向 量

第 章

02

向 量

2-1 向量的定義

重點一 有向線段與向量

1. 有向線段

將線段AB 賦予由A 到 B 的方向，稱為「由 A 到 B 的有向線段」，

以 ^__________AB^＼表示，A 稱為「始點」， B 稱為「終點」。

2. 向量：具有「大小」且「方向」的量，稱為「向量」。 (1) 以 A 為始點， B 為終點的向量，通常以 AB

＼ __________

表示。

其中向量 AB^{__________＼}的大小就是AB 的長度，記作 AB^{__________＼}，即

| AB

|  AB

(2) 若不考慮向量的始點與終點位置，只考慮它的「大小」與「方向」，

通常以 ^______a^＼、 ^______b^＼、 ^______p^＼、…來表示向量，因此，向量是可以在平面上自由平行移動。

3. 零向量

向量的始點與終點為同一點，則此向量稱為「零向量」，以 0

______＼

表示。

例： ^__________AA^＼  BB^{__________＼}  … 0^______＼ ，零向量的長度為0，即| 0 | 0^______＼  ，且沒有固定方向。

4. 向量相等

若向量 ^______a^＼ 與向量 b

＼ ______

的大小相等，方向相同，則此兩向量「相等」，

記作 ^______a^＼  ^______b^＼。如右圖，平行四邊形

_ABCD

__________＼

 DC^{__________＼}。 5. 逆（負）向量

若向量 ^______a^＼ 與向量 ^______b^＼ 的大小相等，方向相反，則此兩向量互稱為「逆向量」，

記作 ^______a^＼ ^______b^＼。如右圖，平行四邊形

_ABCD

＼ __________

  AD^{__________＼}。

正六邊形

ABCDEF

__________ ______＼

，BC b^{__________＼}^______＼，AF c^{__________＼}^______＼

試以 ^______a^＼、 b

______＼

、 ^______c^＼表示：

(1) AO^{__________＼} (2) OF^{__________＼} (3) CD^{__________＼}。

(1)∵ AO

＼ __________

與 BC

＼ __________

大小相等方向相同 ∴ AO

 BC



b

(2)∵ OF

與 AB

大小相等方向相反 ∴ OF

  AB

 

a

(3)∵ CD

與 AF

大小相等方向相同 ∴ CD

 AF



c

正三角形

ABC

BC

CA

設BE a^{__________＼}^______＼，BD b^{__________＼}^______＼ ，

試以 ^______a^＼、 ^______b^＼表示：

(1) EF^{__________＼} (2) FD^{__________＼}。

(1)∵ EF

與 BD

大小相等方向相同 ∴ EF

 BD



b

(2)∵ FD

與 BE

大小相等方向相反 ∴ FD

  BE

 

a

重點二 向量的坐標表示法 1. 向量的坐標表示

(1)給定一向量 p^______＼ ，將向量 ^______p^＼ 平移至以原點

_O

______

OP^{__________＼}，且P 點坐標( , )a b ，則^______

p

 ( , ) a b

_a

_x

_b

量，且 ^______p^＼的大小（長度）為

| |

p

 a ²  b ²

(2)設A x y 、( , )

_{1 1}

_{2 2}

AB

 ( x ₂  x y ₁ , ₂  y ₁ )

＼ __________

的大小（長

度）為

| AB

|  ( x ₂  x ₁ ) ²  ( y ₂  y ₁ ) ²

2. 向量相等

演練

例題

1

1

設 ^______a^＼  ( 3,4)，試求：

(1) a^______＼的

_x

(2) a^______＼的長度。

(1)

a

的 _x 分量   3 ，

a

的 y 分量 4 

(2)| |

a

 ( 3)  ²  4 ²  25 5 

設 ^______a^＼(2, 2) ，試求：

(1) a^______＼的

_x

(2) a^______＼的長度。

(1)

a

的 _x 分量  ， a 2

的 y 分量   2

(2)| |

a

 2 ²   ( 2) ²  8 2 2 

設A(1,4)、B( 4, 8)  為平面上兩點，試求：

(1) AB^{__________＼} (2) AB^{__________＼}的長度。

(1) AB

     ( 4 1, 8 4) ( 5, 12)   

(2)| AB

|  ( 5)  ²   ( 12) ²  169 13 

設A(2, 1) 、 ( 2, 4)B   為平面上兩點，試求：

(1) BA^{__________＼} (2)|BA^{__________＼}|。

(1) BA

 (2 ( 2), 1 ( 4)) (4,3)      

(2)| BA

|  4 ²  3 ²  5

演練

例題

2

2

演練

例題

3

3

設A(2,1)，若^__________BA^＼ (1, 5) ，試求 B 點坐標。

設 B 點坐標為 ( , ) x y

則 BA

 (2  x ,1  y ) (1, 5)  

 2   x 1 ， 1    y 5

 x  1 ， y  6

∴ B 點坐標為 (1,6)

設A(1, 6) ，若 AB^{__________＼} ( 4,1)，試求B 點坐標。

設 B 點坐標為 ( , ) x y

則

AB

 ( x  1, y   ( 6)) ( 4,1)  

 x    1 4 ， y   6 1

 x   3 ， y   5

∴ B 點的坐標為 ( 3, 5)  

設A(1,1)、B(3,2)、C( 2, 4)  、 ( , )D x y 為平 行四邊形

_ABCD

_{x y }

∵ ABCD 為平行四邊形

∴ AD

 BC

 ( x  1, y       1) ( 2 3, 4 2)

 x    1 5 ， y    1 6

 x   4 ， y   5 故 x y    9

設 二 向 量 ^______a^＼(x y x y ,3  ) 、 ^______b^＼(5, 9) ，

且 ^______a^＼^______b^＼，試求xy 之值。

∵ a



b

∴ 5

3 9

x y x y

  

   

  x   1 、 y  6 故 xy   6

演練

例題

４

４

演練

例題

5

5

自我 評量 _評量

自我

1 1. 如右圖，

ABCDEF

______

、 ^______b^＼、^______c^＼表示：(1) CO^{__________＼}



a

c

2 2. 若 ^______a^＼ ( 3,3)，則

(1) ^______a^＼的x 分量為

 3

3

3 2

3 3. 設A( 2,1) 、B(3, 11) 為平面上兩點，則 (1) AB^{__________＼}

(5, 12) 

13

4 4. 已知 ^__________AB^＼ ( 2,4)，若B 點坐標為 (5, 1) ，則 A 點坐標為

(7, 5) 

5 5. 設二向量 ^______a^＼(2x5,4)、 ^______b^＼ (7,3y1)，若 ^______a^＼^______b^＼ ，則

_{x y  } 7

5 6. 已知

ABCD

( 1, 9)  

■ 對應例題

2-2 向量的加減法與實數積

重點一 向量加減法的圖示 1. 向量加法的圖示

(1)三角形法 (2)平行四邊形法

即 AB BC^{__________＼} ^{__________＼}  AC^{__________＼}。 即 AB AD^{__________＼}^{__________＼}  AB BC^{__________＼} ^{__________＼}  AC^{__________＼} 。 2. 向量減法的圖示

即 ^__________AB AC^＼^{__________＼}  ^__________AB^＼ ( AC^{__________＼}) AB CA^{__________＼} ^{__________＼}  CA^{__________＼} AB^{__________＼}  CB^{__________＼}。

如右圖，正六邊形

_ABCDEF

若 AB a^{__________＼}^______＼ 、BC b^{__________＼}^______＼ ，試以 a^＼

______

、 ^______b^＼表示下列各向量：

(1) AC^{__________＼} (2) CD^{__________＼}。

(1) AC AB BC







a



b

(2) CD

 CO OD



  AB BC



 

a



b

如 右 圖 ， 正 三 角 形

_ABC

BC 、 CA 之 中 點 ， 設 BE a^{__________＼}^______＼ 、 BD b^{__________＼}^______＼ ，試以

a^＼

______

、 ^______b^＼表示下列各向量：

(1) AF^{__________＼} (2) BF^{__________＼}。

(1) AF DE



 DB BE



  BD BE



    

b

a

a

b

(2) BF

 BE EF



 BE BD





a



b

演練

例題

1

1

重點二 向量加減的坐標表示法

1. 向量加減的坐標表示法

設 ^______a^＼( , )a a

_{1 2}

_{1 2}

(1) ^______

a

 

b

( a ₁  b a ₁ , ₂  b ₂ )

(2) ^______

a

 

b

( a ₁  b a ₁ , ₂  b ₂ )

設 ^______a^＼、^______b^＼、^______c^＼ 為坐標平面上的三個向量，則

(1)向量減法定義： ^______a^＼^______b^＼  ^______a^＼ ( ^______b^＼)。 (2)交換律： a^______＼  ^______b^{＼ ______}b^{＼ ______}a^＼。

(3)結合律： (^______a^＼^______b^＼)  ^______c^{＼ ______}a^＼ (^______b^＼^______c^＼)。 (4)加法單位元素： ^______a^＼   ^______0^{＼ ______}0^{＼ ______}a^{＼ ______}a^＼。

(5)加法反元素： ^______a^＼ ( ^______a^＼) ( ^______a^＼)^______a^＼ ^______0^＼。

設A(5,1)、B( 2,3) 、C(4, 3) 為坐標平面上 三點，試求：(1) AB AC^{__________＼}^{__________＼} (2) AB AC^{__________＼}^{__________＼}。

( 2 5,3 1) ( 7,2) AB

      (4 5, 3 1) ( 1, 4)

AC

      

(1) AB AC



  ( 7,2) ( 1, 4) ( 8, 2)       (2) AB AC



  ( 7,2) ( 1, 4) ( 6,6)     

已知二向量 ^______a^＼  ( 3,1)、 ^______b^＼ (2, 5) ，試求：

(1) a^______＼^______b^＼ (2) a^______＼^______b^＼。

(1)

a



b

  ( 3,1) (2, 5) ( 1, 4)     

(2)

a



b

  ( 3,1) (2, 5) ( 5,6)    

小叮嚀



b

b

b

演練

例題

2

2

設A(1,2)、 1 1 ( , )

B 2 3、 1 1 ( , )

C 4 5、 1 1 ( , )

D 6 7 、E(7,8) 為坐標平面上五點，試求 AB BC CD DE^{__________＼}^{__________＼}^{__________＼}^{__________＼}。

AB BC CD DE







AC CD DE







AD DE





(7 1,8 2) (6,6)

 AE

   

設 36 36 ( , )

A 5 7 、 3 7 ( , )

B 2 4 、 1 3 ( , )

C 2 4 為 坐 標 平 面上三點，試求 AB AC^{__________＼}^{__________＼}。

AB AC



 CB

3 1 7 3

( , )

2 2 4 4

  

(1,1)



已知A( 2, 4) 、B( 3,5) 、C(7,3)、D( 1,1) 、 (0,0)

O ，若OP AB CD^{__________＼}^{__________＼}^{__________＼}，試求P 點坐標。

設 P 點坐標 ( , ) x y  ( , ) OP

 x y ( 1,1)

AB

 

__________

， CD

   ( 8, 2) OP AB CD





     1 ( 8),1 ( 2)   

( 9, 1)   

∴ P 點坐標 ( 9, 1)  

已 知

O

設 B m n 、 ( , ) ( , ) D x y ( 3, 4) (2, 3) AB

 m  n   

__________

 m  、 5 n  1

∴ B (5,1)

又 OD OA OB





 ( , ) (3,4) (5,1) (8,5) x y   

∴ D (8,5)

演練

例題

4

4

演練

例題

3

3

ABC

△ 中，已知 AB^{__________＼} ( 4,3)、BC^{__________＼}(0, 6) ，

試求：(1) AC^{__________＼} (2)△ABC的周長。

(1) AC

 AB BC



  ( 4,3) (0, 6)      ( 4, 3)

(2) AB  |

AB

|  ( 4)  ²  3 ²  5

BC  | BC

|  0 ²   ( 6) ²  6

AC  | AC

|  ( 4)  ²   ( 3) ²  5

∴ △ ABC 的周長 _{    5 6 5 16}

ABC

△ 中，已知 ^__________AB^＼(4,3)、 AC^{__________＼}(7, 1) ，

試求：(1) BC^{__________＼} (2)△ABC的周長。

(1) BC

 BA AC



 AC AB



 (7, 1) (4,3)  

 (3, 4) 

(2) AB  | AB

|  4 ²  3 ²  5

AC  | AC

|  7 ²   ( 1) ²  50 5 2 

BC  | BC

|  3 ²   ( 4) ²  5

∴ △ ABC 的周長 _{  5 5 2 5 }  10 5 2 

重點三 向量與實數積

1. 向量與實數積

給定一向量 ^______a^＼及實數r ，定義 r a^______＼ 為一向量，稱為向量 ^______a^＼ 與實數r 的係數積，其意義如 下：

(1)當

r  0

(2)當

r  0

(3)當

r  0

2. 向量與實數積的性質

設 ^______a^＼、^______b^＼ 為二向量，r 、

s

(1) (r a^______＼^______b^＼)r a r b^______＼ ^______＼。 (2) (r s a )^______＼r a s a^______＼ ^______＼。 (3) ( )rs a^______＼r s a( ^______＼)s r a( ^______＼)。 3. 向量與實數積的坐標表示：

設 ^______

_a

_{ ( , ) a a 1 2}

r a

 r a a ( , ) ( _{1 2}  ra ra ₁ , ₂ )

演練

例題

5

5

4. 單位向量

(1)長度為 1 的向量，稱為單位向量。

x

(2) ^______

a

| | a a

______＼

______＼

（與 ^______a^＼方向相同）。

如 右 圖 ，

ABCDEF

AF b^＼ ^＼

__________ ______

，試以 ^______a^＼、 b

______＼

表 示：(1) AD

__________＼

(2) EA

__________＼

。

(1) AD

 2 AO

 2(

AB AF



)  2(

a



b

) 2 

a

 2

b

(2) EA

 EB

 BA

 2 EO BA



2(  

b

) (  

a

)

  

a

2

b

如 右 圖 ， 正△ABC 中 ， D 、 E 、 F 分別為 AB 、

BC

CA

以 ^______a^＼、 b

______＼

表示：(1) AC

__________＼

(2) CD

__________＼

。

(1) AC

 AB BC



  2 BD

 2 BE

  2

b

 2

a

 2

a

 2

b

(2) CD CB BD





  2 BE BD



  2

a



b

設 ^______a^＼ (2, 4) 、 ^______b^＼  ( 2,1)，試求

(1)1

2^______a^＼4^______b^＼ (2) 2^______a^＼3^______b^＼。

(1) 1 1

4 (2, 4) 4( 2,1)

2

a



b

 2   

(1, 2) ( 8,4) ( 7,2)       (2) 2

a

 3

b

 2(2, 4) 3( 2,1)     (4, 8) ( 6,3)     (10, 11) 

已 知 坐 標 平 面 上 三 點

_{A ( 1,2) }

_{B (5,3)}

C  ，試求2^__________AB^＼3BC^{__________＼}4CA^{__________＼}。

(6,1)

AB

 、 BC

  ( 7,4) 、 CA

 (1, 5)  2 AB

 3 BC

 4 CA

2(6,1) 3( 7,4) 4(1, 5)

    

(12,2) ( 21,12) (4, 20)

    

(37, 30)

 

例

演練

例題

6

6

演練

例題

7

7

設向量 ^______a^＼ (2,3)、^______b^＼ (1, 3) 、^______c^＼ (7, 3) ，

若 ^______c^＼ x a^______＼ y b^______＼，試求

_{x y }

∵

c

 x a

 y b

 (7, 3)   x (2,3)  y (1, 3) 

 (7, 3) (2 ,3 ) ( , 3 )   x x  y  y

 (7, 3) (2   x y x  ,3  3 ) y

 2 7

3 3 3

x y x y

  

   

  2

3 x y

 

  

∴ x y   5

設向量 ^______a^＼ (3,2)、^______b^＼  ( 4,3)、^______c^＼ (10,1)，

若 ^______c^＼r a s b^______＼ ^______＼，試求r s 之值。

∵

c

 r a s b



 (10,1)  r (3,2)   s ( 4,3)

 (10,1) (3 ,2 ) ( 4 ,3 )  r r   s s

 (10,1) (3  r  4 ,2 s r  3 ) s

 3 4 10

2 3 1

r s r s

 

   

  2

1 r s

 

  



∴ r s   1

已知 ^______a^＼  ( 2,3)、 ^______b^＼ (3, 5) ，

若2^______a^＼3^______x^＼  ^______b^＼ 2(^______b^＼ ^______x^＼)^______a^＼，試求 ^______x^＼。

2

a

 3

x

  

b

2(

b



x

) 

a

 2

a

 3

x

  

b

2

b

 2

x



a



x

 

a

3

b

  ( 2,3) 3(3, 5)   (7, 12)  

已知 ^______a^＼  ( 2,4)、 ^______b^＼ (6, 8) ，

若3(^______a^＼^______x^＼) 4 ^______b^＼2^______a^＼ ^______b^＼ ^______x^＼，試求 ^______x^＼。

3(

a



x

) 4 

b

 2

a

 

b

x

 3

a

 3

x

 4

b

 2

a

 

b

x

 2

x

  

a

3

b

 1 3

2 2

x

  a



b

______ ______

1 3 ( 2,4) (6, 8)

2 2

    

(10, 14)  

演練

例題

8

8

演練

例題

9

9

已知A(2, 1) 、 ( 2,2)B  為坐標平面上兩點，

試求：

(1)與 AB^{__________＼}同方向的單位向量。

(2)與 AB^{__________＼}反方向的單位向量。

( 4,3) AB

  、 _{| AB |  ( 4) } ² _{ 3} ² _{ 5}

＼ __________

(1)與 AB

同方向的單位向量為

( 4,3) 4 3 ( , )

5 5 5

| | AB AB

   

__________＼

＼ __________

(2)與 AB

反方向的單位向量為

( 4,3) 4 3

( , )

5 5 5

| | AB AB

     

＼ __________

＼ __________

已知A( 3,1) 、B( 2,4) 為坐標平面上兩點，

試求：

(1)與 AB

＼ __________

同方向的單位向量。

(2)與 AB^{__________＼}反方向的單位向量。

(1,3)

AB

 、 | AB

|  1 ²  3 ²  10 (1)與 AB

＼ __________

同方向的單位向量為

(1,3) 1 3

( , )

10 10 10

| | AB AB

 

＼ __________

＼ __________

(2)與 AB

__________＼

反方向的單位向量為

(1,3) 1 3

( , )

10 10 10

| | AB AB

     

＼ __________

＼ __________

演練

例題

10

10

自我 評量 _評量

自我

1 1. 右圖

ABCD

AD

__________＼

。 (2) AB AD^{__________＼} ^{__________＼} 

AC

__________＼

。 (3) CD BC^{__________＼} ^{__________＼} 

BD

__________＼

。 (4) AB AD^{__________＼} ^{__________＼} 

DB

__________＼

。

2 2. 設A(3,2)、B(2, 1) 、 ( 4, 5)C   、 (2, 7)D  為坐標平面上四點，則 (1) AB CD^{__________＼} ^{__________＼} 

(5, 5) 

( 7, 1)  

3 3. 已知A(3, 2) 、 (4,7)B 、C( 21,38) 、D(2020,110)、E(5,4)，則 AB BC CD DE^＼ ^＼ ^＼ ^＼ 

__________ __________ __________ __________

(2,6)

3 4. 設向量 AB^{__________＼}  ( 3,1)、BC^{__________＼} (2, 5) 、CD^{__________＼} (0,3)，則向量DA^{__________＼} 

(1,1)

4 5. 設平面上五點 ( 1,2)A  、B x( ,3)、C( 4, ) y 、D( 3,7) 、P(8,7)，若 ^__________AP^＼  AB CD^{__________＼} ^{__________＼}，則

x y   10

■ 對應例題