國中數學3 4 3應用問題

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4−3 應用問題

本節課程學習重點: ◎根據實際問題,依題意列出方程式,整理成一元二次方程式並求解。 ◎由求出的解中選擇合於原問題的答案。 一、應用問題: ◎一元二次方程式應用問題的解題步驟: (1)根據題意設未知數為 x,並列出合於題意的一元二次方程式。 (2)解方程式。 (3)檢查 x 的值是否合乎題意。 (4)根據題意寫出答案。 練習 1:有一長方形紙片,長比寬多 2 公分,面積為 4 平方公分,則此長方形的長為多少公分? 練習 2:有大小兩個正方形,大正方形的邊長比小正方形的邊長多 4 公分,且面積和為 30 平方公分, 則大正方形的邊長為多少公分? 練習 3:全華的房間是一個長方形,而且長比寬多 3 公尺,她在房間 的中間擺了一塊長方形地毯,地毯邊緣與牆邊的垂直距離都 是 1.5 公尺,如右圖。若未鋪地毯的面積是地毯面積的 3 倍, 則全華房間的長、寬各是多少公尺? 練習 4:有一個長方形農地,其長比寬多 4 公尺,今在農地內部周圍 開闢一條寬 2 公尺的道路,剩下的部分做為菜園,如右圖。 若道路的面積是菜園面積的15 倍,則原來農地的長、寬各是 多少公尺? 1.5 1.5 2 2

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練習 5:樂安旅行社舉辦綠島兩天一夜的旅遊。預定人數為 30 人,每人收費 5000 元,當人數到達 30 人後,每增加 1 人,每人可便宜 100 元。 (1)若此次旅遊旅行社的總收入為 160000 元,則共有多少人參加? (2)旅行社的總收入是否可達 165000 元?為什麼? (3)若旅行社的總收入為 158400 元,則共有多少人參加? 練習 6:阿妙的老師想購買價值 36000 元的科普叢書,送給圖書館供同學閱讀。於是召集了幾位老師 一起平均分攤費用,後來又有 8 位老師共襄盛舉,使每位參與的老師比原來預計的少負擔 1600 元。請問原來參與分攤費用的老師有幾人? 練習 7:山路長 12 公里,阿草下山的速率每小時比上山快 1 公里,且上、下山來回一趟共需 7 小時。 設阿草下山的速率為每小時 x 公里,則 (1)上山的速率為每小時 公里。(以 x 的式子表示) (2)下山共需 小時,上山共需 小時。(以 x 的式子表示) (3)由上、下山來回一趟共需 7 小時,可列出方程式為 。 (4)解此方程式,求出阿草上山和下山的速率各是多少?

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自我評量 1. 羿涵今年的年齡與 10 年後年齡的乘積,恰好是媽媽 4 年後年齡的 3 倍,已知媽媽今年 28 歲,則 羿涵今年幾歲? 2. 一正三角形的一邊增加 3 公分、另一邊增加 2 公分、第三邊減少 5 公分後,可形成一個直角三角形, 則原正三角形的邊長為多少? 3. 有一塊長 40 公尺、寬 30 公尺的長方形花圃,今在其周圍及內部 開闢等寬的道路,如右圖,將花圃分為 6 塊面積均為 128 平方公尺 的長方形土地,則路寬為多少公尺? 4. 家裡的餐桌是一張長 2 公尺、寬 1 公尺的長方形桌子,媽媽想要在桌上鋪一條面積為 6 平方公尺的 長方形桌巾,且桌巾的長和寬所垂下來的長度要一樣。想想看,這條桌巾的長和寬各是多少公尺? 5. 阿勇從住家以固定的速率騎自行車到青草湖。已知回程的速率每小時比去程快 6 公里,且去、回 所用的時間相差 1 小時。若阿勇家和青草湖相距 72 公里,問阿勇去程的速率為每小時多少公里? 30 40

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習作 1. 已知一個正數比其倒數多 2,試求此數。 2. 小芳一年前年齡的平方恰好等於 11 年後的年齡,那麼小芳今年幾歲? 3. 偉明用牙籤去量一張長方形的紙片,發現紙片長比牙籤長的兩倍少 1 公分,寬比牙籤長多 2 公分。 若已知紙片的面積為 88 平方公分,則牙籤的長為幾公分? 4. 直角三角形中,兩股的差為 5 公分,斜邊長為 25 公分,則此直角三角形的面積是多少平方公分? 5. 兩個正方形的周長和為 160 公尺,面積和為 850 平方公尺,則這兩個正方形的邊長分別為多少公尺? 6. 蘋果園中種了 25 棵蘋果樹,每棵平均可生產 450 個蘋果,若蘋果園中每加種 1 棵蘋果樹,則每棵平 均產量將減少 10 個。當加種多少棵時,此蘋果園可收成 12250 個蘋果?

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類題補充 1. 陽明國中的游泳池是一個長為 100 公尺、寬為 50 公尺的矩形,池畔四周有等寬的走道(斜線部分), 若走道總面積為 936 平方公尺,則走道的寬度為何? 100 公尺 50 公尺 2. 三個連續正奇數的平方和是 251,則此三數中最小的數為 。 3. 電影院門票一張 220 元,每日可賣出 1800 張,如果票價每降低 1 元,則可多賣出 10 張,某日門票 收入共 400000 元,則該日的門票為 元。 4. 若將一正方形的一邊長增為 2 倍,另一邊長減少 4 公分,則所成的長方形面積增加 9 平方公分,則 原正方形的邊長為何? 5. 一直角三角形的兩股相差 14 公分,且斜邊為 34 公分,則此直角三角形的周長為何? 6. 有一個二位數,個位數字與十位數字之和為 9,若將其個位數字和十位數字對調後成為一新數,則原 數的平方等於新數的四倍,則原數為 。

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7. 製作賀年卡,希望能在此長 50 公分、寬 40 公分的長方形卡片內側設計一等寬的花邊,則花邊的寬 應設計為 公分,才能使得卡片內剩餘面積為原來卡片面積的 3 5。 8. 一根長 40 公分的鐵絲折成一個長方形,使其面積為 84 平方公分,則所圍成的長方形較長邊 為 公分。 9. 甲與乙同解一個 x2項係數為 1 的一元二次方程式,甲看錯常數項,解得二根為-2、-3;乙看錯 x 項係數,解得二根為 9、-4,則正確方程式為 。 10. 將正方形 ABCD 與矩形 AEGH 沿著兩邊疊合,恰可使四邊形 DFGH 為一正方形,如下圖。若正方形 ABCD 邊長為 x 公分、正方形 DFGH 邊長為 y 公分,且矩形 EBCF 與正方形 DFGH 面積相等,則 xy 的 值為多少? A E D F B C H G

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12. 下圖是民國某年九月分的月曆,用矩形框起來的三天(a、b、c)是畢業旅行的日子, 已知 a2+b2+c2=590,則該年九月一日是星期幾? 日 一 二 三 四 五 六 b c a 13. 有一塊圓形的土地規劃如下:如圖,環形為跑道。中間圓形為休閒區。若跑道的面積是休閒區的 5 4且 跑道的寬為 6 公尺,則休閒區的面積為何? 6 14. 有一繩從垂直立於地面的旗桿頂端垂下,若繩長比桿長多 3 公尺,且將繩由旗桿底端向外拉 6 公尺, 才能將繩子完全拉直,則旗桿長為 公尺。 15. 有一塊長 3x 公尺、寬 x 公尺的長方形花圃,其中橫向開闢 2 條寬 1 公尺的小路,縱向開闢 3 條寬 2 公尺的小路,如下圖。若扣除小路後的總面積為 192 平方公尺,則 x= 。 3x 2 x 2 2 1 1 16. 某水果店老闆以 800 元買進水梨一批,其中有 5 公斤因運送中的碰撞而無法販售。若將剩下的水梨 每公斤比成本多 5 元賣出,則最後會賺 75 元,則水果店老闆共買了水梨多少公斤?

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加強練習 1. 小杰用長為 x 公分的竹筷去量一張長方形的紙,發現紙的長度比竹筷的 2 倍長少 1 公分,寬比竹筷長 多 2 公分。已知長方形紙的面積為 3000 平方公分,依題意可列出下列哪一個一元二次方程式? (A) (x-2)(2x+1)=3000 (B) (x+2)(2x-1)+3000=0 (C) 2x2-3x=3002 (D) 2x2+3x-3002=0。 2. 二年八班在校慶園遊會中賣蔥抓餅,已知蔥抓餅每個賣 x 元,當天共賣出(2x-30)個,收入有 2000 元,則當天的園遊會班上總共賣出幾個蔥抓餅? (A) 30 個 (B) 40 個 (C) 50 個 (D) 60 個。 3. 兩個連續正整數的乘積是 2652,則此兩數為何? 4. 梯形面積為 88 平方公分,且上底、下底與高依序為三個連續的正奇數,則此梯形的上底、下底與 高分別為多少公分。 5. 將 100 公分長的繩子剪成兩段,其中一段長設為 x 公分。將此兩段繩子分別圍出兩個正方形,面積和 恰為 353 平方公分,則依題意可列出一元二次方程式為何? (A) x2+(100-x)2=353 (B) x 2 4 + (100-x)2 4 =353 (C) x2 4 + (100-x)2 4 =353 2 (D) ( x 4 ) 2+(100-x 4 ) 2=353。 6. 旅行社招攬兩天一夜旅遊,預定人數為 40 人,每人收費 2000 元,人數若超過 40 人,每增加 1 人, 則每人可減收 80 元,最後旅行社收到 72000 元。已知參加人數超過 40 人,假設超過 40 人的人數為 x 人,則下列哪一個一元二次方程式可用來表示題目中的數量關係? (A) 2000x=72000 (B) (40+x)×2000-80=72000 (C) (40+x)×(2000-80)=72000 (D) (40+x)(2000-80x)=72000。 7. 比賽三對三鬥牛賽,規定每一隊參賽隊伍必須和其他參賽隊伍各進行一場比賽,主辦單位統計總共 要進行 190 場比賽,則共有幾隊報名參加比賽? 8. 四個圓,如下圖所示的組合,若最大圓的直徑是第二大圓的兩倍,且第二大圓的直徑也是第三大圓 直徑的兩倍,第三大圓的直徑還是最小圓直徑的兩倍,且灰色部份面積比白色部份的面積多 237.5π 平方單位,則最大圓的直徑為 單位。 9. 將一個邊長 20 公分的正方形,四個角各截去一個等腰三角形後,變成一個正八邊形。若已假設此正 八邊形的邊長為 x 公分,則可列成哪一個一元二次方程式? (A) (20-2x)2=x2+x2 (B) (x+x)2=(20-2x)2 (C) x2=( 20-x2 )2+( 20-x2 )2 (D) (20-x)2+(20-x)2=x2 10. 老王的客廳地板重新翻修。如果鋪上邊長為x公寸的甲廠牌正方形地磚,需要 169 塊;如果鋪上 乙廠牌正方形地磚,需要 121 塊。已知甲廠牌地磚每邊長比乙廠牌少 2 公寸,則每塊甲廠牌地磚 的邊長為 公寸。 11. 有一個分數,分子和分母都是正整數,分子比分母的 5 倍少 9,且分子乘以分母之值為 182, 則此分數為 。 12. 甲、乙生同解一個二次方程式,甲利用公式解根,把 b2-4ac 算錯,得兩根為-1、-2;乙看錯 x 項 係數得兩根為 1、 1 2,其餘皆無誤,試求(1)原方程式。(2)正確之兩根。 13. 有一長方形的周長為 48,面積為 143,則此長方形的對角線長為何? 14. 若小明六年前年齡的平方恰好是六年後的年齡,則小明現年 歲。 l w

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Ans:1.(D);2.(C);3. 51,52;4. 7 公分,9 公分,11 公分;5.(D);6.(D);7. 20 隊;8. 40;9.(C); 10. 11;11.26 7 ;12.(1) 2x 2+6x+1=0,(2)-3± 7 2 ;13. 290 ;14. 10;15. 1.62。 心得筆記

數據

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參考文獻

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