均值定理的一個有趣的幾何意義

均值定 理的一個有趣的幾何意義

黃見利

Lagrange的均值定理對微積分的發展是最重要的定理之一。 它是這樣敘述的:

假設函數 f 在閉區間 [a, b] 連續, 而在開區間 (a, b) 可微, 則必存在一實數 ξ ∈ (a, b) 使得 f^′(ξ) = ^f(b)−f(a)_b−a 。

另一個重要的定理即是 Rolle 定理:

假設函數 f 在閉區間 [a, b] 連續, 而在開區間 (a, b)可微, 而且 f (a) = f (b) = 0, 則必存在一實數 c ∈ (a, b) 使得 f^′(c) = 0。

一般來說, 我們是以下述方式證明均值定理:

首先, 建造一個函數 φ(x) = f (x) − f (a) − ^f(b)−f(a)_b−a (x − a), 則有 φ^′(x) = f^′(x) −

f(b)−f(a)

b−a 。 再經過替代, 我們得到 φ(a) = φ(b) = 0 如此 φ(x) 便滿足了 Rolle 定理的假設, 因而必存在一實數 ξ ∈ (a, b) 使得 φ^′(ξ) = 0。 從而 0 = φ^′(ξ) = f^′(ξ) − ^f(b)−f(a)_b−a , 定理得 證。 圖 1 為一般所熟知的幾何意義。

圖1. 均值定理的幾何意義

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現在, 我們要給出一個不同的解釋以顯現數學優美的另一面, 由此可得到另一幾何意義。 首 先, 我們製造一個行列式函數 π(x) =

f(x) x 1 f(a) a 1 f(b) b 1

。 然後我們有 π(a) =

f(a) a 1 f(a) a 1 f(b) b 1

=

0 = π(b) =

f(b) b 1 f(a) a 1 f(b) b 1

和 π^′(x) =

f^′(x) 1 0 f(a) a 1 f(b) b 1

。 如此 π(x) 便滿足了 Rolle 定理的

假設, 因而必存在一實數 ξ ∈ (a, b) 使得 π^′(ξ) = 0。 從而 0 = π^′(ξ) =

f^′(ξ) 1 0 f(a) a 1 f(b) b 1

=

f^′(ξ) − ^f(b)−f(a)_b−a , 定理得證。

現在, 一個有趣的事實出現了。 讓 A(x) = ¹₂π(x) 代表某一個三角形的面積函數, 其三個 頂點為 (x, f (x)), (a, f (a)), (b, f (b))。 我們可用圖 2 來體會此事實的幾何意義。

圖2. 均值定理的另一個幾何意義

因此, 我們明顯地了解, 找到一 ξ ∈ (a, b) 使得 f^′(ξ) = ^f(b)−f(a)_b−a 是等價於找到一 ξ ∈ (a, b) 使得 π^′(ξ) = 0 或 A(x) 有相對極值。 圖 2 顯示的則是極大值。

在此, 我們還有另一個看法。 圖 2 中的兩條平行線, 一條通過 (a, f (a)) 和 (b, f (b)) 兩點, 另一條則是通過 (x, f (x))。 由於 (a, f (a)) 和 (b, f (b)) 是固定的兩點。 因此, 我們亦明顯地了 解, 找到 A(x) 的相對極值是等價於找到這兩條平行線間距離的相對極值。 φ(x) 即是這兩條平 行線間的距離函數。

均值定理的一個有趣的幾何意義 ⁷³ 經由這些想法, 我們還可得到一個令人驚異的事實: 我們甚至不必使用 Rolle 的定理而只 需要 Fermat 的定理便可證明 Lagrange 的均值定理!

Fermat 的定理是這樣敘述的:

假設函數 f 在開區間 (a, b) 可微且在 c 有極值, c ∈ (a, b), 則 f^′(c) = 0。

因為 A(x) 或 φ(x) 在閉區間 [a, b] 有界且在開區間 (a, b) 可微, 故有相對極值。

順著相似的思考途徑, 我們就可以證明 Cauchy 的廣義均值定理:

假設函數 f 和 g 在閉區間 [a, b] 連續, 而在開區間 (a, b) 可微。 而且, 當 x ∈ (a, b) 時, g^′(x) 6= 0 和 g(b)−g(a) 6= 0, 則存在一實數 ξ ∈ (a, b) 使得 ^f_g′^′(x)^(x) = ^f(b)−f(a)_g(b)−g(a)。 一般來說, 我們是以下述方式證明廣義均值定理:

首先, 建造一個函數 Φ(x) = f (x)−f (a)−^f(b)−f(a)_g(b)−g(a)[g(x) −g(a)]。 然後我們有 Φ^′(x) = f^′(x) − ^f_g^(b)−f(a)_(b)−g(a)g^′(x)。 經由簡單的計算可知 Φ(a) = Φ(b) = 0, 因此 Rolle 定理可應用到 Φ(x): 必存在一實數 ξ ∈ (a, b) 使得 Φ^′(ξ) = 0, 則有 0 = Φ^′(ξ) = f^′(ξ)^f_g(b)−g(a)^(b)−f(a)g^′(ξ), 定 理得證。

現在, 如同證明 Lagrange 的均值定理一樣, 我們要展現出另一個數學美。 首先, 我們製 造一個行列式函數 Π(x) =

f(x) g(x) 1 f(a) g(a) 1 f(b) g(b) 1

。 然後, 我們有 Π(a) =

f(a) g(a) 1 f(a) g(a) 1 f(b) g(b) 1

= 0 =

Π(b) =

f(b) g(b) 1 f(a) g(a) 1 f(b) g(b) 1

和 Π^′(x) =

f^′(x) g^′(x) 0 f(a) g(a) 1 f(b) g(b) 1

。

如此 Π(x) 便滿足了 Rolle 定理的假設, 因而必存在一實數 ξ ∈ (a, b) 使得 Π^′(ξ) = 0,

從而 0 = Π^′(ξ) =

f^′(ξ) g^′(ξ) 0 f(a) g(a) 1 f(b) g(b) 1

= f^′(ξ)[g(b) − g(a)] − g^′(ξ)[f (b) − f (a)], 定理得證。

現在, 另一個有趣的事實出現了。 使用行列式的基本行運算, 我們有 Π(x) =

f(x) g(x) 1 f(a) g(a) 1 f(b) g(b) 1

=

f(x) − g(x) g(x) 1 f(a) − g(a) g(a) 1 f(b) − g(b) g(b) 1

。 因此我們仍有 Π(a) = 0 = Π(b) 和

Π^′(x) =

f^′(x) g^′(x) 0 f(a) g(a) 1 f(b) g(b) 1

=

f^′(x) − g^′(x) g^′(x) 1 f(a) − g(a) g(a) 1 f(b) − g(b) g(b) 1

。 Rolle 定理依然可應用到 Π(x), 定

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理還是得證!

如果我們使用這樣的一個座標系統, 橫座標為 g(x) 而縱橫座標為 f (x) − g(x), 則

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f(x) − g(x) g(x) 1 f(a) − g(a) g(a) 1 f(b) − g(b) g(b) 1

代表某一個三角形的面積函數, 其三個頂點為 (g(x), f (x) − g(x)),

(g(a), f (a) − g(a)), (g(b), f (b) − g(b)), 因此, 事情已經變成非常明顯了。 所有我們所需要的 只是跟隨先前用來解釋 Lagrange 的均值定理的幾何意義的步驟而已。

感謝

作者在此希望對三位恩師, 臺灣大學數學系陳其誠教授, 輔仁大學數學系葉遷輝教授, 臺 灣大學數學系朱樺教授, 表達內心由衷的感謝。 在寫作的期間, 由於他們經常的鼓勵和許多有幫 助的討論和有價值的建議, 本文才可能完稿。

—本文作者現就讀於國立臺灣大學數學研究所碩士班二年級—