幾個恆等式的組合證明

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幾個恆等式的組合證明

許介彥

私立大葉大學電機工程學系

壹、前言

從集合



0,1, 2,..., n



中選出不同的兩數，總共有多少種選法？這是一個相當容易的問題，既然集合中有 n1個不同的數，答案當然是C n( 1, 2)，也就是 2 ) 1 ( 2 1 _        n nn 所有這些選法可依所選出的兩數中較大的數是多少分為n 類；有些選法中較大的數 為1，有些為 2，……，有些為 n；如果我 們能夠知道這 n 類的每一類各有幾種選 法，這些選法數的總和應該就等於 ) 2 , 1 (n C 。考慮兩數中較大的數為k（1kn）的情形，此時另一個數有可能是多少呢？由於另一數須小於 k，因此有0 ,1 ,2,,k1 等總共 k 個可能的值。如前所述，當 n k 1  ,2, , ，所有選法數的總和等於 ) 2 , 1 (n C ，因此下式一定成立： 2 ) 1 ( 1  



 n n k n k 這就是我們熟悉的由 1 開始的連續正整數求和公式，此式在數學上有很多種證法，而上面的證明方式可說是此式的一個「組合證明」（combinatorial proof），也就是靠計算數量而得的證明。數學上有相當多恆等式可以利用組合的方式來證明；當我們要證明某個式子的等號左右兩邊相等，我們就「發明」一個與計算數量有關的問題，說明等號兩邊同樣都是該問題的答案（只是想法不同而已）；既然答案只有一個，所以等式成立。各類恆等式中，與二項式係數（binomial coefficients）有關的恆等式特別容易透過組合的方式來證明，因為 ) , ( kn C 可視為從 n 個東西中選出 k 個的方 法數，數的本身就含有組合上的意義。本文假設當n 時，k C( kn , )的值為 0。讓我們再看個例子。下面是與二項式係數有關的一個基本的式子：               k n n k n 我們「發明」的計數問題是：從 n 個人中 選出 k 個人的方法有幾種？答案顯然是 ) , ( kn C ，不過由於選出 k 個人其實也相當 於將n 個人排除，而由 n 人中選出k nk 人來排除的方法有C(n ,n 種，因此上式k) 成立。另一個基本的式子是                        k n k n k n 1 1 1 我們的問題同樣是：從 n 人中選出 k 人的

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方法有幾種？假設張三是這n 人之一，所 有選出k 人的選法可分為「張三有被選中」 與「張三沒被選中」兩大類，其中有選到張三的選法有C(n k1 , 1)種，沒選到張三的選法有C(n1 ,k)種，因此上式成立。上式通常稱做「巴斯卡恆等式」（Pascal’s identity），由該式可建構出著名的「巴斯卡三角形」（Pascal’s triangle）。以下我們看一些較複雜的例子。

貳、更多組合證明的例子

恆等式一：當

n1，



        n k n k n 0 2 . 問題：由 n 個人中選出一些人的方法有幾 種？假設這裡所謂「選出一些人」可以少到一個人都不選，也可以多到 n 個人全選。 由於從 n 個人中選出 k 個人的方法有 ) , ( kn C 種，因此答案顯然是



n_k_₀C(n,k)。另一方面，由於每個人都有「被選中」與「沒被選中」兩種可能，因此n 個人總共 可搭配出2 種不同的情形；這兩種考慮方n 式所得的結果應該相等，所以上面的等式成立。

恆等式二：當

n2，



         0 1 2 2 k n k n . 問題：由 n 個人中選出偶數個人的方法有 幾種？由於從 n 個人中選出2 個人的方法k 有 C(n ,2k) 種，因此答案顯然是 ) 2 , ( 0C n k k



。另一方面，假設張三是這 n 個人之 一；我們也可以先從除了張三之外的其他 1  n 個人中選出任意一些人（選法有2n1 種，見恆等式一），然後再考慮選不選張三；由於張三須與這些被選出的人湊成偶數，因此這些人的人數一旦確定之後，張三的命運也就跟著確定了，所以由 n 個人 中選出偶數個人的方法有2n1種。以上兩種方法所得的結果應該相等，因此上面的等式成立。請注意由恆等式一與恆等式二我們立即可知當n1，



                  0 1 0 2 1 2 2 k n k k n k n . 由此又可推知



         n k k k n 0 0 ) 1 ( .

恆等式三：

當n k1，                1 1 k n n k n k . 問題：由 n 個人中選出 k 個人來組成一個 代表隊，並在所選出的 k 人中指派 一人做為隊長，上述工作總共有幾種可能的作法？由 n 人中選出 k 人的方法有C( kn , ) 種，而由 k 人中選出一名隊長的方法有 k 種，因此總共有kC( kn , )種作法。

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另一方面，我們也可以先從全部 n 個 人中選出一人來做為隊長（選法有n 種）， 再從其他n1人中選出k1人來搭配剛才的隊長以組成代表隊；因此作法有 ) 1 , 1 (n k nC 種。以上兩種方法所得的結果應該相等，因此上面的等式成立。

恆等式四：當

n2，



         n k n n k n k 0 1 2 . 問題：由 n 個人中選出任意一些人來組成 一個代表隊，並且從這些人中指派一人做為隊長，上述工作總共有幾種可能的作法？由 n 人中選出 k 人的方法有C( kn, ) 種，由k 人中選出一名隊長的方法有 k 種， 因此答案為



n_k_₀kC(n,k)。另一方面，我們也可以先從全部 n 個 人中選出一人來做為隊長（選法有n 種）， 再從其他n1個人中選出任意一些人（選法有2n1種）來搭配剛才的隊長以組成代表隊，因此總共有n2n1種作法。以上兩種方法所得的結果應該相等，因此上面的等式成立。

恆等式五：當

nmk0，                            k m k n k n k m m n . 問題：由n 個人中選出 m 個人來組成一個 代表隊，並且從這 m 個人中選出 k 個人來做為代表隊的幹部，上述工作總共有幾種可能的作法？由於從 n 人中選出 m 人的方法有 ) , ( mn C 種，從 m 人中選出 k 人的方法有 ) , (m k C 種，因此答案為C(n,m)C(m,k)。另一方面，我們也可以先從全部 n 個 人中選出 k 個人做為代表隊的幹部（選法 有C( kn, )種），然後再從其他n 個人中k 選出m 個人（選法有k C(nk,mk)種）來搭配剛才的幹部以組成代表隊，因此總共有C(n,k)C(nk,mk)種作法。以上兩種方法所得的結果應該相等，因此上面的等式成立。附帶一提，利用恆等式五不難證明當 n m k   0 ，C( mn, )與C( kn, )必不互質。

恆等式六：

當n m1，



                     m k m m n k m k n k n 0 2 . 問題：由 n 個人中選出 m 個人來參加比 賽，並指派每名參賽者參加筆試或口試（兩者之一），上述工作總共有幾種可能的作法？由於從 n 人中選出 m 人的方法有 ) , ( mn C 種，而這 m 個參賽者每人都有參加 筆試或口試兩種可能，因此答案為 m m n C( , )2 。所有這些作法中，我們可以依參加筆試的人數來作分類；有些作法參加筆試的人數為0，有些為 1，有些為 2，……，有些為 m。考慮參加筆試的人數為 k 時的情

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形；我們可以從全部n 人中先選出 k 人來 參加筆試（選法有C( kn, )種），再從其他 k n 個人中選出 m 個人來參加口試k （選法有C(nk,mk)種），因此總共有 ) , ( ) , (n k C n k m k C   種作法。當 m k 0 ,1 ,2,, ，所有各類作法數的總和一定等於C(n,m)2m，因此上面的等式成立。

恆等式七：當

n1，             



 n n k n n k 2 0 2 . 問題：由 n 個男生和 n 個女生（總共2 個n 人）中選出 n 個人的方法有幾種？ 答案顯然是C(2n,n)，而所有這些選法可依所選出的n 人中的男生人數來分類。 當 n 人中含有 k 個男生時，女生人數必為 k n ；由於從 n 個男生中選出 k 個男生的 方法有C( kn, )種，從 n 個女生中選出nk 個女生的方法有C(n,nk)種，因此所選出的 n 人中含有 k 個男生的選法有 2                     k n k n n k n 種；當k0 ,1 ,2,,n，所有選法數的總和等於C(2n,n)，因此上面的等式成立。請注意我們也可以將恆等式七解讀為：由n 個男生及 n 個女生中選出相同數 量的男生與女生的選法有C(2n,n)種。

恆等式八（二項式定理）：當

n1，



          n k k n k n _x _y k n y x 0 ) ( . 問題：某間大學這學期的體育課總共有 x 種室內項目及 y 種室外項目可供學 生選修，每名學生須從這x 個運y 動項目中選擇一項。如果學生人數為 n，總共有多少種可能的選課結 果？由於總共有 n 名學生而每名學生都有 y x 個可能的選擇，因此總共有₍_x__y₎n_種可能的選課結果。另一方面，我們可將所有選課方式依選修室內項目的學生人數分類；當選修室內項目的學生數為 k 時（此時選修室外項 目的學生數為n ）k ，由於從 n 人中選出 k 人的方法有C( kn, )種，而這 k 個人每人都 可選擇x 種室內項目之一，其他n 個人k 則是每人可選擇 y 種室外項目之一，因此 當選修室內項目的學生數為 k 時總共有 k n k_y x k n C( , )  種可能的選課結果；當 n k0 ,1 ,2,, ，總共有



_kn_₀C(n,k)xkynk 種可能的選課結果。以上兩種方法所得的結果應該相等，因此上面的等式成立。

恆等式九：

當n k0，               



 1 1 k n k m n k m . 問題：由集合{1 ,2 ,3,,n1}中選出k1 個數的方法有幾種？答案顯然是C(n k1, 1)，而所有這些選法可依所選出的 k1個數中的最大數的值分類；當所選出的k1個數中的最大

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數為m1時，另外k 個數必須由小於或等 於 m 的所有正整數（即{1 ,2,,m}）中選出，選法有 C(m,k) 種；當 1 , , 2 , 1 1     k k n m  （也就是 n k k m , 1,, ），所有選法數的總和一定等於C(n k1, 1)，因此上面的等式成立。本文一開始提及的連續正整數求和公式其實是此式在k1時的特例。

恆等式十：當

n k2 0，



                       k n k m k n k m n k m 1 2 1 . 問題：由集合{1 ,2 ,3,,n1}中選出2k1 個數的方法有幾種？答案顯然是C(n1 ,2k1)，而所有這些選法可依所選出的2k1個數的中位數（median ）的值分類，當中位數為 m1 時，比中位數小的k 個數須由{1 ,2,,m}中選出（選法有C(m,k)種），比中位數大的另外 k 個數須由{m2,m3,,n1}中選出（選法有C(nm,k)種），因此當中位數為m1時的選法有C(m,k)C(nm,k)種；當 m1k1, k2 , ,n1k （也就是 , , 1 ,    kk m n ），所有選法數的總和k 一定等於C(n1 ,2k1)，因此上面的等式成立。

恆等式十一：當

n ， m                    



 m m n k m k n m k 0 . 問題：由n 個男生與 m 個女生中選出 m 個 人的方法有幾種？答案顯然是C(nm,m)，而所有這些選法可依被選中的男生的人數分類，當男生有 k 個人被選中（選法有C( kn, )種）時，女生有 mk 個人被選中（選法有 ) , (m m k C  種），因此所選出的m 人中有 k 個男生的選法有                           k m k n k m m k n 種；當k 0 ,1 ,2,,m，所有選法數的總和一定等於C(nm,m)，所以上面的等式成立。上式的一個「非組合證明」是將等號左邊看成是(



_k_₀C(n,k)xk)(



_k_₀C(m,k)xk)中 m x 的係數；由二項式定理得                



  k k k k _C _m _k _x x k n C 0 0 ) , ( ) , ( m n _x x) (1 ) 1 (    m n x   (1 ) 由於 (1 )x nm 中 xm 的係數為 ) , (n m m C  ，因此上面的等式成立。前面的恆等式七其實是恆等式十一在m 時的特例。 n

恆等式十二：當

n1，               



 1 2 2 2 2 0 2 n n n k n k n k . 問題：由 n 個男生中選出任意一些人來組 成一個代表隊，由 n 個女生中也選

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出相同數量的女生來組成另一個代表隊，各隊中又分別選出一人做為隊長，上述工作總共有幾種可能的作法？考慮男生與女生各選出 k 人的情形。 由 n 個男生中選出 k 人的方法有C( kn, ) 種，而由 k 人中選出一名隊長的方法有 k 種，因此男生的部分總共有kC( kn, )種作法；女生的部分同樣也有kC( kn, )種作法，因此男女搭配總共有(kC(n,k))2種作法；當k0 ,1 ,2,,n，所有可能的作法總數為 2 0(kC(n,k)) n k



。另一方面，我們也可以先選出男生與女生各一人做為隊長（選法有nnn2 種），然後再從剩下的n1個男生與n1個女生（總共2n2個人）中選出相同數量的男生與女生做為兩隊隊員（選法有 ) 1 , 2 2 ( n n C 種，見恆等式七），因此總共有n2C(2n n2, 1)種作法。以上兩種方法所得的結果應該相等，因此上面的等式成立。

參、一般化的巴斯卡恆等式

將 14 個人分成甲、乙、丙、丁四組，每組分別含有5、4、3、2 個人，總共有多少種分法？我們可先從全部 14 個人中選出 5 人編入甲組（選法有C(14 ,5)種），再從剩下的 9 個人中選出 4 人編入乙組（選法有 ) 4 , 9 ( C 種），再從剩下的 5 個人中選出 3 人編入丙組（選法有C(5 ,3)種），再將剩下的 2 個人編入丁組（選法有C(2 ,2)種）；因此所求為 ) 2 , 2 ( ) 3 , 5 ( ) 4 , 9 ( ) 5 , 14 ( C C C C    ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! 14 ! 0 ! 2 ! 2 ! 2 ! 3 ! 5 ! 5 ! 4 ! 9 ! 9 ! 5 ! 14 _ _ _ _  . 一般而言，將 n 個人分為 r 組，其中 第一組有 k 個人，第二組有₁ k 個₂ 人，……，第 r 組有k 個人的分法總共有 r ! ! ! ! 2 1k kr k n  種；請注意k₁k₂k_r n。數學上常將上式記作       r k k k n ₂ 1  或 ) , , , ; (n k₁ k₂ k_r C  並稱這種數為multinomial coefficients。二項式係數其實是上式在r2時的特例：                 1 1 1 2 1 2 1 !( )! ! ! ! ! k n k n k n k k n k k n 前面提過的巴斯卡恆等式此時成了                         1 1 1 1 ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ 1 k k n k k n k k n . 一般而言，       r k k k k n ₂ ₃ 1  =                   r r k k k n k k k n 1 1 1 1 2 1 2 1                     1 1 1 1 1 3 2 1 r k kr n k k k k n    從組合的觀點不難說明上式為何成立，我們的組合問題是：將 n 個人分為 r 組，其 中第一組有 k 個人，第二組有₁ k 個₂

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人，……，第 r 組有k 個人的分法有幾種？_r 我們已知答案為       r k k k k n ₂ ₃ 1  另一方面，假設張三是這 n 人之一； 所有分法可依張三被編入哪一組來分類；如果張三是被編入第 i 組，剩下的n1人中將有k 個人被編入第一組，有₁ k 個人被₂ 編入第二組，……，有k_i1個人被編入第 i 組，……，有k 個人被編入第 r 組；由於_r i 可能是介於 1 與 r 之間的任何數（含 1 與 r），因此所有 r 種可能情形的分法數的 和即為所求。以上兩種方法所得的結果應該相等，因此上述恆等式確實成立。

肆、結語

相對於二項式定理，我們也可以證明 ) , , , ; (n k₁ k₂ k_r C  是 n r x x x ) ( ₁ ₂ 的展開式中 kr r k k _x _x x1 2 2 1 的係數；也就是說， n r x x x ) ( ₁ ₂



          n k k k k r k k r r r x x x k k k k n    2 1 2 1 2 1 3 2 1 這個定理稱做multinomial theorem。二項式定理就是此定理在r2時的特例。只要情境營造得宜，恆等式的組合證明常可讓所證明的式子「活起來」，式子裡的每一項都顯得生動且理所當然，這樣的證明方式不僅有趣，所得的結論也特別具有說服力。

伍、練習題

以下的恆等式也都可以用組合的方式來證明，提供讀者參考。 1. 當n k 0， )! ( ! ! k n k k n n _        2. 當n k 0，                k n n k n k n ) 1 ( 3. 當n2，                  2 2 ) 1 ( ) 1 ( k n n n k n k k 4. 當n m0，



                      0 1 2 2 2 k m n m n m k k n 5. (Vandermonde’s identity)當m,n0，



                     k j k n m j k n j m 0 6. n m0, 1，



                      0 1 1 k m m n n k m k n k 7. 當n2，



          0 2 2 ₍ ₁₎₂ k n n n k n k 8. 當m n0, 0，



                           m k m k k k m k n m k n k m 0 0 2

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