13 矩 陣

13－1 ^103MH408T

1. 1 2. 1 2 10

10 1 3. ^{3 1 8}

6 17 16 4. 6 或 1 5. ^{(1) 5}3 ²1 (2) 2 6. 2 7 7. ^{2 3}

4 5 8. 1 , 1 , 2 9. (A) 10. (D) 11. (B)(D) 12. (B)(D) 13. 14. 0.8 0.2 0.1

0.1 0.7 0.3

0.1 0.1 0.6 35% 15. 285 16. ⁵ 一、概念題（共 11 格，每格 5 分）

1.設 ₂ ^{2 1 2}_{3 0} ，則 。

解聯立 ¹₀ 與 ₂^{2 2}₃ 得

1 2 1 2

與 ¹₁，故 1

2.設 ₃^{2 4}₁ ， 3 1

1 2 且3 2 ，若 表示矩陣 的第 , 元，則 ，又 。

① 2 ¹₃  2 ，則 2 3 2 1 1

② ₃^{2 4}₁ ³₁ ¹_{2 10}² ₁¹⁰

3. 1 0

2 3 ， ^{1 2 5}_{0 3 1} ， ²_{0 2}^{1 3}₁ ，則 。

1 0

2 3 3 1 8

0 5 0 3 1 8

6 17 16

4.二階方陣 ₃ ² ₅ ，若 A 無反矩陣，則 。

det 5 6 6 1 0  6 或 1

5. 1 2

3 5 ，(1) 為 (2) 滿足 ^{2 0}_{0 2} ， 。

(1) det 5 6 1， ⁵_{3 1}² ₃^{5 2}₁

(2) 2  2 10 4

6 2 ，所求 10 4 6 2 2

6.設矩陣

1 1 2

3 1

4 3 1

0

4 ，利用列運算將矩陣 A 化成簡單化矩陣

1 0 1

0 1 1

0 0 0 1

1 0 ， 試求 ， 。

1 1 2 3 1 4 3 1 0

4

3 _{1 2}

→ 4 1 3

1 1 2

0 4 6

0 7 7 0 4

1 4 2

→

1 1 2

0 1

0 7 7

0 1

→

7

1 0 ₄² 0 1 ₄⁶ 0 0 ^{14 7}₄

，比較得 ^{42 1}

7 0  ²

7

7.聯立方程式 ²₄ ³₅ 表成 ¹

2 ，求二階方陣 。

即²₄ ³₅ ，故 ²₄ ³₅

8.設 ^{3 , 2 , 5}， ^{1 , 2 , 3}， ^{1 , 2 , 1}， ^{4 , 4 , 10}，若 ，則 序組 , , 。

即

3 4 … ①

2 2 2 4 … ②

5 3 10 … ③

 ① 2 ②得 8 4 4

② ③ 2 得 12 4 16  ¹₁

代回①得 3 1 4  2

二、單一選擇題（共 2 題，每題 5 分）

9.利用反方陣解矩陣方程式的方法運用在密碼學中，首先用矩陣將英文字母編 碼，例如：a 以 ⁰₁ 表之，b 以 ⁰₂ 表之，···，z 以 ²₆ 表之。而單字”cow”以 0 1 2

3 5 3 表之，餘類推。今為了保密將某英文單字以矩陣 A 表示並加密後再

傳出，方法如下：選取兩個二階方陣 ¹₁ ²₃、 ^{2 4}_{6 8}，計算(B C A ) 後，再傳出。假設收到的內容為矩陣 _{20 32 35}^{8 13 14} ，則原單字為何？

(A) dog (B) cat (C) you (D) box (E) pig。

3 2

7 5， ⁵_{7 3}^{2 5}_{7 3}²， _{20 32 35}^{8 13 14}

 8 13 14

20 32 35 5 2

7 3 8 13 14

20 32 35 0 1 0

4 5 7，表 dog

∴選(A)

13 矩 陣

0 0 7

13－2 10.設 A 為二階方陣， ^{1 0}_{0 1} ， ^{0 0}_{0 0} ；若 5 6 ，則下列

何者是5 的反矩陣？

(A) A (B) (C) 5 (D) (E) 5 。

5 6  5 6  5 6  5 6

 5 ，故5 的反矩陣為 ∴選(D)

三、多重選擇題（共 2 題，每題 5 分）

11.設 A、B、C 皆為^{2 2}矩陣，則下列敘述哪些是正確的？

(A) 2 恆成立 (B) 恆成立

(C)若 ，則 或 (D)若det 0，且 ，則

(E) 。

(A)矩陣乘法交換率不成立，不合 (B)滿足矩陣乘法結合率，合 (C) 0 0

0 1 ， 1 0

0 0  ^{0 0}

0 0 ，但 ， ，不合

(D)∵det 0 ∴ 存在，   ，合

(E)∵ ，得 ，不合

∴選(B)(D)

12.安安為了避免公司機密資料被竊取，就發明了一種編碼的方式，將原始數 字傳遞給平平，將數對 , 透過 ² ₂ 轉換成密碼 , ，則下列哪 些選項是正確的？

(A)數對 1 , 7 的密碼為 9 , 9 (B)密碼 9 , 3 的原始數對為 5 , 1

(C)該編碼公式可能會把不同數對轉換成相同的密碼 (D)若要將密碼轉換成原

始的數對，可透過二階方陣 M 來轉換，即 ，則 。

(A)將數對1 , 7 代入，得 _{1 14}^{2 7}  ₁₅⁹，不合 (B)將 , 用 9 , 3代入，得 ² ₂ ⁹₃ 

5

1，合 (C)係數行列式 ^{2 1}_{1 2} 4 1 3 0 ∴方程組恰有一解，不合 (D)原始方程組用矩 陣表示，可寫成^{2 1}_{1 2}  ^{2 1}

1 2 2 1

1 2 2 1

1 2  ^{2 1}

1 2

∴ ^{2 1}_{1 2} ²_{1 2}¹ ，合 ∴選(B)(D)

四、填充題（共 5 格，每格 5 分）

13.下雨天的翌日也下雨的機率是 ，非下雨天的翌日下雨的機率是 ，今假設第一天是下雨 天，則第四天非下雨天的機率為 。

轉移矩陣

∴第四天非下雨天的機率為

14.甲報社每年保留 80% 的顧客，而轉向乙報社與丙報社訂購的顧客，分別占 10% 與 10%；

乙報社每年保留 70% 的顧客，而轉向甲報社與丙報社訂購的顧客，分別占 20% 與 10%；

丙報社每年保留 60% 的顧客，而轉向甲報社與乙報社訂購的顧客，分別占 10% 與 30%。

若目前甲、乙、丙三報社的市場占有率分別為 20%、30%、50%，且顧客總人數不變：

(1)試求其轉移矩陣  (2)已知最後報社供應市場會趨於穩定，試問穩定狀 態時，乙報社之市場占有率為 。

(1)轉移矩陣 0.8 0.2 0.1 0.1 0.7 0.3 0.1 0.1 0.6 (2)設穩定狀態矩陣

1  0.8 0.2 0.1

0.1 0.7 0.3

0.1 0.1 0.6 1 1

 0.8 0.2 0.1 1

0.1 0.7 0.3 1  0.3 0.1 0.1

0.2 0.6 0.3  3 1

2 6 3

 ， ，乙報社市場占有率 100% 35%

15.設 且 ^，當

0，當 ，則 A 中所有元素之和為 。

⋯ ⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯

1 0 0 ⋯ 0 2 2 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮

9 9 9 … 9

，所求為1 2 3 ⋯ 9 285

甲報 乙報 丙報 甲報 乙報 丙報

13－3 ^103MH408T 16.若方程組 ^{2 2 33}

3 2 有解，求 。

方程組所對應的增廣矩陣為

∵方程組有解 ∴ 5 0  5