跳躍擴散隨機波動模型的衍生性商品定價與避險策略研究

明新科技大學校內專題研究計畫成果報告

計畫類別：任務型計畫 整合型計畫 █個人計畫

計畫編號：MUST-97-財金-01

執行期間： 97 年 1 月 1 日至 97 年 9 月 30 日

計畫主持人：陳佳信

處理方式：公開於校網頁

執行單位：管理學院財務金融系

中 華 民 國 97 年 10 月 20 日

跳躍擴散隨機波動模型的衍生性商品定價與避險策略研究

Pricing and Hedging Derivatives in the Jump-Diffusion Stochastic

Pricing and Hedging Derivatives in the Jump-Diffusion

Stochastic Volatility Models

中文摘要

波動率(volatility)在金融市場中具有舉足輕重的地位,它不僅是風險控管的重要衡 量工具,也是資產評價不可或缺的因素。我們研究在資產價格報酬及其波動率可能跳躍不完 備市場的衍生性商品定價和避險問題。首先探討在風險中立機率測度下，如何決定最適 等 價鞅率測度 ，q=0，1，2，用其計算歐式選擇權(European option)的價格，並且討論在不 同的 機率測度下，對應到的最適避險策略。最後，利用程式模擬，比較不同 機率 測度下的歐式選擇權及變異數交換價格，以及各種避險策略下各自的避險效果優劣。 我們可以觀察到歐式買權在不同的機率測度 下確實有些許的不同，且當 值越小， 得到的買權價格會越小。而在不同的機率測度 下對應的避險策略，透過模擬比較，亦 可發現其避險效果的確優於 delta 避險

關鍵詞：跳躍擴散，隨機波動，Fourier 轉換，等價鞅測度，最佳化 q-測度，

最小鞅測度，平均變異避險，最小熵測度

英文摘要：

We consider the problem of pricing and hedging a contingent claim, in an incomplete market where prices and volatility of traded assets can possibly undergo jumps. First we determine the optimal measure . Then we use the optimal measure to calculate the European call option price. Than we discuss about the optimal hedging strategy corresponding to different . We also run simulation to show difference of European call option prices under different _{probability measures, and compare the different corresponding hedging} strategies.

We can find some difference with European call option price under different

probability measures. As smaller, European call price will be also smaller. And compare different hedging strategy with general delta hedge under different probability measure, we can observe that it is really superior to delta hedge from simulation result.

Keywords：Jump diffusion, stochastic volatility, Fourier transform, affine

jump diffusion process, equivalent martingale measure, q-optimal measure,

mean-variance hedging, and minimal entropy measure.

一. 前言

波動率(volatility)在金融市場中具有舉足輕重的地位，它不僅是風險控管 的重要衡量工具，也是資產評價不可或缺的因素。標的證券的波動率在選擇權的 定價與避險策略中扮演關鍵的角色，在交易實務上甚至可稱選擇權的交易就是一 種波動率的交易。在 1973 年 Black 和 Scholes 推導出著名的選擇權評價公式(後 簡稱為 BS 模型) ，普遍被實務界用來計算選擇權的價格，在其公式中唯一不能 直接由市場取得的參數就是波動率，通常就利用市場選擇權價格及其它可直接取 得的參數，用 BS 評價公式反推回來的隱函波動率(implied volatility)來對不同到 期或不同履約價選擇權價格做為高低比較的基準，這顯示波動率在 BS 模型中的 重要性，但也反應出其限制不正確。因為 BS 模型背後具有許多嚴謹的假設和實 際市場不符，例如假設標的證券的波動率是常數，這和眾多對股價或指數選擇權 市場實證觀察不符合，隱函波動率有所謂波動微笑(volatility smile)現象 (Rubinstein1985)，造成 BS 模型的選擇權價值和市場價值不一致的現象，文獻上 大多認為 BS 假設股價動態過於嚴苛，而和實際股價標的資產的行為有些偏離， 這種錯誤價格現象會造成投資人利用選擇權避險面臨模型錯誤的風險，無法有效 的規避風險達到風險管理目的。這促成後來對於 BS 模型很多的推廣，例如 Merton's (1976) 引進跳躍擴散(jump diffusion)的模型。另外固定常數的波動率修 改為隨機波動率，如 Heston's (1993)的隨機波動模型，利用了 Cox, Ingersoll, and Ross (1985) (CIR) 的 square-root 模型來描繪 variance 的變化；還有對標的證券 的價格走勢引進了跳躍擴散(jump diffusion)的不連續型式，甚至波動率也同時是 跳躍擴散的模型。

correlated jumps in price and volatility) (SVJJ)的模型，他們發覺 SVJJ 的模型較符 合實證，大體上來說，加入隨機波動以及跳躍對於定價以及避險是很重要的，然 而，所有的模型都呈現 misspecification 的現象。

二. 研究目的

以上及許多相關研究比較重視風險中立(risk-neutral)下模型的直接描繪， 雖給出價格封閉解(close solution)公式，但因市場不完備(incomplete)性，等價鞅 測度(equivalently martingale measure)(EMM)並不唯一，其與現實機率測度

(physical probability measure)之間的變換，等價鞅選擇、衍生性商品定價(pricing) 不唯一及避險(hedging)策略之關聯性等等的問題，在理論及實務應用上皆有其重 要性，但除了沒跳躍的隨機波動模型外[見Henderson, Hobson, Howison, Kluge (2005)]，並未完全被深入討論。 由Delbaen和Schachermayer(1994)的一般性結果，在眾多任意等價鞅測度 之下，不可套利的定價是可行的，但當等價鞅測度不唯一，需要考慮更多適當條 件以從眾多等價鞅測度挑選合適者來應用於定價計算，這不是一個容易的問題， 特別定經由Eberlein和Jacod (1997)的研究顯示，經由挑選適當的等價鞅測度，可 以得到歐式衍生性商品的任一可能不可套利價格。近年來很多不同方法被提出， 在不完備市場模型下，不只機率重要，對風險的態度也重要，不同評估風險的方 式帶出不同的避險方法，例如superhedging，utility maximization，mean-variance hedging，quadratic hedging，global or local risk minimization等等。而這些又決定 了等價鞅測度的挑選，亦即衍生性商品價格的決定。

融商品進行定價以及避險。我們即在上述架構下，從一般的多維的半鞅模型， affine 跳躍擴散模型到較特殊的具跳躍隨機波動模型，或連續不跳躍隨機波動模 型(如 Heston 的模型)，探討定價避險策略的一些問題: 研究證券價格報酬與波動 行為，比較不同風險觀點所對應不同選取等價鞅方法，衍生性商品(如選擇權)的 定價計算,如應用 Fourier transform 及特徵函數(characteristic function)的技巧，定 價時不同避險策略與等價鞅選取的比較。 以下的研究，主要利用不完全市場的假設，在不同機率測度 ( )q Q 下計算金 融商品的價格。首先根據最適 q 測度的定義，在不同機率測度 ( )q Q 下決定出適當 的布朗運動移動項(drift term)，透過機率測度轉換，將模型轉換到最適的等價鞅。 接下來在不同 ( )q Q 機率模型下，分別計算出不同情況下的歐式買權(European call option)價格，比較不同機率測度Q( )q 下價格的不同。並且考慮在各自的機率測度 ( )q Q 下，利用其對應的適當避險策略，找出最適避險策略下應持有的股票單位及 選擇權單位比例關係。最後，利用實證模擬，比較不同 ( )q Q 機率測度下的定價、 避險策略和避險效果的優劣等。

三. 研究方法

我們需要隨機積分(stochastic integration)和隨機計算( stochastic calculus) 來描述具跳躍隨機波動不完備市場的模型架構，Affine 跳躍擴散的多維半鞅過程 提供了最適當的工具，我們用 Poisson 隨機測度來描述跳躍的位置和大小，相關 於跳躍時點和大小的不同數量可用相對於此 Poisson 隨機測度的隨機積分來表 示。 在市場模型中，存在等價鞅測度則不存在套利機會，若等價鞅測度(EMM) 唯一存在，市場具完備性(completeness)，衍生性商品價格可唯一定價;在不完備 市場，只考慮不可套利的觀點無法對衍生性商品定價，因有多個等價鞅測度所提 供不同的風險中立價格，此時需要加入其它喜好條件假定來做最佳化選擇，機率 及模型的樣式必需認真考慮，因這影響避險決策;對風險的態度也很重要，所以 我考慮不同的避險觀點: 如最小 mean variance hedging，效用最大(utility

maximization)…等等不同觀點，這將導出為定價目的而選擇等價鞅的不同方法。

在隨機波動模型下選擇權定價一般步驟如下:

(1). 描繪標的資產的變動行為，我們研究隨機波動的affine跳躍擴散的多維半鞅 過程模型。

為卜瓦松過程轉換下，針對移動項給定的強度函數(intensity function)。經過如此 的機率測度Q轉換，股價過程將變成 (1) (1) (1) (3) (3) (1) (3) (1) ( ( , ) ( , )) ( , )[ Q Q] t t t t t t t t t t t t t t t dS a t Y a t Y dt t Y a dB a dN S          (3.4) 其中為了使機率測度Q轉換為風險中立機率測度，則 (1) (3) , t t   必須滿足 (1) (1) (1) (3) (3) ( , ) ( , ) 0 t rt t at t Yt t t at t Yt         (3.5) 轉換後的風險中立機率測度可以改寫成 (1) (3) (1) (1) (1) (1) (3) (3) (2) (2) (2) (2) (4) (4) (1) (1) (3) (2) (2) (4) ( , )[ ] ( [ [ ]) [ ] [ ] Q Q t t t t t t t V t t t t t t t t t t t t t t Q Q Q Q t t t t t t t t t t dS rdt t Y a dB a dN S dV a a a a dt a dB a dZ a dB a dZ                         (3.6) 如此的機率測度轉換下，僅 (1) (3) , t t   受到某些限制條件， (2) (4) , t t   則為可任意選 取的參數。應該如何選取適當的 (2) (4) , t t   ，建立合適的風險中立定價模型，在底 下將有更詳盡的探討。

四. 結果與討論

底下分段對本研究結果做一介紹

•

最適 q 測度 (

q

-optimal probability measure)

1 ( , ) {( 1) q qln( )}, {0,1} q T T H P Q E   M M if q (4.2) 其中M_T dQ dP  。若存在一機率測度 ( )q Q ，滿足minH P Q_q( , )，則稱如此的機率測 度為最適 q 測度( q -optimal probability measure)”。

在最適 q 測度中，q0,1, 2時各自具有其經濟上的意義：當q0時，Q(0)稱

為最小鞅測度(MMM, minimal martingale measure)，此機率測度必須滿足 (0) minH ( , )P Q 的條件，其中H(0)( , )P Q 為 (0) (0)( , ) { ln( T)} { ln( )} dQ H P Q E M E dP     (4.3) 在 (0)

Q 機率測度之下，所對應的避險方式稱為 locally risk-minimizing method

[ Schweizer (1999)]。此時機率測度Q(0)為唯一和機率測度P正交(strongly

orthogonal)的 ELLM (equivalent local martingale measure)，且如此的Q(0)為所有的 ELLM 中，使得H₍₀₎( , )P Q 為最小的唯一解。

當q1時，Q 稱為最小熵鞅測度(MEMM, minimal entropy martingale (1) measure)，此機率測度_{Q 為滿足} (1)

(1)

minH ( , )P Q min {E M_Tln(M_T)} min {E dQln(dQ)}

dP dP

    (4.4)

的唯一解。根據，在_{Q 的機率測度之下所計算出的金融商品價格，會逼近}(1)

到”indifference utility pricing method”中風險趨避(risk-aversion)參數 0時計算

出的價格，其所對應的避險策略為無異效用避險法(indifference utility hedging method) [Frittelli (2000)]。

當q2,Q(2)稱為最小變異鞅測度(VOMM, variance-optimal martingale measure)，其為minH₍₂₎( , )P Q 的唯一解，其中

2 2

(2)

minH ( , )P Q min {2E M_T} min {2(E dQ) }

dP

[Schweizer (1996)]證明在所有的 ELMM 之中，機率測度Q(2)對應到的避險策略為 mean-variance hedging strategy。

則在新的機率測度Q之下 2 ( , ) [ ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , )] ( , ) Q t t t t Q t t t t t t t t t t dS rdt V dB S t V r dV a t V b t V b t V t V dt b t V dW V             (4.9)

( ) ( ) ( ) [( ) ] [( ) ] ( ) ( ) T s Q r T t Q r T t Q k t T r T t s k T t k C e E S K e E e e e e e q s ds               



 (4.24)

其中slnS_T，k lnK，q s 為 s (log-price of the underlying asset)在風險中立機_T( ) 率測度Q下的機率密度函數，令_T( )x 為X 的特徵函數(characteristic function) _T ( ) ( ) ixs T x q s e dsT    



(4.25) 根據傅立葉轉換的步驟：先將歐式買權價格乘上一適當的數 k e ，成為另一個

「修正歐式買權價格(modified European call option price)」

機率測度 ( )q

Q 下，則可得到不同的機率密度函數q s ，因此計算出的歐式買權_T( )

價格也就不盡相同。

Bates model

在真實世界的機率測度 P 之下，根據 Bates (1996)定義的 Bates model

• 對應的避險策略

在不同的機率測度之下，對應到的避險策略也不相同。我們討論各種機率 測度 (0) (1) (2) , , Q Q Q 下的避險策略，並且利用之前計算出的歐式買權價格，實際計 算出最適策略下應該持有的選擇權單位數量。 在機率測度 (0) Q 的情況下，股價模型如下： 2 (0) 2 { ( ) ( ) 1 ( , ) } { ( ) ( ) 1 } Q t t t t Q t t t t t t Q t t t t dS rdt V dB S dV k V r t V V dt V dW k V r V dt V dW                                (4.46)

最適當的避險策略稱為“locally risk-minimizing method”。在 Follmer (1990)的研究

2 2 2 ( ) {( ) 2( ) } { 2( ) 2 } 0 s V s V t s V t Var dX C C C C V dt C C V dt                     (4.50) 因此，在機率測度 (0) Q 之下，可以被表示成 (0) (0) (0) S V t C C S      (4.51) 其中C為機率測度Q(0)之下的歐式買權價格，因此 . ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) (0) (0) (0) ( ) 1 1 2 ( ) 2 1 1 2 1 = [ ( )] [ ( )] [ ( )] 1 ( )( ){ [ ( )] [ ( )]} 2 S V t r T t Q Q Q t Q r T t Q t t C C S Ke E N d E N d E N d v S v T t d S E N d d Ke E N d S v                 _{ }    (4.52) 其中 ( ) ( ) 1 2 ln ln 2_, 2 r T t r T t t t S e v S e v K K d d v v       (4.53) 在機率測度Q 的情況下，最佳的避險策略為無異效用避險(indifference utility (1)

(0) (1) (2) ( ,t V_t) 0, ( ,t V_t) 0.0511, ( ,t V_t) 0.1205       (4.61) 利用得到的 ( )q t  ，代回股價走式模型，模擬出不同機率測度 (q) Q 之下，一年(252 個交易日)的歐式買權價格走勢。模擬方式如下： Step1. 先模擬出一個變異數過程，並計算 T _s t v



V dS。 Step2. 把v代入歐式買權公式中的常態分配項，即 ( ) ln 2 ( ) r T t t S e v K N v   和 ( ) ln 2 ( ) r T t t S e v K N v  

Step3. 重複 Step1 和 Step2 萬次，取所有

(圖二)

(圖三)

(圖四)

(圖八)

(圖九)

圖八和圖九分別為“locally risk-minimizing method”和避險的避險誤差。

計算兩者「避險誤差絕對值」的帄均數和變異數，比較如下：

s

error ave error( _s ) var(error_s)

locally risk-minimizing method 0.0261 4

4.6519 10 

 hedge method 0.0280 -4

兩者比較過後可以發現，“locally risk-minimizing method”的避險效果比避險佳， 且“locally risk-minimizing method”需持有的歐式買權單位數較少，亦即避險成本 較低。整體而言，“locally risk-minimizing method”顯著優於避險。

接下來，考慮機率測度 (1)

Q 之下的避險策略”indifference utility hedging method”， 其最適避險策略為持有 H 單位歐式買權以及一單位股票，從(4.59)式中得到 H 過

程表示如下，並與一般的避險做比較：

(圖十)

其中黑線為一般避險下的 H 過程，綠線則為”indifference utility hedging method” 下的 H 過程。同樣比較兩者的避險誤差並表示如下：

(圖十二)

圖十一和圖十二分別為 indifference utility hedging method 和避險的避險誤差。 計算兩者「避險誤差絕對值」的帄均數和變異數，表示如下：

s

error ave error( _s) var(error_s ) indifference utility hedging method 0.0266 4

4.0108 10 

 hedge method 0.0284 -4

4.5414 10

(表二)

兩者比較過後可以發現，indifference utility hedging method 的避險效果比避險 佳，且 indifference utility hedging method 需持有的歐式買權單位數較少，因此避 險成本也較低。整體而言，indifference utility hedging method 亦顯著優於避險。

同的機率測度 ( )q Q 所對應的避險策略來避險，透過實證的確可以證明發現其效果 顯著優於避險。 本文主要是在討論給定 q 值的條件下，計算出不同的歐式買權等衍生性商品價 格。未來的研究方面，也許可以透過較正式的參數估計，估計出準確的參數，並 且由市場上得到的歐式買權價格，反推找出究竟哪一個機率測度 ( )q Q 會比較接近 實際上的市場表現。亦或是在機率測度 ( )q Q 選取方面，除了q0,1, 2之外，也許 仍然存在其他具特殊經濟意義的機率測度可以被選取。如果多考慮幾個不同的 q 值，或許可以利用這些 ( )q Q 機率測度下求出的選擇權價格，取其最大最小值，找 出一個價格區間。當觀察到市場上的選擇權價格高於或低於此區間，則可以判斷 市場上的價格被高估或低估，藉此做為判斷買進或賣出的依據，或許是個可供參 考的交易訊號。

五. 參考文獻

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96 年度

明新科技大學 97 年度 研究計畫執行成果自評表

計 畫 類 別 ： □任務導向計畫 □整合型計畫



個人計畫 所 屬 院 ( 部 ) ： □工學院



管理學院 □服務學院 □通識教育部 執 行 系 別 ： 財務金融系(中心) 計 畫 主 持 人 ： 陳佳信 職 稱：助理教授 計 畫 名 稱 ： 跳躍擴散隨機波動模型的衍生性商品定價與避險策略研究 計 畫 編 號 ： MUST-97-財金-01 計 畫 執 行 時 間 ： 97 年 1 月 1 日 至 97 年 9 月 30 日

計

畫

執

行

成

效

教 學 方 面 1.對於改進教學成果方面之具體成效： 對財務工程、財務數學、衍生性金融商品創新與定價相關授課有很大幫助。 2.對於提昇學生論文/專題研究能力之具體成效： 熟悉近幾年來跳躍擴散隨機波動模型的衍生性商品定價與避險策略及半鞅過程在 衍生性商品定價之應用計算，提昇專題研究能力。 3.其他方面之具體成效： 開授研究所[衍生性金融商品][新金融商品創新][財務 數學][財務工程]等相關課程助益甚大。 學 術 研 究 方 面 1.該計畫是否有衍生出其他計畫案



是 □否 計畫名稱：不完備市場衍生性商品定價與避險策略 2.該計畫是否有產生論文並發表 □已發表



預定投稿/審查中 □否 發表期刊(研討會)名稱： 發表期刊(研討會)日期： 年 月 日 3.該計畫是否有要衍生產學合作案、專利、技術移轉 □是 □否 尚未，但有研究計劃構想持續發展中，希望近期可與金融界有產學合作案，但因 距台北金融機構較遠，雖計劃內容為國際熱鬥領域，但工具較艱深，仍待努力。

成

果

自

評

計畫預期目標：100%達成。我們研究衍生性金融商品(例如選擇權)的定價與避險策 略一些主要問題如證券價格報酬與波動行為，比較探討不同風險觀點下所對應不同選 取等價鞅方法，應用 Fourier 轉換及特徵函數技巧的衍生性商品定價計算定價時不同 避險策略與最佳等價鞅選取的比較。 計畫執行結果：理論與實證皆 100%達成。 (若不敷使用請另加附頁繕寫) 其它具體成效： 首先根據最適 q 測度的定義，在不同機率測度 ( )q Q 下決定出適當的布朗運動移動項 (drift term)，透過機率測度轉換，將模型轉換到最適的等價鞅。接下來在不同Q( )q 機

率模型下，分別計算出不同情況下的歐式買權(European call option)價格，比較不同機 率測度 ( )q

Q 下不同的價格。並且考慮在各自的機率測度Q( )q 下，利用其對應的適當避

險策略，找出最適避險策略下應持有的股票單位及選擇權單位比例關係。最後，利用