樑 / 結構與強度

設計橋樑 / 結構與強度

• http://bridgecontest.usma.edu/download.htm

• 材料 : 20 根吸管， 1m 膠帶

• 橋長 : 25cm

• 除兩端之外不能用橋墩

3 振盪

尼米茲公路上的悲劇

3.1 簡協運動

Simple Harmonic Motion (SHM) Frequency ( 頻率 ) [hertz(Hz)] - f Period ( 週期 ) - T

Periodic/harmonic motion

displacement x(t)  x_m cos(t )

振幅、週期、相位、角頻率

T f T

t T

t

T t

x

t x

m m

 

















2 2

=

2

=

2 )

(

)]

( cos[

cos













角頻率

速度、加速度

(velocity)

) sin(

)]

cos(

) [ ) (

(























t x

t dt x

d dt

t t dx

v

m

m

) ( -

ion) (accelerat

) cos(

)]

sin(

) [ ) (

(

2 2

t x a(t)=

t x

t dt x

d dt

t t dv

a

m

m





























3.2 SHM 中的作用力

2 2

,

) (





k=m kx

F

x m

ma F











k T= m

m

k 



 2 2

, 



例一 板子 + 二逆向轉軸

m

F a F

F f

F f

ma F

F

mg F

F F

B k

A k

B k

kB A

k kA

B k

A k

B A

y













 

















) ,

(

0 力平衡方程式

14rad/s

= ,

,

2

) , (

2

) (

0 )

0 ( )

0 ( +

) (

2 )

0 (

2  

 



L x g

L a g

L

x L

F mg L

x L

F mg

f f

x L

mg L

F F

k k

A B

kB kA

B A







 

 













_k = 0.40 L = 2.0cm

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 1

) (

2 sin 1

) (

2 sin 1 2

1

) (

2 cos 1 2

1

m m

m m

kx K

U E

t kx

t x

m mv

K

t kx

kx U





































3.3 SHM 中的能量

圖示

3.4 An Angular SHM

2

=  



 T I





扭擺

k T= m

kx F

 2





2 2 2

, 2

=

2

= 12 ,

1

a b a

b b

b

a a

a

T I T

I I T

T I mL

I





 

 

例二 由扭 擺求 轉動 慣量

b a

c a

a c c

c c

a a

I I

I I T I

T

T I T I





 ,

2

= ,

2

=  

 

由扭 擺求 週期

3.5 Pendulum

單擺 The Simple Pendulum

L s mg L

mg s mg

mg F

) (

sin





















g L k

T m

L k mg



 2

2 





物理擺

g L mgL

mL mgh T I

mgh

h mg













2 2

2

) sin

(

2 













單擺

2 2 2

2

3 g 8

3 , 2 2

3 2 2

2 , 1

3 , 1

2

T L g

L mgL

T mL

L h=

mL mgh I

T I

 















測量 g 值

例三 圓盤物理擺求週期

2 2

2 2

2 2

2

g 6 2 ,

2 3

) 2 / 1 (

4 / 2 3

2

4 ) 3

2 ( 1 2

1

T

R g

R

R mg

mR mgh

T I

mR R

m mR

mh I

I _cm

 





















 ^{h =}

R/2

例四 企鵝跳水

k s T m

m k

m k L mL

Lk

L x

s=r Lkx mL

I LF

35 .

3 0 2

3 ,

, 3 3

3

2

2 2

































 













m = 12kg k =

1300N/m

3.6 SHM 和等速率圓周運

SHM 動 是等速率圓周運 動在其圓周直徑之投影

阻滯力 ^{F d   bv}

0

2

2   













dt kx b dx

dt

x m d

dt b dx

kx ma

bv kx

F

Damped ( 阻尼 )

有阻滯 S H M

微分方程式

2 ) ( 1

2 , ) 1

(

) (

4 ,

) cos(

) (

2 /

2

2 2 2 /

m m

bt m

m bt

m

kx E=

e kx t

E

m

= k m

b m

k

t e

x t

x









 

 











指數衰減

3.7 強迫振盪與共 振

    ^d

 d

自然頻率與外來驅動頻率

共振條件

共振例

 Radio and TV tuning

 The collapse of the Nimitz freeway

 The Tacoma narrow bridge

 The bay of Fundy

共振圖示

共振圖示

t dt D

x dx dt

x d

t A

dt kx b dx

dt

x m d

t dt A

b dx kx

bv kx

F

 d









cos cos

cos

2 2

2

2 2



























例五 盪秋千

例六 The Tacoma narrow

bridge

例七

Nimitz freeway

例八

Bay of Fundy

物理 V– 波動

敬請期待

簡協 運動 的動 畫

Simple Harmonic Motion

Harmonic Motion