狄拉克定理的新證明
詹國樑
摘要: 本文對圖論中著名的狄拉克定理, 分別用逐步調整法和數學歸納法這兩種初等方法給 出新證明, 構思新穎巧妙, 無需使用圖論術語。
關鍵詞: 哈密頓回路、 狄拉克定理、 良序排列。
對於一個給定的連通圖, 是否存在哈密 頓 (Hamilton) 回路, 這是圖論中至今尚未 解決的一個著名難題。 1952 年, 歐洲數學家 狄拉克 (Dirac) 建立了下面的定理, 簡單明 瞭地給出了哈密頓回路存在的充分條件, 這 是圖論史上的一項重要成果。
定理 (Dirac): 具有 n(n ≥ 3) 個頂點 的簡單圖, 如果每個頂點 v 的度 d(v) ≥ n2, 則一定存在一條哈密頓回路。
紐曼 (Newman) 和波塞 (P´osa) 曾 分別於 1958年和1962年對狄拉克定理作出“
光彩奪目”的證明 [1] 。 現在所見的圖論著作
[2] 中又用反證法給予證明。 在本文中, 筆者 分別用逐步調整法和數學歸納法給出兩種新 證法, 以供同仁研究參考。
為了避免使用圖論術語, 我們不妨將狄 拉克定理改述為與之等價的命題:
命題: 現有 n(n ≥ 3) 個人, 每個人的 朋友至少有 n
2 個, 則這 n 個人可以圍坐一 圈, 相鄰者均為朋友。
證明一: (用逐步調整法)
先讓這些人隨意圍坐一圈, 不妨設他們 的坐次為 F1, F2,· · · , Fn−1, Fn, 其中 F1
與 Fn 不是朋友。 現構作集合 F∗ = {Fi|F1與Fi+1是朋友} (i = 1, 2, 3 · · · , n − 2), 由題設知 F∗ 中至少有 n
2 個人, 且 Fn 與 F∗ 中至少有一個是朋友 (如若不然, Fn 和 F∗ 中任何一個人都不是朋友, 則因 {F1, F2,· · · , Fn} − F∗ 中至多有 n
2 個人, 故 Fn至多有 n
2− 1 個朋友, 此與題設矛盾), 設他為 Fj。 此時, 圓圈上坐有
F1, F2,· · · , Fj, Fj+1,· · · , Fn−1, Fn, F1 (1) 再將上面的坐次作如下調整: F1, F2,
· · · , Fj 原封不動, 而將 Fj 以後的 Fj+1,· · ·, Fn−1, Fn 這部分人的坐次全都顛 倒過來, 重新入坐, 即圓圈上所有人的坐次調 整為
F1, F2,· · · , Fj, Fn, Fn−1,· · · , Fj+1, F1 (2) 比較坐法 (1) 和 (2): 由於 (1) 和 (2) 中 F1, F2,· · · , Fj 相鄰者為朋友 (或不是朋 友) 的對數相等, (1) 中 Fj+1, · · ·, Fn−1, Fn
和 (2) 中 Fn, Fn−1, · · ·, Fj+1 相鄰者為朋 友 (或不是朋友) 的對數也相等, 而 (2) 中 Fn
和 Fj 是朋友, 且由 F∗的定義知 F1和 Fj+1
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也是朋友。 但是, (1) 中 Fn 和 F1 不是朋友,Fj 和 Fj+1 是不是朋友尚屬未知。 可見, 進 行這樣一次調整至少可以增加一對朋友相鄰。
故作如此調整, 至多需 n 次, 就可使每個人的 鄰坐都是朋友。
證明二: (用數學歸納法)
先考慮將 n 個人排坐在一直線上, 記 他們為 Fi(i = 1, 2, · · · , n), 並將相鄰兩 人均為朋友的排列稱為“良序排列”。 可以證 明: 對於 1 ≤ k ≤ n − 1, 如果有 k 個人的一個 “良序排列” F1, F2,· · · , Fk, 則 必有 k + 1 個人也構成一個 “良序排列”
F1, F2,· · · , Fk, Fk+1 。 事實上,
(1) 當 1 ≤ k ≤ n2 時, 因為 Fk 至少有
n
2 個友人, 而良序排列 F1, F2,· · · , Fk中 Fk 的前面最多只有 n
2 − 1 個人。 所以, 在剩下 的人中至少有一人是 Fk 的朋友, 記為 Fk+1, 則結論成立。
(2) 當 n2 < k ≤ n − 1 時, 如果剩下 的人中有 Fk 的朋友, 記為 Fk+1, 則結論已 成立; 反之, 如果剩下的人均不是 Fk 的朋 友, 則可任取其中之一為 Fk+1 。 此時, Fk 的 友人應在排列 F1, F2,· · · , Fk−1 中, 設其中 某一個 Fj 是 Fk 的朋友, 則將 Fj 之後的 k − j 個人的順序全部顛倒過來, 而得排列 F1, F2, · · · , Fj, Fk, Fk−1, · · · , Fj+2, Fj+1, 顯然, 這仍是 k 個人的“良序排列”。 由於 Fk 的友人至少有 n
2 個, 故 Fj 的取法至少有 n
2
種, 從而這樣的 Fj+1 也至少有 n
2 個。 由於 所有的人數為 n, 而 Fk+1 的朋友數又不少 於 n
2 。 因此, 在這些 Fj+1 中至少有一個是 Fk+1 的朋友。 當 Fj+1 恰好是 Fk+1 的朋友
時, F1, F2,· · · , Fj, Fk,· · · , Fj+1, Fk+1 就 是 k + 1 個人的一個“良序排列”了。 於是, 結論仍然正確。
根據上述結論, 並由數學歸納法可知:
這些在一直線上排列著的 n 個人, 總可以進 行重排成一個“良序排列”:
F1, F2,· · · , Fn (∗)
此時, 若 F1 是 Fn 的朋友, 則按次序 (∗) 圍坐一圈, 相鄰者均為朋友; 若 F1 不是 Fn 的朋友, 則可仿照 (2) 中的做法, 找出一 個“良序排列”:
F1, F2, . . . , Fj, Fn, Fn−1, . . . , Fj+1, 使 Fj+1 和 F1 為朋友 (具體做法是: 設 某一個 Fj 是 Fn 的朋友, 則將“良序排列”
F1, F2,· · · , Fj, Fj+1,· · · , Fn 中 Fj 之後的 n − j 個人的順序全部顛倒過來之後, 所 得排列 F1, F2,· · · , Fj, Fn, Fn−1,· · · , Fj+2, Fj+1 仍是良序排列。 由於 Fn 的友人至少有
n
2 個, 故 Fj 的取法至少有 n
2 種, 從而這 樣的 Fj+1 也至少有 n
2 個。 又由於所有的人 數為 n, 而 F1 的朋友數也不少於 n
2, 因此 在這些 Fj+1 中至少有一個是 F1 的朋友。
當其中某一個 Fj+1 恰好為 F1 的朋友時, F1, F2,· · · , Fj, Fn, Fn−1,· · · , Fj+1 就是一 個良序排列, 且 Fj+1 和 F1 為朋友)。 於是, 圍坐一圈後, 相鄰者仍均為朋友。
參考資料
1. 左宗明編著, 「 世界數學名題選講」, 上海科 技出版社, 1990。
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數學傳播21
卷2
期 民86
年6
月2. 王朝瑞編, 「 圖論」, 高等教育出版社, 1983。
3. 李國偉, 只要想得巧,「數學傳播」 二卷一期 (民國 66 年 7 月), p. 38-39。
4. 何景國, 拓樸學中的一筆畫與尤拉公式, 「數
學傳播」 七卷四期 (民國 72 年 12 月), p. 17-28。
—本文作者任教於中國蘇州教育學院—
