Unit 8 比與比例式

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(1)

2 : : : : 2 : 7 2 7 : 7 7 14 : 49 a b a b a b ab b eg =   = =   =

(

)

(

)

2 : : : ! 0 , 2 : 7 2 2 : 2 7 4 :14 : 0 0 : 7 0 0 : 0 7 0 : 0 , 0 : 0 0 a b a a b a a ab a eg =   = =  =   =   =   ==      Q 不一定成立 當 時 不成立 成立 不成立 無意義 Unit 8 比與比例式 能力指標:◎(N-3-07)能熟練比例式的基本運算(含 a:b=c:da/b=c/d; a:b =c:dad=bc; a:b=c:d  a=bk,c=dk; a/b=c/dad=bc; a/b =c/da=bk,c=dk;比的化簡)。 ◎(N-3-07)能理解連比和連比例的意義。 ◎(N-3-05、N-3-07)能熟練連比例式的應用,如單位換算、三角形 面積與邊長或圓面積與半徑間的變化關係。 能力一:比與比值 一、比的定義

假設 a、b 為同類量(相同單位)的任意兩實數,將 a、b 的比寫成 a:b,『a』為 比的前項;『b』為比的後項且後項不可為 0(b≠0)。 二、比的性質 (一)比的乘、除性質 比的前項與後項『同乘』與『同除』一個不為 0 的數,其值不變。 eg:a b: a m b m: a b:

(

m & n 0

)

n n =   =  (二)比值 若比的前項(a)除以後項(b)所得的商即為『比值(a b)』;比值常用分數型式 表示(且要以最簡分數或整數表示),另外比值是同類量相除的結果,故比值沒 有單位。 (三)比與比值的迷思概念 1.『比』是除法概念的延伸,所以僅在前項與後項『同乘』與『同除』時,其值 不變;因此,比的前項與後項『同加』與『同減』,其值會改變! 2.假設 : a bb 0時,請注意下列情形: (1) (2)

(2)

(3) 2 2 : : : a b= a a b b =a b (僅在 a、b 均為 1 時才成立) 【比與比值】 講解一: (1)若 a=2、b=5,則

( )

(

)

2 2 a-b ab : ab a+b 的比為何?又比值為何呢? (2)健明是一位大官,某天自行開車上班,開到全部路程的6 7時,因為沒油所 以在路上拋錨,因為已經接近目的地了,所以,健明叫隨扈人員推車,若推車的 時間是開車的 3 倍,請問健明開車及推車的速度比為何呢? Sol) (1)

( )

(

)

2 2 2-5 2 5 9 10 441 : : 441:100 = 2 5 2+5 10 49 100   比值 (2)設全部路程是 s,開車的時間是 t 開車的速度是6s t=6s 7  7t ,推車的時間是 1 s s 3t= 7  21t 開車速度比推車速度是6s: s =18st:st=18:1 7t 21t 練習一: (1)若

( ) (

x-6 : y+3 =

)

2 5,且 x ,試求0

(

5x-36 :6y 的比與比值為何呢?

)

(2)有小朋友在池塘中溺水了,消防局的人員為了知道池塘有多深,便拿了一 根竹竿伸到水中測量水深,測量後知道竹竿沾有水的長度是沒沾到水的 2 倍,沾 有泥土的長度佔全長的1 5,請問竹竿在水中長度與全長的比值為何呢? Sol) (1)

( ) (

)

(

) ( )

(

)

x-6 : y+3 =2:5 2 y+3 =5 x-6 2y+6=5x-30 1 2y=5x-36 5x-36 :6y=2y:6y=1:3 3      比值 (2)設竹竿全長為 x,水中及水面上的長度和為 1-1 x=4x 5 5       , 水中的長度是水面上的 2 倍,所以水中的長度為4x 2= 8 x 5 3 15 , 水中的長度與全長的比為 8 x:x=8:15 8 15  比值15

(3)

【十分鐘即時練習】 (B)1.請問 2 3 m n :mn(m、n≠0)的比值為下列何者呢?(A)mn (B) 2 mn (C) 2 m n(D) 2 2 m n 。 Sol) 2 3 2 3 m n 2 m n :mn= =mn mn (B)2.試求 2 分鐘:50 秒的比值為何呢?(A)5 12(B) 12 5 (C) 1 25(D) 13 5 。 Sol)2分鐘:50秒=2 60秒:50秒=120:50=12 5  (C)3.有一個長方形,其長:寬=4:3,已知寬為 90 公分,求此長方形的長為 何呢?(A)100(B)110(C)120(D)130 公分。 Sol)長:寬=4:3 長:90=4:3 長=90 4=120 3    (D)4.一食鹽水溶液有 600 公克,如果食鹽重量與食鹽水溶液重量比是 3:197, 問食鹽有幾公克呢?水有幾公克呢?(A)鹽:6 公克;水 594 公克(B) 鹽:7 公克;水 593 公克(C)鹽:8 公克;水 592 公克(D)鹽:9 公克; 水 591 公克。 Sol)

( )

( )

食鹽 3 食鹽 3 3 600 = = 食鹽= =9 克 食鹽水 200 600 200 200 食鹽 3 9 200 9 = = 水= -9=591 克 食鹽+水 200 9+水 3      (A)5.若甲的體重比乙的體重是 5:4,丙的體重比乙的體重是 6:5,丁的體重 比乙的體重是 35:38,問四人中誰最重?(A)甲(B)乙(C)丙(D) 丁。 Sol)甲:乙=5:4, 丙:乙=6:5, 丁:乙=35:38 4,5,38 =380, 甲:乙=475:380, 丙:乙=456:380, 丁:乙=350:380甲最重     能力二:比例式與連比例 一、比例式的意義 若a b: =c d b:

(

0, d 0

)

成立,則稱 : a b及 :c d的比相等或比值相等;同時我 們稱 a 和 d 為外項,b 和 c 為內項,這樣的式子稱為比例式。 1 5 1 : 1: 2 , 5 :10 1: 2 5 :10 2 10 2 eg = = =  =

(4)

二、比例式的運算 (一)內項相乘=外項相乘 (二)等號兩邊交叉相乘 (三)在未化簡的比例式中,等號兩邊常常具有公倍數的關係,例如:2 : 3 6 : 9= , 等號右邊與左邊呈現公倍數(3)關係( 2 : 3 2 3 : 3 3 6 : 9=   = )。 因此,我們可以設此公倍數為 r,如此2 : 3=2 : 3 r r

(

r為非 的任意數 。 0

)

a b: =c d: 可假設 a=cr b, =dr 解題。 三、連比例式的意義 若xyx 0、abc  且0 x y z a b c, , , , , 皆不為 0,則x y z: : =a b c: : 或x y z a = b = 稱為c 連比例式。 四、連比例式的運算 (一)見「比」設r

: :

:

:

:

:

:

:

r

r

r

r

x

a

x y z

a b c

x y z

a

b

c

y

b

r

z

c

r

=

=

=

=

 =

可設

(二)見「=」設k

x

a

x

y

z

x

y

z

y

b

a

b

c

a

k

k

b

c

z

c

k

k

=

 =

= =

=

=

=

 =

可設

(三)連比的合併 已知 a:b 及 b:c 時,要合併為連比,先找出相同的『項』,先求其最小公倍數, 再擴分後合併,請見以下說明:

: 3 : 5 : 4 : 7 : : ? : : : 3 : 5 5, 4 20 3 4 : 5 4 : 4 : 7 4 5 : 7 5 a b b c a b c a b c a b b c = = = =   =     =   假設 且 求 12 : 20 : 35 : :a b c 12 : 20 : 35  =

:

:

a b

=

c d

a db c

b c

a d

  = 

a b

:

=

c d

:

 =

b

a

d

c

a d

b c

  = 

(5)

【比例式】 講解一: (1)若

( ) (

x-3 :6= x+7 :7 ,請問 x=?

)

(2)5:7=22 14: = b : 9 a 5 28 20,請問 a+b=? Sol) (1)

( ) (

x-3 :6= x+7 :7

)

6 x+7 =7 x-3

(

) ( )

6x+42=7x-21 42-21=x, x=21    (2) 22 14 154 70 7 =5 = a=11 22 14 b 9 a 5 a 5 5:7= : = : a+b=20 b 9 b 9 a 5 28 20 7 =5 = b=9 28 20 4 4               練習一: (1)若 3 :2x =6:7 14 5 ,請問 x=? (2)若4y-7x=1 3x+y 2,請問 2 2 x :y =? Sol) (1) 2x 2x 12 3 3 3 : =6:7 6 7 14 5 5 14 5 2 15 15 15 1 5 12 12 2 2 2 12 8 x x x x   =   = =  =   =   =  (2)

(

) (

)

2 2 4y-7x 1 = 8 14 3 7 17 3x+y 2 : 17 : 7 : 289 : 49 y x x y y x x y x y  − = +  = =  = 【連比例】 講解二:

(1)若x:y=3:2,y:z=7:5,請問 x:y:z= ?

(2)若 a:b=1:5 , b:c=4:3 ,請問○1 a:b:c=? ○2 1 1 1: : =? a b c Sol) (1) : : 3 : 2 x:y:z=21:14:10 7 : 5 3 7:7 2:5 2 21:14:10 x y z     

(6)

(2) a : b : c 1 : 5 4 : 3 1 4:5 4:5 3=4:20:15 a:b:c=4:20:15 1 1 1 1 1 1 : : = : : =15:3:4 a b c 4 20 15      練習二: (1)若a:b= :3 2 2 3, 1 1 b:c=5 :4 4 5,請問 a:b:c=? (2)若 a:b=0.7:0.9 , b:c=0.3:0.8 ,請問1 1 1: : a b c=? Sol) (1)

(

) (

) (

)

a:b=9:4, b:c=5:4 a:b:c= 9 5 : 4 5 : 4 4 =45:20:16   (2) 7 9 3 8 a:b= : =7:9, b:c= : =3:8 10 10 10 10 1 1 1 1 1 1 a:b:c=7:9:24 : : = : : =72:56:21 a b c 7 9 24  【連比例式】 講解三:

(1)若x:y:z=3:4:5,請問

(

x+2y+3z : x+2y-3z = ?

) (

)

(2)若xyz0,且2x=3y=5z,則 x:y:z =?

Sol) (1)

(

) (

) (

) (

)

( )

( )

x:y:z=3r:4r:5r r x+2y+3z : x+2y-3z = 3r+8r+15r : 3r+8r-15r =26r: -4r =13: -2  設 看到比設 (2)

2x=3y=5x=k k k k k k k k x= , y= , z= x:y:z= : : =15k:10k:6k=15:10:6 2 3 5 2 3 5   設 看到等號設 練習三:

(7)

(2)若xyz0,且1x=1y= z1 4 2 3 ,請問

(

x+y : y+z : z+x =

) (

) (

)

? Sol) (1)

(

) (

) (

) (

) (

) (

)

3x:4y:5z=6:7:8 r 6 7 8 3x:4y:5z=6r:7r:8r x:y:z= r: r: r=120r:105r:96r=40:35:32 3 4 5 x=40r, y=35r, z=32r x+y : y+z : z+x = 40r+35r : 35r+32r : 32r+40r =75:67:72   看到比設 (2)

(

) (

) (

) (

) (

) (

)

1 1 1 x= y= z k 4 2 3 1 1 1 x= y= z=k x=4k, y=2k, z=3k 4 2 3 x+y : y+z : z+x = 4k+2k : 2k+3k : 3k+4k =6:5:7   看見等號設 【十分鐘即時練習】 (C)1.若 a、b 都是正數,且 5a=2b,下列各敘述中何者正確(A)a>b(B)a: b=5:2(C)a:b=2:5(D)2b=5a。

Sol) 5a=2ba:b=2:5a<b

(B)2.請問(2x+3):5=(3x-15):6,x 的值為何呢?(A)21(B)31(C) 69(D)96。

Sol)

(

2x+3 :5= 3x-15 :7

) (

)

15x-75=14x+21x=96

(A)3.已知 5a:4b=3:16,求 a:b=?(A)3:20(B)13:20(C)17:20 (D)19:20。

Sol) 5a:4b=3:1612b=80aa:b=12:80=3:20

(D)4.已知 a:b=3:4,b:c=2:5,求連比 a:b:c=?(A)46:52:71(B) 23:24:20(C)13:14:10(D)3:4:10。

Sol)a:b=3:4, b:c=2:5a:b:c=3:4:10

(C)5.設 x:y:z=2:5:6,且〔x,y,z〕=60,則 3x+y-z=? (A)8(B)9(C)10(D)11。 Sol) 設 x=2r,y=5r,z=6r,∴〔2r,5r,6r〕=6030r=60,r=2,∴x=4, y=10,z=12,故 3x+y-z=12+10-12=10 能力三:反比及其它性質 一、反比 當 a、b≠0 時,『a:b』的反比為『b:a』,亦即 a b: 1 1: ab b a: a b = 同乘  。

(8)

當連比時,a b c: : : : , c b a 1 1 1: : bc ca ab: : a b c = 之反比不是 而是 。 二、比的其他重要性質 若 :a b=c d: 則: (一)更比性質 a c: =b d: 或 :d b=c a: (二)合比性質

(

a+b

)

:b=

(

c+d

)

:d (三)分比性質

(

a b-

)

:b=

(

c d-

)

:d (四)合分比性質

(

a+b

) (

: a b-

) (

= c+d

) (

: c d-

)

a c e a c e b d f b d f + + + = = =  + + + L L L 若 三、比例尺的換算 (一)比例尺通常用於地圖或者工程圖上,用以表示縮圖『長度』與實際『長度』 的比或比值。 (二)比例尺的表示法 1.比值表示法: 1 10000 縮圖 實際 2.比的表示法:1:1000 縮圖 實際: 3.圖示法: (三)比例尺的換算 1.比例尺的實際『長度』:當比例尺為 1 100代表實際『長度』是縮圖上的 100 倍。 2.比例尺的實際『面積』:當比例尺為 1 100代表實際『面積』是縮圖上的

( )

2 100 倍。 四、面積與體積的比例換算 (一)面積的比例 面積比為長度的平方比: 2 2 1: 2 1 : 2 A A = l l (二)體積的比例

(9)

體積比為長度的立方比: 3 3 1: 2 1 : 2 V V = l l (三)面積比與體積比的換算

( ) ( )

( ) ( )

2 2 3 3 1 2 1 2 3 3 1 2 1 2 : : : : A A V V V V A A = = 【反比】 講解一: (1)時鐘的時針與分針各旋轉一圈,所需時間的比值為何? (2)從 A 鎮到 B 鎮,甲31 3小時可到,乙 1 5 5小時可到,則甲、乙兩人速率的比 為何? Sol) (1)時針繞一圈需 12 小時,分針繞一圈需 1 小時,則所需時間的比值為12 1 = 12 (2)距離相同,則速率與時間成反比,時間比=31 3 :5 1 5 =25:39, 則速率比=39:25 練習一: 嘉愷騎車經過一山坡,上坡時每分鐘 30 公尺,下坡每分鐘 45 公尺,上下坡共花 費了 60 分鐘,請問此上坡的路長為何呢? Sol) 上、下坡所費的時間與速率成反比

(

)

1 1 3 : =3:2, =30 60 =1296 30 45 5       上坡長 公尺 【比例尺】 講解二: 高速鐵路一根鐵軌的長是 8 公尺,在工程圖上表示為 4 毫米(mm),請問比例尺 為何呢? Sol) 3 4mm 4mm 1 = = = 8m 8 10 mm 2000 比例尺

(10)

練習二: 面積為 3600 2 km 的正方形土地,需要用多大的長度比例尺才能縮成面積為 1.44 2 m 的地圖呢? Sol) 2 3 4 2 1.44m 1.2m 1.2 1 = = = = 60km 60 10 5 10 3600km   比例尺 【面積比與體積比】 講解三: 有一正 n 邊形的邊長增加 30%時,請問其面積增加多少呢? Sol)

(

)

2 2 = 1+30% -1=1.3 -1=0.6969% 面積增加 練習三: 設有 A、B 兩正方體體積和為 280 3 cm ,若兩正方體之表面積比為 4:9,請問此 兩正方體的表面積和為多少呢? Sol)

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

3 3 A B 2 3 3 2 A 2 A,B 4:9 =V :V = 4 : 9 =8:27 8 V =280 =64 cm , A =6 64 =96 cm , 8+27 4+9 =96 =312 cm 4        之表面積比為 體積比 的表面積 兩者的表面積和 【十分鐘即時練習】 (A)1.在彈性限度內,每一公克砝碼使彈簧伸長的量都一樣。子睿放了 7 公克 砝碼,彈簧伸長 12 公分,如果他改放一塊金屬,結果彈簧伸長了 6 公 分,則此塊金屬應該有多少公克? (A)28 3 公克(B) 28 2 公克(C) 48 7 公 克(D)48 9 公克。 Sol) y=kx,12=7k,k= 7 12 ,∴y= 7 12 x,16= 7 12 x,x=28 3 (C)2.x 與 y 成正比且當 x=2 時,y= 2 1 ;又 z 與 y 成反比且當 z=5 時,y= 2 1 ,

(11)

則 x、z 的關係式為 (A)x=10z(B)z=10x(C)xz=10(D)xz= 1 10。 Sol)y=kx ∴ 2 1 =k2 ∴k= 4 1 即 y= 4 1 x……○1,yz=k', 2 1 3=k',k'=5 2即 yz=5 2……○ 2 ,○1 代入○2 : 4 1 xz=5 2∴xz=10 (A)3.已知兩個正方形,其邊長的比為 3:4,則其面積的比為何呢?(A)9: 16(B)3:4(C)13:14(D)19:26。 Sol)面積比=邊長的平方比3:4=3 :4 =9:162 2 (B)4.設 y 與 x 成反比,當 x 值減少 25%時,即 y 變為原來的多少倍呢?(A) 3 4(B) 4 3(C) 7 8(D) 8 7。 Sol) xy=k,x 減少 25%即 x 變為原來 4 3 ,∴y 變為原來的 3 4 (B)5.自由落體落下的距離 y 公尺,隨著時間 x 秒的平方成正比,今一小石頭 自 156.8 公尺高的大樓落下費時 4 秒,請問在第 4 秒內落下的距離為多少公尺 呢?(A)34.2(B)68.4(C)66.8(D)86.4 公尺。

Sol) 設 y=kx2,x=4,y=156.8 代入,156.8=k42,k=9.8 ∴y=9.8x2;x

=3 代入:y=9.832=88.2,∴156.8-88.2=68.6 公尺 【基本觀念題】 (D)1.星巴克水果店準備一些裝有 5 個蘋果與 7 個水梨的水果禮盒,已知總共 用了水梨 126 個,問蘋果用了多少個?(A)176(B)167(C)160(D) 90(顆)。 Sol)5:7=蘋果顆數:126 蘋果顆數=126 5=90 顆

( )

7   (C)2.已知在地圖上,甲、乙兩地的距離為 1.7 公分,甲、丙兩地的距離為 2 公分。如果甲地與乙地的實際距離為 51 公里,那麼甲地與丙地的實際 距離為多少公里?(A)40(B)50(B)60(D)70 公里。 Sol)設甲,丙兩地實際距離為x, 則1.7 51= x=51 2=60 公里

(

)

2 x 1.7   (A)3.天天甜水果行的奇異果每公斤賣 95 元,時時甜水果行的奇異果每台斤賣 60 元,請問哪一家水果行賣的奇異果較便宜?(1 台斤=0.6 公斤)(A) 天天甜(B)時時甜(C)一樣便宜(D)不能比較。 Sol) 時時甜水果行每台斤賣60元=每0.6公斤賣60元 換算後每公斤賣60 0.6=100元 所以,天天甜水果行賣的比較便宜   (C)4.在 900 公克的水中,加入食鹽 100 公克,溶解成食鹽水溶液,請問在食

(12)

鹽水溶液中再加入食鹽 200 公克,那麼此食鹽水溶液中『水』的重量所 占的比率為多少%?(A)20%(B)25%(C)75%(D)80%。

(

)

100+200 重量百分濃度= 100%=0.25 100%=25%, 100%-25%=75% 900+ 100+200   (A)5.已知 a:b:c=2:5:7,求(a+3b-c):(3a-b+c)的比值為何呢? (A)5 4 (B) 4 5 (C) 3 10(D) 10 3 。 Sol)

( )

( )

a:b:c=2:5:7 , 令a=2r, b=5r, c=7r 5 2r+3 5r -7r : 3 2r -5r+7r =10r:8r= 4         (D)6.若 a、b、c 均不為 0。已知 5 a= 4 b= 9 c,求連比 a:b:c 為何呢?(A)2: 5:9(B)4:5:9(C)9:4:5(D)5:4:9。 Sol) 因為 5 a= 4 b= 9 c 得到 5:4:9=a:b:c,所以 a:b:c=5:4:9 (C)7.將 3600c.c. 的奇異果汁依照 3:4:5 的比例分成三杯,則最大杯的奇異 果汁有多少 c.c 呢?(A)900c.c(B)1200c.c.(C)1500c.c.(D)1700c.c.。 Sol)3600 5 =1500c.c. 3+4+5  (B)8.黑螞蟻 4 隻的力量等於紅螞蟻 5 隻的力量,有一塊起司蛋糕紅螞蟻 30 隻 搬運 60 日可搬完,今欲將一塊起司蛋糕於 20 日搬完,問除紅螞蟻女工 30 隻之外應添加黑螞蟻多少隻呢?(A)36(B)48(C)50(D)62。 Sol)設紅螞蟻 x 隻,y 天搬完,則 xy=k,3060=k,k=1800 即 xy=1800,x20

=1800,x=90,90-30=60,60

4

5 =60 5

4=48(隻)。

(A)9.設 x 與 y 成反比,y 與 z 成反比,當 x=4 時,y=2,z=6,則當 x=2 時, z=?(A)3(B)4(C)5(D)6。

Sol)∵xy=k1,yz=k2 ∴y=

x k1 代入∴ x k1 z=k 2 x z =k 即 4 6 =k,k= 2 3 z= 2 3 x ∴x=2 代入:z= 2 3 2=3 (C)10.一列等速度行駛的台鐵東幹線太魯格列車,若將速度提高 25%,則相 同距離的行車時間可節省百分之多少呢?(A)10%(B)15%(C)20% (D)25%。 Sol) ∵距離固定 ∴速度與時間成反比,設原先速度 x,時間 y,∴後來速度 x× (1+25%)=1.25x,後來時間 axy=1.25x×a ∴a= x 25 . 1 xy 25 . 1 y

(13)

(

) (

) (

)

(

) (

)

3 30 : 5 30 : 6 - 60 7 : 11 : 10, 由 3 30 : 5 30 7 : 11得 6, 三人共有3 5 6 14 14 60 840 r r r r r r r r r r + + = + + = = + + = =  = 0.8y ,∴行車時間節省 y y 8 . 0 y- =0.2=20% 【溫故歷屆基測試題】 (C)1.甲、乙、丙、丁、戊五人各站在不同的位置。已知乙在甲的正西方 2 公 尺處,丙在甲的正東方 3 公尺處,丁在甲的正北方 6 公尺處。若戊在丙 的正北方 m 公尺處,使得乙、丁、戊的位置恰在一直線上,則 m=? (A) 9 (B) 12 (C) 15 (D) 18。【95.基測一】 Sol)設甲位於直角座標原點處,如圖所示:2 : 2 3

(

+

)

=6 :m2m =30。 (C)2.已知甲、乙、丙三人的錢數比為 3:5:6。若丙分別給甲、乙兩人各 30 元 後,甲、乙、丙的錢數比變為 7:11:10,則此三人共有多少元? (A) 420 (B) 630 (C) 840 (D) 1260。【95.基測二】 Sol)設甲原有 3r 元,乙原有 5r 元,丙原有 6r 元。 (D)3.如圖,將長方形分成六塊大小相同的正方形,則斜線區域面積與原長方 形面積的比值為何? (A) 6 4 (B) 7 4 (C) 12 5 (D) 12 7 。【93.基測一】 Sol)設原長方形面積為 6 平方單位,則斜線區域面積為31 2平方單位。 1 7 7 3 : 6 : 6 7 : 12 2 2 12  = =  (D)4.兩個罐子裝有相同重量的酒精溶液,其中水與酒精的重量比分別為 3:1 和 1:1,若將這兩罐溶液全倒入一個較大的容器中且沒有溢出,則後 來所得的混合液中,水與酒精的重量比為何? (A) 2:1 (B) 3:2 (C) x y 戊(3,m) 丁(0,6) 乙(-2,0) 丙(3,0) 甲 ˙ ˙ ˙ ˙

(14)

( )

( )

( )

( )

: 10 : 15 2 : 3 3 2 2 3 2 3 A a b B a b C a b a b D = = = = = 設一年級有3 人, 二年級有2 人, 一年級視力良好的有3 0.4 1.2 , 二年級視力良好的有2 0.3 0.6 , 1.2 0.6 1.8 ∴視力良好的有 0.36 36% 5 5 x x x x x x x x x x x  =  = + = = 設新水塔寬 公尺, 高 公尺, 3 : 2.5 : 1.5 3.6 : : 2.5 1.2 3公尺, 1.5 1.2 1.8公尺 x y x y x y  =  =  = =  = 4:1 (D) 5:3。【92.基測二】 Sol)設第一罐的水為 3r、酒 r,第二罐的水 s、酒 s。

(

) (

) ( )

( )

(

) (

)

混合後 水 : 酒 3 : 1 兩罐重量相同, 3 , 2 代入 1 , 水 : 酒 3 2 : 2 5 : 3 r s r s r r s s s r r r r r  = + +  + = + = = + + = L Q (C)5.若 a:b=2:3,則下列哪一個式子是錯誤的?(A) 5 a : 5 b =2:3 (B) 2 a = 3 b (C) 2a=3b (D) a:2=b:3。【92.基測一】 Sol) (B)6.某校一年級與二年級的學生人數比為 3:2,已知一年級的學生中,有 40 %視力良好,二年級的學生中,有 30%視力良好。請問一、二年級所有 學生中有多少比例的學生視力良好? (A) 18%(B) 36%(C) 57% (D) 70%。【92.基測一】 Sol) (D)7.小宏家中有一老舊長方體水塔,其長為 3 公尺,寬為 2.5 公尺、高為 1.5 公尺,現在想依照原有長寬高的比例擴建一新水塔,若新水塔的長比原 來的多了 0.6 公尺,則下列關於新水塔的敘述哪一個是正確的? (A) 高為 2.4 公尺(B)高為 2 公尺(C)寬為 3.1 公尺(D)寬為 3 公尺。【91. 基測二】 Sol) (B)8.下列四個敘述甲與乙關係的選項中,哪一個與其他三個不同? (A)甲 是乙的 a b 倍(B)甲:乙=a:b (C)甲的 a 倍等於乙的 b 倍(D)甲:乙 的比值為 a b 。【91.基測一】

(15)

( )

( )

( )

甲 甲 : 乙 : 乙 甲 甲 乙 乙 甲 甲 : 乙 乙 a B a b b b C a b a b b D a a =  =  =   = =  = Sol) (A)甲=乙 b a  甲 乙 b a  = 【模擬學力基測試題】 (D)1.若xyz  ,且0 2x=3y=5z,則 : :x y z = ?(A)3 : 5 : 2(B)5 : 3 : 2(C) 5 : 6 :10 (D)15 :10 : 6 。 Sol) : : 1 1 1: : 15 :10 : 6 2 3 5 x y z = = (A)2.設 a、b、c 為整數,且 :a b=b c: ,若a:

(

a+b

)

:c=9 : : 4x ,請問 x=? (A)15(B)14(C)13(D)12。 Sol) 2 9 , 4 9 4 6 9 6 15 , 15 a k c k b ac b k k k a b k k k x = =  =  =  = + = + = = 設 (C)3.今有同規格但形狀有方形、圓形、三角形三種積木,置於等臂天秤兩側, 呈平衡狀態,如圖,請問三種積木的重量比□:○:△=? (A)8:6: 9(B)3:2:4(C)4:3:2(D)9:12:8。

Sol)設□=x,○=y,△=z;2y=3zy:z=3:2,3x=4yx:y=4:3,∴x: y:z=4:3:2 (B)4.△ABC 中, AB =12,BC=18,AC=36,設 AB 上的高為 p,BC上的 高為 q,CA上的高為 r,則 p:q:r=? (A)3:4:5(B)9:6:3(C)6: 3:4(D)7:8:9。 Sol) p:q:r= 1 12: 1 18: 1 36=9:6:3 (D)5.有三種積木,同形狀的每一種重量相等,今將此三種積木以不同的數量 放在等臂天平兩邊的秤盤上,使天平皆保平衡,如圖所示。則○、□、 △每一個的重量比為何? (A)2:1:3(B)3:6:4(C)4:6:3(D)8: 12:9。

(16)

Sol)設○=x,□=y,△=z 則  

3x+y+z=3y+z

3y+z=5z ,∴3x=2yx:y=2:3 3y= 4z,y:z=4:3 ∴x:y:z=8:12:9

(A)6.若 a:b:c=3:4:7 且 xyz≠0,ax=by=cz,則 x:y:z 與下列何者相 同? (A)28:21:12(B)12:15:20(C)20:12:15(D)15:12:20。 Sol) x:y:z= a 1 : b 1 : c 11 3: 1 4: 1 7=28:21:12 (B)7.若 x:y:z=4:3:5,且 2x+y+3z=312,則下列敘述何者正確? (A)x =40(B)y=20(C)z=50(D)x+y+z=192。 Sol)設 x=4r,y=3r,z=5r,∴8r+3r+15r=312,r=12,∴x=96,y=36,z =60 (C)8.便利商店御飯糰有 20 元,25 元,30 元等三種價格,老師買了 60 個請兩 班同學,則下列何者可為這三種御飯糰個數的連比? (A)2:3:4(B)1: 2:10(C)2:5:3(D)1:3:5。 Sol)(A)60÷(2+3+4)=20 3 (不合);(B)60÷(1+2+10)= 60 13 (不合);(C)60 (2+5+3)=6(整除,符合) (C)9.若 xyz≠0,且 3xy=5yz=11xz,則(x+y+z):z 的比值為何? (A)15 2 (B) 2 15(C) 19 3 (D) 3 19。 Sol) 3xy=5yz=11xz 同除以 xyz 3

z = 5 x= 11 y,∴(x+y+z):z=(5+11+3): 3=19:3=19 3 (A)10.如圖為宇倫影印資料剩下張數和時間的關係圖。利用圖中所提供的數 據,推估宇倫在 9:00 時影印的情形是下列哪一種? (A)來不及印完 (B)剛好印完(C)提前 1 分鐘印完(D)提前半分鐘印完。

(17)

Sol)印的張數與時間成正比,∴8:50~8:56 為 6 分鐘,8:56~9:00 為 4 分 鐘,4100-1700=2400,設 8:56~9:00 可印 x 張,∴2400:6=x:4x= 1600,故來不及印完。 【進階練習題】 (D)1.如圖,有三種齒輪,齒數分別為 186、78、24 齒,大齒輪順時針旋轉 16 圈,請問小齒輪旋轉幾圈呢?(註:旋轉方向相同時,齒數與旋轉圈數 成反比)(A)118(B)120(C)122(D)124 圈。 Sol)旋轉方向相同,齒數與圈數成反比。設小齒輪旋轉圈數為 x, 16 24 124 186 x x =  = 。 (D)2.假設3a=2 , 4b b=5c,則 : :a b c =?(A)6 : 4 : 5(B)8 :12 :15(C)10 :12 :18 (D)10 :15 :12 。 Sol) : 1 1: 2 : 3 , : 1 1: 5 : 4 : : 10 :15 :12 3 2 4 5 a b= = b c= = a b c= (A)3.若三個整數 a、b、c 最小公倍數 720,且   20a-7b-6c=0 8a+6b-9c=0 ,求 a-2b+3c =?(A)-75(B)75(C)-165(D)165。

sol}20a-7b-6c=0…… ○8a+6b-9c=0 …… ○12,○1 3-○2 2:44a=33b,∴a=4 3 b 代入○2 :8 4 3 b +6b-9c=0,c= 3 4 b,∴a:b:c= 4 3 b:b: 3 4 b=9b:12b:16b=9:12: 16;設 a=9r,b=12r,c=16r(r≠0),〔9r,12r,16r〕=720,144r=720,r =5,∴a=45,b=60,c=80, ∴a-2b+3c=45-120+240=165

(A)4.若 x=1,y=-2 與 x=-1,y=6 都是方程式 ax+by+c=0 的解,若 3b -c=15,試求 a-3b 的值為何?(A)3(B)6(C)9(D)18。 Sol) x=1,y=-2 與 x=-1,y=6 代入:

  a-2b+c=0 -a+6b+c=0,相加4b+2c=0, c=-2b 代入:a-2b-2b=0,a=4b,∴a:b:c=4b:b:(-2b)=4:1:(- 2);設 a=4r,b=r,c=-2r,又 3b-c=15 ∴3r-(-2r)=15,r=3,∴a-3b =43-33=12-9=3 (D)5.高鐵 700T 列車、台鐵自強號、國光號客運同時出發跑 150 公里,在全程

(18)

中三種車型均以固定速率來跑,當高鐵 700 列車跑到終點時,台鐵自強 號離終點還有 30 公里,國光號客運離終點還有 60 公里,試求高鐵 700T 列車、台鐵自強號、國光號客運三種車型的速率比為何呢?(A)7:5: 3(B)5:3:1(C)5:2:1(D)5:4:3。 Sol)高鐵 700T 列車、台鐵自強號、國光號客運三種車型速率比為→150:(150- 30):(150-60)=150:120:90=5:4:3 (C)6.在坐標平面上,若直線 ax+by+c=0 通過(-2,1)、(3,-2)兩點若 a+2b-3c=120,求 a + 100b-3c =?(A)20(B)26(C)30(D)36。 Sol) 分別以(-2,1)(3,-2)代入:-2a+b+c=0…… ○1 3a-2b+c=0 …… ○2,○2 -○1 :5a -3b=05a=3b ∴a:b=3:5,設 a=3k,b=5k(k≠0)代入○1 :-6k

+5k+c=0,c=k,∴a:b:c=3k:5k:k=3:5:1;設 a=3r,b=5r,c =r(r≠0),∴3r+10r-3r=120,r=12,∴a=36,b=60,c=12,

36+ 100 60-3 12=6+60-36=30 

(B)7.設 x、y、z 為正數,且 4(y+z)=3(x+z)=6(x+y),試求 x:y: z=?(A)2:3:4(B)3:1:5(C)1:3:5(D)3:4:5。

Sol) 令 4(y+z)=3(x+z)=6(x+y)=12r,則 y+z=3r,x+z=4r,x+y =2r,∴(x+y):(y+z):(x+z)=2r:3r:4r=2:3:4,   y+z=3r x+z=4r x+y=2r ,相加:2(x+y+z)=9r ∴x+y+z= 2 9 r,x= 2 9 r-3r= 2 3 r, y= 2 9 r-4r= 2 1 r,z= 2 9 r-2r= 2 5 r,∴x:y:z= 2 3 r: 2 1 r: 2 5 r=3:1:5

(A)8.設 2(b+c)=3(c+a)=5(a+b)且 abc≠0,則 a:b:c=?(A)1: 11:19(B)2:21:29(C)3:31:49(D)5:21:39。 sol)設 2(b+c)=3(c+a)=5(a+b)=30r   b+c=15r c+a=10r a+b=6r 相加:2(a+b+ c)=31r∴a+b+c= 2 31 r,∴a= 2 31 r-15r= 2 1 r,b= 2 31 r-10r= 2 11 r, c= 2 31 r-6r= 2 19 r,∴a:b:c= 2 1 r: 2 11 r: 2 19 r=1:11:19 (A)9.設 abc≠0, c b a + =c a b + =a b c + =k,若 a+b+c≠0,求 k 的值為何呢?

(19)

(A) 2 1 (B)1 3(C) 1 4(D) 1 5。 Sol)由 c b a + =c a b + =a b c + =k, a=(b+c)k b=(c+a)k c=(a+b)k , 相加:(a+b+c)=2(a+b+c)k,∵a+b+c≠0 ∴1=2k 故 k= 2 1 (B)10.吉米想要買一臺 2250 元的 CD 隨身聽,取出存錢筒的錢後發現仍不夠, 於是他便計畫每天存 a 元,若存了 20 天後,仍不夠 450 元,存了 30 天 後還差 300 元,請問 a=?(A)10(B)15(C)20(D)25(元)。 Sol)設存錢筒內原有 x 元,∵天數與存錢數成正比,∴20:(2250-450-x) =30:(2250-300-x)30(1800-x)=20(1950-x),5400-3x=3900 -2x ∴x=1500; 20a=2250-450-1500 ∴20a=300,a=15。

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