1 線規0 線 98
96 學年學科能力測驗數學考科試題
第 一 部 分 ： 選 擇 題 （ 佔 5 5 分 ） 壹 、 單 選 題 （ 佔 2 5 分 ） 說明：第1 至 5 題，每題選出最適當的一個選項，劃記在答案卡之「解答欄」，每題答對得 5 分，答錯不倒扣。 1. 設 f x( )ax6 bx4 3x 2，其中 a, b 為非零實數，則 f(5) f( 5) 之值為(1) –30 (2) 0 (3)2 2(4) 30 (5) 無法確定(與 a, b 有關) 2. 試問共有多少個正整數 n 使得坐標平面上通過點A n( , 0)與點 B(0, 2)的直線亦通過點P(7, )k ，其中 k 為某一正整數？(1) 2 個(2) 4 個(3) 6 個(4) 8 個(5)無窮多個 3. 設某沙漠地區某一段時間的溫度函數為 f t( ) t2 10t11，其中1 t 10，則這段時間內該地區的最大溫差為 (1) 9 (2) 16 (3) 20 (4) 25 (5) 36 4. 坐標平面上方程式 2+ 2 1 9 4 x y 的圖形與( 1)2 2 1 16 9 x y 的圖形共有幾個交點？(1) 1 個(2) 2 個(3) 3 個(4) 4 個(5) 0 個 5. 關於坐標平面上函數ysinx的圖形和 10 x y 的圖形之交點個數，下列哪一個選項是正確的？(1)交點的個數是無窮多(2) 交點的個數是奇數且大於 20(3)交點的個數是奇數且小於 20(4)交點的個數是偶數且大於或等於 20(5)交點的個數是偶數且小 於 20 貳 、 多 選 題 （ 佔 3 0 分 ） 說明：第6 至 11 題，每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的，選出正確選項劃記在答案卡之「解答欄」。每題皆不倒扣 ， 五個選項全部答對者得5 分，只錯一個選項可得 2.5 分，錯兩個或兩個以上選項不給分。 6. 若 { |z z為複數且z 1 1}，則下列哪些點會落在圖形 { |w w iz z , }上? (1) 2i(2)－2i(3) 1 i (4) 1－i(5) －1＋i 7. 坐標平面上有相異兩點P、Q，其中P點坐標為( , )s t 。已知線段PQ的中垂線L的方程式為3x4y0，試問下列哪些選項 是正確的？(1)向量PQ與向量(3, 4) 平行(2)線段PQ的長度等於 6 8 5 s t (3)Q點坐標為( , )t s (4)過Q點與直線L平行之直線必 過點( , ) s t (5)以 O 表示原點，則向量OPOQ與向量PQ的內積必為 0 8. 下列哪些選項中的矩陣經過一系列的列運算後可以化成 1 1 0 0 2 1 1 0 7 3 2 1 ？ (1) 5 3 2 0 2 1 1 0 7 3 2 1 (2) 0 7 1 3 0 1 1 1 0 1 3 1 (3) 5 2 1 1 2 1 1 1 5 2 1 1 (4) 1 2 2 2 0 1 1 1 6 3 1 2 (5) 1 0 1 0 2 1 1 0 7 2 3 1 9.坐標空間中，在xy平面上置有三個半徑為 1 的球兩兩相切，設其球心分別為A B C, , 。今將第四個半徑為 1 的球置於這三個 球的上方，且與這三個球都相切，並保持穩定。設第四個球的球心為P，試問下列哪些選項是正確的？(1) 點A B C, , 所在 的平面和xy平面平行(2) 三角形ABC是一個正三角形(3) 三角形PAB有一邊長為 2(4) 點P到直線AB的距離為 3(5) 點P 到xy平面的距離為1 3 10.設 a 為大於 1 的實數，考慮函數f x( ) ax與g x( ) log ax，試問下列哪些選項是正確的？(1)若 f(3) = 6，則g(36) 6 ( 2) (238) (38) (219) (19) f f f f (3) (238)g g(219) (38) g g(19)( 4) 若 P, Q 為y g x ( )的 圖 形 上 兩 相 異 點 ， 則 直 線 PQ 之斜率必為正數 (5) 若直線 y5x與y ( )f x 的 圖 形 有 兩 個 交 點 ， 則 直 線 1 5 y x與y g x ( )的 圖 形 也 有 兩 個 交 點 11. 設f x( )為一實係數三次多項式且其最高次項係數為 1，已知f(1) 1, (2) 2, (5) 5 f f ，則 f x( ) 0 在下列哪些區間必定有實 根？(1) (–, 0) (2) (0, 1) (3) (1, 2) (4) (2, 5) (5) (5,) 第 二 部 分 ： 選 填 題 （ 佔 4 5 分 ） 說明：1.第 A 至 I 題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號 (12–41)。 2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。A.設實數 x 滿足0 x 1，且log 4 logx 2 x1，則 x＝ 。(化成最簡分數)
B.在坐標平面上的ABC中，P 為BC邊之中點，Q 在AC邊上且AQ2QC。已知PA(4,3)，PQ (1,5)，則BC ( , ) 16 17 13 12 14 15
1 C.在某項才藝競賽中，為了避免評審個人主觀影響參賽者成績太大，主辦單位規定：先將15 位評審給同一位參賽者的成績 求 得算術平均數，再將與平均數相差超過15 分的評審成績剔除後重新計算平均值做為此參賽者的比賽成績。現在有一位參 賽 者所獲15 位評審的平均成績為 76 分，其中有三位評審給的成績 92、45、55 應剔除，則這個參賽者的比賽成績為( ) 分。 D.某巨蛋球場 E 區共有 25 排座位，此區每一排都比其前一排多 2 個座位。小明坐在正中間那一排(即第 13 排)，發現此排共 有64 個座位，則此球場 E 區共有 個座位。 E.設 P, A, B 為坐標平面上以原點為圓心的單位圓上三點，其中 P 點坐標為(1, 0)，A 點坐標為 ( 12 13 , 5 13)，且APB為直角 ，則B 點坐標為 ( , )。(化成最簡分數) F.某公司生產多種款式的「阿民」公仔，各種款式只是球帽、球衣或球鞋顏色不同。其中球帽共有黑、灰、紅、藍四種顏色， 球衣有白、綠、藍三種顏色，而球鞋有黑、白、灰三種顏色。公司決定紅色的球帽不搭配灰色的鞋子，而白色的球衣則必須 搭配藍色的帽子，至於其他顏色間的搭配就沒有限制。在這些配色的要求之下，最多可有 種不同款式的「阿民」公仔。 G.摸彩箱裝有若干編號為1,2, ,10 的彩球，其中各種編號的彩球數目可能不同。今從中隨機摸取一球，依據所取球的號數給予 若干報酬。現有甲、乙兩案：甲案為當摸得彩球的號數為 k 時，其所獲報酬同為 k；乙案為當摸得彩球的號數為 k 時，其 所獲報酬為 11– k (k1, 2, ,10 )。已知依甲案每摸取一球的期望值為，則依乙案每摸取一球的期望值為 。(化 成最簡分數) H.坐標平面上有一以點 V(0, 3)為頂點、F(0, 6)為焦點的拋物線。設 P(a, b)為此拋物線上一點，Q(a, 0)為 P 在 x 軸上的投影， 滿足FPQ600 ，則 b = 。
I.在ABC中，M 為BC邊之中點，若AB3，AC5，且BAC1200， 則tan BAM ＝ 。(化成最簡根式) 32 33 36 37 34 35 26 27 24 25 30 31 28 29 41 40 18 19 38 39 20 21 22 23
1 參 考 公 式 及 可 能 用 到 的 數 值 1. 一元二次方程式 ax2bx c 0 的公式解： a ac b b x 2 4 2 2. 平面上兩點P1
x1, y1
，P2
x y2, 2
間的距離為P P1 2 x2 x1 2 y y 2 1 2 ( ) ( ) 3. 通過
x1, y1
與
x y2, 2
的直線斜率 2 1 2 1 y y m x x , x2x1. 4. 等比數列 ark1 的前 n 項之和 (1 ) , 1. 1 n n a r S r r 5. 三角函數的和角公式：sin(A B ) sin cos A Bsin cosB A
1 2 1 2 1 2 tan tan tan( ) 1 tan tan
6. ABC 的正弦定理： sinA sinB sinC a b c ABC 的餘弦定理： c2a2b22abcosC
7. 棣美弗定理: 設z r
