13-1
1. 1 2. 1 2 10
10 1 3. 3 1 8
6 17 16 4. 6 或 1 5. (1) 53 21 (2) 2 6. 2 7 7. 2 3
4 5 8. 1 , 1 , 2 9. (A) 10. (D) 11. (B)(D) 12. (B)(D)
13. 14. , 3,12, 8 15. 285 16. 5 一、概念題(共 11 格,每格 5 分)
1.設 2 2 1 23 0 ,則 。
解聯立 10 與 22 23 得
1 2 1 2
與 11,故 1
2.設 32 41 , 3 1
1 2 且3 2 ,若 表示矩陣 的第 , 元,則 ,又 。
① 2 13 2 ,則 2 3 2 1 1
② 32 41 31 12 102 110
3. 1 0
2 3 , 1 2 50 3 1 , 20 21 31 ,則 。
1 0
2 3 3 1 8
0 5 0 3 1 8
6 17 16
4.二階方陣 3 25 ,若 A 無反矩陣,則 。
det 5 6 6 1 0 6 或 1
5. 1 2
3 5 ,(1) 為 (2) 滿足 2 00 2 , 。
(1) det 5 6 1, 53 12 35 21
(2) 2 2 10 4
6 2,所求 10 4 6 2 2
6.設矩陣 13 11 2
4 3 1
0
4,利用列運算將矩陣 A 化成簡單化矩陣 1 00 1 11 0 0 0
1 1
0,試求 , 。
1 1 2 3 1 4 3 1 0
4
3 1 2
→ 4 1 3
1 1 2
0 4 6
0 7 7 0 4
1 4 2
→
1 1 2
0 1
0 7 7
0 1
13 矩 陣
13-2
→ 7
1 0 42 0 1 46 0 0 14 74
,比較得 42 1
7 0 2
7
7.聯立方程式 24 35 表成 1
2 ,求二階方陣 。
即 24 35 ,故 24 35
8.設 3 , 2 , 5 , 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 1 , 4 , 4 , 10 ,若 ,則序組 , , 。
即
3 4 … ①
2 2 2 4 … ②
5 3 10 … ③
① 2 ②得 8 4 4
② ③ 2 得 12 4 16 11
代回①得 3 1 4 2
二、單一選擇題(共 2 題,每題 5 分)
9.利用反方陣解矩陣方程式的方法運用在密碼學中,首先用矩陣將英文字母編 碼,例如:a 以 01 表之,b 以 02 表之,···,z 以 26 表之。而單字”cow”以 0 1 2
3 5 3 表之,餘類推。今為了保密將某英文單字以矩陣 A 表示並加密後再
傳出,方法如下:選取兩個二階方陣 11 23 、 2 46 8 ,計算(B C A ) 後,再傳出。假設收到的內容為矩陣 20 32 358 13 14 ,則原單字為何?
(A) dog (B) cat (C) you (D) box (E) pig。
3 27 5, 57 32 57 32, 20 32 358 13 14
8 13 14
20 32 35 5 2
7 3 8 13 14
20 32 35 0 1 0
4 5 7,表 dog ∴選(A)
10.設 A 為二階方陣, 1 00 1 , 0 00 0 ;若 5 6 ,則下列何者是5 的反 矩陣?(A) A (B) (C) 5 (D) (E) 5 。
5 6 5 6 5 6 5 6
5 ,故5 的反矩陣為 ∴選(D)
三、多重選擇題(共 2 題,每題 5 分)
11.設 A、B、C 皆為2 2矩陣,則下列敘述哪些是正確的?
(A) 2 恆成立 (B) 恆成立
13-3
(C)若 ,則 或 (D)若det 0,且 ,則
(E) 。
(A)矩陣乘法交換率不成立,不合 (B)滿足矩陣乘法結合率,合 (C) 0 0
0 1, 1 0
0 0 0 0
0 0,但 , ,不合
(D)∵det 0 ∴ 存在, ,合
(E)∵ ,得 ,不合
∴選(B)(D)
12.安安為了避免公司機密資料被竊取,就發明了一種編碼的方式,將原始數字傳遞給平平,將 數對 , 透過 2 2 轉換成密碼 , ,則下列哪些選項是正確的?
(A)數對 1 , 7 的密碼為 9 , 9 (B)密碼 9 , 3 的原始數對為 5 , 1
(C)該編碼公式可能會把不同數對轉換成相同的密碼 (D)若要將密碼轉換成原始的數對,可透過
二階方陣 M 來轉換,即 ,則 。
(A)將數對 1 , 7 代入,得 1 142 7 9
15,不合 (B)將 , 用 9 , 3 代入,得 2 2 93 5
1,合 (C)係數行列式 2 11 2 4 1 3 0 ∴方程組恰有一解,不合 (D)原始方程組用矩陣表示,
可 寫 成 2 11 2 2 1
1 2 2 1
1 2 2 1
1 2 2 1
1 2 ∴ 2 11 2
2 1
1 2 ,合
∴選(B)(D)
四、填充題(共 5 格,每格 5 分)
13.某地區下雨天的翌日也下雨的機率是 ,非下雨天的翌日下雨的機率是 ,已知該地區第一天是下雨天,則 第四天非下雨天的機率為 ,多日之後此地區的下雨機率為 。
轉移矩陣
∴第四天非下雨天的機率為
設穩定態為1 ,則
⋯ ⋯ 1 ⋯ ∴ ,得
14.若 23 1 是 4 的乘法反方陣,求序組 , , , 。
13-4
即23 1 13 2 4 ∴ 4,得
則 2 3 1
1
3 2 4 1
3 2
4 3
12 8 ∴ , , , , 3,12, 8
15.設 且 ,當
0,當 ,則 A 中所有元素之和為 。
⋯ ⋯
⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯
1 0 0 ⋯ 0 2 2 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮
9 9 9 … 9
,所求為1 2 3 ⋯ 9 285
16.若方程組 2 2 33
3 2 有解,求 。
方程組所對應的增廣矩陣為
∵方程組有解 ∴ 5 0 5