臺北市一 O 二學年度高級中等學校電腦程式設計競賽決賽試題
(高中組)
說明： 1. 本試卷共有四題，每題 25 分。 2. 請記得隨時備份自己的程式。試題 1：二元加法
問題敘述
將n (n>=3)個正整數加總起來是一件很簡單的事，但現在我們僅能運用 2 元加法 來完成它，所謂 2 元加法就是每次僅能有兩個數相加，且每次加完的和會成為下 次加法的被加數，並無額外暫存器，而每次相加的和就是所付出的成本(cost)。 我們發現運用 2 元加法的計算過程(順序)不同就會產生整個計算成本(cost)不同 的問題。請設計一程式運用二元加法將n 個正整數相加，並找出最佳的相加順序， 使其所付出的成本最低。 例：將 1,2,3 相加可以有下列三種可能，其中(A)的總成本最低。 (A) 1 + 2 = 3, cost1 = 3; 3 + 3 = 6, cost 2= 6; Total cost = 9(B) 1 + 3 = 4, cost1 = 4; 4 + 2 = 6, cost2 = 6; Total cost = 10 (C) 2 + 3 = 5, cost1 = 5; 5 + 1 = 6, cost2 = 6; Total cost= 11
輸入說明
讀入一個檔案(檔名為 in.txt)，內有數組測試資料，每組有兩列資料，第一列為 一正整數n，第二列為 n 個數值(正整數)，當 n=0 時表示輸入結束。輸入檔範例
5 16, 21, 9, 30, 9 4 10, 3, 20, 7 0輸出說明
請將輸出資料顯示在螢幕上，顯示加總之總和與加總所需付出的最小成本。輸出範例
85,19240,70
試題
2.
登山演算法
(本題無輸入資料，只需輸出答案，Output only)問題敘述
登山演算法 (hill climbing) 是一種簡單的近似最佳化演算法。以登山演算法求 解問題的步驟如下： (1) 待求解問題為 Maximize F(s)，s 。F(.) 表示目標函式， 表示解空間， s 表示一個解。目標為求取最佳解 s* 使得 s ，F(s*) F(s)。 (2) 產生問題的初始解 s0（通常會以隨機方式或者以領域知識來產生），令基 底解 s = s0。 (3) 使用鄰域函式 (neighborhood function) N 來產生 s 鄰近的解，令 N(s) 代 表 s 鄰近解的集合。 (4) 找出 N(s) 中最佳的解 s = arg max{F(i) | i N(s)}。 (5) 如果 F(s) > F(s)，s = s，回到步驟 (3)；否則進入步驟 (6)。 (6) 輸出 s 為登山演算法找到的近似最佳解。 登山演算法常被用來解決 NP-hard 最佳化問題，但在這道試題中，我們將用 它來解決一個簡單的函式最大化問題。假設有個函式 F(x) 定義如下： F(0) = 325 F(1) = 56 F(2) = 1188 F(3) = 99 F(4) = 13 F(5) = 600 F(6) = 9999 F(7) = 100 我們希望以登高演算法找出 0 x 7 中，能最大化 F(x) 的 x 值。此處我們以二 進位方式來表示每個解，並且以翻轉 (flip) 一個位元作為鄰域函式。如果以 x = (000)2 為初始值，則登高演算法的求解過程如下： s = (000)2 F((000)2)=325 F((001)2)=56 F((010)2)=1188 F((100)2)=13 s = (010)2 F((010)2)=1188 F((011)2)=99 F((000)2)=325 F((110)2)=9999 s = (110)2 F((110)2)=9999 F((111)2)=100 F((100)2)=13 F((010)2)=1188 以 (000)2 為基底解，翻轉每 個位元以產生三個鄰近解。 鄰 近 解 中 的 最 佳 解 (010)2 比 (000)2 好，故取代之。 以 (010)2 為基底解，翻轉每 個位元以產生三個鄰近解。 鄰 近 解 中 的 最 佳 解 (110)2 比 (010)2 好，故取代之。 以 (110)2 為基底解，翻轉每 個位元以產生三個鄰近解。 鄰 近 解 中 的 最 佳 解 (010)2 「不」比 (110)2 好，演算法 結 束 ， 近 似 解 為 (110)2 = (6)10。 上例中登高演算法求得的近似解 6 也是該問題的最佳解，因此順利解題。不 過如果我們以 (001)2 作為初始解，就沒有那麼順利了。我們求得的近似解 5 只s = (001)2 F((001)2)=56 F((000)2)=325 F((011)2)=99 F((101)2)=600 s = (101)2 F((101)2)=600 F((100)2)=13 F((111)2)=100 F((001)2)=56 以 (001)2 為基底解，翻轉每 個位元以產生三個鄰近解。 鄰 近 解 中 的 最 佳 解 (101)2 比 (001)2 好，故取代之。 以 (101)2 為基底解，翻轉每 個位元以產生三個鄰近解。 鄰 近 解 中 的 最 佳 解 (111)2 「不」比 (101)2 好，演算法 結 束 ， 近 似 解 為 (101)2 = (5)10。 針對上面的函式，我們可以在登高演算法中嘗試八個不同的初始解，其結果為 初始解 (000)2 (001)2 (010)2 (011)2 (100)2 (101)2 (110)2 (111)2 近 似 最 佳解 6 5 6 6 6 5 6 6 在八次嘗試中，有六次可以順利找到全域最佳解；也就是說，如果我們隨機產生 一個初始解，以登高演算法求解上述函式最大化問題的成功率為 6/8 = 75%。 這道試題要求你定義出五個不同的函式 F(x)，使得登高演算法展現指定的解 題成功率。 (1) 值域的範圍為 0 F(x) 104。 (2) 每個函式中，F(x) F(y) x y。 (3) 每個函式的定義域和要求的搜尋成功率如下： 函式 檔案名稱 定義域 (x 的範圍) 解題成功率 得分 F1 F1.txt 0 x 7 100% 5 分 F2 F2.txt 0 x 7 87.5% (7/8) 5 分 F3 F3.txt 0 x 15 87.5% (14/16) 5 分 F4 F4.txt 0 x 31 100% 5 分 F5 F5.txt 0 x 31 96.875% (31/32) 5 分 (4) 未滿足上述限制者不予計分。
輸出說明
這道試題是一個只需要輸出答案 (Output only) 的題目。請依照題目要求產生 五個純文字檔案，檔名如上頁所述。檔案中第 1 行表示 F(0) 的值，第 i 行表示 F(i1) 的值，以此類推。以題目中的函式為例， F(0) = 325 F(1) = 56 F(2) = 1188 F(3) = 99 F(4) = 13 F(5) = 600 F(6) = 9999 F(7) = 100 檔案內容如下： 325 56 1188 99 13 600 9999 100
試題 3.疊紙盒
問題敘述
小嘉上班的包裝紙盒工廠將舉行年終大摸彩，獎品內容非常豐富；但是由於 廠區員工眾多，必須是答對廠長提出的問題之員工才有資格參加摸彩活動。今年 廠長出的問題是「利用有限個長方體紙盒疊出最大正方體」的益智問題。在此問 題中，所有長方體紙盒大小都一樣，但可以任意指定長方體紙盒的長、寬與高(單 位是公分)大小；另外，在疊出正方體的過程中，所有長方體紙盒的長、寬、高的 方向是一致的，亦即不能隨意對長方體紙盒做出旋轉或翻轉的動作。 聰明的你(妳)，請寫一個程式，幫小嘉計算在廠長給定長方體紙盒的長、寬與 高大小，以及總共可供使用的長方體紙盒數目後，所能疊出最大正方體的體積為 何？輸入說明
為四個整數數值，分別是長、寬、高、以及總共的長方體紙盒數目，以空格分隔。 其中長、寬、高皆是不會超過103公分，總共的長方體紙盒數目不會超過109個。輸出說明
【範例 一】 輸入資料 6 4 3 200 輸出資料 13824 【範例二】 輸入資料 121 99 77 10000000 輸出資料 3543788106936
