2 過點 P ( x0 , y 0 ) 切雙曲線 2 − 2 = 1 的切線 L 為 02 − 02 = 1 ， a b a b ′ 直線 PF 為 y 0 x − ( x0 − c) y − cy 0 = 0 ，直線 PF 為 y 0 x − ( x0 + c) y + cy 0 = 0 ，設切線 L 與直線 PF 的夾角為 θ ，設切線 L 與直線 PF ′ 的夾角為 θ ′ ，得 | cos θ |. = =. | b 2 x 0 y 0 + a 2 y 0 ( x0 − c ) | b 4 x0 + a 4 y 0 2. 2. b2 2 b x0 + a y 0 ( 2 x0 − b 2 ) + ( x0 − c ) 2 a | cy0 (cx0 − a 2 ) | 2. 2. 4. c2 2 x0 − 2cx0 + a 2 a2 | cy0 (cx0 − a 2 ) |. b 4 x0 + a 4 y 0. 2. b 4 x0 + a 4 y 0. 2. 2. =. y 0 + ( x0 − c ) 2. | c 2 x0 y 0 − a 2 cy0 | 4. =. 2. 2. c ( x0 − a ) 2 a. =. | acy0 |. =. | b 2 x 0 y 0 + a 2 y 0 ( x0 + c ) |. b 4 x0 + a 4 y 0 及 | cos θ ′ | 2. b 4 x0 + a 4 y 0 2. 2. 2. 2. (. c2 2 x0 + 2cx0 + a 2 a2 | cy0 (cx0 + a 2 ) |. b 4 x0 + a 4 y 0. 2. b 4 x0 + a 4 y 0. 2. 2. 2. =. y 0 + ( x0 + c ) 2. b2 2 x − b 2 ) + ( x0 + c ) 2 2 0 a | cy0 (cx0 + a 2 ) |. b 4 x0 + a 4 y 0. =. 2. ，. | c 2 x0 y0 + a 2 cy0 |. =. =. 2. c ( x0 + a ) 2 a. | acy0 |. ， 2 2 b 4 x0 + a 4 y 0 故 | cos θ | =| cos θ ′ | ，又 θ 與 θ ′ 都是銳角，故 θ = θ ' 。. 58.

(29) 【性質】. 1.. x2 y2 試證：橢圓 2 + 2 = 1 的兩焦點 F , F ' ， L 為橢圓的一切線，則 a b d ( F , L) d ( F ' , L) = b 2 。證明：. 設橢圓上一點 P ( x0 , y 0 ) ，兩焦點 F (c,0), F ' (−c,0) ， 2. 2.. 2. x y x x y y 則過 P ( x0 , y 0 ) 的切線為 L : 02 + 02 = 1 ，且 02 + 02 = 1 ， a b a b x0 c x0 c | 2 −1| | − 2 −1| a a 則 d ( F , L) d ( F ' , L) = × x y x y ( 02 ) 2 + ( 20 ) 2 ( 02 ) 2 + ( 20 ) 2 a b a b xc | 1 − ( 02 ) 2 | | a 4 − ( x0c) 2 | a = = y x0 2 y0 2 2 x0 + a 4 ( 20 ) 2 ( 2) +( 2) b a b 2 4 2 | a − ( x0 c) | | a 4 − x0 (a 2 − b 2 ) | 2 = = b2 。 =b × 2 2 2 2 2 2 a b x0 + a (a − x0 ) 2 2 x0 + 2 (a 2 − x0 ) b x2 y2 試證：設 P 為橢圓 2 + 2 = 1 上一點( P 不在頂點上)，若過 P 之切線與法線 a b 分別交 x 軸於 M , N ，則 OM ⋅ ON = a 2 − b 2 。證明： x2 y2 設 P( x 0 , y 0 ) ( P 不在頂點上)在 2 + 2 = 1 橢圓上， a b x0 x y 0 y y x x y 1 1 則過 P 的切線為 2 + 2 = 1 ，法線為 02 − 02 = x0 y 0 ( 2 − 2 ) ， a b b a b a 2 2 a b 可得 M ( ,0), N ( x 0 (1 − 2 ),0) ， x0 a a2 b2 故 OM ⋅ ON =| | × | x 0 (1 − 2 ) | = a 2 − b 2 。 x0 a. 59.

(30) 3.. 4.. 試證：拋物線正焦弦兩端點的兩切線相交於準線上。證明：設拋物線 y 2 = 4cx ，正焦弦兩端點為 P(c,2c), P ' (c,−2c) ， x+c x+c 則過 P, P' 的切線分別為 2cy = 4c( ),−2cy = 4c( )， 2 2 即 y = x + c,− y = x + c ，兩切線交點 (−c,0) ，位於準線 x = −c 上，故正焦弦兩端點的兩切線相交於準線上。試證：自拋物線 y 2 = 4cx 之準線上任一點作拋物線之兩切線必正交。證明：. 設拋物線準線 x = −c 上任一點 P(−c, y 0 ) 作拋物線之切線為 y − y 0 = m( x + c) ，與拋物線 y 2 = 4cx 解聯立， y − y0 4cy 0 4cy 得 y 2 = 4c( − c) ⇒ y 2 − + (4c 2 + )=0 m m m 4cy 0 4c ⇒ D = ( ) 2 − 4(4c 2 + )=0 m m − c2 ⇒ c 2 m 2 + cy 0 m − c 2 = 0 ⇒ m 的兩根之積為 2 = −1 ， c 即兩切線必正交。. 60.

(31) 5.. x2 y2 + = 1 外一點 P 作兩切線，若此兩切線互相垂直，則 P 點 a2 b2 所成集合之方程式為 x 2 + y 2 = a 2 + b 2 。證明： (1) 若 m ≠ 0 時，試證：自橢圓. 因兩切線互相垂直，可設過 P 之兩垂直切線斜率分別為 m,− 則切線可設為 y = mx ± a 2 m2 + b2 及 y = −. 1 ， m. a2 1 x± + b2 m m2. 1 2 a2 x) = 2 + b 2 m m a2 2 1 ⇒ y 2 − 2mxy + m2 x 2 = a 2m2 + b 2 及 y 2 + xy + 2 x 2 = 2 + b 2 m m m 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇒ y − 2mxy + m x = a m + b 及 m y + 2mxy + x = a 2 + b2 m2. ⇒ ( y − mx)2 = a 2m2 + b2 及 ( y +. 兩式相加得 (1 + m2 ) y 2 + (1 + m2 ) x 2 = a 2 (1 + m2 ) + b 2 (1 + m2 ). ⇒ x2 + y 2 = a 2 + b2 。 (2) 若 m = 0 時，. 則兩垂直之切線即水平線與鉛直線，故切點恰為長短軸頂點，即切線為 x = ± a, y = ±b ，交點在 A(a, b), B(−a, b), C (−a,−b), D(a,−b) ，而 A, B, C , D 四點均在 x 2 + y 2 = a 2 + b 2 上，由上知 P 點的軌跡方程式為 x 2 + y 2 = a 2 + b 2 (為一圓)。 61.

(32) 6.. x2 y2 − = 1(a, b > 0) 外一點 P 作兩切線，若此兩切線互相垂 a2 b2 直，則 P 點所成集合之方程式為 x 2 + y 2 = a 2 − b 2 。證明：試證：自雙曲線. 因兩切線互相垂直，可設過 P 之兩垂直切線斜率分別為 m,− 則切線可設為 y = mx ± a 2 m2 − b 2 及 y = −. 1 (m ≠ 0) ， m. 1 a2 x± − b 2 (m ≠ 0) m m2. 1 2 a2 x) = 2 − b 2 m m a2 2 1 ⇒ y 2 − 2mxy + m2 x 2 = a 2m2 − b 2 及 y 2 + xy + 2 x 2 = 2 − b 2 m m m 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇒ y − 2mxy + m x = a m − b 及 m y + 2mxy + x = a 2 − b 2m2. ⇒ ( y − mx)2 = a 2m2 − b 2 及 ( y +. 兩式相加得 (1 + m2 ) y 2 + (1 + m2 ) x 2 = a 2 (1 + m2 ) − b2 (1 + m2 ) ⇒ x2 + y 2 = a 2 − b2 ，故 P 點的軌跡方程式為 x 2 + y 2 = a 2 − b 2 (為一圓)。. 62.

(33) 7.. 試證：橢圓. x2 y2 + 2 = 1 之外切矩形最大面積為 2(a 2 + b 2 ) 。 2 a b. 證明： (方法一) x2 y2 橢圓 2 + 2 = 1 之外接矩形頂點滿足對橢圓所做兩條切線互相垂直， a b 故頂點都在圓 x 2 + y 2 = a 2 + b 2 上，題意就是要求圓上矩形最大面積，也就是正方形的時候面積最大，即對角線 2 a 2 + b 2 之正方形， 2. 此時面積為 2(a 2 + b 2 ) = 2(a 2 + b 2 ) 。 (方法二) 設一組平行切線之斜率為 m(m ≠ 0) ，則另一組平行切線之斜率為 −. 1 ， m. a2 1 切線方程式分別為 y = mx ± a m + b ，及 y = − x ± + b2 ， 2 m m 2. 兩平行切線之距離分別為 d1 =. 2. 2. 2 a 2m2 + b2 m2 +1. , d2 =. 2 a2 + b2m2 m2 + 1. ，. 由算幾不等式 (a 2 m 2 + b 2 ) + (b 2 m 2 + a 2 ) ≥ (a 2 m 2 + b 2 )(b 2 m 2 + a 2 ) 2. ⇒ (m 2 + 1)(a 2 + b 2 ) ≥ 2 (a 2 m 2 + b 2 )(b 2 m 2 + a 2 ) ⇒ 2(a 2 + b 2 ) ≥ d1 d 2 。 8.. 試證：橢圓. x2 y2 + = 1 之外切矩形最小面積為 4ab 。 a2 b2. 證明：設一組平行切線之斜率為 m(m ≠ 0) ，則另一組平行切線之斜率為 − 切線方程式分別為 y = mx ± a 2 m 2 + b 2 ，及 y = − 兩平行切線之距離分別為 d1 =. 2 a 2m2 + b2 m2 +1. , d2 =. a2 1 x± + b2 ， 2 m m. 2 a2 + b2m2 m2 + 1. 由柯西不等式 (a 2 m 2 + b 2 )(b 2 m 2 + a 2 ) ≥ (abm 2 + ab) 2 = a 2 b 2 (m 2 + 1) 2 ，得 d1 d 2 ≥ 4ab 。. 63. 1 ， m. ，.

(34) 9.. x2 y2 − = 1(a, b > 0) 上一點，則以 OP 為對角線( O 為原 a2 b2 ab 點)為對角線且有兩邊在漸近線上的平行四邊形面積為。 2 證明：試證：設 P 為雙曲線. x y x y − = 0, L2 : + = 0 ， a b a b 令平行四邊形 OP1 PP2 中頂點 P1 , P2 分別在漸近線 L1 , L2 上， x y 則直線 PP1 的方程式可設為 + = k ， a b 將 ( x, y ) = (a secθ , b tan θ ) 代入，得 k = sec θ + tan θ ， x y 即直線 PP1 的方程式為 + = sec θ + tan θ ， a b ⎧x y ⎪⎪ a − b = 0 a b 解⎨ ，得 P1 ( (secθ + tan θ ), (secθ + tan θ )) ； 2 2 ⎪ x + y = sec θ + tan θ ⎪⎩ a b 仿此， ⎧x y ⎪⎪ a + b = 0 a b 解⎨ ，得 P2 ( (secθ − tan θ ),− (secθ − tan θ )) 。 2 2 ⎪ x − y = sec θ − tan θ ⎪⎩ a b 設點 P(a secθ , b tan θ ) ，兩漸近線 L1 :. v v. 所求平行四邊形為 O P 1 , O P 2 所張開之平行四邊形，故其面積為 a b (sec θ + tan θ ) (sec θ + tan θ ) 1 1 ab 2 | 2 | =| | (secθ + tan θ )(secθ − tan θ ) a b 1 1 − 4 (sec θ − tan θ ) − (sec θ − tan θ ) 2 2 ab ab =| (sec 2 θ − tan 2 θ )(−2) | = 。 2 4 64.

(35) x2 y2 + = 1(a > b > 0) ，設 L 是橢圓的切線，則 L 被兩軸所截 a2 b2 之最短線段長為 a + b 。證明：設 L 與橢圓交於 P (a cosθ , b sin θ ) ， a cos θ x b sin θ y 則L: + = 1 ⇒ b cosθ x + a sin θ y = ab ， a2 b2 a b 交 x, y 軸於 ( ,0), (0, )， cos θ sin θ a 2 b 2 ∴ AB = ( ) +( ) ， cos θ sin θ a 2 b 2 a b ∵ [( ) +( ) ] (cos 2 θ + sin 2 θ ) ≥ ( ⋅ cos θ + ⋅ sin θ ) 2 cos θ sin θ cos θ sin θ. 10. 試證：一橢圓. 2. ⇒ AB ≥ (a + b) 2 ⇒ AB ≥ a + b ， ∴ AB 之最小值為 a + b 。 11. 試證：設橢圓 Γ 的兩焦點 F1 , F2 ，長軸長為 2a ，點 P 為 Γ 上一點，且 ∠ F1 PF2 = θ ，若以 P 為切點的切線為 L ，且點 F1 , F2 在 L 上的投影為 G1 ,G2 ，則 1 (1)梯形 F1G1G 2 F1 的面積 = sin α ⋅ cos α ⋅ ( PF1 + PF2 ) 2 。 2 (2)若 P 在 Γ 上移動，梯形 F1G1G 2 F2 面積的最大值為 a 2 。註：當以 F1F 2 為直徑的圓與橢圓有交點時，才有可能畫出 θ = 90° 的情形。即 c ≥ b 時，才有可能畫出 θ = 90° 的情形。解答： (1)如圖，設 ∠G1 PF1 = ∠G 2 PF2 = α ，. 則梯形 F1G1G 2 F1 的底 G1 F1 = PF1 sin α , G 2 F 2 = PF 2 sin α , PG1 = PF1 cos α , PG 2 = PF 2 cos α ，得梯形面積為 1 (G1 F1 + G 2 F 2 )G1G 2 2 1 = (PF1 sin α + PF 2 sin α )(PF1 cos α + PF 2 cos α ) 2 1 1 = sin α cos α (PF1 + PF 2 ) 2 = 2 sin 2α ( 2a ) 2 2 4 2 2 = a sin 2α = a sin (π − θ ) = a 2 sin θ 。. (2)當 sin θ = 1 時，最大面積 a 2 。 65.

(36) 【定義】 1. 圓錐曲線的其他定義方法：設直線 L : x = 0 ，點 F (c,0) ， PF ， d ( P.L) 試就 e 討論 P 點的軌跡方程式圖形為何？註：根據上例的討論，我們可以發現圓錐曲線中橢圓與雙曲線可仿照拋物線的定義方式， PF 而由 e = 的方式來定義， d ( P.L) 也就是到焦點的距離比上到準線(directrix)的距離， PF 我們將 e = 稱為離心率， d ( P.L) 而 F , L 分別稱為焦點、準線。從上面的例子中， c 比較標準式可以得到離心率 e = 。 a 【結論】 1. 若設 L 是坐標平面上的一給定直線，點 F 不在 L 上，實數 e > 0 ， ⎧ PF ⎫ 令 Γ = ⎨P | e = ⎬， d ( P.L) ⎭ ⎩ c (1) 則當 e = = 1 時， Γ 為拋物線。 a c (2) 當 0 < e = < 1 時， Γ 為橢圓。 a c (3) 當 e = > 1 時， Γ 為雙曲線，此時 F , L 分別稱為焦點、準線。 a. 動點 P ( x, y ) 滿足 e =. 66.

(37)