O P D C B A C B A 甲 乙 丙 丁 外心 內心 重心 1 如右圖，甲、乙、丙、丁四點中，有一個點是△ABC 的外心， 那麼請問是哪一個點？ (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁 D 1 △ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，則此三角形的外心位置為下列何者？ (A)在△ABC 的內部 (B)在△ABC 的外部 (C) 的中點 (D)的中點 C 1 如圖，為圓 O 的直徑，未過圓心 O，則選出正確？
(A)O 是△PCD 的外心 (B)O 是△APD 的外心 (C)O 是△ACD 的外心 (D)O 是△BCP 的外心
C
1 △ABC中，∠A＝110°，∠B＝40°，O 為△ABC 的外心，
則∠BOC＝？(A)150° (B)145° (C)140° (D)135°
C
1 設 O 為△ABC 的外心，若∠B＝50°，∠C＝60°，則下列何者錯誤？
(A) AOC∠ ＝100° (B) AOB∠ ＝120° (C) BOC∠ ＝140° (D) OCB∠ ＝30°
D
1 在△ABC 中，若∠A＝120°，∠B＝36°，O 為△ABC 的外心，
則∠BOC＝？(A)240° (B)156° (C)124° (D)120° D 1.2等腰三角形中，下列何者不成立？ (A)底邊垂直平分線必過其頂點 (B)頂角必為銳角 (C)底角必為銳角 (D)過頂點的中線必垂直底邊。 B 1.4如右圖，直線CD為的中垂線，且交於D點， 則下列那一個敘述是錯誤的？ (A) 以A為圓心，為半徑畫圓，則圓必過C點 (B) 以B為圓心，為半徑畫圓，則圓必過C點 (C) 以C為圓心，為半徑畫圓，則圓必過A點 (D) 以D為圓心，為半徑畫圓，則圓必過B點。 A 1.4如圖，直線DE是的中垂線，如果＝5公分、 ＝6公分、＝7公分，則△ABD的周長為下列何 者？(A)10 (B)12 (C)14 (D)16 公分 B 1.8設A、B、C三點不在同一直線上，連接、，作、的 中垂線交於O點，若＋＝10公分，則＋＋＝？ (A)20 (B)18 (C)15 (D)12 公分 C 1.8若O為△ABC的外心，∠A＝40°，∠B＝30°，則下列選項中何者正確？
(A) AOC∠ ＝80° (B) BOC∠ ＝60° (C) BCO∠ ＝50° (D) ABO∠ ＝30°。 C
1.8銳角△ABC之外心為O點，若∠BAO＝50°，則∠ACB為多少度？ (A)40° (B)45° (C)50° (D)60°。 A 2.2一個三角形的三邊長分別為 6 公分、6 公分、4 公分，其面積為多少平方公分？ (A)8 (B)8 (C)8 (D)16 平方公分。 B 2.2如圖，在△ABC中，＝，＝， ＝＝，則∠A＝？ C D C B A E
D
C
B
A
Q P A B C Q P A B C L L 1 2 (A)30° (B)36° (C)45° (D)54°。 2.2三邊長為10、10、16的三角形面積為多少？ (A) 36 (B) 48 (C)72 (D) 96 平方單位。 B 2.4右圖中，四邊形CDEF為一個長方形的游泳池，A、B兩 點是兩個救生員所在的位置，則下列何者是兩個救生員 責任區的界線？(A)作，則為所求。 (B)作∠EDC的角平分線，則此角平分線為所求。 (C)連，作的中垂線，則此中垂線為所求。 (D)連，作的中垂線，則此中垂線為所求。 D 2.4在等腰△ABC中，＝＝8，已知L為的垂直平 分線，且交於D點，若＝5，則△ABD面積為多 少平方單位？(A)12(B)15(C)16(D)20 平方單位。 A 2.4如圖，若＝，＝，則下列何者不正確 ？(A)直線PQ是的垂直平分線 (B) 為∠APB角 平分線 (C) QAP∠ ＝∠QPA (D) PQA△ @ PQB△
C 2.4如圖，已知△ABC中，直線L1為的垂直平分線， 直線L2為∠BAC的角平分線，且直線L1與直線L2相交於P點 ，L2交於Q點，則下列哪一個敘述是正確的？ (A)＝(B)＝(C)＝(D)＝ D 2.4△ABC中，E、F分別為、中點，， 則何者正確？
(A) B∠ ＝∠CDE (B) CDE∠ ＝∠C (C) ＝ (D) ＝ B 2.6若△ABC為正三角形，邊長為18公分，P為其內部一點， 且＝＝＝ k公分，則k＝？ (A)6 (B)6 (C)4 (D)8。 B 2.6如右圖，△ABC與△APQ皆為正三角形，已知∠APB＝100°， 則∠AQC為多少度？(A)20° (B)30° (C)40° (D)50°。 C 2.6已知＝＝6，若∠BAC以不同的張角所構成不同的等腰三角形， 如圖(一)、圖(二)、圖(三)，則其面積比為多少？ D D C B A E F D C B A L A B F E D C
圖(一) C 圖(二) 圖(三) B A C B A C B A 90 120 150 (A)1：2：(B)2：1：(C)：2：1(D)2：：1。 2.6如圖，有兩個直角三角形ABC、BDE，三內角分別為30° 、60°、90°，45°、45°、90°。已知＝，求 DEC ∠ ＝？(A)90°(B)105°(C)135°(D)150° B 2.6△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，則：：＝？ (A)1：2：(B)2：1：(C) ：2：1 (D) ：1：2 A 2.8在△ABC中，∠A＝120°，∠B＝36°，若O為△ABC之外心， 則∠BOC＝？(A)120° (B)124° (C)144° (D)156°。 A 2.8△ABC 中，∠C＝ 30°，∠B＝ 26°， O 為外心， 則∠CAO＝？(A) 56° (B) 62° (C) 64° (D) 75°。 C 2.8.設A、B、C三村莊不在同一直線上，A、B兩村相距12公里，B、C兩村相 距20公里，A、C兩村相距16公里，今想蓋一所學校到三村莊等距離，那麼 每個村莊和學校的距離是多少公里？ (A)10 (B)9 (C)8 (D)6 公里。 A 2.8如右圖，△ABC中，P為外心，若∠B＝48°， 則∠ACP＝？(A)32°(B)34°(C) 42°(D) 44°。 C 2.8、是圓O 的直徑，且∠COD＞∠AOD，則下列 哪一種幾何圖形沒有出現在圖形中？ (A) 矩形 (B)直角三角形 (C) 等腰三角形 (D)等腰直角三角形。 D 2.8如圖，△ABC為一等腰三角形，且∠A＝120°， ＝4，則△ABC的外心與頂點的距離為多少？ (A)2 (B)2 (C)4 (D)4 C 3 如右圖，有兩個半徑相同的圓，分別內接一個正三角 形與正六邊形，則此正三角形與正六邊形的面積比為 何？ (A)1：2 (B) 2：3 (C) ：3 (D) 3：2 A 3 如右圖，有兩個半徑相同的圓，分別內接一個正三角 形與正方形，則此正三角形與正方形的面積比為 何？(A)3：4 (B) 3：8 (C) ：4 (D) 1：2 B C B A A B O D C C B A P D C B A E
A
B
C D
L
3 坐標平面上 A、B、C 三點，O 是原點，A、C 分別在
兩軸上，今想在第一象限內找一點 D，使 D 到兩軸的 距離相等，且＝，則如何以尺規作圖 找出D點？(A)作中垂線與中垂線的交點 (B)作中垂線與∠COA的平分線的交點(C)作中垂線與 ∠BAO 的平分線的交點(D)∠COA的平分線與∠BAO的平分線 3 已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°且≠。 求作：一圓與、相切，且圓心O在上。 下列四個取得圓心O的作圖方法，何者正確？ (A)取中點為O (B)作中垂線交於O (C)作中垂線交於O(D)作∠ACB的角平分線交於O D 3 如圖，△ABC 中，＝＝5， O 為外心，＝3， 則△ABC 為(A)銳角Δ (B)直角 Δ (C)鈍角 Δ (D)無法確定 A 3.2如圖，△ABC為等腰三角形，＝＝13，＝10。將向 方向摺過去，使與 重合，出現摺線，如圖(二)。 將向方向摺過去，如圖(三)，使得完全疊合在上， 出現摺線，如圖(四)， 則△AEC的面積為何？(A)15 (B) (C)20 (D) D 3.4如圖，L垂直平分，∠A＝90°，＝5，＝3， 則四邊形PDCA面積為多少？ (A)11 (B)12 (C)14 (D)15 A 3.4如右圖，∠DAB＝90°，∠ABC＝90°，L 為的中垂線，L 交 於 P 點，若＝15，＝24，＝27，則＝？(A)20 (B)21 (C)22 (D)23。 A 3.4如圖，△ABC為直角三角形，其中∠A＝90°， L為的中垂線，交於D點。若＝12，＝20， 則＝？(A)10 (B)12 (C)12.5 (D)13.5 C 3.6將邊長為4單位的正三角形放在直角坐標平面的x軸上，如 圖所示，則B的坐標為何？ (A)(4,－4) (B)(2,－4) (C)(2,－2) (D)(2,－4) C 3.6如右圖，長方形(矩形)ABCD，與三等分∠BCD， 已知＝3，＝3，試問長方形之面積為何？ (A)27 (B)36 (C)45 (D)54 D 3.6如圖，四邊形ABCD為一邊長2的正方形，其中△CDE為 C C B A O > ^ A B C O A B F E D C B A O Y X ^ > C B A P L
A B C D E 正三角形，求△ADE的面積＝？ (A)2 (B)3 (C) (D)2 3.8有一直角三角形，其三邊長之比為3：4：5，且此三角形面積為96， 試求：外心到三頂點距離和為？(A)15 (B)30 (C)45 (D)60 。 B 3.8在坐標平面上，A、B、C 三點的坐標依次為 (－2，6)、(4，6)、(－2，－4)，則△ABC 的外心坐標為何？ (A)(1，1) (B)( 0，5) (C)(－1，－1) (D)(2，3)。 A 4.2如右圖，在△ABC中，＝＝15，＝18， ⊥，⊥， 則＋的長度為 。 72/5 4.2在△ABC中，已知＝＝6，∠A＝30°， 則△ABC 的面積＝ 平方單位。 9 4.2△ ABC中，＝＝6，∠BAC＝ 135°， 則△ABC 的面積＝ 平方單位。 9√2 4.2等腰三角形的底邊長為4公分，且其面積為6平方公分， 則此等腰三角形的周長為 公分。 4+2√13 4.2若＝6，分別以A、B為圓心，為半徑畫弧，兩弧交於P， 則△PAB 的面積為 平方單位。 9√3 4.2如右圖，＝，＝， 若＝8，＝6，則＝ 。 √55 4.2△ABC中，＝＝10，＝12，平分∠BAC，交於D， 則(1) ＝ 。(2) ABC△ 的面積＝ 平方單位。 (3)腰上的高＝ 。 8 48 9.6 4.4△ABC中，＝＝5 公分，＝6 公分，D 點為的中點，L 為的中垂線，設直線 L 和相交於 E 點，則＝ 公分。 25/8 4.4如圖，L為的垂直平分線，∠B＝900，且交於P， 若＝10，＝6，則△PBC周長＝ 14 4.5如右圖，ABCD為長方形，＝ 4，＝ 8；以B為圓心， 為半徑畫弧，交於E點，連接、得△BCE，則 (1) BCE∠ ＝ 度； (2) BCE△ 的面積＝ 75 16 4.6△ABC中，＝8，＝6，∠A＝60°， 則△ABC 面積＝ 平方單位 12√3 4.6已知一正三角形的高為2公分，則此正三角形的邊長為 公分， 面積為 平方公分。 4，√3 4.8O點為銳角△ABC的外心，若∠OBC＝15°，則∠BAC＝ 度。 105 C B A M D C B A E P A B E D C
O A B C 5 正六邊形 ABCDEF 的邊長＝1，則 ABC：ADE＝ 1：2 5 △ ABC 中，＝9，＝6，垂直平分， 若△BCE之周長為14，則＝ 。 5 5 如右圖， C 為圓上的動點，弦＝16，且圓 O 的半徑為 10 則△ABC 面積的最大值為 128 5 ＊ 如圖，L垂直平分，∠A＝90°，∠B＝15°， 則△BCP面積：△ACP面積為多少？ 2： 5 如右圖，L為的中垂線，M為中點， ＝6， ＝16，＝4，則＝ 14 5 如右圖，L為的中垂線，M為中點 ∠QRP＝90°，＝10，＝2，則＝ 5√2+2 5.2等腰三角形的腰長為15公分，底邊長為18公分， 則一腰上的高為多少公分？ 公分。 72/5 5.2如右圖，∠BCA＝90°，＝，＝， 且E、A、B、D在一直線上， 則∠DCE＝ 度。 135 5.2如圖，△ABC中，＝＝8，＝， 若＝3，則△ABD的面積＝ 12 5.2一個等腰三角形的周長為 20 公分，底邊上的高為 2 公分， 則其面積為 平方公分 8√5 5.2如右圖，∠BAC＝86°，＝，＝， 47 C B A P L
A B D C A B C D E 則∠DAE＝ 度。 5.2△ ABC中，＝＝8，＝6，則△ABC的面積為多少？ 3√55 5.2三角形ABC三邊長分別為3、3、4公分，則其面積＝ ㎝2 2√13 5.2.若等腰三角形的邊長皆為正整數，周長為16， 那麼這種等腰三角形 有 個 3 5.2 若等腰三角形的三邊長是正整數，周長＝15， 則此種等腰三角形共有幾個？ 個。 4 5.2如圖，已知＝＝，＝，＝ ，則∠A的度數＝ 36 5.2△ ABC中，＝＝5，＝6， 若⊥於H點，則＝ 。 24/5 5.2右圖△ABC中，∠ACB＝90°， 於D點， E點為的中點，且＝， 則∠A＝ 度 。 22.5 5.2如右圖，△ABC中，＝， ＝， 若∠BAC＝50°，則∠DEF＝ 度。 65 5.2在△ABC中，D點為的中點， ， ， 若＝16公分，∠ABC＝ 35°，∠ACB＝70°， 求△DEF面積。 16 5.2如圖，＝＝，＝，＝， 求∠C＝ 36 5.2△ABC中，D點為的中點，若＝2＝26公分， ＝10公分， 則△ABD的面積為 平方公分。 60 5.2 ＊ ABC △ 中，D點為上一點，且＝＝ ， 若∠BAC＝93°，則∠DAC＝ 度 64 5.4如圖，垂直平分，D點為上一點， 若＝24，＝13，＝4， 則△ADE的周長為 ； 面積為 平方單位。 32 24 5.4右圖△ABC中，、的中垂線分別 交於D、E二點，若∠BAC＋∠DAE＝ 150°，則∠BAC＝ 度 。 110 D C B A E D C B A E
5.4如圖，直角三角形ABC中，直線L為的中垂線 ，且交於D，交於E，若＝5，＝8 ，則△ACD的周長為 。 14 5.4如圖，直線L是AB的中垂線，如果△BCE的周長＝100公分、 ＝30公分，則△ABE的周長＝ 公分。 160 5.4如圖，△ABC中，＝，若以為軸對摺，可使A和C重合，若＝ 18cm，＝3cm，則： (1) AEC△ 的周長為 cm。 (2) AEC△ 的面積為 cm2。 48 108 5.4右圖，直線DE是的中垂線，如果＝60公分、 ＝70公分、＝80公分，則△ABD的周長 ＝ 公分。 140 5.6如右圖，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， 又∠ADC＝60°，＝12，則＝ 。 6√3 5.6設P為正△ABC內部一點，若P點到△ABC三邊距離的和為8公分， 則： (1)正△ABC每邊長為 公分； (2) ABC△ 的面積為 平方公分。 16 64√3 5.6如圖，直角△ABC中，∠ACB＝90°、∠B＝30°、 ADC ∠ ＝60°，＝20公分， 試求：(1) ＝ 公分。 (2) ABD△ 的面積＝ 平方公分。 20√3 100√3 5.6正六邊形ABCDEF中，若＝4公分， 則此正六邊形的面積為 平方公分。 24 5.6如圖，將邊長為 6cm的正方形ABCD紙片，從頂點B處 ， 沿30°的方向剪下，則剪下來的直角三角形的面積為 多少？ 平方公分 6√3 5.6如圖，P為正三角形ABC內部任一點，⊥，⊥，⊥， △ABC面積是25平方公分， 則＋＋＝ 公分。 5√3 5.8ΔABC中，∠ABC＝90°，O點為△ABC的外心，∠C＝60°，＝2， 則△AOB面積＝ 。 2√3 5.8若 O 點為銳角△ABC 的外心，∠ACB＝70°， 則∠BAO＝ 度。 20 5.8在△ABC 中，＝＝10，＝12，則△ABC 的 25/2 D C B A E L
A B C D F G E L B A M H A B C 外接圓周長＝ 平方單位。 兀 5.8若O點為△ABC的外心，∠BAO＝25°， 則∠ACB＝ 度。（2解） 11565 5.8如右圖，若O點為△ABC的外心，∠ABC＝48°， ACB ∠ ＝26°，則：(1) BAO∠ ＝ 度； (2) CAO∠ ＝ 度。 6442 5.8設O點為△ABC的外心，若∠BAC＝60°，＝12公分， 則(1) ABC△ 面積＝ 平方公分。 (2) ＝ 公分。 36√3 4√3 5.8如圖，在△ABC中，O點是△ABC的外心，且、、分別 垂直平分、、。 試回答下列問題：如果＝12公分、＝13公分，則 △BOE的周長＝ 公分。 如果∠OAC＝50°，則∠AOC＝ 。 30 80 5.8在△ABC中，∠ABC＝90°，＝10，＝24，O為中點， 求＋＋的長＝ 39 5.8如圖，O為等腰△ABC的外心，＝，垂直平分，已知＝5，＝ 4，則＝ 。 25/6 6 右圖△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°， 沿著對摺，使B點剛好落在上，且△PBQ為 正三角形，則△PBQ面積：△ABC面積 ＝ 2：9 6 如右圖，∠A＝90°，M 為中點，⊥， ＝5，＝6，則＝ 4.8 6 在方格紙中(如右圖)，以 L 為對稱軸 (1) 畫出 A 點的對稱點 C？ (2) ABC△ 的面積為 6 6 如右圖，正△ABC 的外接圓，半徑為 4，F、G 分別為、 的中點，則圓的弦之長＝ 2 6 等腰△ABC中，＝＝5，＝8，則 (1)將△ABC完全覆蓋之最小圓的半徑為 (2) ABC△ 之外接圓的半徑為 4
6 △ABC中，＝＝10公分，∠A＝1350，O為△ABC的外心，
則四邊形ABOC的面積為 平方公分。
50+ 50√2
O A B D C E O A B D C E O A B D C E 6 如圖，△ABC 中，＝＝10，＝12， O 為外心，則 O 到的距離＝ (相似) 6 如圖，△ABC 中，＝＝5， O 為外心，＝3， 則 O 到的距離＝ (相似) 6 如圖，△ABC 中，＝＝6， O 為外心，＝5， 則(1)O 到的距離＝ (2)O 到的距離＝ 4 6 如圖，ABCD為正方形，∠BEC= 103 (B 為 ΔACD 外 心) 6 △ABC中，＝3，=4，=5，將△ABC 以△ABC 的外心 為旋轉中心，逆時鐘旋轉90°得△A’B’C’ 則兩三角形重疊的面積=_______________ 2.25 6.2如右圖，△ABC中，=且∠ACB－∠ABC=30º ，則∠BCD＝ 15 6.4如圖，長方形ABCD中，＝6，＝8，且L為的中垂線，則＝ 。 6.6如圖，正△ABC的邊長為3公分，若＝＝＝1 公分，∠ADE＝30°，則△CEF周長為 公分。 3＋√3 6.6右圖中，L、M是兩條直線的河岸，且L和M互 相平行；測量者從直線M上的A點出發，沿著直 線M走，到達B點時，測得∠ABD＝150°，再走 500公尺到達C點，測得∠BCD的度數恰等於 ABD ∠ 度數的一半，已知D點與L直線河岸的距 為30公尺，則河寬為 公尺。 220
D C B
A O
6.8在坐標平面上，直線 4x＋3y＋24＝0 分別與 x 軸、y 軸相交於 A、B 二點， O 點為原點，則△OAB 的外心坐標為 。 (－3， －4) 6.8在坐標平面上，A、B、C 三點的坐標依次為( 0，5)、(－3，1)、( 4，2 )， 則△ABC 的外心坐標為 。 (1/2, 3/2) 6.8鈍角△ABC中，＝＝10公分，＝16公分，O為△ABC的外心， 則四邊形ABOC的面積為 平方公分。 200/3 6.8如右圖， 、、長分別為7、8、5，且 ⊥，若P、Q二點為△ABD與△ACD的外心， 則＋＝ 6 7 如右圖，邊長為2的三個正方形(上層正方形位於正中央)，則將右 圖 完全覆蓋之最小圓的半徑為 7 如右圖，ABCD 為等腰梯形，圓 O 為其外接圓， ＝14，＝48，高為 31， 則圓 O的半徑為＝ 25 7 如右圖，由邊長為2的正三角形與正方形所組成，則將右圖 完全覆蓋之最小圓的半徑為 2 7 如圖，相鄰兩點皆距離 1 單位長的 10 個點，則包含此 10 點 的最小圓之半徑為 7 如圖，相鄰兩點皆距離 1 單位長的 10 個點，則包含此 10 點 的最小圓之半徑為 7 如右圖，D為△ABC中上之一點，圓O是△BDC的外 接圓，若∠ADB＝60°，∠C＝45°，且為圓O之切線， 求：＝？【提示：連接、、】 2:1 7.2 已知：△ABC 中，＝，延長到 D 點， 延長到 E 點，使＝，設直線 BE 與 直線 CD 相交於 P 點。 求證：△PBC 為等腰三角形。 D C B A E P
7.2 在△ABC中，＝，於H (1)求證：∠HBC＝∠A。 (2)若＝＝12公分，∠HBC＝15°，求△ABC的面積。 36 7.2 已知：△ABC中，＝，平分∠ABC， 平分∠ACB。 求證： ＝。 7.2 如右圖，△ABC中，⊥於M點，⊥於E 點，⊥於D點，且＝。 求證：△ABC為等腰三角形。 7.2 已知：△ABC中，於E點， 於D點，＝ 求證：＝。 8.2 已知：如圖，△ABC中，＝，＝， ＝，交於G點。 求證：△GBC為等腰三角形。 8.2 已知：△ABC中，∠ABC與∠ACB的角平分線相交於P 點，過P點作// 分別交、於D、E二點 求證： ＝＋。 8.4 已知：如右圖，＝。 求證：P點在的中垂線上。
B
A
P
D C B A E P D C B A E G D C B A E D C B A E M D C B A E C B A H8.8 在△ABC中，D點為的中點， 於E點 ， 於F點。 求證：＝。 D C B A E F
