矩陣的乘法及意義
例題 1
試計算下列矩陣的乘積‧
( )1 1 2 1 3
－2 －7
2 3 ‧ ( )2
1 2 4 2 6 0 1 －1 1
4 1 4 0 －1 3 2 7 5 ‧
( )3 1 2 3 4
3 4 5
－1 6 2 ‧ ( )4 3 4 5 －1 6 2
1 2 3 4 ‧
■解：
( )1 1 2 1 3
－2 －7
2 3 ＝ －2＋4 －7＋6
－2＋6 －7＋9 ＝ 2 －1 4 2
( )2
1 2 4 2 6 0 1 －1 1
4 1 4 0 －1 3 2 7 5
＝
4＋0＋8 1－2＋28 4＋6＋20 8＋0＋0 2－6＋0 8＋18＋0 4＋0＋2 1＋1＋7 4－3＋5
＝
12 27 30 8 －4 26 6 9 6 ( )3 1 2
3 4
3 4 5 －1 6 2 ＝
3－2 4＋12 5＋4
9－4 12＋24 15＋8 ＝ 1 16 9 5 36 23 ( )4 不能相乘
例題 2
已知 A＝ 1 2
－2 3 ，B＝
2 －1 －1
3 5 3 ，C＝ 3 0 －2
4 4 5 ，則 A（3B－2C）＝
■解：
3B－2C＝3 2 －1 －1
3 5 3 －2 3 0 －2 4 4 5
＝ 6 －3 －3
9 15 9 － 6 0 －4
8 8 10 ＝ 0 －3 1 1 7 －1 A（3B－2C）＝ 1 2
－2 3
0 －3 1
1 7 －1 ＝ 2 11 －1 3 27 －5
例題 3 設 A＝ 1 2
3 4 ，B＝
k 2
3 9 ，若 AB＝BA，則 k＝ ‧
■解：
AB＝ 1 2 3 4
k 2 3 9 ＝
k＋6 20 3k＋12 42 BA＝ k 2
3 9
1 2 3 4 ＝
k＋6 2k＋8 30 42
∵AB＝BA
∴ k＋6 20
3k＋12 42 ＝ k＋6 2k＋8
30 42 2k＋8＝20
3k＋12＝30 解之得 k＝6
例題 4
設 A＝ 1 －1
0 2 ，B＝ 1 0
1 2 ，則（A＋B）（A－B）－（A2－B2）＝ ‧
■解：（A＋B）（A－B）－（A2－B2）＝A2－AB＋BA－B2－A2＋B2＝－AB＋BA
＝－ 1 －1 0 2
1 0 1 2 ＋
1 0 1 2
1 －1 0 2
＝－ 0 －2
2 4 ＋ 1 －1
1 3 ＝ 1 1 －1 －1
例題 5
設 A＝［aij］3×2，B＝［bij］2×3，其中 aij＝i－j＋2，bij＝2i＋j－1‧若 AB＝［cij］3×3， 則： ( )1 c32＝ ‧ ( )2 c13＝ ‧
■解： ( )1 c32＝a31b12＋a32b22＝4×3＋3×5＝12＋15＝27 ( )2 c13＝a11b13＋a12b23＝2×4＋1×6＝8＋6＝14
例題 6
設 A＝
1 1 1 0 1 1
0 0 1 ，若 A20＝［aij］3×3，則：
( )1 a12＝ ‧ ( )2 a13＝ ‧
■解： A＝
1 1 1 0 1 1 0 0 1
A2＝AA＝
1 1 1 0 1 1 0 0 1
1 1 1 0 1 1 0 0 1
＝
1 2 3 0 1 2 0 0 1
A3＝A2A＝
1 2 3 0 1 2 0 0 1
1 1 1 0 1 1 0 0 1
＝
1 3 6 0 1 3 0 0 1
A4＝A3A＝
1 3 6 0 1 3 0 0 1
1 1 1 0 1 1 0 0 1
＝
1 4 10 0 1 4 0 0 1
…
( )1 A20 之 a12＝20
( )2 A20 之 a13＝1＋2＋3＋……＋20＝（1＋20）×20
2 ＝210
例題 7
設 r 為一實數，A＝［r 1 －2］，B＝［1 3 －1］‧若 ABt＝O，則矩陣 BtA＝
■解：
ABt＝［r 1 －2］
1 3
－1 ＝［r＋3＋2］＝［0］ r＋5＝0 r＝－5
故 BtA＝
1 3
－1 ［－5 1 －2］＝
－5 1 －2 －15 3 －6 5 －1 2
例題 8 設 A＝ 1 2
3 4 ，則：
( )1 A2－5A－2I2＝ ‧ ( )2 A4－5A3＋3A2＋2A＋2I2＝ ‧
■解：
( )1 A2－5A－2I2＝ 1 2 3 4
1 2 3 4 －5
1 2 3 4 －2
1 0 0 1
＝ 7 10 15 22 －
5 10 15 20 －
2 0 0 2 ＝
0 0 0 0 ( )2 A4－5A3＋3A2＋2A＋2I2
＝（A2－5A－2I2）（A2＋5I2）＋（27A＋12I2）
＝O＋27A＋12I2
＝ 0 0 0 0 ＋27
1 2 3 4 ＋12
1 0 0 1
＝ 27 54 81 108 ＋
12 0 0 12 ＝
39 54 81 120
例題 9
彩票公司每天開獎一次，從 1，2，3 三個號碼中隨機開出一個‧開獎時，如果開出的 號碼和前一天相同，就要重開，直到開出與前一天不同的號碼為止，如果在第一天開 出的號碼是 3，則在第五天開出號碼同樣是 3 的機率是 ‧（以最簡分數表示）
■解： 1 號 2 號 3 號
轉移矩陣 A＝
0 1 2
1 2 1
2 0 1 2 1
2 1
2 0 1 號 2 號 3 號
令 Xk 表示第 k 天開出 1 號，2 號，3 號球的機率矩陣，則 X1＝ 0 0 1
X2＝A X1＝
0 1 2
1 2 1
2 0 1 2 1
2 1
2 0 0 0 1
＝ 1
2 1
2 0
X3＝A X2＝
0 1 2
1 2 1
2 0 1 2 1
2 1
2 0 1
2 1
2 0
＝ 1
4 1
4 1
2
X4＝A X3＝
0 1 2
1 2 1
2 0 1 2 1
2 1
2 0 1
4 1
4 1
2
＝ 3
8 3
8 1
4
X5＝A X4＝
0 1 2
1 2 1
2 0 1 2 1
2 1
2 0 3
8 3
8 1
4
＝ 5 16
5 16
3 8
∴第五天開出 3 號球之機率是 3
8
例題 10
某國政府長期追蹤全國國民的經濟狀況，依訂定的標準將國民分為高收入和低收入兩 類‧統計發現高收入的人口一直是低收入人口的兩倍，且知在高收入的人口中，每年 有四成會轉變為低收入‧請問在低收入的人口中，每年有幾成會轉變為高收入？請選 出正確的選項 ( )A 6 成 ( ) B 7 成 ( )C 8 成 ( )D 9 成‧
■解：設低收入人口中，每年有 x 成轉為高收入
∵轉移矩陣 A＝
6 10 x
4
10 1－x ∴
6 10 x
4
10 1－x 2
3 1
3 ＝
2 3 1
3
2 5＋ 1 3 x＝ 2 34
15 ＋ 1－x 3 ＝ 1
3
6＋5x＝10
4＋5－5x＝5 x＝0.8
∴每年有 8 成的低收入人口轉為高收入，故選 ( )C
