(提示: 解出 dy dt = k(a− y) ,用起始條件求出a

1. (10%) 令^y(t)指某樹 ^,其樹齡為^t年時之高度⁽以^ft計算⁾。 假設 ^dy

dt = k(a− y) ,其 中a , k > 0都為常數 。 又設y(0) = 0 ft , y(1) = 2 ft及^{y(2) = 10}

3 ft。 求_t^lim

→∞y(t)。 (提示^: 解出 ^dy

dt = k(a− y) ,用起始條件求出^a。⁾ Sol:

y⁰ = k(a− y) ⇒ y⁰+ ky = ka。

取積分因子^u滿足^{(uy)0= uy0+ kuy,}即^{u0= ku,}可取^{u = ekt}。 則有

e^kt(y⁰+ ky) = e^ktka (e^kty)⁰ = e^ktka

e^kty = ae^kt+ c,兩邊積分。

∴ y = a + ce^−kt 再由^y(0)、^y(1)、^y(2)決定^{a, k, c,}即解以下聯立方程式















y(0) = 0 = a + c y(1) = 2 = a + e^−k y(2) =10

3 = a + e^−2k

可得^{a =}−c = 6, k = ln3

2,因此^{y = 6}− 6(2

3)^t。 所求_t^lim

→∞y(t) = 6。 2. (10%) 解^y0 = 1 + 2t + y²+ 2ty²滿足起始條件^{y(0) = 1} 。

(提示: 1 + 2t + y²+ 2ty²= (1 + 2t)(1 + y²)。⁾ Sol:

由提示(1 + 2t)(1 + y²),將原微分方程的^{y, t}分離^,即以下 y⁰

1 + y² = 1 + 2t 兩邊對^t積分^,則有以下

∫ y⁰ 1 + y²dt =

∫

1 + 2tdt

tan⁻¹y = t + t²+ c

再由初始條件^{y(0) = 1} 決定^c,即以下^:

tan⁻¹1 = 0 + 0²+ c

⇒ c = π 4

∴ y = tan(t + t²+π 4)。

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