4−3 應用問題
本節課程學習重點： ◎根據實際問題，依題意列出方程式，整理成一元二次方程式並求解。 ◎由求出的解中選擇合於原問題的答案。 一、應用問題： ◎一元二次方程式應用問題的解題步驟： (1)根據題意設未知數為 x，並列出合於題意的一元二次方程式。 (2)解方程式。 (3)檢查 x 的值是否合乎題意。 (4)根據題意寫出答案。 練習 1：有一長方形紙片，長比寬多 2 公分，面積為 4 平方公分，則此長方形的長為多少公分？ 練習 2：有大小兩個正方形，大正方形的邊長比小正方形的邊長多 4 公分，且面積和為 30 平方公分， 則大正方形的邊長為多少公分？ 練習 3：全華的房間是一個長方形，而且長比寬多 3 公尺，她在房間 的中間擺了一塊長方形地毯，地毯邊緣與牆邊的垂直距離都 是 1.5 公尺，如右圖。若未鋪地毯的面積是地毯面積的 3 倍， 則全華房間的長、寬各是多少公尺？ 練習 4：有一個長方形農地，其長比寬多 4 公尺，今在農地內部周圍 開闢一條寬 2 公尺的道路，剩下的部分做為菜園，如右圖。 若道路的面積是菜園面積的15 倍，則原來農地的長、寬各是 多少公尺？ 1.5 1.5 2 2練習 5：樂安旅行社舉辦綠島兩天一夜的旅遊。預定人數為 30 人，每人收費 5000 元，當人數到達 30 人後，每增加 1 人，每人可便宜 100 元。 (1)若此次旅遊旅行社的總收入為 160000 元，則共有多少人參加？ (2)旅行社的總收入是否可達 165000 元？為什麼？ (3)若旅行社的總收入為 158400 元，則共有多少人參加？ 練習 6：阿妙的老師想購買價值 36000 元的科普叢書，送給圖書館供同學閱讀。於是召集了幾位老師 一起平均分攤費用，後來又有 8 位老師共襄盛舉，使每位參與的老師比原來預計的少負擔 1600 元。請問原來參與分攤費用的老師有幾人？ 練習 7：山路長 12 公里，阿草下山的速率每小時比上山快 1 公里，且上、下山來回一趟共需 7 小時。 設阿草下山的速率為每小時 x 公里，則 (1)上山的速率為每小時 公里。(以 x 的式子表示) (2)下山共需 小時，上山共需 小時。(以 x 的式子表示) (3)由上、下山來回一趟共需 7 小時，可列出方程式為 。 (4)解此方程式，求出阿草上山和下山的速率各是多少？
自我評量 1. 羿涵今年的年齡與 10 年後年齡的乘積，恰好是媽媽 4 年後年齡的 3 倍，已知媽媽今年 28 歲，則 羿涵今年幾歲？ 2. 一正三角形的一邊增加 3 公分、另一邊增加 2 公分、第三邊減少 5 公分後，可形成一個直角三角形， 則原正三角形的邊長為多少？ 3. 有一塊長 40 公尺、寬 30 公尺的長方形花圃，今在其周圍及內部 開闢等寬的道路，如右圖，將花圃分為 6 塊面積均為 128 平方公尺 的長方形土地，則路寬為多少公尺？ 4. 家裡的餐桌是一張長 2 公尺、寬 1 公尺的長方形桌子，媽媽想要在桌上鋪一條面積為 6 平方公尺的 長方形桌巾，且桌巾的長和寬所垂下來的長度要一樣。想想看，這條桌巾的長和寬各是多少公尺？ 5. 阿勇從住家以固定的速率騎自行車到青草湖。已知回程的速率每小時比去程快 6 公里，且去、回 所用的時間相差 1 小時。若阿勇家和青草湖相距 72 公里，問阿勇去程的速率為每小時多少公里？ 30 40
習作 1. 已知一個正數比其倒數多 2，試求此數。 2. 小芳一年前年齡的平方恰好等於 11 年後的年齡，那麼小芳今年幾歲？ 3. 偉明用牙籤去量一張長方形的紙片，發現紙片長比牙籤長的兩倍少 1 公分，寬比牙籤長多 2 公分。 若已知紙片的面積為 88 平方公分，則牙籤的長為幾公分？ 4. 直角三角形中，兩股的差為 5 公分，斜邊長為 25 公分，則此直角三角形的面積是多少平方公分？ 5. 兩個正方形的周長和為 160 公尺，面積和為 850 平方公尺，則這兩個正方形的邊長分別為多少公尺？ 6. 蘋果園中種了 25 棵蘋果樹，每棵平均可生產 450 個蘋果，若蘋果園中每加種 1 棵蘋果樹，則每棵平 均產量將減少 10 個。當加種多少棵時，此蘋果園可收成 12250 個蘋果？
類題補充 1. 陽明國中的游泳池是一個長為 100 公尺、寬為 50 公尺的矩形，池畔四周有等寬的走道(斜線部分)， 若走道總面積為 936 平方公尺，則走道的寬度為何？ 100 公尺 50 公尺 2. 三個連續正奇數的平方和是 251，則此三數中最小的數為 。 3. 電影院門票一張 220 元，每日可賣出 1800 張，如果票價每降低 1 元，則可多賣出 10 張，某日門票 收入共 400000 元，則該日的門票為 元。 4. 若將一正方形的一邊長增為 2 倍，另一邊長減少 4 公分，則所成的長方形面積增加 9 平方公分，則 原正方形的邊長為何？ 5. 一直角三角形的兩股相差 14 公分，且斜邊為 34 公分，則此直角三角形的周長為何？ 6. 有一個二位數，個位數字與十位數字之和為 9，若將其個位數字和十位數字對調後成為一新數，則原 數的平方等於新數的四倍，則原數為 。
7. 製作賀年卡，希望能在此長 50 公分、寬 40 公分的長方形卡片內側設計一等寬的花邊，則花邊的寬 應設計為 公分，才能使得卡片內剩餘面積為原來卡片面積的 3 5。 8. 一根長 40 公分的鐵絲折成一個長方形，使其面積為 84 平方公分，則所圍成的長方形較長邊 為 公分。 9. 甲與乙同解一個 x2項係數為 1 的一元二次方程式，甲看錯常數項，解得二根為－2、－3；乙看錯 x 項係數，解得二根為 9、－4，則正確方程式為 。 10. 將正方形 ABCD 與矩形 AEGH 沿著兩邊疊合，恰可使四邊形 DFGH 為一正方形，如下圖。若正方形 ABCD 邊長為 x 公分、正方形 DFGH 邊長為 y 公分，且矩形 EBCF 與正方形 DFGH 面積相等，則 xy 的 值為多少？ A E D F B C H G
12. 下圖是民國某年九月分的月曆，用矩形框起來的三天(a、b、c)是畢業旅行的日子， 已知 a2＋b2＋c2＝590，則該年九月一日是星期幾？ 日 一 二 三 四 五 六 b c a 13. 有一塊圓形的土地規劃如下：如圖，環形為跑道。中間圓形為休閒區。若跑道的面積是休閒區的 5 4且 跑道的寬為 6 公尺，則休閒區的面積為何？ 6 14. 有一繩從垂直立於地面的旗桿頂端垂下，若繩長比桿長多 3 公尺，且將繩由旗桿底端向外拉 6 公尺， 才能將繩子完全拉直，則旗桿長為 公尺。 15. 有一塊長 3x 公尺、寬 x 公尺的長方形花圃，其中橫向開闢 2 條寬 1 公尺的小路，縱向開闢 3 條寬 2 公尺的小路，如下圖。若扣除小路後的總面積為 192 平方公尺，則 x＝ 。 3x 2 x 2 2 1 1 16. 某水果店老闆以 800 元買進水梨一批，其中有 5 公斤因運送中的碰撞而無法販售。若將剩下的水梨 每公斤比成本多 5 元賣出，則最後會賺 75 元，則水果店老闆共買了水梨多少公斤？
加強練習 1. 小杰用長為 x 公分的竹筷去量一張長方形的紙，發現紙的長度比竹筷的 2 倍長少 1 公分，寬比竹筷長 多 2 公分。已知長方形紙的面積為 3000 平方公分，依題意可列出下列哪一個一元二次方程式？ (A) (x－2)(2x＋1)＝3000 (B) (x＋2)(2x－1)＋3000＝0 (C) 2x2－3x＝3002 (D) 2x2＋3x－3002＝0。 2. 二年八班在校慶園遊會中賣蔥抓餅，已知蔥抓餅每個賣 x 元，當天共賣出(2x－30)個，收入有 2000 元，則當天的園遊會班上總共賣出幾個蔥抓餅？ (A) 30 個 (B) 40 個 (C) 50 個 (D) 60 個。 3. 兩個連續正整數的乘積是 2652，則此兩數為何？ 4. 梯形面積為 88 平方公分，且上底、下底與高依序為三個連續的正奇數，則此梯形的上底、下底與 高分別為多少公分。 5. 將 100 公分長的繩子剪成兩段，其中一段長設為 x 公分。將此兩段繩子分別圍出兩個正方形，面積和 恰為 353 平方公分，則依題意可列出一元二次方程式為何？ (A) x2＋(100－x)2＝353 (B) x 2 4 ＋ (100－x)2 4 ＝353 (C) x2 4 ＋ (100－x)2 4 ＝353 2 (D) ( x 4 ) 2＋(100－x 4 ) 2＝353。 6. 旅行社招攬兩天一夜旅遊，預定人數為 40 人，每人收費 2000 元，人數若超過 40 人，每增加 1 人， 則每人可減收 80 元，最後旅行社收到 72000 元。已知參加人數超過 40 人，假設超過 40 人的人數為 x 人，則下列哪一個一元二次方程式可用來表示題目中的數量關係？ (A) 2000x＝72000 (B) (40＋x)×2000－80＝72000 (C) (40＋x)×(2000－80)＝72000 (D) (40＋x)(2000－80x)＝72000。 7. 比賽三對三鬥牛賽，規定每一隊參賽隊伍必須和其他參賽隊伍各進行一場比賽，主辦單位統計總共 要進行 190 場比賽，則共有幾隊報名參加比賽？ 8. 四個圓，如下圖所示的組合，若最大圓的直徑是第二大圓的兩倍，且第二大圓的直徑也是第三大圓 直徑的兩倍，第三大圓的直徑還是最小圓直徑的兩倍，且灰色部份面積比白色部份的面積多 237.5π 平方單位，則最大圓的直徑為 單位。 9. 將一個邊長 20 公分的正方形，四個角各截去一個等腰三角形後，變成一個正八邊形。若已假設此正 八邊形的邊長為 x 公分，則可列成哪一個一元二次方程式？ (A) (20－2x)2＝x2＋x2 (B) (x＋x)2＝(20－2x)2 (C) x2＝( 20－x2 )2＋( 20－x2 )2 (D) (20－x)2＋(20－x)2＝x2。 10. 老王的客廳地板重新翻修。如果鋪上邊長為x公寸的甲廠牌正方形地磚，需要 169 塊；如果鋪上 乙廠牌正方形地磚，需要 121 塊。已知甲廠牌地磚每邊長比乙廠牌少 2 公寸，則每塊甲廠牌地磚 的邊長為 公寸。 11. 有一個分數，分子和分母都是正整數，分子比分母的 5 倍少 9，且分子乘以分母之值為 182， 則此分數為 。 12. 甲、乙生同解一個二次方程式，甲利用公式解根，把 b2－4ac 算錯，得兩根為－1、－2；乙看錯 x 項 係數得兩根為 1、 1 2，其餘皆無誤，試求(1)原方程式。(2)正確之兩根。 13. 有一長方形的周長為 48，面積為 143，則此長方形的對角線長為何？ 14. 若小明六年前年齡的平方恰好是六年後的年齡，則小明現年 歲。 l w
Ans：1.(D)；2.(C)；3. 51，52；4. 7 公分，9 公分，11 公分；5.(D)；6.(D)；7. 20 隊；8. 40；9.(C)； 10. 11；11.26 7 ；12.(1) 2x 2＋6x＋1＝0，(2)－3± 7 2 ；13. 290 ；14. 10；15. 1.62。 心得筆記
