(12%) 求解微分方程：(x2+ 1)dydx+ 4xy = x，滿足初值條件 y(2

1032微微微乙乙乙01-05班班班期期期末末末考考考解解解答答答和和和評評評分分分標標標準準準 1. (12%) 求解微分方程：(x²+ 1)^dydx+ 4xy = x，滿足初值條件 y(2) = 1。

Solution:

⇒ ^dydx+(x^4x2+1)y= (x^2x+1)

let u= e^{∫ (x2 +1)4x dx}= e^ln(x2+1)2 = (x²+ 1)² (5%)

⇒ (^dydx+(x^4x2+1)y=(x^2x+1)) × u

⇒ (x²+ 1)^{2 dy}dx+ 4x(x²+ 1)y = x(x²+ 1)

⇒ ((x²+ 1)²y)^′= x³+ x

⇒ (x²+ 1)²y= ∫ (x³+ x)dx

⇒ (x²+ 1)²y= ^x4⁴ +^x2² + C (4%)

∵y(2) = 1 ⇒ (2²+ 1)²× 1 = ²4⁴ +²2² + C

⇒ 25 = 4 + 2 + C ⇒ C = 19 (3%)

⇒ y = ^x44(x^+2x2+1)²⁺¹⁹²

評分標準：

1.不論使用甚麼方法，式子有出來並算對的得五分，式子錯了或公式亂用則直接不給分。

2.將方程式解出，得四分。

3.將常數C解出，得三分。

*中間如果有錯誤，會依整體完成度、對積分的基本概念、筆誤造成的錯誤程度酌量加減分。

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2. (12%) (a) 求解微分方程：^dy_dt = λy(y − 1)，0 < y < 1 其中 λ > 0 是常數，滿足初值條件 y(0) =¹2。 (b) 求 lim

t→∞y(t)。

Solution:

(a)

dy

dt = λy(y − 1)

∫ 1

y(y − 1)dy= ∫ λdt 2%

∫ ( 1 y− 1 −1

y)dy = ∫ λdt 1%

ln∣y− 1

y ∣ = λt + C 3%

∵y(0) = 1

2, ∴C = 0 1%

⇒ ln ∣y− 1 y ∣ = λt (b)

∣y− 1 y ∣ = e^λt

∵0 < y < 1, ∴y− 1 y = e^λt y(t) = 1

1+ e^λt 2%

∴ lim_t→∞y(t) = lim_t→∞ 1

1+ e^λt = 0 3%

If lim

t→∞y(t) = 0 is written down without any explanation from ∣y− 1 y ∣ = e^λt, no credit will be given.

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3. (12%) 求∫

∞

−∞

e^−x2+4xdx. (可用∫

∞

−∞

e^−x2dx=√ π.)

Solution:

∫

∞

−∞

e^−x2+4xdx= ∫_−∞^∞e^{−x2+4x−4+4}dx

= ∫_−∞^∞e^{−(x−2)2+4}dx

= e⁴∫

∞

−∞

e^−(x−2)2dx

= e⁴∫

∞

−∞

e^−u2du

= e⁴√ π 配分方式：配方法(4%)、換變數(4%)、答案(4%)

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4. (12%) 在一 Poisson 過程中 P(k, t) = ^(λt)k!^ke^−λt 表示在時間區間 [0, t] 中有 k 次事件發生之機率。令 W 表示在以上之 Poisson 過程中由開始到第 2 次事件發生之時間。

(a) 求 P(W > t)。

(b) 求 W 之機率密度函數 fW(t)。

Solution:

(a) 求 P(W > t) [6pts]。

令 N(t)為一Poisson分布的隨機變數，表示在時間區間 [0, t] 的發生次數。

P(W > t) = P (N(t) ≤ 1) [3pts]

=^(λt)0!⁰e^−λt+^(λt)1!¹e^−λt [1pts]

= (1 + λt) e^−λt [2pts]

(b) 求 W 之機率密度函數 fW(t) [6pts]。

fW(t) = (F^W(t))^′= (P (W ≤ t))^′ [1pts]

= (1 − P (W ≥ t))^′ [1pts]

= (1 − (1 + λt) e^−λt)^′ [2pts]

= λ²t e^−λt [2pts]

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5. (16%) 隨機變數 X，密度函數為 f(x) =x^A2, 1≤ x ≤ e，其中 A 是常數。

(a) (6%) 求 A.

(b) (5%) 求 E(X).

(c) (5%) 求 Var(X).

Solution:

(a)

e

∫1

f(x)dx =∫^e

1 A

x²dx= 1 Ô⇒ (−x⁻¹A) ∣^e1= 1 Ô⇒ A =e−1^e

(b) E(X) =∫^e

1

xf(x)dx =∫^e

1 A

xdx= A = e−1^e

(c) E(X²) =∫^e

1

x²f(x)dx = A(e − 1) = e Ô⇒ V ar(X) = E(X²) − E(X)²= e − (e−1^e )² Grading Criteria:

If formulas and integrals state right, get 3 points, with correct calculations, get full points.

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6. (16%) 丟一次公正骰子，定義兩個隨機變數，X= {1 偶數

0 奇數, Y = {1 小: 1, 2, 3 點

0 大: 4, 5, 6 點，令 Z= X + Y 。 (a) (6%) X, Y 獨立否？

(b) (5%) 求 E(Z).

(c) (5%) 求 Var(Z).

Solution:

(a)

P(X=1)P(Y=1)=¹₂×¹2≠ ¹6=P(X=1,Y=1), since X and Y are not independent.

(b)

E(Z) = 0 × P(Z = 0) + 1 × P(Z = 1) + 2 × P(Z = 2) (2pts)

= 0 × P(Z = 0) + 1 × (P(X = 0, Y = 1) + P(X = 1, Y = 0)) + 2 × P(Z = 2) (2pts)

= 0 ×1

6+ 1 × (1 3+1

3) + 2 ×1

= 1 6

(c)

V ar(Z) = E((X − E(X))²) (2pts)

= (0 − 1)²× P(Z = 0) + (1 − 1)²× P(Z = 1) + (2 − 1)²× P(Z = 2) (2pts)

= 1 ×1

6+ 0 × (1 3+1

3) + 1 ×1 6

= 1 3

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7. (10%) 若 X, Y 獨立並都遵守指數分配，λe^−λt, t≥ 0. 求 Z = X + Y 之機率密度函數 f^Z(t).

Solution:

由題意有:

fX(x) =⎧⎪⎪

⎨⎪⎪⎩

λe^−λx x≥ 0

0 x< 0 fY(y) =⎧⎪⎪

⎨⎪⎪⎩

λe^−λy y≥ 0 0 y< 0 故:

fX(x)f^Y(y) > 0 當 x ≥ 0 且 y ≥ 0 之時 因此，當t< 0時，其和 Z = X + Y 的機率密度為:

fZ(t) = 0, t < 0 (2分) 而當t≥ 0時，其和 Z = X + Y 的機率密度為:

fZ(t) = ∫₀^tfX(s)f^Y(t − s)ds

= ∫₀^tλe^−λsλe^−λ(t−s)ds (3分)

(需完全正確才會得到分數。積分範圍沒寫，寫錯，均不予計分)

= ∫₀^tλ²e^−λse^−λ(t−s)ds

= ∫₀^tλ²e^−λtds

= λ²e^−λt∫₀^tds

= λ²e^−λtt (5 分) 我們得到和 Z= X + Y 的機率密度為:

fZ(t) =⎧⎪⎪

⎨⎪⎪⎩

λ²e^−λtt t≥ 0 0 t< 0

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8. (10%) 若隨機變數 X 有機率密度函數 fX(t) =^√1_πe^−t2。令 W = X²，求 W 的機率密度函數 fW(t).

Solution:

FW(t) = P(W ≤ t) = P(X²≤ t) = P(−√

t≤ X ≤√

t) = ∫^−√√ttfX(s)ds

= ∫^−√√tt

√1

πe^−s2ds= 2

√π ∫

√ t 0 e^−s2ds

f_W(t) = FW^′ (t) = d dt( 2

√π ∫

√t

0 e^−s2ds) = 2

√π d d(√

t) ∫

√t

0 e^−s2dsd(√ t) dt = 2

√πe⁻⁽

√ t)²1

2t⁻¹²

= 1

√πt⁻¹²e^−t

配分方式:

1: 寫出W的CDF函數形式 1%

2: 轉換成正確的X變數範圍 2%

3: 利用X的機率密度函數寫出W的CDF函數積分形式: 2%

4: 知道Ｗ的CDF微分等於Ｗ的機率密度函數 1%

5: 利用微積分基本定理將ＣＤＦ微分: 4%

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