向量暗物質與原子核散射截面之數值研究

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(1)國立臺灣師範大學物理研究所碩士論文向量暗物質與原子核散射截面之數值研究指導教授：陳傳仁. 教授. 研究生：李銘杰. 中華民國一百零五年六月.

(2) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究. 要宇宙學的觀測結果暗示暗物質是存在的，暗物質的本質是粒子物理學和宇宙學一直想要解開的謎題。在眾多的超越標準模型 (beyond the standard model) 當中， WIMP(Weakly Interaction Massive Particle) 是很好的暗物質候補，如果 WIMP 具有 TeV 尺度的質量、而且它在早期宇宙就存在到現在，殘留豐度 (relic abundance) 的理論預測就會和觀測結果一致。在這樣的推論之下，WIMP 從一開始就是非相對性的、而且他在宇宙建構的時期是冷暗物質 (cold dark matter)。WIMP 最主要的候補是 MSSM(minimal supersymmetric standard model) 中最輕的超中性子 (lightest neutralino1 )，它是一種馬約拉納費米子 (Majorana fermion)。此外，其他超越標準模型也預測了穩定 (不衰變) 的向量粒子 (vector particles)，例如在 UED(universal extra dimension) 傳播 (propagate) 的 Kaluza-Klein 光子 (KK photon) 以及 LHT(littlest higgs model with T-parity) 的 T-odd heavy photon。本篇論文主要以 KK photon 為暗物質，探討向量暗物質與原子核的散射截面。. 關鍵詞: 暗物質 (dark matter)、直接探測 (direct detection)、等效理論 (effective theory)、額外維度 (universal extra dimension). 1. neutralino 是由 Z boson 的超絆子 (superpartner)zino、光子的超絆子 photino 以及中性希格斯玻色子 (neutral higgs) 的超絆子 higgsino 混合的四種本真態。. 2 of 32.

(3) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究. 目次. 1. 簡介. 4. 2 Vector Dark Matter 與原子核散射截面的一般形式. 7. 3 KK Dark Matter. 15. 4 數值結果. 20. 5 結論. 25. A 附錄. 26. A.1 n-th KK quark 的質量參數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 A.2 MUED model 中 aψ2 ψ1 、bψ2 ψ1 的數學形式 . . . . . . . . . . . 27 (i). (ii). (iii). A.3 fG 、fG 以及 fG. 的數學形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . 28. A.4 Standard Model Higgs Boson Couplings . . . . . . . . . . . . 29. 參考文獻. 30. 3 of 32.

(4) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究. 1 簡介. 在粒子物理學的領域當中，標準模型取得了巨大的成功，對撞機的實驗結果與標準模型的理論預測大致上完全吻合。但是，根據 CMB flunctuation 的觀測結果，我們發現宇宙大約只有 5% 的成分是可以由標準模型來描述的一般物質 (ordinary matter)；其他未知的有 25% 的暗物質以及 70% 的暗能量。對於這個宇宙我們只理解其中的冰山一角，這些其他的成分是什麼？既然它們佔了宇宙的 95%，為什麼我們沒辦法輕易地捕捉到它們？這些疑問始於 1930 年代 F. Zwicky 的工作 [1]。F. Zwicky 觀測了后髮座星系團 (Coma Cluster) 中星系的速度分佈，觀測結果很令人驚訝，后髮座星系團的質量居然是這個星系團中恆星質量的 400 倍！這表示后髮座星系團當中有非常多不會輻射的物質。類似的論述也可以套用在重力透鏡效應的觀測結果上。然而，在 F. Zwicky 發現了這麼意義深遠的結果以後的四十年內，他的論文 [2] 只有十篇的引用。 1970 年代，暗物質的存在又再一次被 V. Rubin 發現。V. Rubin 觀測一個圓盤星系 (disc galaxy) 的旋轉曲線 (retation curve)，結果發現不論星系中星體距離星系中心多遠，星體速度幾乎是常數。假設宇宙常數 G、星體質量 m、星體速度 v、星體與星系中心距離 r、星系在距離 r 以內的總質量 M ，根據牛頓力學： GM m mv 2 = F = r2 r √ GM v= r. (1) (2). 假設圓盤星系的質量都集中在“可見的”圓盤上，理應會得到 v ∝ r1/2 的結果，v 是常數代表這個星系的質量會隨著距離星系中心越遠而與距離成正比。從這結果可以推論這個星系大部份的質量都在一個類球面 (speroidal) 的暗暈 (dark halo) 上而不是在可見的圓盤上。就我們現在所知，矮 4 of 32.

(5) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究. 星系2 (dwarf galaxy) 是暗物質主宰 (dark matter dominated) 最顯著的系統。暗物質其實也沒有想像中那麼地未知，我們現在要找的是一種與一般物質 (SM particles) 具有微弱的交互作用 (除了重力以外)、並且質量不為零的粒子，然而這樣的粒子在標準模型裡是找不到的。眾多的超越標準模型當中，WIMP 是很好的暗物質候補，WIMP 是一種中性粒子，不然他就會輻射，而且它是穩定的，因為它從大霹靂以來就殘留到現在。目前科學家們正在積極地尋找 WIMP，用的方式有三種：直接探測 (direct detection)、間接探測 (indirect detection) 以及對撞機 (collider)：. DirectDetection (Scattering). IndirectDetection (Annihilation)DM. SM. DM. SM. 6. . Collider (Creation) 圖 1: 尋找暗物質的方式. 直接探測的方式是讓暗物質與靶材碰撞。假設暗物質與我們地球有相對速度，而地球又繞著太陽公轉，一個很簡單的推論，在這樣的圖像底下，地球上的實驗室所偵測到的暗物質訊號應該會隨著時間而有週期性變化 (想像坐在一條船上用魚網捕魚，河裡的每條魚都朝同樣的方向、以同樣的速度游，而漁船繞著某個固定的圓心行等速率圓周運動，捕到魚的數量也一 2. 只由數十億顆恆星組成 (我們所處的銀河系大約由兩千億至四千億顆恆星組成) 的小星系，通常矮星系都會對大星系公轉。. 5 of 32.

(6) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究. 樣會隨著時間而有週期性變化)。事實上，根據十年以上的實驗觀測結果 [3]，這樣的現象是有被發現的。假設暗物質會成對湮滅成標準模型粒子，如此一來我們就可以使用間接探測的方式，觀測宇宙射線中有沒有因為暗物質煙滅而產生的額外的粒子。這部分也有實驗數據 [4] 的支持。原則上，如果暗物質存在而且它與標準模型粒子有些許微弱的作用，我們也可以藉由對撞機實驗產生暗物質。以上三種探測方式如圖 1 所示，我們可以用這三種方式來重複驗證暗物質的特性。本篇論文的重點會放在直接探測，論文架構如下：第二章討論 vector dark matter 與原子核散射截面的一般形式、第三章討論 KK dark matter、第四章是數值結果、第五章是結論。. 6 of 32.

(7) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究. 2. Vector Dark Matter 與原子核散射截面的一般形式. 要計算 vector dark matter 與原子核的散射截面就要先知道 vector dark matter 與原子核如何交互作用。原子核是由夸克以及膠子組成，因此 vector dark matter 與原子核的交互作用理論上可以由 vector dark matter 與夸克以及膠子的交互作用得到，但是直接用夸克以及膠子層級的交互作用來描述原子核層級的交互作用時，會產生一些問題。譬如在計算核子質量的時候，類似的問題就會被討論到，為什麼直接把構成核子成份的粒子質量相加，得出的數值和核子的質量相比，差距會這麼大？parton model 在原子核層級和夸克以及膠子層級之間扮演了重要的角色，vector dark matter 與夸克以及膠子的交互作用可以用 parton-level 的交互作用來描述，並透過不可微擾的 QCD 效應貢獻到 vector dark matter 與原子核的交互作用。因為牽涉到不可微擾的 QCD 效應，所以需要使用等效理論的方式來計算暗物質與原子核的散射截面。 [5] 提供了一個 model-independent 的方法來建構暗物質與原子核散射截面的等效理論。1. 按照暗物質與夸克以及膠子的交互作用，以 Wilson coefficient 和 higher-dimensional operator 寫下 effective Lagrangian。2. 考慮一些散射過程，在 full theory 將這些散射過程的媒介粒子積分掉，得到 effective Lagrangian 中的 Wilson coefficient。3. 透過 higher-dimensional operator 的 nucleon matrix element 計算暗物質與核子的 effective coupling。4. 將散射截面以 effective coupling 展開。這個方法的好處是，所有跟 model 有關的項都被包含在 Wilson coefficient 的數學形式裡面，因此這個有效理論可以套用各種不同的 model 來計算散射截面。首先，以 Wilson coefficient C 和 higher-dimensional operator O 寫下 effective Lagrangian 並分成三個部分，scalar type(S)、twist-2 type(T2 ) 以. 7 of 32.

(8) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究. 及 axial-vector type(AV ): Lef f =. ∑. CSp OSp. p=q,g. +. ∑. CTp2 OTp 2. +. ∑. p=q,g. q q CAV OAV. (3). q. 其中 OSq ≡mq B µ Bµ q¯q OSg ≡B ρ Bρ Gaµν Gaµν 1 q OTq 2 ≡ 2 B ρ i∂ µ i∂ ν Bρ Oµν M 1 g OTg 2 ≡ 2 B ρ i∂ µ i∂ ν Bρ Oµν M 1 q OAV ≡ ϵµνρσ B µ i∂ ν B ρ q¯γ σ γ 5 q M. (4). Bµ 是質量 M 的 vector field、mq 是夸克質量、Gaµν 是膠子的場強度張量 (field strength tensor of a gluon)、ϵµνρσ 是完全反對稱張量 (totally antiq g symmetric tensor)，定義為 ϵ0123 = 1。Oµν 和 Oµν 分別是夸克以及膠子的. twist-2 operator， 1 1 q / Oµν ≡ q¯i(Dµ γν + Dν γµ − gµν D)q 2 2 1 g a Oµν ≡(Gaρ G + gµν Gaαβ Gaαβ ) µ ρν 4. (5). Dµ 是協變微分 (covariant derivative) ，定義為 Dµ ≡ ∂µ + igs Aaµ Ta ，gs 、Ta 以及 Aaµ 分別是 SU (3)C 的耦合常數、generator 以及 gluon field。接下來討論 Wilson coefficient(參考自 [6])。假設 vector dark matter Bµ 與帶有色荷的費米子 ψ1 、ψ2 (質量分別為 m1 、m2 且 m1 < m2 ) 有交互作用，我們可以寫下 Lagrangian： L = ψ¯2 (aψ2 ψ1 γ µ + bψ2 ψ1 γ µ γ5 )ψ1 Bµ + h.c.. (6). 考慮 vector dark matter 與 standard model quark 的散射過程，這樣的過程只會發生在 tree level，散射過程如圖 2 所示： 8 of 32.

(9) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究. Bµ. Bµ. Bµ. Bµ ψ2. ψ2 q. q. q. q. 圖 2: Vector dark matter 與夸克的散射過程。此過程只發生在 tree-level，過程中交換一個費米子 ψ2 。. 在這個階段我們把 ψ1 設為 q，將媒介粒子 ψ2 積分掉之後得到 Wilson coefficient： CSq CTq2 q CAV. a2ψ2 q − b2ψ2 q m22 m2 2 2 − (a + b ) = ψ2 q ψ2 q mq m22 − M 2 2(m22 − M 2 )2 2M 2 (a2ψ2 q + b2ψ2 q ) =− (m22 − M 2 )2 iM (a2ψ2 q + b2ψ2 q ) = m22 − M 2. (7). 接下來討論 vector dark matter 與膠子的散射過程，vector dark mtter 與膠子的耦合只會發生在 loop-level，散射過程如圖 3 所示： Bµ Bµ Bµ Bµ Bµ ψ1. ψ2 ψ1. ψ2. ψ1 ψ1. g (A). ψ1 ψ2. ψ2. ψ2 g. (B). ψ1 ψ2. g. g. g. g. Bµ (C). 圖 3: Vector dark matter 與膠子的散射過程。此過程只發生在 loop-level。. 在 loop-level 的過程中，Bµ 會和 heavy particle ψ1 、ψ2 耦合，將媒介粒子 9 of 32.

(10) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究. 積分掉之後得到 Wilson coefficient： ] ∑ ∑ αs [ (I) (I) CSg = (a2ψ2 ψ1 + b2ψ2 ψ1 )f+ (M ; m1 , m2 ) + (a2ψ2 ψ1 − b2ψ2 ψ1 )f− (M ; m1 , m2 ) 4π ψ2 ,ψ1 , I=A,B,C. CTg2 =O(αs2 ). (8). I = A, B, C 對應到圖 3 的 (A)、(B)、(C) ， (A). f+ (M ; m1 , m2 ) =. 1 {∆[M 2 (m22 − m21 ) + m21 (m21 + 5m22 )] 2 2 6∆ M. ( 2) 2 m1 m 1 ln − 6m21 m22 [(m22 − m21 )2 − M 2 (m21 + 3m22 )]} − 12M 4 m22 m21 L + {(m22 + m21 − M 2 )∆2 + 2m22 ∆[5m42 + 20m21 m22 − m41 2 4 12∆ M. + M 2 (9m22 + m21 )] + 12m42 [M 2 (m42 + 10m21 m22 + 5m41 ) − (m22 − m21 )2 (m22 + 3m21 )]}. (9). m2 [∆(2m22 + m21 − 2M 2 ) + 6m21 m22 (m22 − m21 − M 2 )] 2 6m1 ∆ m1 m32 [∆ + m21 (m22 − m21 + M 2 )] + L (10) ∆2. (A). f− (M ; m1 , m2 ) = −. (B). (A). (11). (B). (A). (12). f+ (M ; m1 , m2 ) =f+ (M ; m2 , m1 ) f− (M ; m1 , m2 ) =f− (M ; m2 , m1 ) (C). 2M 4 − 3(m21 + m22 )M 2 + (m21 − m22 )2 2 ( 2 )6∆M 2 ( 2) 2 m1 m2 m1 m2 + + ln ln 2 4 4 12M m2 12M m21. f+ (M ; m1 , m2 ) = −. +. ∆(M 2 − m21 − m22 )(m21 + m22 ) + 4m21 m22 [(m21 − m22 )2 − 2M 2 (m21 + m22 )] L 12∆M 4 (13) (C). f− (M ; m1 , m2 ) = 0 10 of 32. (14).

(11) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究. 其中 ∆(M ; m1 , m2 ) ≡M 4 − 2M 2 (m21 + m22 ) + (m22 − m21 )2  ( √ ) 2 2 2 +m −M + m  1 2 1  √|∆| , ∆ > 0  √ ln 2 2 2 |∆| m2 +m1 −M − |∆| ( √ ) L(M ; m1 , m2 ) ≡  |∆|   √2 tan−1 m2 +m2 −M 2 , ∆<0 |∆|. 2. (15). 1. 計算出上面這些 Wilson coefficient 的前提是 ψ1 、ψ2 都是 heavy particle。接下來考慮 ψ1 = q，這時候 mq ≪ m2 ，在這樣的情形之下，“long-distance” contribution3 不能包含較輕的夸克 (q = u, d, s)，因為 long-distance contribution 的膠子不會 split 到 u, d, s，另一個講法是考慮 long-distance contribution 時，u, d, s 已經在 tree-level 考慮過了，因此考慮 box diagram 的時候就不需要重複計算。這時候 Wilson coefficient 可以寫成： CSg. ∑. =. ψ2 ,q=c,b,t. (I) fG. (A) cq f G. +. ∑. (B). (C). (fG + fG ). ψ2 ,q=all. ] αs [ 2 (I) (I) 2 2 2 ≡ (aψ2 ψ1 + bψ2 ψ1 )f+ (M ; m1 , m2 ) + (aψ2 ψ1 − bψ2 ψ1 )f− (M ; m1 , m2 ) 4π (16) (I). (I). f+ 、f− 也要做近似： m22 6(m22 − M 2 )2 m2 (A) f− (M ; mq , m2 ) ≃ − 3mq (m22 − M 2 ) )] [ ( m22 m22 M2 (B) f+ (M ; mq , m2 ) ≃ + ln 2 1 − 2 6(m22 − M 2 )M 2 12M 4 m2 2 2 mq (m2 − 2M ) (B) f− (M ; mq , m2 ) ≃ − 6m2 (m22 − M 2 )2 )] [ ( 1 m22 M2 1 (C) − − ln 2 1 − 2 f+ (M ; mq , m2 ) ≃ 6(m22 − M 2 ) 6M 2 12M 4 m2 (A). f+ (M ; mq , m2 ) ≃. (C). f+ (M ; mq , m2 ) ≃0. (17) (18) (19) (20) (21) (22). 3. 如果 loop integral 是 quark-dominated，稱為，“long-distance”contribution；如果 loop integral 是 heavy particle-dominated，稱為，“short-distance”contribution。. 11 of 32.

(12) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究. 再強調一次，上述這些 Wilson coefficient(從這邊來看就是 aψ2 ψ1 、bψ2 ψ1 、 M 、m1 、m2 這些項) 都是隨著模型不同而有不同的計算方式。接下來是 effective coupling 的討論，如前面所述，effective coupling 可以透過 higher-dimensional operator 的 nucleon matrix element 計算得到。具體的步驟是將 higher-dimensional operator 夾在兩個 on-shell nucleon state 裡面，像這樣 ⟨N | O |N ⟩。[5] scalar-type： ⟨N | mq q¯q |N ⟩ /mN ≡ fTNq. (23). Mass fraction fTp q 的值如表 1 所示： fTp u fTp d fTp s. 0.023 0.032 0.020. 表 1: Mass fractions fTp q [7] [8] [9]. 8 Aµν ⟨N | GA |N ⟩ /mN = − mN fTNG µν G 9 ∑ N N 1− fT q ≡ fT G. (24). u,d,s. twist-2 type： 1 1 (pµ pν − m2N gµν )(q(2) + q¯(2)) (25) mN 4 1 1 g (26) ⟨N (p)| Oµν |N (p)⟩ = (pµ pν − m2N gµν )G(2) mN 4 其中 q(2)、¯ q (2) 以及 G(2) 分別是夸克 q(x)、反夸克 q¯(x) 以及膠子 g(x) 的 q ⟨N (p)| Oµν |N (p)⟩ =. second moment of the parton distribution function(PDF)： ∫ 1 q(2) + q¯(2) = dx x [q(x) + q¯(x)] 0. ∫ G(2) =. 1. dx x g(x) 0. ¯ Second moment of PDFs q(2)、q(2)、G(2) 的值如表 2 所示： 12 of 32. (27).

(13) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究 G(2) u(2) d(2) s(2) c(2) b(2). 0.48 0.22 0.11 0.026 0.019 0.012. u¯(2) ¯ d(2) s¯(2) c¯(2) ¯b(2). 0.034 0.036 0.026 0.019 0.012. ∆up ∆dp ∆sp. 0.77 -0.49 -0.15. 表 2: 膠子、夸克以及反夸克的 second moments of PDFs 是使用 CTEQ parton distribution[10]，在尺度 µ = mZ 計算而得。spin fractions ∆qp 是從 [11] 得到。. axial-vector type： ⟨N | q¯γµ γ5 q |N ⟩ = 2sµ ∆qN. (28). sµ 是核子 N 的自旋，而 spin fraction ∆qN 的值如表 2 所示。經過上面一連串的步驟之後，已經可以寫下原子核層次的交互作用，將 effective Lagrangian 分成與自旋無關 (spin-independent, SI) 的部分和與自旋有關 (spin-dependent, SD) 的部分： Lef f = LSI + LSD. (29). ¯N LSI = fN Bµ B µ N. (30). SI 的部分：. effective coupling fN ： fN /mN =. ∑. CSq fTNq −. q=u,d,s. 8π g N C f + 9αs S T G. ∑ q=u,d,s,c,b. 3 q 3 CT2 [q(2) + q¯(2)] + CTg2 G(2) 4 4 (31). SD 的部分： LSD =. aN ¯ γ σ γ 5N ϵµνρσ B µ i∂ ν B ρ N M. (32). effective coupling aN ： aN =. ∑. q ∆qN CAV. q=u,d,s. 13 of 32. (33).

(14) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究. 最後將 vector dark matter 與原子核的散射截面以 effective coupling 展開： ( )2 [ ] 1 mA 3J +1 2 2 σ= |ap ⟨Sp ⟩ + an ⟨Sn ⟩| (34) |np fp + nn fn | + π M + mA 8 J mA 是靶材 A 的質量、np 和 nn 分別是 A 的質子數和中子數、J 是靶材 A 的總自旋、⟨SN ⟩ = ⟨A| SN |A⟩ 是 A 裡面核子的總自旋期望值。為了簡化計算，本篇論文會將 A 設為一顆質子 p，也就是計算 vector dark matter 與一顆質子的散射截面，並且 SI 與 SD 的貢獻會分開計算。. 14 of 32.

(15) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究. 3. KK Dark Matter. 如果平常的標準模型粒子 (standard model particle) 在額外的時空維度傳播，這些粒子的狀態可以用任意的 KK 量子數 (KK number) 來描述。[12][13] 我們將考慮標準模型粒子在 UED 傳播的例子。在眾多的 UED 模型當中，MUED model(minimal universal extra dimension model) 是最被廣泛研究的，MUED model 額外的第五個維度是緊緻化的 (compactified)，具有 S 1 /Z2 的軌形 (orbifold)，而且這個模型還包含了暗物質候補。在這個模型當中，KK parity 守恆保證最輕的 KK 粒子 (lightest Kaluza-Klein particle,LKP) 是穩定的。KK parity 由粒子的 KK number 決定，zero mode 的粒子對應到的就是標準模型粒子，奇數 KK number (KK-odd) 的 KK parity 是 −1，偶數 KK number (KK-even) 的 KK parity 則是 +1。KK parity 守恆使得最輕的 KK-odd 粒子不會衰變成標準模型粒子 (KK-even)。圖 4 是 KK 粒子的衰變過程，圖 4(a) 衰變過程前後 KK parity 守恆，因此圖 4(a) 的過程是會發生的；圖 4(b) 的衰變過程前後 KK parity 不守恆，由這個例子就可以明白為何一個 LKP 是穩定的。. ϕ(0). γ (1). ψ (1). ψ (3). ψ (2). (a). ψ (0) (b). 圖 4: KK 粒子的衰變過程：(a)3rd KK 粒子衰變為 2nd KK 粒子以及 1st KK 粒子的過程，符合 KK parity 守恆。(b)1st KK 粒子只能衰變為兩個標準模型粒子，這個過程就不符合 KK parity 守恆了。從 (b) 可以知道一個最輕的 1st KK (KK-odd) 粒子不會衰變，因此它是穩定的。. 在 MUED 模型的參數空間中，1st KK photon (γ (1) ) 是 LKP 也是暗物質候 15 of 32.

(16) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究. 補 [14]。根據宇宙學觀測結果，如果緊緻尺度 (compactification scale i.e. size of extra dimension) 1/R 在 600GeV ≲ 1/R ≲ 1400GeV 的範圍內，γ (1) 殘留豐度理論值與觀測值符合得非常好。 γ (1) 的質量可以透過對角化下面的矩陣得到：   2 2 2 2 2 (1/R) + δmB (1) + g1 v /4 g1 g2 v /4   2 2 2 2 2 g1 g2 v /4 (1/R) + δmW (1) + g2 v /4. (35). 這是一個寫在 (B (1) , W 3(1) ) 基底的質量矩陣 (mass matrix)，B (1) 和 W 3(1) 分別是 U (1)Y 以及 SU (2)L 的 1st KK 規範玻色子。g1 和 g2 分別是 U (1)Y 以及 SU (2)L 的規範耦合常數、v 是 standard model higgs 的真空期望值。質量修正項的形式如下： δm2B (1). 1 g12 39 g12 ζ(3) − ln(Λ2 R2 ) =− 2 16π 4 R2 6 16π 2 R2. (36). δm2W (1). 5 g22 ζ(3) 15 g22 =− + ln(Λ2 R2 ) 4 2 2 2 2 16π R 2 16π R. (37). Λ 是 UED 模型的 ultraviolet cut off，ζ(n) 是 Riemann’s zeta function。因為 mass matrix 的非對角元素很小，所以 γ (1) 可以近似成弱本真態 (weak eigenstate) B (1) 。我們將會把 B (1) 當作 γ (1) (LKP)，也就是論文中要討論的暗物質，而暗物質的質量就等於 B (1) 的質量。接下來討論 KK quark 的質量。在 weak eigenstate 的基底寫下 n-th KK quark 的 mass matrix： − ′. (. ′ ¯ ′ (n) q¯ (n) Q. ).  . . (n) −mq1. mq. mq. (n) mq2. . q. ′.  (n). ′. Q. (n). . (38). ′. q (n) 和 Q (n) 分別是 n-th KK quark 的 SU (2)L 獨態 (singlet) 以及 SU (2)L 二重態 (doublet)、mq 是 zero mode KK quark (standard model quark) 的質量。n-th KK mode 的質量本真態 (mass eigenstate) 可以用他們 weak eigenstate 的線性組合來展開，以 up-type quark 為例 (q = u、Q = U )， 16 of 32.

(17) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究. mass eigenstate (u(n) 、U (n) ) 和 weak eigenstate 的關係如下：      ′ (n) (n) (n) (n) u −γ5 cos α sin α u   − ′  =  (n) (n) (n) (n) U γ5 sin α cos α U 由 Eq. (38) 以及 Eq. (39) 可以得到 mass eigenstate： v( ) u (n) (n) u m(n) + m(n) 2 mu1 − mu2 t u1 u2 2 mu(n) /U (n) = + mu ± 2 2. (39). (40). (n). 混合角 (mixing angle) αu. sin 2αu(n) =. 2mu (n). (41). (n). mu + mU. (n). (n). 式子中 mq1 、mq2 等參數請參照附錄 A.1。這些 KK 粒子質量修正項都非常小，經過計算之後發現所有 n-th KK 粒子的質量都 ∼ n/R，而且暗物質的質量永遠都是 KK 粒子當中最輕的。前面已經給出了在 MUED model 下 M 、m1 以及 m2 的形式，aψ2 ψ1 以及 bψ2 ψ1 的形式參見附錄 A.2。將 MUED model 的這些係數代入前一章的 Wilson coefficient，就可以計算 KK dark matter 與原子核的散射截面。先考慮 tree-level，散射過程如圖 5 所示：. (1). (1). Bµ. Bµ. (1). (1). (1). (1). Bµ Bµ. Bµ. Bµ q (1). h. q (1) q. q. q. q (b). (a) 圖 5:. Tree-level 的散射過程 17 of 32. q. q (c).

(18) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究.  CSq. g2 g2  2 = − 1 2 − 1 YqL ( 4mh 4 +. CTq2 q CAV. . =−. [. g12 YqL YqR mQ(1) + mq(1)   g12 M 2  (. ig 2 M = 1 2. [. m2Q(1) m2Q(1) − M 2. m2q(1) m2q(1) − M 2 ]. mQ(1) mq(1) + m2Q(1) − M 2 m2q(1) − M 2. 2 YqL. m2Q(1). )2 +. 2 YqR (. −. M2. )2 + (. 2 YqR. −. m2q(1). 2 2 YqR YqL + m2Q(1) − M 2 m2q(1) − M 2. ]. M2.  )2 . (42) .  )2 . (43). (44). Eq. (42) 中的第一項是圖 5(a) 的貢獻，而其他項都是圖 5(b) 和圖 5(c) 的貢獻。理論上圖 5(a) 除了 standard model higgs 交換的過程之外，還需要考慮 higher KK higgs 交換的過程，但是這部分的貢獻與 standard model higgs 的貢獻相比而言太小，因此我們忽略它。 (1). (1) (1). (1) (1). Bµ. Bµ Bµ. Bµ Bµ. g. Q(n+1). Q(n) , q (n). Q(n) , q (n). Q(n+1). Q(n+1). Q(n+1). (n+1). (n+1). q (n+1). q. q. Q(n) , q (n). g. g (A). Q(n) , n(n). Q(n) , n(n). q (n+1). Q(n+1). Q(n+1). q (n+1). q (n+1). g. g (B). (1). Bµ. Q(n) , q (n). g (1). Bµ. (1). (C). h Q(n) , q (n). Q(n) , q (n). Q(n) , q (n). g. g. 圖 6: vector dark matter B (1) 與膠子的散射過程。. 18 of 32. Bµ.

(19) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究. 接下來討論 loop-level，散射過程如圖 6 所示。將 loop-level 的散射過程分成三類：(i)box diagram 中 standard model quark 與 1-st KK quark 的貢獻 (ii)box diagram 中 higher KK quark 的貢獻以及 (iii)gluon 透過一個 triangle loop 與 vector dark matter 交換 standard model higgs。我們用這三部分的貢獻寫下 CSg ： (i). (ii). (iii). CSg = fG + fG + fG (i). (ii). (iii). 對應的 fG 、fG 、fG. 請參考附錄 A.3。. 19 of 32. (45).

(20) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究. 4. 數值結果. 一開始先不套用 MUED model。考慮一般性的情況，並將 higgs exchange contribution 與其他散射過程的貢獻分開討論，因為在一般的情況，higgs exchange 的 coupling 不一定要跟其他散射過程的 coupling 有關係。另外，定義 ∆m ≡ (mheavy − M )/M ，如此一來便可以將 heavy particle 的質量參數化為 M (∆m + 1)。在 higgs exchange contribution 將 g1 設為可調整的參數，其他散射過程的貢獻將 YqL 、YqR 設為可調整的參數。在 SI 的圖中，LUX 是目前的實驗極限，LZ 是正在規劃中的實驗極限；在 SD 的圖中，LUX 是目前的實驗極限，PICO250 是正在規劃中的實驗極限。[15] 圖 7 是 Spin-dependent 散射截面，從計算結果可以得知，當 coupling 越強，散射截面就會越大；當 ∆m 越大，散射截面就會越小。. 圖 7: SD 散射截面。取 ∆m = 1%, 10%, 100%。因為 YqL 和 YqR 是對稱的，所以我們固定 YqL = 1，改變 YqR = 0, 0.5, 1, 1.5, 2 (由下而上)。. 20 of 32.

(21) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究. 圖 8、圖 9 是 Spin-independent 散射截面，圖 8 是 higgs contribution；圖 9 是 other contributions。和 SD 散射截面的計算結果一樣，當 coupling 越強，散射截面就越大；當 ∆m 越大，散射截面就越小。. 圖 8: SI 散射截面 (higgs exchange contribution)。取 ∆m = 1%, 10%, 100%，g1′ = 0.5g1 , g1 , 1.5g1 , 2g1 (由下而上)。. 圖 9: SI 散射截面 (other contributions)。取 ∆m = 1%, 10%, 100%。固定 YqL = 1，改變 YqR = 0, 0.5, 1, 1.5, 2。. 接下來考慮 box diagram 中媒介粒子 ψ1 是不是 heavy particle 對散射截 21 of 32.

(22) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究. 面的影響，考慮 Bµ 與 q、ψ2 耦合以及 Bµ 與 ψ1 、ψ2 耦合的散射過程，並將 heavy particle 的質量參數化為 TeV scale 以確保 heavy particle 的質量真的遠大於夸克和暗物質的質量。計算結果如圖 10 所示，結果發現，相較於 Bµ 與 q、ψ2 耦合的貢獻，Bµ 與 ψ1 、ψ2 耦合的貢獻可以被忽略。. 圖 10: ψ1 是不是 heavy particle 對散射截面的影響。取 heavy quark 的質量為 1TeV (實線)、 2TeV (虛線)。. 圖 11、圖 12 是 KK dark matter 與一個質子的散射截面。這部分將會使用 MUED model 裡的 cut off Λ 來給出 KK 粒子的質量。根據圖 10 的結論，我們可以將 Bµ 與 q (n) 、q (n+1) , (n ≥ 1) 耦合的貢獻都忽略，因此在接下來的數值結果當中，散射過程的媒介粒子只包含 KK mode n = 0 以及 n = 1 的 KK 粒子。計算結果顯示，當 Λ 越大，散射截面就越小。圖 11 是 SD 散射截面，將計算結果的參數空間和實驗極限比對，我們目前還無法發現暗物質，但在未來的計劃中或許就會發現了。圖 12 的結果顯示，當 Λ 越大時，higgs contribution 會越顯著，這是因為 higgs contribution 不太會隨著 Λ 變動，但隨著 Λ 增加，other contributions 減少的幅度很明顯。這會造成一個結果，當 Λ 足夠大時，在計算散射截面的時候可以只考慮 higgs contribution。第二章有提到，當考慮媒介粒子 ψ1 = q (i.e. mq ≪ m2 ) 時，式子可以由 Eq. (9)∼Eq. (14) 近似為 Eq. (17)∼Eq. (22)。圖 13 比較了近似前後這些 box diagram 對散射截面的貢獻，計算結果顯示近似後的值稍微大了一些， 22 of 32.

(23) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究. 但近似前後是差不多的。而隨著 Λ 增加，近似前後的差異會越來越小。本篇論文使用 [6] 的方法來計算 KK dark matter 與原子核的散射截面，而 [16] 用了其他的方法，接下來的討論要比較這兩種計算散射截面的方法是不是一致的。將這兩篇論文的符號習慣一致化之後，發現 [16] 是將 twist-2 type 的貢獻與 scalar type 的貢獻混合在一起，但他沒有使考慮 PDFs、也沒有考慮 loop diagrams。圖 14 分別使用了 [16] 以及 [6] 的式子來計算 KK dark matter 與一個質子的散射截面。和第一部份的計算一樣，這裏 KK 粒子的質量也用 ∆m 來參數化。經過計算之後發現兩個結果差很多，而就這些結果來看，[16] 和 [6] 的做法是不一致的。. 圖 11: SD 散射截面。取 Λ = 5/R, 20/R, 50/R (由上而下)。. 圖 12: SI 散射截面。取 Λ = 5/R, 20/R, 50/R，虛線是 higgs exchange contribution，實線是 other contributions。在暗物質質量越高的時候，higgs exchange 的貢獻越顯著。 23 of 32.

(24) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究. 圖 13: SI 散射截面 (Box diagrams)。取 Λ = 5/R, 20/R, 50/R，實線是還沒取進似的值，虛線是近似後的結果。右下的圖是對應於不同 cut off，近似前後散射截面的差。縱軸是取近似前後的散射截面差與近似前散射截面的比值，實線是 Λ = 5/R、虛線是 Λ = 20/R、點虛線是 Λ = 50/R。. 圖 14: SI 散射截面。左圖是使用 [16] 的式子、右圖是使用 [6] 的式子。取 ∆m = 10%, 20%, 30% (由上而下)。. 24 of 32.

(25) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究. 5. 結論. 由於在考慮暗物質與原子核的交互作用時，會牽涉到不可微擾的 QCD 效應，因此需要使用等效理論的方式，來計算暗物質與原子核的散射截面。在不套用 MUED model 的參數，只考慮一般性情況時，發現當 coupling 越強，散射截面就會越大；當 ∆m 越大，散射截面就會越小。經過計算發現，ψ1 = q 的貢獻比 ψ1 是 heavy particle 的貢獻大得多，因此我們只需要考慮 vector dark matter-standard model quark-heavy particle coupling。本篇論文選用 MUED model 的 LKP 來作為暗物質候補，經過計算發現，當 Λ 越大，散射截面就會越小；比對 SD 散射截面的參數空間和實驗極限，發現目前的實驗還沒辦法發現 KK dark matter，但是未來或許就會發現了；從 SI 散射截面的計算結果，可以發現當暗物質質量越大時，higgs contribution 的重要性會越大。考慮 mq ≪ m2 的極限，我們可以將 f+ 和 f− 取近似，經過計算結果發現，近似後的散射截面永遠會比近似前的大一些，但兩者的差距並沒有很大，而它們兩者的差距會隨著 Λ 增加而減少。最後比較了 [16] 和 [6] 這兩篇論文計算暗物質散射截面的做法，發現不論是數學形式還是計算結果，都是不一致的。. 25 of 32.

(26) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究. A. 附錄. 以下參考自 [6]. A.1. n-th KK quark 的質量參數. (n). (n). 第一代以及第二代 n-th KK quark 質量的參數 mq1 、mq2 ： (n). (46). (n). (47). mq1 = n/R + δmq(n) mq2 = n/R + δmQ(n) up-type 的質量修正： 2 2 ( 2 ) 2 n ln(Λ R ) δmu(n) = 3gs + g1 R 16π 2 ) ( 1 n ln(Λ2 R2 ) 27 δmU (n) = 3gs2 + g22 + g12 16 16 R 16π 2 down-type 的質量修正： ) ( 1 2 n ln(Λ2 R2 ) 2 δmd(n) = 3gs + g1 4 R 16π 2. δmD(n) = δmU (n). (48) (49). (50) (51). 會影響第三代 n-th KK quark 質量的因素，除了跟上面一樣的質量修正以外，還要考慮 Yukawa coupling yt 的修正： (n). mq1 = n/R + δmq(n) + δyt mq(n) (n). mq2 = n/R + δmQ(n) + δyt mQ(n) 其中. ) ( 3 2 n ln(Λ2 R2 ) δyt mt(n) = − yt 2 R 16π 2 δyt mb(n) = 0 ) ( 3 2 n ln(Λ2 R2 ) δyt mT (n) = δyt mB (n) = − yt 4 R 16π 2 26 of 32. (52) (53). (54) (55) (56).

(27) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究. A.2 MUED model 中 aψ2 ψ1 、bψ2 ψ1 的數學形式. 考慮 ψ1 = q、ψ2 是 1st KK quark 的情況： g1 (YqL cos α(1) + YqR sin α(1) ) 2 g1 aq(1) q = (YqL sin α(1) + YqR cos α(1) ) 2 g1 bQ(1) q = (YqL cos α(1) − YqR sin α(1) ) 2 g1 bq(1) q = − (YqL sin α(1) − YqR cos α(1) ) 2. aQ(1) q = −. (57). 考慮 ψ1 、ψ2 分別是 n-th 以及 (n+1)-th KK quark： g1 aQ(n+1) Q(n) = − √ (YqL cos α(n) cos α(n+1) + YqR sin α(n) sin α(n+1) ) 2 g1 aq(n+1) q(n) = − √ (YqL sin α(n) sin α(n+1) + YqR cos α(n) cos α(n+1) ) 2 g1 bQ(n+1) q(n) = − √ (YqL sin α(n) cos α(n+1) − YqR cos α(n) sin α(n+1) ) 2 g1 bq(n+1) Q(n) = − √ (YqL cos α(n) sin α(n+1) − YqR sin α(n) cos α(n+1) ) 2 aQ(n+1) q(n) = aq(n+1) Q(n) = bQ(n+1) Q(n) = bq(n+1) q(n) = 0 YqL 、YqR 分別是左手以及右手夸克的 hypercharge。. 27 of 32. (58).

(28) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究 (i). (ii). (iii). A.3 fG 、fG 以及 fG. (i). fG =. 的數學形式. αs ∑ (A) (A) cq [(a2Q(1) q + b2Q(1) q )f+ (M ; mq , mQ(1) ) + (a2Q(1) q − b2Q(1) q )f− (M ; mq , mQ(1) ) 4π q=c,b,t. (A). (A). + (a2q(1) q + b2q(1) q )f+ (M ; mq , mq(1) ) + (a2q(1) q − b2q(1) q )f− (M ; mq , mq(1) )] +. αs ∑ ∑ (I) (I) [(a2Q(1) q + b2Q(1) q )f+ (M ; mq , mQ(1) ) + (a2Q(1) q − b2Q(1) q )f− (M ; mq , mQ(1) ) 4π q=all I=B,C. (I). (I). + (a2q(1) q + b2q(1) q )f+ (M ; mq , mq(1) ) + (a2q(1) q − b2q(1) q )f− (M ; mq , mq(1) )] (59) (ii) fG. αs ∑ = 4π. ∑. (I). (I). {a2q(n+1) q(n) [f+ (M ; mq(n) , mq(n+1) ) + f− (M ; mq(n) , mq(n+1) )]. q=all I=A,B,C (I). (I). + a2Q(n+1) Q(n) [f+ (M ; mQ(n) , mQ(n+1) ) + f− (M ; mQ(n) , mQ(n+1) )] (I). (I). (I). (I). + b2Q(n+1) q(n) [f+ (M ; mq(n) , mQ(n+1) ) − f− (M ; mq(n) , mQ(n+1) )] + b2q(n+1) Q(n) [f+ (M ; mQ(n) , mq(n+1) ) − f− (M ; mQ(n) , mq(n+1) )]}. (iii). fG. =. g12 αs 48πm2h. [ (cc + cb + ct ) + ct. 28 of 32. ∑. 2m2t. n. mt(n) mT (n). (60). ] (61).

(29) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究. A.4. Standard Model Higgs Boson Couplings. (1). standard model higgs 和 Bµ 的交互作用： 1 LBBh = g12 vhBµ(1) B (1)µ 4. (62). standard model higgs 和 n-th KK quark 的交互作用： Lq(n) q(n) h = −. mq ∑ ¯ (n) Q(n) + q¯(n) q (n) ) h [sin 2α(n) (Q v n=1 ¯ (n) γ5 q (n) )] + cos 2α(n) (¯ q (n) γ5 Q(n) − Q. 29 of 32. (63).

(30) 向量暗物質與原子核散射截面之數值研究. 參考文獻. [1] F. Zwicky. Die Rotverschiebung von extragalaktischen Nebeln. Helv. Phys. Acta, 6:110–127, 1933. [2] F. Zwicky. On the Masses of Nebulae and of Clusters of Nebulae. Astrophys. J., 86:217–246, 1937. [3] R. Bernabei et al. Final model independent results of DAMA/LIBRAphase1 and perspectives of phase2. Phys. Part. Nucl., 46(2):138–146, 2015. [4] M. Aguilar et al. First Result from the Alpha Magnetic Spectrometer on the International Space Station: Precision Measurement of the Positron Fraction in Primary Cosmic Rays of 0.5-350 GeV. Phys. Rev. Lett., 110:141102, 2013. [5] Junji Hisano, Ryo Nagai, and Natsumi Nagata. Effective theories for dark matter nucleon scattering. 2015. [arXiv:1502.02244]. [6] Junji Hisano, Koji Ishiwata, Natsumi Nagata, and Masato Yamanaka. Direct detection of vector dark matter. 2010. [arXiv:1012.5455]. [7] Achille Corsetti and Pran Nath. Gaugino mass nonuniversality and dark matter in SUGRA, strings and D-brane models. Phys. Rev., D64:125010, 2001. [8] H. Ohki, H. Fukaya, S. Hashimoto, T. Kaneko, H. Matsufuru, J. Noaki, T. Onogi, E. Shintani, and N. Yamada. Nucleon sigma term and strange quark content from lattice QCD with exact chiral symmetry. Phys. Rev., D78:054502, 2008.. 30 of 32.

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