單元 1
1. 已知相機光圈值2, 2 2, 4,構成一個等比數列 an ,求 (1)首項a1及公比 r 的值。 (2)第 6 項a6的值。 (3)光圈值 32 出現在該數列的第幾項? 解答 (1)a12,r 2 (2)a68 2 (3)第 9 項 解析 (1) 首項 1 2 a ,公比r 2 22 2 。 (2)第6項a6a r1 5 2
2 58 2。 (3)設an 32,利用等比數列一般項的公式,得 1 1 2
2 1 32 n n n a a r , 整理成2n2116 2 4,得 1 4 2 n ,解得n9。故32是數列的第9項。 2. 在坐標平面上由原點開始,依照先向上、向右、向下、再向右的規律,每次移動1個單位,依序得 到P1,P2,P3,,如圖所示。 (1)從P1到P30共經過n次向上,求n的值。 (2)求P30的坐標。 解答 (1)8 (2)(14,1) 解析 (1) 觀察圖發現:向上後的終點為P2,P6,P10,, 其下標2,6,10,構成一個首項為2,公差為4的等差數列 an 。 又因為30 2 4
8 1
,所以30是 an 的第8項。 故P30是第8個向上的終點,即n8。 (2)因為P30是第8個向上的終點,所以從P1到P30經過7 2 14 次向右, 故P30
14,1
。3. 設數列 an 是每項均為正數的等比數列,且 7 1 1 a a , 5 3 a ,求a8的值。 解答 81 解析 設等比數列 an 的首項a1為a,公比為r。 由題意得, 6 4 1 3 ar a ar ,即 3 4 1 3 ar ar (負不合)。 將兩式相除得到r3,並代回解得a271 。 故 8 7 7 1 3 81 27 a ar 。 4. 已知四數形成一個等比數列,前三數的乘積為1,後三數的和為34,求此四數。 解答 2,1,12,14 解析 設此四數為ar ,a,ar,ar2。 因為a a ar 1 r ,所以a31,解得a1。 又因為 2 1 2 3 4 a ar ar r r ,所以解得 1 2 r 。 故此四數依序為2,1,12,14。 5. 已知 an 為等比數列滿足a1a216,a2a348,求a3a4的值。 解答 144 解析 2 3 1 2 48 3 16 a a r a a ,
3 4 2 3 48 3 144 a a a a r 。6. 寫出下列數列的前五項: (1) 2n1 。 (2) 3nn1 。 解答 (1)a11,a23,a35,a47,a59 (2) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 , , , , 4 7 10 13 16 a a a a a 解析 (1) 因為數列 2n1 的一般項an2n1,所以將 n 分別以 1, 2, 3, 4, 5 代入,得 1 1, 2 3, 3 5, 4 7, 5 9 a a a a a 。 (2)因為數列 3nn1 的一般項 n 3 1 n a n ,所以將 n 分別以 1, 2, 3, 4, 5 代入,得 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 , , , , 4 7 10 13 16 a a a a a 。 7. 已知等比數列 an 中,a2108, 6 64 3 a ,求 (1)首項a1與公比r的值。 (2)a4的值。 解答 (1)當r23時, 1 162 a ;當r 23時,a1 162 (2)48 解析 (1) 因為 2 1 108 a a r , 6 1 5 64 3 a a r ,所以 4 4 6 2 16 2 81 3 a r a ,解得 2 3 r 。 當r23時,108 1 2 3 a ,解得 1 162 a ; 當r 23時, 1 2 108 3 a ,解得a1 162。 (2)不論 2 3 r 或 2 3 r , 2 2 4 2 2 108 48 3 a a r 。
8. 附圖是某年三月的月曆,其中黑線所圍的4天的日期總和為78,問該年的四月1日是星期幾? 解答 星期五 解析 設此4天的日期分別為a,a7,a14,a21, 可得4a42 78 ,解得a9,即三月9,16,23,30日均為星期三。 故推得四月1日是星期五。 9. 設數列 an 滿足a216且a52。 (1)已知數列 an 為等差數列,求公差d 的值。 (2)已知數列 an 為等比數列,求公比r的值。 解答 (1)143 (2)12 解析 (1) 因為數列 an 為等差數列,所以a5a23d, 即2 16 3d ,解得d 143 。 (2)因為數列 an 為等比數列,所以a5a r2 3, 即2 16r 3,解得 1 2 r 。 10. 已知等差數列 an 滿足a254,a515,求a7及一般項an。 解答 a7 = − 11,an = − 13n + 80 解析 設等差數列 an 的首項為a1,公差為d ,則a2 a1 d,a5 a1 4d。 由題意可得:a1 d 54,a14d15, 將兩式相減可得3d 39,解得d 13, 代回a1 d 54,解得a167。 因此,a7 a1 6d 67 6
13
11, 一般項an a1
n1
d67
n 1
13
13n80。11. 已知等比數列 an 中a34,a6 108,求a5及一般項an。 解答 a5 = 36,an = 4 × 3n − 3 解析 設等比數列 an 的首項為a1,公比為r,則 2 3 1 a a r , 5 6 1 a a r 。 由題意可得:a r1 24, 5 1 108 a r , 將兩式相除可得 5 1 2 1 108 4 a r a r ,即r327,解得r3, 代回 2 1 4 a r ,可得 1 4 9 a 。 因此, 5 1 4 4 4 3 36 9 a a r ,一般項 1 1 3 1 4 3 4 3 9 n n n n a a r 。 12. 已知 3, −6, 12,…, −384 構成一個等比數列 an ,求 (1)首項a1及公比 r 的值。 (2)第 5 項a5的值。 (3)−384是第幾項? 解答 (1)a13,r 2 (2)a548 (3)第 8 項 解析 (1) 首項a13,公比r36 2。 (2)第5項 4
4 5 1 3 2 48 a a r 。 (3)設an 384,利用等比數列一般項的公式, 得 1
1 1 3 2 384 n n n a a r , 整理成
2 n1 128,得n 1 7,解得n8。 故384是數列的第8項。13. 用長度為1的線段有規律的排成若干圖形,如圖所示。 依此規律可畫第4圖、第5圖、…,並設an為第n圖中所使用長度為1的線段總數。 (a17,a211,a315) (1)寫出數列 an 的遞迴關係式。 (2)求a20的值。 解答 (1) 1 1 7 4 2 n n a a a n ( ) (2)83 解析 (1) 由圖可知,後一圖比前一圖多出一段: ,即多出4條長度為1的線段。 因此,數列 an 是公差為4的等差數列。 又 1 7 a ,得其遞迴關係式為 1 1 7 4 2 n n a a a n ( )。 (2)利用等差數列一般項的公式an a1
n1
d ,得a20 7 19 4 83。 14. 取一個線段,將其三等分後,刪除中間的線段再加上兩條等長的小線段,形成第2圖。再將第2圖 中的4條線段,各自等分成三段,刪除中間的線段再加上兩條等長的更小線段,形成第3圖。 依此規律可畫第4圖、第5圖、…,重複這樣的步驟,並設an是第n圖中線段的總數。(a11, 2 4 a ,a316) (1)寫出數列 an 的遞迴關係式。 (2)求a6的值。 解答 (1) 1 1 1 4 2 n n a a a n ( ) (2)1024 解析 (1) 由圖可知:每經過一個步驟,每條線段都會變成4條更小的線段。 因此, an 是一個公比為4的等比數列。 又 1 1 a ,得其遞迴關係式為 1 1 1 4 2 n n a a a n ( )。 (2)利用等比數列的一般項公式an a r1 n1 ,得 6 1 6 1 4 1024 a 。15. 取一正方形T1,以其各邊中點為頂點連成的四邊形T2也是正方形。重複這樣的步驟,得到一序列的 正方形T1,T2,T3,,如圖所示。已知T1的面積為1024,並設an為正方形Tn的面積。 (1)寫出數列 an 的遞迴關係式。 (2)求a10的值。 解答 (1) 1 1 1024 1 2 2 n n a a a n ( ) (2)2 解析 (1) 由圖可知: 因為△ ADC為等腰直角三角形, 所以CD 2AC 12 2 AC 12AB, 即 2 T 的邊長為T1邊長的 1 2,推得T2的面積為T1面積的 1 2, 即 2 1 1 2 a a ,同理可得 3 4 2 3 1 2 a a a a 。 因此, an 是一個公比為12的等比數列。 又 1 1024 a ,得其遞迴關係式為 1 1 1024 1 2 2 n n a a a n ( )。 (2)利用等比數列的一般項公式 1 1 n n a a r ,得 10 1 10 1 1 1024 1024 2 2 512 a 。
16. 在西洋棋盤上放置小麥,規則如下: (i)第一格放入2粒小麥,第二格放入4粒小麥。 (ii)每一格所放入的小麥剛好比前一格的3倍少2粒。 設an為第n格所放入小麥的數目。 (1)求 an 的遞迴關係式。 (2)問:在第4格內放入了幾粒小麥? 解答 (1) 1 1 2 3 2 2 n n a a a n n ( 是正整數且 ) (2)28 解析 (1) 1 1 2 3 2 2 n n a a a n n ( 是正整數且 )。 (2)由關係式 1 1 2 3 2 2 n n a a a n n ( 是正整數且 ), 得出a23a1 2 4⇒a33a2 2 10⇒a43a3 2 28。 17. 取一個白色正三角形,將其等分成 4 個相同的小正三角形,然後將中間的三角形塗成黑色;接著再 將剩下的 3 個白色小正三角形,分別等分成 4 個相同的更小正三角形,並將中間更小的正三角形塗 成黑色。重複這樣的步驟,如圖所示。 第1圖 第2圖 第3圖 第4圖 依此規律可畫第 5 圖、第 6 圖、…,並設an為第 n 圖中白色三角形的總數。 (1)寫出數列 an 的遞迴關係式。 (2)求a6的值。 解答 (1) 1 1 1 3 2 n n a a a n , ( ) (2)a6243 解析 (1) 由圖可知:每經過一個步驟,每個白色三角形都可以分割出 3 個更小的白色三角形。 因此 n a 是一個公比為 3 的等比數列。又a11,得其遞迴關係式為 1 1 1 3 2 n n a a a n , ( )。 (2)利用等比數列一般項的公式 1 1 n n a a r ,得 6 1 6 1 3 243 a 。
18. 將所有的正整數依序排列如圖所示:第一列有 1 個數字,第二列有 2 個數字,第三列有 3 個數字, …;下一列都比上一列增加 1 個數字,以此類推。設an代表第 n 列最右邊的數字(a11,a2 3, 3 6 a ,…)。 (1)寫出數列 an 的遞迴關係式。 (2)求a6的值。 解答 (1) 1 1 1 2 n n a a a n n ( ) (2)a621 解析 (1) 依題意可得,a11,a2 1 2 3,a3 1 2 3 6,a4 1 2 3 4 10。 從上式可知:a2比a1多出 2,a3比a2多出 3,…, 以此類推,an比an1多出 n,又a11, 所以 n a 的遞迴關係式為 1 1 1 2 n n a a a n n , ( )。 (2)因為a4 10,所以a5a4 5 15,a6a5 6 21。 19. 伸出左手,從大拇指開始,按照下圖的方式依序數數字: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,…。 設an是第 n 次對應到大拇指時所數到的數字。 (1)數數看:寫出a a a a1, , ,2 3 4的值。 (2)數到 999 時,所指的是哪根手指頭? (A)大拇指 (B)食指 (C)中指 (D)無名指 (E)小指 解答 (1)a11,a29,a317,a425 (2)C 解析 (1) 依題意順序數數字,可得a11,a29,a317,a4 25。 (2)由(1)可得: an 是一個首項為 1,公差為 8 的等差數列,其一般項為
1 1 8 8 7 n a n n 。 因此若想知道數到接近 999 時,哪一個數字會對應到大拇指, 則考慮an999,即解不等式8n 7 999,得n125.75。 故可知正整數 n 的最大值為 125,此時a125993,即當我們數到 993 時,會對應到大拇指。
20. 已知等比數列 an 滿足a1a320,a2a4 10,求a5的值。 解答 a51 解析 設等比數列 an 的首項為 a,公比為 r。由題意得 2 1 3 3 2 4 20 10 a a a ar a a ar ar , ,即
2 2 1 20 1 10 a r ar r , 。 將兩式相除得到r 12,並代回解得 16 a 。故 4 4 5 1 16 1 2 a ar 。 21. 用正方形有規律的拼成若干圖形,如圖所示。 依此規律可畫第4圖、第5圖、…,並設an為第n圖中正方形的總數。已知每個小正方形都由長度 為1的線段組成。設bn為第n圖中所使用長度為1的線段總數。 (1)寫出數列 bn 的遞迴關係式。 (2)求b6的值。 解答 (1) 1
1 4 2 2 2 n n b b b n n ( ) (2)54 解析 (1) 由圖可知:b14。 又第2圖比第1圖增加3條橫線,3條直線,得b2 b1 3 3 b1 2
2 1
。 又第3圖比第2圖增加4條橫線,4條直線,得b3 b2 4 4 b2 2
3 1
。 以此類推可得bn bn1 2
n 1
,即bn bn1
2n2
。又b14, 得其遞迴關係式為 1
1 4 2 2 2 n n b b b n n ( )。(2)利用遞迴關係式可得: 2 10
22. 用黑、白兩種顏色的正方形地磚有規律的拼成若干圖形,如圖所示。 依此規律可畫第4圖、第5圖、…,並設an為第n圖中白色地磚的總數。 (1)求a1,a2,a3,a4的值。 (2)寫出數列an的一般項公式。 (3)問:第50圖需要多少白色地磚? 解答 (1)a18,a2 13,a3 18,a423 (2)an5n3 (3)253 解析 (1) 由圖可知:a18,a213,a318,a423。 (2)由(1)的觀察可知數列 an 是首項為8,公差為5的等差數列, 利用等差數列一般項公式an a1
n1
d ,得an 8
n 1 5 5
n3。 (3)a50 5 50 3 253 。 23. 設數列 n a 的遞迴關係式為 1 1 2 1 2 2 n n a a n a ( )。 (1)寫出a2,a3。 (2)猜測一般項an。 (3)使用數學歸納法驗證你的猜測。 解答 (1) 2 3 2 a , 3 4 3 a (2) n 1 n a n (3)見解析 解析 (1) 由遞迴關係式可得 2 1 3 2 2 2 a , 3 1 4 2 3 3 2 a 。 (2)因為 1 1 1 2 1 a , 2 3 2 1 2 2 a , 3 4 3 1 3 3 a , 所以猜測 n 1 n a n 。 (3) (i)當n1時, 1 1 1 2 1 a ,猜測是正確的。 (ii)設n k 時猜測正確,即 k 1 k a k , 則當n k 1時, 1 1 1 2 2 2 1 1 k k k a k a k k 2
1
1 1 1 k k k k , 可知猜測是正確的。故由數學歸納法可知:我們的猜測是正確的, 即對於所有的正整數n, n 1 n a n 。 24. 已知20,a,b為等差數列,a,b,36為等比數列,且a,b皆為正數,求a,b的值。 解答 a = 25,b = 30 解析 由於20,a,b為等差數列,設公差為d,令a20d,b20 2 d 。 由於a,b,36為等比數列,所以b236a⇒
20 2 d
236 20
d
⇒
d10
29
d20
⇒d220d100 9 d180⇒d211d80 0 ⇒
d16
d 5
0⇒d 16或5, 當d 16時,
a b,
20d,20 2 d
4, 12
不合, 當d5時,
a b, 20d,20 2 d
25,30
,故a25,b30。 25. 設數列 n a 的遞迴關係式為 1 1 1 2 2 1 n n a n a a n n , ( )。 (1)寫出a2,a3的值。 (2)猜測一般項an的公式。 (3)使用數學歸納法驗證你的猜測。 解答 (1) 2 1 3 a , 3 1 4 a (2) 1 1 n a n (3)見解析 解析 (1) 由遞迴關係式可得 2 2 1 1 2 1 2 3 a , 3 3 1 1 3 1 3 4 a 。 (2)觀察數列的規律: 1 1 1 2 1 1 a , 2 1 1 3 2 1 a , 3 1 1 4 3 1 a , 可猜測:對於所有的正整數 , 1 1 n n a n 。 (3) (I)當n1時, 1 1 1 2 1 1 a ,猜測是正確的。 (II)設n k 時猜測正確,即 1 1 k a k , 則當n k 1時,由遞迴關係式, 得 1
1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 k k k k a a k k k k k , 即當n k 1時,猜測也是正確的。 故由數學歸納法知:對於所有的正整數 , 1 1 n n a n 。
2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 k k k k a a k k k k k k k
2 4 3 1 3 3 1 2 1 2 1 2 2 1 1 k k k k k k k k k k k k , 可知猜測是正確的。 故由數學歸納法可知:我們的猜測是正確的, 即對於所有的正整數n, 2 1 n n a n 恆成立。單元
2
註:本題庫中L
符號均代表………
如下例中
13 +23+33+L+203=13+23+33+…+203 1. 求下列連續正整數的立方和。 (1)13 23 33 203 。 (2)113123133 203。 解答 (1)44100 (2)41075 解析 令Sn 13 23 33 n3。 (1)
2 3 3 3 3 20 20 20 1 1 2 3 20 44100 2 S 。 (2)
2 3 3 3 3 20 10 10 10 1 11 12 13 20 44100 41075 2 S S 。 2. 已知一等比數列的首項為3,公比為2,求前8項的和。 解答 765 解析
8 8 1 8 1 3 1 2 765 1 1 2 a r S r 。 3. 求下列各級數的和: (1)2242 202。 (2)113123 203 。解答 (1)1540 (2)41075 解析 (1) 22 42 202 4 1
2 22 102
4 10 11 21 1540 6 。 (2)11 123 3 203
1323 203
13 23 103
2 2 20 20 1 10 10 1 2 2 44100 3025 41075 。 4. (1)求首項為 6,前 8 項和為 132 的等差數列之公差。 (2)求等差級數9 5 1
15
的和。 解答 (1)d 3 (2)21 解析 (1) 利用等差級數的和公式 n
2 1 2
1
n a n d S , 得 8
8 2 6 8 1 132 2 d S ,解得 3 d 。 (2)設此等差數列的項數為 n, 因為首項a19,公差d 5 9 4,末項an 15, 所以 15 9
n 1
4 ,解得n7。 利用等差級數的和公式
1
2 n n n a a S ,得 7
7 9 15 21 2 S 。 5. 已知 an 為等差數列,且首項為15,公差為5,和為735,求此等差數列的項數。 解答 21 解析 利用等差數列的和公式
2 1
1
2 n n a n d S ⇒735
30 5
1
2 n n , 整理得5n235n1470 0 ⇒n27n294 0 ,解得n21或14(不合)。 故可得此數列共有21項。 6. 已知 an 是一個等比數列,且a2 24,a312,求a1a2 a8的值。 解答 2558解析 設等比數列 n a 的公比為r,可得 32 12 1 24 2 a r a , 2 1 24 48 1 2 a a r 。 故 1 2 8 a a a
8 8 1 1 48 1 1 2 255 1 1 1 8 2 a r r 。 7. 設等比數列 an 的前n項和為Sn,且S25,S420,求S6的值。 解答 65 解析 設等比數列 an 的首項為a,公比為r,由題意可得 2 S a ar,
2 3 2 2 2 4 2 2 2 1 S a ar ar ar a ar r a ar S r S S r , 因此,20 5 1 r
2
,解得r2 3。
2 3 4 5 2 4 6 S a ar ar ar ar ar a ar r a ar r a ar S2r S2 2r S4 2S2
1 r2 r4
5 1 3 9
65。 8. 已知一等差數列前3項和為9,前9項和為81,求其前6項的和。 解答 36 解析 設此等差數列為 an ,且首項為a,公差為d ,依題意得 1 2 3 3 3 9 a a a a d ,
1 2 9 9 2 8 9 36 81 a a a a d d d a d , 解得a1,d2。 前6項和為a1a2 a66a
d2d 5d
6a15d36。 9. (1)求首項為5,前9項和為90的等差數列之公差d 。 (2)求等差級數76 72 12的和。 解答 (1)54 (2)748解析 (1) 利用等差級數的和公式,得 9
9 2 5 9 1 90 2 d S ,解得 5 4 d 。 (2)設此等差數列的項數為n。因為首項a176,公差d 72 76 4, 末項an 12,所以12 76
n 1
4 ,解得n17。 利用等差級數的和公式,得
1 17
17 17 17 76 12 748 2 2 a a S 。10. 已知 an 為等比數列,且前n項和Sn與第n項an滿足4Sn 4 an,求此數列的公比。 解答 13 解析 當n1時,4S1 4 a1,又因為S1a1,所以 1 4 3 a , 當n2時,4S2 4 a2,又因為 1 4 3 a ,
1 2
2 4 a a 4 a ,所以 2 4 9 a 。 故r 4 49 3 13 。 11. 已知一等比數列的首項為7,第n項為448,前n項之和為889,求項數n的值。 解答 7 解析 設此數列的公比為r, 由題意得 1 1 448 n n a a r ,
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n a r a r a a r r a S r r r 448 7 889 1 r r , 448r 7 889r889⇒r2, 1 448 7 2 n ⇒2n164 ⇒n7。 12. 寶石收藏家擁有若干重量不等的寶石,其中最重的為 70 公克,最輕的為 10 公克,所有寶石的重 量恰可形成一個等差數列,且總重量超過 500 公克。問:收藏家最少擁有幾顆寶石? 解答 13 顆 解析 設寶石共有 n 顆。 因為所有寶石的重量恰可形成一個等差數列, 所以利用等差級數的和公式, 得總重量為
10 70
500 2 n n S 。 解得n252 。故收藏家最少擁有 13 顆寶石。13. 已知數列 an 前n項的和Sn n2n,求 (1)a1的值。 (2)a5的值。 (3)一般項an的公式。 解答 (1)2 (2)10 (3)an2n(n1) 解析 (1) a1S1 12 1 2。 (2)由題意得
2 1 2 3 4 5 5 2 1 2 3 4 4 5 5 4 5 5 30 4 4 20 10 a a a a a S a a a a S a S S (3)依照(2)的方法可得,an SnSn1n2 n
n1
2 n1
2n(n2)。 因為a12也滿足an2n,所以一般項an 2n(n1)。 14. 已知 an 是一個等差數列,且a1a2a3 3,a4 a5 a6 21, 求此等差數列第7項到第9項的和。 解答 39 解析 設數列 an 的首項為a,公差為d 。依題意可得:
1 2 3 4 5 6 2 3 3 4 5 21 a a a a a d a d a a a a d a d a d , 將兩式相減,可得3d3d3d 18,即9d 18。 因此可得第7項到第9項的和為 7 8 9 a a a
a6d
a7d
a8d
a3d
a4d
a5d
9d
21
18
39。 補充說明:由上面的觀察可得:第1項到第3項的和、第4項到第6項的和與第7項到第 9項的和是一個公差為18的等差數列。 15. 已知一等差數列第1項到第5項的和為5,第6項到第10項的和為30, 求此等差數列第11項到第15項的和。 解答 55 解析 設等差數列的首項為a,公差為d ,由題意可知: 第 1 項到第 10 項的和為 35 ,因此
5 10 5 2 4 5 2 10 2 9 35 2 a d S a d S ,解得 1 a , 1 d 。因為第 1項到第15項的和為
15
2 14
1
15 2 14 90 2 2 a d , 又第1項到第10項的和為35,所以第11項到第15項的和為55。 16. 已知數列 an 前 n 項和Sn n2 6n,求 (1)a1的值。 (2)a4的值。 (3)一般項an的公式。 解答 (1)a15 (2)a4 1 (3)an 2n 7 (n1) 解析 (1) a1S1 1 6 5。 (2)由題意得a4S4S3
16 24
9 18
1。 (3)依照(2)的方法可得,
2
2
1 6 1 6 1 2 7 n n n a S S n n n n n (n ≥ 2), 因為a1 5 2 1 7,所以一般項an 2n 7 (n ≥ 1)。 17. 在邊長為 2 的正方形中有 5 個相似的黑色三角形,如圖所示。 問:這 5 個黑色三角形面積的總和。 解答 128341 解析 由圖可知,5 個相似的黑色三角形皆為等腰直角三角形, 其腰長為2, 1, ,1 2 的等比數列(公比為 1 2)﹔ 即黑色三角形的面積為2, , ,1 1 2 8 的等比數列(公比為 1 4)。 利用等比級數的和公式, 得 5 個黑色三角形面積的總和為 5 5 1 2 1 4 341 1 128 1 4 S 。 18. 已知數列 an 前n項的和Sn3n2n,求 (1)a1的值。 (2)a4的值。 (3)一般項an的公式。解答 (1)2 (2)20 (3)an6n4(n1) 解析 (1) a1S1 3 12 1 2。 (2)由題意得
2 1 2 3 4 4 2 1 2 3 3 4 4 3 3 4 4 44 3 3 3 24 20 a a a a S a a a S a S S (3)依照(2)的方法可得,an SnSn13n2 n
3
n1
2 n1
6n4(n2)。 又因為a12也滿足an6n4,所以一般項an 6n4(n1)。 19. 已知一皮球自離地面81公尺高處垂直落下,且每次垂直反彈的高度為落下的高度之23,求皮球自 落下至反彈4次後,反彈到最高點所經過的路徑總長。 解答 325 公尺 解析 皮球所經過的路徑總長為 2 3 2 2 2 81 2 81 81 81 3 3 3 4 2 81 3 81 2 54 36 24
16 325 。 20. 已知 f x
2x3x ,求 f
1 f
2 f
10 的值。 解答 2211 解析
1 2 3 10 1 2 3 1 2 2 3 2 3 2 3 3 10 2 3 10 f f f f 原式
2122 210
3 1 2 3
10
10 2 2 1 3 55 2046 165 2211 2 1 。 21. 求連續正奇數的平方和:12 32 292 。 解答 4495 解析 令Sn 12 22 n2, 2 2 2 29 1 2 29 S
29 29 1 2 29 1 8555 6 ,
2 2 2 2 2 2 2 4 28 4 1 2 14 14
14 14 1 2 14 1 4 4 4060 6 S , 故12 32 292 8555 4060 4495 。22. 將數字有規律的排列如圖,求圖中所有數字的和。 解答 285 解析 觀察圖形可得所有數字的和 1 1 2 2 9 9 9 10 19 285 6 。 23. 求1 2 2 3 3 4 15 16 的值。 解答 1360 解析 原式 1 1 1
2
2 1
15 15 1
1222 152
1 2 15
15 15 1
6 2 15 1
15
15 12
1360 。 24. 求連續正偶數的立方和:2343 203 。 解答 24200 解析 3 3 3 2 4 20 8 1
323 103
2 10 1 10 8 24200 2 。 25. 附圖表示正方形垛的疊法。 某水果販將柳丁堆成正方形垛。已知最底層的邊有16個柳丁,求此正方形垛的柳丁數目。 解答 1496 個 解析 由圖可知:柳丁數目為162152 12
16 16 1 2 16 1 1496 6 (個)。單元 3
1. 已知宇集U
1, 2, 3, 4, 5
,A
1, 2, 3
,B
2, 3, 4
,求 (1)A ∩ B。 (2)A ∪ B。 (3)A − B。 (4)A′。 解答 (1)
2, 3 (2)
1, 2, 3, 4
(3)
1 (4)
4, 5 解析 利用文氏圖,將A, B與U標示如圖: 根據定義,得 (1) A B
2, 3 。 (2)A B
1, 2, 3, 4
。 (3)A B
1 。 (4)A
4, 5 。 2. 從5種報紙、4種週刊及3種期刊中各訂一種,共有多少種訂閱方案? 解答 60 種 解析 利用乘法原理,得訂閱方案共有5 4 3 60 (種)。 3. 美國職棒大聯盟總冠軍賽採七戰四勝制,若比完第四場時,洋基隊與道奇隊各獲兩勝,戰成平手, 則 (1)利用樹狀圖描述往後比賽所有可能的情形。 (2)往後比賽共有多少種可能的情形?又其中洋基隊獲得冠軍的情形有幾種? 解答 (1)見解析 (2)6 種,3 種 解析 (1) 利用樹狀圖描述如下:(其中Y表洋基隊勝,D表道奇隊勝) (2)由(1)的樹狀圖得知,共有6種可能情形。 其中洋基隊獲得冠軍的情形有3種。 U A B 1 4 5 3 24. 連續投擲一粒骰子兩次,出現點數和為3的倍數之情形共有幾種? 解答 12 種 解析 分四類: 點數和3:有
1,2 ,
2,1 共2種。 點數和6:有
1,5 ,
2,4 ,
3,3 ,
4,2 ,
5,1 共5種。 點數和9:有
3,6 ,
4,5 ,
5,4 ,
6,3 共4種。 點數和12:有
6,6 共1種。 利用加法原理,得共有2 5 4 1 12 種情形。 5. 小菱有不同的T 恤4件、襯衫3件、褲子2件、裙子2件及外套1件。外出時,從T 恤、襯衫中選一 件穿,從褲子、裙子中選一件穿,至於外套可穿也可不穿,共有多少種搭配的方式? 解答 56 種 解析 利用乘法原理,得搭配方法共有
4 3
2 2
2 56(種)。 6. 設集合A
x x| 2ax 4 0
,B
x x| 2ax b 0
且A B
1 ,求實數a,b的值。 解答 a 3,b2 解析 因為A B
1 ,所以1 A 且1 B , 因此 2 2 1 1 4 0 1 1 0 a a b ⇒ 3 0 1 0 a a b , 解得a 3,b2。 7. 寫出下列各命題的否定命題: (1)2是偶數且 2 是質數。 (2) 3或是正數。 解答 (1)2 不是偶數或 2 不是質數 (2) 3且 不是正數 解析 (1) 依邏輯的笛摩根定律,否定敘述為:2 不是偶數或 2 不是質數。 (2)依邏輯的笛摩根定律,否定敘述為: 3且 不是正數。8. 餐廳的主菜有牛排、豬排、雞排與羊排 4 種;湯有玉米湯、海鮮湯與蔬菜湯 3 種;飲料有咖啡與 紅茶 2 種。每位客人須從主菜、湯及飲料各任選一種。問:共有多少種點餐方式? 解答 24 種 解析 分三個步驟點餐:第 1 步驟選主菜,有 4 種選法;第 2 步驟選湯,有 3 種選法; 第 3 步驟選飲料,有 2 種選法。利用乘法原理,點餐方式共有 4 × 3 × 2 = 24(種)。 9. 從甲地到乙地有12條道路,其中有5條雙向道,4條由甲地到乙地的單行道,3條由乙地到甲地的 單行道。求從甲地到乙地再回到甲地,且去程與回程走不同的路,共有多少種路線安排。 解答 67 種 解析 分類如下: (i)甲到乙走雙向道:有5
4 3
35(種)。 (ii)甲到乙走單行道:有4
5 3
32(種)。 故由加法原理得知,共有35 32 67 種路線。 10. 同時丟三枚大小不同的硬幣,求奇數個正面的情形共有幾種? 解答 4 種 解析 分成以下兩類: (i)恰一正面:有
正 反 反, ,
,
反 正 反, ,
,
反 反 正, ,
共3種。 (ii)恰三正面:有
正 正 正, ,
共1種。 故共有3+1=4種情形。11. 如圖是由三個邊長為1單位的正方形組成的道路分布圖: (1)利用樹狀圖描述從A點出發,經過4單位長,到達F點的所有情形。 (2)從A點出發,經過4單位長,到達F點的走法共有幾種。 解答 (1)(i)A D H E F (ii)A D H G F (iii)A B C G F (iv)A B H E F (v)A B H G F (2)5種 解析 (1) 利用樹狀圖描述如下: (i)A D H E F (ii)A D H G F (iii)A B C G F (iv)A B H E F (v)A B H G F (2)由(1)的樹狀圖得知,共有5種走法。 12. 自甲地到乙地有電車路線2條,公車路線2條,自乙地到丙地有電車路線1條,公車路線3條。今 自甲地經乙地再到丙地,若甲地到乙地與乙地到丙地兩次選擇中,電車與公車各選一次,則共有 多少種路線安排? 解答 8 種 解析 依題意圖示: 其中虛線表電車路線,實線表公車路線。 因為電車與公車路線各選一次,所以路線安排可分成以下二類:
(i)先電車再公車:有2 3 6 (種)。 (ii)先公車再電車:有2 1 2 (種)。 故由加法原理得知,共有6 2 8 種路線。 13. 關於540的正因數,回答下列各題: (1)共有多少個? (2)是完全平方數者有多少個? (3)是18的倍數者有多少個? (4)是2的倍數但不是3的倍數者有多少個? (5)所有正因數的總和。 解答 (1)24 個 (2)4 個 (3)8 個 (4)4 個 (5)1680 解析 將540質因數分解得到540 2 2 33 51 。 (1)因為540的正因數可寫成2a 3b 5c的形式, 其中a可為0,1,2;b可為0,1,2,3;c可為0,1。 故正因數共有3 4 2 24 (個)。 (2)若正因數中是完全平方數,則a可為0,2;b可為0,2;c必為0。 故共有2 2 1 4 (個)。 (3)若是18的倍數,則a可為1,2;b可為2,3;c可為0,1。 故共有2 2 2 8 (個)。 (4)若是2的倍數但不是3的倍數,則a可為1,2;b必為0;c可為0,1。 故共有2 1 2 4 (個)。 (5)所有正因數的總和為
20 21 22
30 31 3233
5051
7 40 6 1680。 14. 用1元,5元,10元硬幣付貨款50元,每一種硬幣不一定都要有,共有多少種付款方式? 解答 36 種 解析 設1元有x個,5元有y個,10元有z個,其中x,y,z為非負整數。 依題意,得x5y10z50。 依z的值由大而小,討論如下: (i)當 5 z 時,x5y0,此時 0 0 x y ,有1組解。 (ii)當 4 z 時,x5y10,此時 10 5 0 0 1 2 x y ,有3組解。 (iii)當z3時,x5y20,此時xy 20 15 10 5 00 1 2 3 4,有5組解。 (iv)當 2 z 時,x5y30,此時 30 25 20 0 0 1 2 6 x y ,有7組解。 (v)當 1 z 時,x5y40,此時 40 35 30 0 0 1 2 8 x y ,有9組解。(vi)當z0時,x5y50,此時xy 50 45 400 1 2 100 ,有 11組解。 故共有1 3 5 7 9 11 36 種付款方式。 15. 用黃、紅、藍、綠、紫等五種顏色塗下列各圖中的空白區域,每區域只塗一色,顏色可重複使用, 但相鄰的區域不同顏色,各有多少種塗法? (1) (2) 解答 (1)960 種 (2)260 種 解析 (1) 如圖,依ABCDE的順序著色。 因為ABCDE分別有5,4,3,4,4種塗法, 所以共有5 4 3 4 4 960 種塗法。 (2)如圖,依ABCD的順序著色。分類如下: (i)若BC同色,則ABCD分別有5,4,1,4種塗法。 因此有5 4 1 4 80 種塗法。 (ii)若BC異色,則ABCD分別有5,4,3,3種塗法。 因此有5 4 3 3 180 種塗法。 根據加法原理,共有80 180 260 種塗法。
16. 全班 40 人作測驗,測驗題分 A, B, C 三題,結果答對 A 題者有 15 人,答對 B 題者有 19 人,答對 C題者有 20 人,其中 A, B 兩題都答對者有 10 人;B, C 兩題都答對者有 12 人;C, A 兩題都答對者 有 8 人;三題都答對者有 3 人。請問: (1)全班同學中,至少答對一題者有多少人? (2)全班同學中,三題都答錯者有多少人? 解答 (1)27 人 (2)13 人 解析 設 U 表示全班同學組成的集合;A, B, C 分別表示答對 A, B, C 題的人組成的集合。由題意 知
40 n U ,n A
15,n B
19,
20 n C ,n A B
10,n B C
12,
8 n CA ,n A B C
3。 A B C U (1)利用取捨原理,得
n A B C
n A n B n C n A B n B C n C A n A B C 15 19 20 10 12 8 3 27 , 即至少答對一題者有 27 人。 (2)因為n U
n A B C
40 27 13 , 所以三題都答錯者有 13 人。 17. 附圖是科學館的參觀路線圖,若想不重複的走完每一個路徑,共有幾種不同的參觀路線? 解答 48 種 解析 從入口進入後,第1次遇到叉路共有6個選擇(出口不可選);繞一個迴路後,第2次遇 到叉路時,有4個選擇(出口和先前走過的2個路線不可選);再繞一個迴路後,第3 次遇到叉路時,有2個選擇(出口和先前走過的4個路線不可選);繞最後一個迴路後, 第4次遇到叉路時,只剩出口1個選擇。 根據乘法原理,共有6 4 2 1 48 (種)參觀路線。18. 全班 40 人中,35 人有手機,15 人有平板電腦,12 人同時有手機與平板電腦。關於全班 40 人,回 答下列問題: (1)手機與平板電腦至少有一種者有多少人? (2)沒有手機,也沒有平板電腦者有多少人? 解答 (1)38 人 (2)2 人 解析 設 U 表示全班同學組成的集合; A, B分別表示有手機與有平板電腦者組成的集合。 由題意知 n U
40,n A
35,n B
15,n A B
12。 (1)利用取捨原理,得n A B
n A
n B
n A B
35 15 12 38 , 即手機與平板電腦至少有一種者有 38 人。 (2)因為n U
n A B
40 38 2 , 所以沒有手機,也沒有平板電腦者有 2 人。 19. 已知集合A
4, ,a a23
與B
1,a2,3a1
滿足A B
2 ,求實數a的值。 解答 2 解析 因為A B
2 ,所以2 A , 又因為a2 3 3 ,所以a2。 20. 班上共有40位同學,喜歡籃球的有23人,喜歡棒球的有18人,喜歡桌球的有14人;喜歡籃球與 棒球的有12人,喜歡棒球與桌球的有5人,喜歡籃球與桌球的有6人;三種球類都喜歡的有2人。 請問此班在三種球類中, (1)至少喜歡一種球類的有多少人? (2)三種球類都不喜歡的有多少人? (3)喜歡籃球與棒球但不喜歡桌球的有多少人? 解答 (1)34 人 (2)6 人 (3)10 人 解析 (1) 設A,B,C分別表示喜歡籃球, 棒球,桌球的人組成的集合。 利用取捨原理,得所求為
n A B C
n A n B n C n A B n B C n C
A
n A B C
23 18 14 12 5 6 2 34 (人)。 (2)所求為40 34 6 (人)。 A B 12 U21. 在1到100的正整數中, (1)是2,3或7的倍數者共有多少個? (2)是2的倍數或3的倍數,但不是7的倍數者共有多少個? 解答 (1)72 個 (2)58 個 解析 設A,B,C分別表示1到100的正整數中 分別為2,3,7倍數的數組成的集合。 (1)利用取捨原理,得所求為
n A B C
n A n B n C n A B n B C n C
A
n A B C
50 33 14 16 4 7 2 72 (個)。 (2)利用文氏圖,得所求為
n A B n A C n B C n A B C
50 33 16
7 4 2 58(個)。 〈另解〉
72 14 58 n A B C n C (個)。 22. 學校舉辦桌球及羽球比賽,某班有 20 人參賽,其中參加桌球比賽者有 12 人, 兩種球賽都參加者有 5 人。問:這班有多少人參加羽球比賽? 解答 13 人 解析 設 A, B 分別表示參加桌球與羽球比賽學生組成的集合。 由題意知n A
12,n A B
20,n A B
5。 利用n A B
n A
n B
n A B
, 得20 12 n B
5 n B
13。 故共有 13 人參加羽球比賽。 23. 附圖中,每一個小三角形均為正三角形,問:圖中大大小小的三角形共有多少個? 解答 13 個 解析 設最小正三角形的邊長為1單位。 邊長為1單位:有1 3 5 9 個。 邊長為2單位:有3個。邊長為3單位:有1個。 由加法原理,得共有9 3 1 13 (個)三角形。 24. 關於180的正因數,回答下列各題: (1)共有多少個? (2)是完全平方數者有多少個? (3)是12的倍數者有多少個? (4)是2的倍數但不是3的倍數者有多少個? (5)所有正因數的總和。 解答 (1)18 個 (2)4 個 (3)4 個 (4)4 個 (5)546 解析 將180質因數分解得到180 2 2 32 5 。 (1)因為180的正因數可寫成2a 3b 5c的形式,其中a可為0,1, 2; b可為0,1,2;c可為0,1。故正因數共有3 3 2 18 (個)。 (2)若是完全平方數,則a可為0,2;b可為0,2;c可為0。 故共有2 2 1 4 (個)。 (3)若是12的倍數,則a必為2;b可為1,2;c可為0,1。 故共有1 2 2 4 (個)。 (4)若是2的倍數但不是3的倍數,則a可為1,2;b必為0;c可為0,1。 故共有2 1 2 4 (個)。 (5)所有正因數的總和為
20 21 22
30 31 32
5051
7 13 6 546。 25. 醒獅團的 6 個獅頭手中有 4 個老手 2 個新手,4 個獅尾手中有 3 個老手 1 個新手。今想選派獅頭手 與獅尾手各一人表演一段舞獅秀,若選出的兩人中,至少要有一人是老手,則共有多少種選派方 案? 解答 22 種 解析 因為至少要有一人是老手,所以選派方案可分成三類: (I)獅頭是老手,獅尾是新手:有 4 × 1 = 4 種。 (II)獅頭是新手,獅尾是老手:有 2 × 3 = 6 種。 (III)獅頭是老手,獅尾是老手:有 4 × 3 = 12 種。 利用加法原理,得選派方案共有 4 + 6 + 12 = 22 種。單元 4
1. 將a,a,a,b,b,c這6個字母排一列,求下列的排列數: (1)任意排。 (2)二個b相鄰。 解答 (1)60 種 (2)20 種 解析 (1) 利用有相同物的排列,得所求為 6! 60 3!2! (種)。 (2)將二個b視為一體,與a,a,a,c排成一列,得所求為5! 20 3! (種)。 2. 學校想從 6 個參觀地點中,選出 3 個依序參訪,其安排的方案共有多少種? 解答 120 種 解析 從 6 個參觀地點中,任選 3 個排成一列的方法數,共有
6 3 6! 6! 6 5 4 120 6 3 ! 3! P (種)。 3. 縣長選舉共有 5 人登記參選,參選號次由抽籤決定。共有多少種可能的抽籤結果? 解答 120 種 解析 抽籤的結果可視作將 5 人排成一列, 其中排在最左邊代表第 1 號, 其後依次為第 2, 3, 4, 5 號。 因為 5 人排成一列有5! 120 種排法, 所以抽籤結果也有 120 種。 4. 學校獨唱比賽共有 6 位同學報名參加,出場順序由抽籤決定。共有多少種可能的抽籤結果? 解答 720 種 解析 抽籤的結果可視作將 6 位參賽者排成一列,其中排在最左邊代表第 1 位出場,其後依次為 第 2, 3, 4, 5, 6 位出場。因為 6 位參賽者排成一列共有 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 種排法,所以抽籤結果也有 720 種。5. 自動販賣機有 6 種飲料可供選擇,三個人運動完後各購買一罐飲料。 (1)共有多少種選購方法? (2)若三人約定所選的飲料不可以相同,則共有多少種選購方法? 解答 (1)216 種 (2)120 種 解析 (1) 因為每人各有 6 種選購方法,所以選購方法共有6 6 6 216 種。 (2)因為三人所選的飲料不可以相同,所以選購方法共有6 5 4 120 種。 6. 老師想從10個同學中,指派3人分別擔任主席、司儀及記錄,共有多少種指派方案? 解答 720 種 解析 指派方案共有 103 10! 10 9 8 720 7! P (種)。 7. 要將兩節國文、英文、數學、物理、化學及音樂各一節,排入星期一的7節課中。若數學課不排 在第四節與第五節,則課表共有幾種排法? 解答 1800 種 解析 將7節課任意排一列共有7! 2520 2! (種)。 須扣除以下兩類: (i)數學課排在第四節,有1 6! 360 2! (種)。 (ii)數學課排在第五節,有1 6! 360 2! (種)。 故共有2520 360 360 1800 (種)排法。 8. 兔子挖了三個可以藏身的洞。如果兔子每晚都待在這三個洞的其中之一,躲避敵人,那麼未來的 五個晚上,兔子有多少種藏身安排? (示意圖) 解答 243 種
解析 由題意知,兔子每天晚上有三個藏身的地方。 3 第4天 3 第5天 3 第3天 3 第2天 3 第1天 利用乘法原理,五天共有3 3 3 3 3 3 5243 種藏身安排。 9. 推銷員想從7個城市中,選出4個城市依序推銷產品,安排方案共有多少種? 解答 840 種 解析 安排方案共有 74
7! 7! 7 6 5 4 840 7 4 ! 3! P (種)。 10. 小吃店只賣牛肉麵、什錦麵、陽春麵、粄條及米粉五種餐點,若某顧客決定未來三天中午都到小 吃店點一份餐點,問該顧客共有幾種午餐的餐點安排? 解答 125 種 解析 因為每一天都有5種選擇,所以三天午餐的餐點安排共有5 5 5 5 3125 (種)。 11. 甲、乙兩人負責在 7 天年假期間到公司值班,其中甲值班 4 天,乙值班 3 天。請問年假值班的安 排共有多少種? 解答 35 種 解析 將 4 個甲及 3 個乙在一到七底下任意排一列,例如: 一 二 三 四 五 六 七 甲 甲 乙 乙 甲 乙 甲 這個排列表示甲值班第一、二、五、七天,乙值班第三、四、六天。因此,每一種排列 方法等同於一種值班的安排。利用有相同物的排列公式,值班的安排共有
4 3 !
7! 35 4!3! 4!3! (種)。 12. 從一個10人的俱樂部,選出一位主任,一位幹事和一位會計,且均由不同人出任,如果10人中的 甲和乙不能同時被選上,那麼共有多少種不同的選法? 解答 672 種 解析 從10人中選三人排成一列,依序為主任、幹事和會計,選法有10 9 8 720 (種)。 但甲乙同時被選上的情形有8 3! 48 (種)(先選出1人再與甲乙排一列)。 故共有720 48 672 (種)選法。13. 將5本不同的書全部分給甲、乙、丙三人,求下列分法: (1)任意分。 (2)甲至少得一本書。 (3)每人至少得一本書。 解答 (1)243 種 (2)211 種 (3)150 種 解析 (1) 因為每一本書都有3種分法,所以分法共有3 3 3 3 3 3 5243 (種)。 (2)所求