2-1 隨機變數

第一章 簡介

電路的設計，除了考慮產品能在一般環境下正常操作外，亦需包 含可能由製程變化而引起的規格誤差考量。基本上，規格誤差的容忍 度會反映在產品的良率上。當我們在分析產品的良率時，通常是給每 一個元件值一組亂數值，在已知每個元件值的平均值、標準差的資料 下，計算所有輸出的值，在元件的變動下，觀察符合規格的數量，此 種方法稱為蒙地卡羅分析(Monte Carlo Analysis)。在蒙地卡羅的分析 方法中通常用到兩種亂數產生器(Random Number Generator)，一種是 均勻分佈(Uniform Distribution)的亂數，另外一種是常態分佈(Normal Distribution)的亂數。分別畫於圖 1-1(a)，(b)

(a) 均勻分佈

(b) 常態分佈 圖 1-1 亂數分佈圖

μ 6σ

99.73 ﹪

0.135 ﹪ 0.135 ﹪

0.5 1 0

圖 1-1(a)中在 0 與 1 之間每一點發生的機率是一樣的，而圖 1-1(b)中 在正負三倍標準差之內涵蓋了 99.73％，這種分佈比較接近理想的情 況。通常我們產生出來的產品是類似一常態分佈，良率是將符合電器 特性的區域積分出來，如果產品的規格較少時，這種方法可以計算 良率，一但產品要考慮的規格很多時，數值積分很難計算出良率，

在這種情形下就要用到蒙地卡羅積分了。理論上蒙地卡羅積分可以應 用到無限多的產品規格[1]。本篇論文是以蒙地卡羅分析為出發點，

假設每一個元件特性都是一個常態分佈，設計出一多維常態隨機向量 產生器。

在深次微米時代(very deep sub-micron)時代，元件與元件之間越 難做到匹配(match)，因此設計高整合，高靈敏度的電路如 RF、mixed signal 就需要一個精準的良率評估器。也由於蒙地卡羅分析的重要 性，所以當我們再做電路分析時就需要一好的隨機向量產生器。

既然我們要設計一多維的常態隨向量產生器，向量與向量之間就 有相關性的問題，然而現今的產業界，在分析產品的時候，往往將元 件之間的關係假設成不相關，然而在製程上這並不是一個好的假設，

因為在同一晶圓(Wafer)上的每一個元件都有相同的製程參數，且由於 曝光或蝕刻等因素造成元件與元件之間會有某種程度的相關。所以當 相關性分配得當的話，不但可以提昇良率，也可以減少誤宰的發生。

以簡單的電路 R、L、C 帶通濾波器(Band pass filter)為例，從李信廷 君[2]的結果發現，如果我們假設三種元件 R、L、C 它們之間的相關 係數ρ_RL=0.9，ρ_RC=-0.9，ρ_CL=-0.8 時，所生產出來的成品符合規格 最多，也就是良率最高，其良率提高的程度比假設 R、L、C 獨立時 提高了近 48％。相反的當ρ_RL=-0.5，ρ_RC=0.5，ρ_CL=0.4 時，良率降 低了 9％。因此，一般在評估良率時，常假設元件之間的變動是互相 獨立的，但是這種在製程上的假設並不合理，而是要有相關的，然後 再經過模擬找出最有利的相關係數組合。

本篇論文中我們假設元件之間是有相關性的，而不是傳統假設的不 相關。然而在多數的軟體都無法產生有相關的隨機變數，因此我們引 入了反懷特寧轉換法[3]，經過矩陣的運算將獨立的隨機變數轉換成 依賴性的隨機變數。在此要特別注意的是原始亂數必須是常態分佈的 隨機變數。當我們在設計此一多維常態隨機變數時發現了兩個特性，

第一個問題是元件之間的相關係數並不能隨意假設，必須要被限制 的。第二個問題是類隨機產生器(pseudo random generator)所產生的常 態隨機變數並不是完全獨立的，而且也沒有經過標準化的程序，導致 我們產生後的隨機變數會有誤差，因此在設計的過程必須先將類隨機 產生器產生出來的亂數校正。

第二章 相關定理

本篇論文中主要探討隨機變數，因此必須了解有關多變量分析的 相關名詞之定義，分別在下面介紹：

2-1 隨機變數

隨機變數(Random variable)就是定義在一項隨機試驗所產生的樣 本空間上面的數值函數(numerically valued function)。換言之，隨機變 數就是將樣本空間上面之樣本點(不管是量化或質化)，以某種規則使 之數值化。[2]

我們可以將隨機變數表示成隨機向量，例如：隨機向量

T

X n

X X

X =[ _{11 22}LL ₁ ] 其中在 X 向量中的每一個 element 都是以隨機的 方式產生，如果將數個隨機向量組合在一起，就可以形成一 random

matrix，例如：

















=

mn m

m

n n

X X

X

X X

X

X X

X X

L M O M M

L L

2 1

2 22

21

1 12

11

表示在 random matrix 中有 m

組隨機向量，且每一組隨機向量有 n 個隨機變數。

2-2 多變量分析有關的基本知識 2-2-1 平均值(mean)

一個有限母體有 n 個資料如上述X₁₁X₁₂LLX_1n則其平均值定

義為 n X X

X₁₁+ ₁₂ +L _1n

=

µ 。平均值的物理意義為資料的重心所在。

2-2-2 變異數(variance)

變異數主要是指各個資料本身與平均值的變異程度，定義為

1 )

1(

2 2

−

=

∑

⁼ − n

n Xi

i µ

σ

變異數越大表示資料本身分散度越大。反之，則差異越小。

2-2-3 標準差(standard deviation)

將變異數取平方根，這個數值就叫標準差。

2-2-4 標準化

若 X 為隨機變數，其平均值為µ，標準差為σ，則 X 的標準化隨 機變數(Standardized Random Variable) ，以Z_x表示之，為：

σ µ

= X − Z_x

經過標準化之後，隨機變數Z_x的平均值為 0，標準差為 1。

2-3 常態分配(Normal Distribution)

2-3-1 常態隨機變數及其機率密度函數

一個連續隨機變數 X，若其平均數為µ，變異數為σ²，且其機率 密度函數如下：

( )

^{x = e− −  −∞<x<∞}

f

x

2 , 1

2

2 1

σ µ

π σ

則 X 稱之為常態隨機變數(Normal Random Variable) ，或稱 X 為常態

分配(Normal Distribution) 。並且以 X~N(µ,σ²)表示之。

常態隨機變數的機率密度曲線(或稱為常態曲線(Normal Curve)) ，是 一條以平均數ì為中心向左右兩端對稱地延伸且成鐘形(bell-shaped) 的曲線。常態曲線的中心位置､分散情形(Dispersion) ，分別由常態 隨機變數的平均數及標準差決定。不同的平均數與標準差其常態曲線 圖會不一樣。以下的圖可以看出之間的差異。在圖 2-1 中表示平均值 相同但標準差不同，從圖中可看出當三條曲線中心位置一樣，因為曲 線下所涵蓋的面積一樣，所以當標準差越大表示資料越分散，所以曲 線會比較矮而寬。反之，當標準差越小時表示資料越集中，所以曲線 會比較高而尖。圖 2-2 表示標準差相同但平均值不同，因為標準差相 同所以每一條曲線形狀都一樣，只是中心點會隨著平均值變動而左右 移動。

2-3-2 標準常態隨機變數及其機率密度函數

一個常態隨機變數若其平均數等於 0，標準差等於 1，這種常態 分配稱之為標準常態分配，其機率密度函數如下：

( )

^{21 2}

2

1 ^X

e x

f

= −

π σ

以 X~N(0,1)表示。圖 2-3 為標準常態分配曲線，此圖代表有 68.26％

的值落在一倍標準差內，99.73％的值落在三倍標準差內，也就是說 只有 0.27％會落在三倍標準差以外。

圖 2-1 平均數相同標準差不同的常態分配圖

圖 2-2 標準差相同平均數不同的常態分配圖

ㄊ

圖

圖 2-3 標準常態分配圖

2-3-3 二維常態分配

上面所討論的是一維常態分配，我們可以推廣到二維常態分配 上，其聯合機率密度函數如下：

] ) ( ) )(

( 2 ) )[(

1 ( 1 2 1

2

2 2

2

1 2

) 1 ,

( ^Y

Y Y

Y X

X X

X X Y Y

X

Y X

e Y

X

f ^σ

µ σ

µ σ ρ µ σ

µ ρ

ρ σ

πσ

+ −

−

− −

−

− −

= −

則 X､Y 聯合機率分配為二維常態分配(Bivariate Normal Distribution) X､Y 為二元常態隨機變數(Bivariate Normal Random Variables) 。 此時：

(

^{X, X2}

)

N

X ≈ µ σ ，^{Y ≈ N}

(

^µY,σY2

)

X

X σ

µ , ：X 的平均數及標準差

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5 0 . 3 0 . 3 5 0 . 4

0 . 9 9 7 3 0 . 9 5 5 4 0 . 6 8 2 6

Y

Y σ

µ , ：Y的平均數及標準差

ρ：X 、Y的相關係數，且−1≤ ρ≤1

相關係數與共變數將在下面介紹。

2-3-4 相關係數與共變數

相關係數(Correlation Coefficient)定義為：

y x

y i x n

i i

n y x

σ σ

µ µ

ρ

) )(

(

1

−

−

=

∑

= ， -1≦ρ≦1

相關係數絕對值越大，相關的程度就越高。相關係數的正負表示相關 的正負。如果相關係數為正，則兩變數皆呈現同方向變化。反之，則 成反方向變化。相關程度可分為：

ρ= -1，完全負相關。

ρ= -0.5，負相關。

ρ= 0，完全不相關。

ρ= 0.5，正相關。

ρ= 1，完全正相關。

圖 2-4 表示二維常態隨機變數中不同的相關係數所畫成的圖形，

X 與 Y 軸分別代表不同的隨機變數，Z 軸為機率密度函數。由圖 2-4(a)(b)中可看出當ρ＜0 時，曲面會通過原點，並沿-45°線，當任 一變數變大或變小時，另一變數則與它呈相反方向變化，變化的程度 視ρ來決定，ρ負值越大表示越負相關，所以圖形變化越劇烈。

當ρ=0 時，兩者之間互不影響，形狀會成圓形，如圖 2-4(c)。而ρ>0 時，表示兩變數為正相關，曲面會沿 45°。當任一變數變大或變小 時，另一變數則與它呈相同方向變化，變化的程度視ρ來決定，ρ正 值越大表示越正相關，所以圖形變化越劇烈。

-4 -2

0 2

4 -4

-2 0

2 4

-10 -5 0 5 10

-4 -2

0 2

4

-4 -2

0 2

4 -4

-2 0

2 4

-10 -5 0 5 10

-4 -2

0 2

4

(a) ñ=-0.9 -0.5

-4 -2

0 2

4 -4

-2 0

2 4

-10 -5 0 5 10

-4 -2

0 2

4

-4 -2

0 2

4 -4

-2 0

2 4

-10 -5 0 5 10

-4 -2

0 2

4

-4 -2

0 2

4 -4

-2 0

2 4

-10 -5 0 5 10

-4 -2

0 2

4

(d)

圖 2-4 二維常態隨機變數相關係數圖

共變數(Covariance)定義為：

n y x

y x

y i x n

i i

xy

) )(

( )

,

cov( ¹

µ µ

σ

−

−

=

=

∑

₌

根據以上二式我們可以推導出相關係數與共變數之間的關係[2][3]：

y x

xy

y x

y x

σ σ

σ σ

ρ= cov(σ , ) =

第三章 正定矩陣

3-1 定義

給予一二次函數

q=ax₁² +2bx₁x₂+cx₂²

或

q= X^'AX (A是一對稱矩 陣)

，對於不全部為零之

x₁

、

x₂

，若

q

>0，稱

q為正定(positive definite)。若q是正定，則矩陣A亦是正定矩陣(positive definite matrix)。簡單的說如果一個矩陣所有特徵值(eigenvalue)都大於零的 話，此矩陣就是一個正定矩陣。正定矩陣對於研究隨機變數而言是非 常重要的，將於下面介紹。

3-2 對稱矩陣(Symmetric Matrix)

一n×n矩陣A，若A= A^'則A稱為一對稱矩陣，相關係數矩陣 (Correlation Matrix)與共變數矩陣(Covariance Matrix)就是屬於此種矩 陣。對於一對稱矩陣如果它的每一個主子矩陣(Principal Submatrices) 行列式值(Determinant)都大於零，則此矩陣稱之為正定矩陣。反之，

稱為非正定矩陣。另外，當行列式值=0 時，稱為奇異矩陣。

例如：

















=

33 23 13

23 22 12

13 12 11

a a a

a a a

a a a A

若A是正定矩陣則：

(1) det(A₁) =a₁₁ >0

(2) det(A₂)=a₁₁a₂₂−a₁₂² >0

(3)det(A₃)=a₁₁a₂₂a₃₃+2a₁₂a₂₃a₁₃−a₁₁a₂₃² −a₂₂a₁₃² −a₃₃a₁₂² >0

對於共變數矩陣而言det(A₁)與det(A₂)必大於零，所以共變數矩陣只要

)

det(A₃ 大於零，它就是一正定矩陣。[6]

3-3 隨機向量的主要參數

當我們分析隨機向量時必須了解期望向量與共變數矩陣分別介 紹於下：

3-3-1 期望向量(Expected Vector)

一組隨機向量 X 的期望向量為：

{ }

⁼

∫

=E X Xp X dX

M ( )

其中p( X)為隨機向量 X 的機率密度函數，期望向量就是平均值。

3-3-2 共變數矩陣(Covariance Matrix)

共變數矩陣隨機向量中一個重要的參數，它主要指出隨機向量的分 散度及相互間的關係，定義為：

{ } ^{{ } { }}

{ } { }

^















−

−

−

−

−

−

−

−

=

−

−

=

∑

) )(

( )

)(

(

) )(

( )

)(

( )

)(

(

1 1

1 1 1

1 1 1

n n n n n

n

n n T

m x m x E m

x m x E

m x m x E m

x m x E M

X M X E

L

M M

L

2

σi 代表X_i的變異數，ρ_ij代表X_i與X_j的相關係數。我們可以將∑分解

















=

2 1

1

1 1 2

1

n n

n

n n

σ σ

σ ρ

σ σ ρ σ

L M O M

L

成兩個部分，其中一個是標準差的對角矩陣Γ，另外一個是相關係數 矩陣 R，所以

∑=ΓRΓ

Γ=

















σn

σ σ

L L

M O M

M L

0 0

0 0

2 1

and R=

















1 1

1

1 12

1 12

L L

M O M

M L

n

n

ρ ρ

ρ ρ

) 1 1

(− < ρij < [3]

在本篇論文中我們要產生多組有相關性的隨機變數，然而在產生 的過程中發現亂數的相關係數並不能任意假設，必須在共變數矩陣是 正定矩陣的前提下才成立。例如：有三組亂數 X1、X2、X3，其中：

X1 與 X2 的相關係數為 0.9，X2 與 X3 的相關係數為 0.9，因為 X1 與 X3 的相關性會受到 X1 與 X2 的相關係數及 X2 與 X3 的相關係數 所牽制，因此必須大於 0.63。又例如：X1 與 X2 的相關係數為 0.5，

X2 與 X3 的相關係數為 0.9，則 X1 與 X3 的相關係數必須被限制在大 於 0。亦即，已知兩個相關係數，第三個相關係數會受到前兩個相關 係數的影響，而被限制在某範圍內。

3-4 三維相關係數的分析

本節主要探討共變數矩陣是否為正定矩陣以得到正確的相關係 數。我們主要依據前面所敘述，對於一對稱矩陣如果它的每一個主子 矩陣行列式值都大於零，則此矩陣稱之為正定矩陣。然而討論共變數

矩陣或相關係數矩陣是一樣的，因為共變數矩陣的行列式值

=(σ₁σ₂σ₃)²[1+2ρ₁₂ρ₂₃ ρ₁₃ −(ρ₁₂² +ρ₂₃² +ρ₁₃²)]，相關係數矩陣的行列式值

=[1+2ρ₁₂ρ₂₃ρ₁₃−(ρ₁₂²+ρ₂₃²+ρ₁₃²)]對於所有隨機變數σ₁,σ₂,σ₃皆大於 零。因此為了方便起見，我們用相關係數矩陣的行列式值是否大於 零，來判斷共變數矩陣是否為正定矩陣。

例如：假設有三組隨機亂數 X1、X2、X3。X1 與 X2 的相係數以 ρ₁₂表示。相同的ρ₂₃、ρ₁₃代表 X2、X3 的相關係數與 X1、X3 的相 關係數其中我們將其相關程度分為，非常正相關 、正相關

、不相關 、負相關(ñ=-0.5)、非常負相關(ñ=-0.9)。表 3-1 為固定ρ₁₂，當ρ₂₃從非常正相關變化到非常負相關時ρ₁₃所對應的相 關係數分佈。我們先就ρ₁₂為非常正相關(表 3-1(a))與非常負相關(表 3-1(e))討論起。我們可以看出兩者有很多相似之處，只是正負號的差 別而已。由表中可看出，若ρ₂₃相關程度較小時(不管正相關或負相 關)，ρ₁₃合理的相關係數範圍會較大，當ρ₂₃=0 時ρ₁₃有最大的範圍。

且有兩個非常正相關或非常負相關時，第三個一定是正相關且相關性 頗高(0.63)，當一個是非常正相關，另一個是非常負相關時，第三個 一定是負相關(-0.63)。再來我們討論ρ₁₂為正相關 (表 3-1(b))與負相 關(表 3-1(d))時的情形，因為ρ₁₂相關性比較小，所以ρ₁₃所受的限制 比較小，因此可變動的範圍都比ρ₁₂為非常正相關與非常負相關大。

當有兩個正相關或負相關的組合時，第三個相關性可正可負，但是相 關性為正的機會比較大。當一個是正相關，另一個是負相關時，第三 個亦是可正可負，只不過負的機會較大。再來討論當ρ₁₂完全不相關 (表 3-1(c))的情形，從表中可看出ρ₁₃會對稱於原點，且不管ρ₂₃等於 多少ρ₁₃的相關性可正可負，大小要決定於ρ₂₃的絕對值。ρ₂₃絕對 值較小時ρ₁₃可允許的範圍較大。最後當 X1 與 X2 不相關，而 X2 與 X3 也不相關時，X1 與 X3 的關係就可以任意假設了。

表 3-1

ρ₁₂=0.9

ρ₂₃=0.9 ρ₂₃=0.5 ρ₂₃=0 ρ₂₃=-0.5 ρ₂₃=-0.9 0.63<^ρ13<1 0<^ρ13<0.8 -0.43<^ρ13<0.43 -0.8<^ρ13<0 -1<^ρ13<-0.63

(a) ρ₁₂=0.5

ρ₂₃=0.9 ρ₂₃=0.5 ρ₂₃=0 ρ₂₃=-0.5 ρ₂₃=-0.9 0<ρ₁₃<0.8 -0.5<ρ₁₃<1 -0.86<ρ₁₃<0.86 -1<ρ₁₃<0.5 -0.8<ρ₁₃<0

(b) ρ₁₂=0

ρ₂₃=0.9 ρ₂₃=0.5 ρ₂₃=0 ρ₂₃=-0.5 ρ₂₃=-0.9 -0.43<ρ₁₃<0.43 -0.86<ρ₁₃<0.86 -1<ρ₁₃<1 -0.86<ρ₁₃<0.86 -0.43<ρ₁₃<0.43

(c) ρ₁₂=-0.5

ρ₂₃=0.9 ρ₂₃=0.5 ρ₂₃=0 ρ₂₃=-0.5 ρ₂₃=-0.9 -0.8<^ρ13<0 -1<^ρ13<0.5 -0.86<^ρ13<0.86 -0.5<^ρ13<1 0<^ρ13<0.8

(d) ρ₁₂=-0.9

ρ₂₃=0.9 ρ₂₃=0.5 ρ₂₃=0 ρ₂₃=-0.5 ρ₂₃=-0.9 -1<ρ₁₃<-0.63 -0.8<ρ₁₃<0 -0.43<ρ₁₃<0.43 0<ρ₁₃<0.8 0.63<ρ₁₃<1

(e)

3-5 特徵值(eigenvalue)圖形

本節主要討論 3*3 的相關係數矩陣其特徵值的問題，在前面已經 探討過，如果要使相關係數矩陣為正定矩陣的另一個條件為相關係數 矩陣的所有特徵值皆大於零。然而我們所關心的是特徵值為正的部 分，至於特徵值為負號時表示相關係數矩陣根本不存在，也就是說這 三者的相關係數必須重新考慮。我們先固定其中一相關係數，將其他 兩個相關係數的關係圖畫出，如圖 3-1，X 軸為ρ₂₃從-1 到+1 的變化，

Y 軸為ρ₁₃從-1 到+1 的變化。白色的區域表示三個相關係數所形成 的相關係數矩陣是正定矩陣，也就是相關係數矩陣的三個特徵值在白 色區域皆大於零。相反的在灰色區域表示有負的特徵值。我們將灰色 區域分成八等分，離白色越遠的區域顏色越深，代表其負值越大。圖 3-1(a)為固定ρ₁₂=0，從圖中可看出ρ₂₃和ρ₁₃所形成正定矩陣的區域 為一圓形，也就是說在此圓形內任何相關性的組合都是合理的，因此 不會有負數的特徵值。當 X1 與 X2 的相關係數等於 0 時，X3 與 X1、

X2 相關係數(ρ₂₃、ρ₁₃)的自由度(Degree of freedom)最大，因此ρ₁₂=0 時對ρ₂₃、ρ₁₃的影響最小，而且灰色的區域也比較淺，意味著特徵 值負值並不大，這對我們有什麼好處呢？當我們發現所期望的相關係 數矩陣有負的特徵值時，必須重新改變相關性，也就是要把灰色區域 上的點往白色區域移動，所以特徵值負值比較小時，表示說灰色區域

上的點離白色區域比較近，因此我們在調整相關性時所要移動的距離 較小，而且新的相關性會跟我們期望的差距較小。在圖 3-1(b)(c)(d)(e) 中我們分別固定ρ₁₂=0.3、0.5、0.7、0.9，圖中顯示 X1，X2 的相關係 數是正的時候圖形為一往正 45°方向的橢圓形，隨著相關性變大白 色區域會越來越小，灰色區域會越來越大，這是因為受到ρ₁₂變大 時，ρ₂₃、ρ₁₃所受的限制會跟著變大的關係。圖形往正 45°方向代 表ρ₂₃、ρ₁₃的值會傾向於第一及第三象限，當ρ₁₂越大時越明顯。

最後圖 3-1(f)(g)(h)(i)分別為ρ₁₂=-0.3、-0.5、-0.7、-0.9 的情形，其特 性與圖 3-1(b)(c)(d)(e)相同，唯一的差別是圖形呈現往-45°方向，

ρ₂₃、ρ₁₃的值會傾向於第二及第四象限。

圖 3-1 (a)

(b) (c)

(d) (e)

(f) (g)

(h) (i) 圖 3-1 固定ρ₁₂ 時ρ₂₃與ρ₁₃的關係圖

第四章 隨機向量產生器

4-1 隨機向量的種類

我們已知隨機變數就是將樣本空間上面之樣本點(不管是量化或 質化)，以某種規則使之數值化。而它除了可以分為間斷與連續的隨 機變數之外，我們如果同時產生兩組隨機變數時(這兩組隨機變數則 為兩個隨機向量)，又可依照兩個隨機向量之間相關的關係，而分為 獨立性隨機向量 (Independent Random Vector) 和依賴性隨機向量 (Dependent Random Vector) 。我們將分別介紹這兩種形式的隨機向 量。

4-1-1 獨立性隨機向量

獨立性隨機向量的定義為：當我們產生兩組或兩組以上之隨機變 數時，其兩兩之間為各自產生數值而互相之間並沒有絕對關係者，也 就是說第二組隨機變數不會因為第一組變數變大或變小而改變，他們 個別的變化與彼此不相關，我們稱之為獨立性隨機向量。

從定義中可以發現我們在產生多組隨機變數時，若沒有給予兩者 或兩者以上之間相關的關係時，都稱為獨立性隨機向量。也就是說，

只要是各別產生的隨機變數就屬於獨立性隨機向量，而我們平常產生 的隨機變數大多為這一類。

4-1-2 依賴性隨機向量

依賴性隨機向量的定義為：當我們產生兩組或兩組以上之隨機變 數時，其兩兩之間為所產生數值會因互相之間的正負相關，而受到牽 制的隨機變數，我們稱之為依賴性隨機向量。

從定義中我們可以知道，兩組或兩組以上的隨機變數因應我們所 需要的關係，而之間會有所謂正相關或負相關來牽制著彼此，使得雙 方之間因此而變大或變小。我們產生兩個互相依賴且為正相關的隨機 向量 X 與 Y

X=[x₁

x

₂

‥‥x

n] Y=[y₁

y

₂

‥‥y

n]

當 x₁到 x_n為正成長時，則 y₁到 y_n即為正成長。獨立性的隨機向量一 般來講是很容易產生的，我們可以用 Matlab 直接下一個指令便可以 得到，然而若要產生多組依賴性的隨機向量，就必須經過一些數學式 子的運算。以下將介紹一種方法可以將獨立性隨機變數轉換成依賴性 隨機變數，而且可以給定每一組隨機變數的平均值與標準差。

4-2 隨機向量的主要參數的應用

隨機向量的主要參數有期望向量及共變數矩陣，我們在前一章已 經討論過了，然而要如何應用到依賴性隨機向量產生器呢？期望向量 代表亂數的平均值，我們可以用以下的矩陣來表示：

M=

















µn

µ µ

L M O M

M L

0 0 0

0 0

2 1

，此矩陣為一對角矩陣，_µi代表X_i的平均值 。M

是我們自己視實際情況給定的。而共變數矩陣

∑=

















2 1

1

1 1 2

1

n n

n

n n

σ σ

σ ρ

σ σ ρ σ

L M O M

L

，σ_i代表X_i的標準差，ρ_ij代表X_i與X_j的相

關係數，其中σ_i²與ρ_ij也是我們自己視實際情況給定的。有了平均值，

標準差之後我們就可以決定隨機變數的分布，有了相關係數之後就可 以決定隨機變數間的相關性，因此便可以著手設計一隨機向量產生器 了。

4-3 轉換法

在這節中將說明幾個會用到的轉換法。

4-3-1 線性轉換法(Linear Transformation)

當一個 n 維的向量 X 線性地轉換成一個 n 維的向量 Y，這種轉 換的方法我們就稱之為線性轉換法(Linear Transformation)。Y 以 X 為 函數可以表示為：

X A Y = ^T

A 是一個 n

×

n 的矩陣，所以 Y 的期望向量與共變數矩陣為：

M A M_Y = ^T

A A^T _X

Y = Σ

Σ

4-3-2 正交正規轉換法(Orthonormal Transformation)

我們若想以期望向量 M 來轉換我們的系統，首先我們以 Z 表示 一個新的系統。

Z=X-M

我們可以將常態分佈的二次微分方程式轉換為

Z Z

Z

d_Z²( ) = ^TΣ⁻_Z¹

我們要找出一個最小的d_Z²(Z)而又符合 Z^TZ=1 的向量 Z。由下面的程 式中即可得到我們想要的。

0 2

2 )}

1 (

{ Σ ¹ − − = Σ ¹ − =

∂ =

∂ − −

Z Z Z

Z Z Z Z

T

T µ µ

而

∂

/

∂

Z 包含了 n 個局部的衍生物[

∂

/

∂

Z1

∂

/

∂

Z2 …

∂

/

∂

Zn]^T因為

1)

1 (

λ µ λ

µ Σ = =

=

Σ⁻ Z Z or Z Z

=1 Z Z^T

為了使一個有效的 Z 存在，我們必須選擇一個 ë 來滿足一個既定的 方程式。

=0

− Σ λI

這就是矩陣Σ的特徵方程式。任何滿足這個方程式的λ就叫做特徵值 (eigenvalue) ， 而 符 合 這 一 個 特 徵 值 的 向 量 Z 就 是 特 徵 向 量 (eigenvector)。當 Ó 是一個對稱的 n × n 矩陣，我們可以得到 n 個特 徵值 ë_{1 n} 和 n 個特徵向量φ₁,…,φ_n。所以我們就得到

ΦΛ

= ΣΦ

Ö 為包含 n 個特徵向量的 n ×1 矩陣，也叫做特徵向量矩陣 (eigenvector matrix)。

Φ=[φ L₁L φ_n]

Ë 為特徵值的對角矩陣，也叫做特徵值矩陣。

















= Λ

λn

λ

0

1 0 O

將Φ取代線性轉換法中的轉換矩陣 A，則我們可以得到常態矩陣

Y=Ö

^T

X

和

Σ_Y=Φ^TΣ_YΦ=Λ

4-3-3 懷特寧轉換法(Whitening Transformation)

懷特寧轉換法主要的目的是要將有相關的變數經過數學式子的 演算轉換成完全獨立的變數，以下是懷特寧轉換的介紹。

在說明了前面幾種轉換法後，我們可以再加入另一個轉換Λ^-1/2 使得變異矩陣等於 I，而 I 為一的單位矩陣。

X X

Y ^T ( ²)^T

2 1

1 −

− Φ = ΦΛ

Λ

=

= ΛΛ Λ

= ΦΛ Σ Φ Λ

=

Σ_Y ^{−12 T} _X ^{−12 −12 −12} I

X 表示依賴性隨機變數，Y 是轉換後的獨立性隨機變數。這個乘上

ΦT

Λ⁻¹² 的轉換方式就稱為懷特寧轉換法。變異數矩陣等於 I 表示說我 們經過懷特寧轉換法後每一組的隨機變數都是獨立的(Independent)，

而且每一組隨機變數標準差都等於一。

簡單的說，從圖 4-1 中來說明一下 Whitening Transformation 的轉

換原理。首先我們必須知道，只有常態變數的獨特特性才適用於 Whitening Transformation 的轉換法。在 (x1,x2)座標中我們可以看到兩 個圖形，一個是初始分佈的橢圓形，一個是轉換後分佈的圓形。我們 把它套上之前所說的相關分析觀念到這個圖中，我們可以發現初始分 佈的圖形表示兩者之間有相關的關係，而轉換後分佈的圖形則表示兩 變數為不相關。換句話說，Whitening Transformation 就是將所有有相 關性的變數轉換成不相關。然而，我們平常所產生的隨機變數大多屬 於獨立性隨機變數，此時就必須用到反懷特寧轉換(Reverse Whitening Transformation)，什麼是反懷特寧轉換呢？考慮懷特寧轉換的公式

X

Y =Λ⁻¹²Φ^T 我們只要用一些矩陣運算的技巧就可以將 X 求出。

X

Y =Λ⁻¹²Φ^T 左右式同乘Λ¹²，Λ ¹²Y = Λ ¹²Λ⁻¹² Φ^T X 左右式同乘

Φ，ΦΛ¹²Y =ΦΦ^T X因為Φ^T =Φ′(Φ的反矩陣)，所以得到X ²Y ΦΛ1

= 。

這個乘上ΦΛ¹²的轉換方式就稱為懷特寧轉換法。

圖 4-1 Whitening Transformation

x

2

x

1

Φ2

Φ1

M

初始分佈

轉換後分佈

4-4 隨機向量產生器

前面敘述了有關正定矩陣，共變數矩陣及懷特寧轉換後，最終的目 的是要產生多維的隨機向量，首先我們必須先知道多維的隨機向量有 以下幾種特性 1.向量中所有成分的線性組合都必須是常態分佈 (Normal distribution)2.向量的所有子集合都是常態分佈 3.當共變數為 零時表示所有的向量是獨立分佈的 4.原始的分佈亦是常態分佈。有了 這些知識後就可以開始產生一多維常態隨機向量產生器了。[5]

1. 首先要取得每一組亂數常態分佈情形，包括平均值、標準差，這 些參數是使用者自己視實際情形決定的，在以矩陣形式表示。每一組 亂數代表每一個元件，例如：

若要產生 n 組隨機向量，則

平均值=

















µn

µ µ

L M O M

L

0 0

0 0

0 0

2 1

， 標準差=

















σn

σ σ

L M O M

L

0 0

0 0

0 0

2 1

ì_n代表第 n 組的平均值，ó_n代表第 n 組的標準差。

2. 既然要產生 n 組的隨機向量，我們就必須考慮兩兩之間的相關性，

同樣的以矩陣形式表示

相關係數=

















1 1

1

1 12

1 12

L L

M O M

M L

n

n

ρ ρ

ρ ρ

在此要特別注意的是決定相關係數矩陣要先確定是否為正定矩陣，也 就是要考慮彼此的相關性是否合理，否則就無法得到想要的依賴性隨 機向量。

3. 有了標準差對角矩陣及相關係數矩陣之後，便可以輕易的得到共 變數矩陣了。前面已經介紹過了共變數矩陣的表示法：共變數矩陣=

標準差對角矩陣×相關係數矩陣×標準差對角矩陣

4. 得到了共變數矩陣之後，我們要將共變數矩陣的特徵值及特徵向 量求出，才能應用到懷特寧轉換及反懷特寧轉換的公式。

5. 我們想得到的依賴性常態隨機變數就必須先產生出 n 組完全獨立 隨機變數，在 matlab 中可以直接得到。matlab 所產生的隨機變數有 兩種，一種是常態分佈，另外一種是均勻分佈，在本篇論文所用的是 常態分佈。然而在多次的試驗當中發現我們產生的常態隨機變數會有 誤差，並不能完全符合實際的要求。後來發現問題的癥結在於類隨機 產生器所產生的常態隨機變數並不是完全獨立的，而且也不是標準化 後的常態分佈，因而導致誤差的產生。要如何解決這個問題呢？其實

只要先將類隨機產生器產生出來的亂數標準化，再將亂數經過懷特寧 轉換之後，便可以解決。

6. 有了上述條件後就可以利用反懷特寧轉換將經過懷特寧轉換後的 獨立性常態隨機變數轉換成依賴性隨機變數。

7. 最後將每一組常態隨機變數加上平均值，如此一來多維常態隨機 向量便完成了。

為了能更清楚的了解整個多維常態隨機向量產生器的設計過程，我們 將流程圖畫於圖 4-2。

圖 4-2 多維常態隨機向量產生器設計流程

get Γ and R

positive definite

covariance matrix

get Λ and Φ

generate n random vector

Whitening Transformation

and Normalize

RevWhitening Transformation

dependent+M

yes

no

4-5 懷特寧轉換對多維常態隨機向量產生器的影響

因為類隨機產生器產生的常態隨機變數不準的關係，所以我們必須 先將類隨機產生器產生出來常態隨機變數經過懷特寧轉換變成完全 獨立。

到底類隨機產生器的不準對我們的多維常態隨機變數有什麼影響 呢？我們舉一個例子來說明，假設我們想要產生三組常態隨機向量的 平均值分別為：2×10⁶,2×10⁶,1×10⁻¹⁰。以平均值的 10％當作一倍標準 差，分別為：0.2×10⁶,0.2×10⁶,0.1×10⁻¹⁰。他們兩兩之間的相關係數分別 為：ρ₁₂=-0.4，ρ₂₃=0.5，ρ₁₃=0.5。我們將實際用 matlab 產生出來的 值列於表 4-1。

表 4-1

(a)

(b)

-0.395(-0.91 %) 0.501(0.08 %)

0.503(0.63 %) 相關係數

0.097*10^-10(-0.28%) 2.010*10⁵(0.27%)

2.001*10⁵(0.05%) 標準差

0.998*10^-10(-0.06%) 1.997*10⁶(-0.13%)

1.999*10⁶(-0.02%) 平均值

n=10000

-0.4(0 %) 0.5(0 %)

0.5(0 %) 相關係數

0.1*10^-10(0%) 0.2*10⁶(0%)

0.2*10⁶(0%) 標準差

1*10^-10(0%) 2*10⁶(0%)

2*10⁶(0%) 平均值

n=10000

表 4-1(a)為未經過懷特寧轉換的隨機變數，4-1(b)為有經過懷特寧轉 換的隨機變數，括弧內表示誤差百分比，從表中可看出懷特寧轉換對 於我們多維常態向量產生器的重要性。假如不先將類隨機產生器產生 的亂數轉換成獨立的話，那麼產生出來的隨機變數就會因為原始資料 的不準確，導致無法得到我們真正所期望的隨機變數。相反的，如果 在使用我們設計的多維常態隨機變數產生器之前，先將原始的常態隨 機變數轉換成完全獨立，就可以得到符合自己期望的常態隨機變數 了。從表中也可以看出我們設計的隨機向量產生器精確度是非常高 的。我們將上面的例子應用到實際的低通濾波器，三組隨機變數分別 代表 R1，R2，C 其電路圖畫於圖 4-3，利用蒙地卡羅的方法求出良率。

圖 4-3 低通濾波器

經由我們的分析發現未經懷特寧轉換的良率為 67％，經過修正後良 率為 68.3％。

R1

R2 C

Vout Vin

規格 :

0.95

≤

A0

≤

1.05

750 (Hz)

≤

fc

≤

850 (Hz)

4-6 多維常態隨機向量產生器的優點

1. 在效果方面可產生有相關性的多維常態隨機變數，完全消除隨機 性所產生的偏移(offset)。另一方面也可以產生完全獨立的多維常態隨 機變數。

2. 在效率方面使用我們設計的亂數產生器速度快、性能好。以圖 4-3 來說明

圖 4-4 加強化多維常隨機向量產生器效率圖

在圖 4-4 中我們使用一系統化(Systematic)的相關係數矩陣來當作例 子，因為此種矩陣是一正定矩陣，比較有利於分析。X 軸是亂數的組 數，Y 軸是相對應的運算時間，大部分的時間都用在共變數矩陣的運 算與計算共變數矩陣的特徵值、特徵向量。當 n 越大資料越多，因此

0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0 2 5 0 0 3 0 0 0

0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0

n = 1 0 0 0

n = 5 0 0 0

n = 1 0 0 00

運 算 時 間 (秒)

亂數的組數

所需的時間越久。

3. 可檢查共變數舉陣是否為正定矩陣。

4. 自動調整

當我們在分析一些電路時常常會發現有些元件的級數相差太 多，例如電阻為 10³到 10⁶Ù，電容 10^-9到 10^-12F，電感 10^-3mH， 使得我們必須先將元件調整到同一等級，等到矩陣運算完畢之後再還 原回來。我們以表 4-2 來說明，假設我們想分析一帶通濾波器，其中 R1，R2，C 的平均值，標準差分別為:2×10⁶、2×10⁶、100×10^-12與 0.2×10⁶、0.2×10⁶、10×10^-12相關係數ρ_R1R2=-0.9，ρ_R2C=0.2，ρ_R1C=0.2 表 4-2(a)是有經過調整的，4-2(b)是沒有經過調整的，因為 C 與 R1、

R2 級數相差太大，使得所有與電容 C 有關的參數都會有偏差。

表 4-2(a)

R1 R2 C

平均值 2×10⁶ 2×10⁶ 100×10^-12

標準差 0.2×10⁶ 0.2×10⁶ 10×10^-12

相關係數 -0.9(ρR1R2) 0.2(ρR2C) 0.2(ρR1C)

表 4-2(b)

R1 R2 C

平均值 2×10⁶ 2×10⁶ 100×10^-12

標準差 0.2×10⁶ 0.2×10⁶

6.3×10

^-24

相關係數 -0.9(ρR1R2)

0

(ρR2C)

0

(ρR1C)

第五章 應用

前一章已經完整介紹過如何設計一個多維常態隨機向量產生器 了，我們實際應用到兩個電路，討論元件與元件之間獨立或相關對於 電氣特性的影響。

5-1 類比數位轉換器靜態參數的容忍度分析

圖 5-1 是一個 3 位元的類比數位轉換器，此電路一共使用 8 個電阻 當作電壓分壓器，在分別送入 7 個不同的比較器與欲轉換的輸入訊號 Vin 做比較。我們利用蒙地卡羅分析的方法，假設電壓 Vref 與電阻 R1~R8 均為常態分佈，其平均值與標準差如圖 5-1，利用我們設計的 多維常態隨機向量產生器產生一個 9 維的隨機向量，每一組隨機向量 有 10000 個資料，分成以下兩種情形：

R8(1.5k±30％)

R7(1k±30％)

R6(1k±30％)

R5(1k±30％)

R4(1k±30％)

R3(1k±30％)

R2(1k±30％)

R1(0.5k±30％)

圖 5-1 類比數位轉換器

Vin

＋－

＋－

＋－

＋－

＋－

＋－

＋－

Vref(4v±20%)

D6 D5 D4

D3

D2 D1

D0

a. 元件之間不相關

不相關 Offset error Gain error

平均值 0.003 0.003

三倍標準差 0.1664 0.3328

b. 元件之間有相關

我們將電阻與電阻之間的相關係數以下圖表示

亦即，相鄰的兩個電阻之間假設互相影響最大，且電阻與電壓不相關。

有相關 Offset error Gain error 平均值 0.0015 0.0015 三倍標準差 0.1034 0.1365

從上面分析得知：當我們假設元件與元件之間的變動是相關的話，所 得到的靜態參數的偏移會比較小，因此當電路在佈局(layout)時就要 特別注意電阻與電阻之間的排列方式。[9]

5-2 數位類比轉換器靜態參數的容忍度分析

同樣地，我們將多維常態隨機向量產生器應用到數位類比轉換器 上，如圖 5-2 為其電路架構，假設電壓與電阻均為常態分佈，其平均 值與標準差分別標於圖上，利用我們設計的多維常態隨機向量產生器 產生一個 5 維的隨機向量，每一組隨機向量有 10000 個資料。

R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 R 7 R 8

0 . 9 0 . 9 ²

圖 5-2 數位類比轉換器

假設電阻與電壓是不相關的，我們將電阻與電阻之間的相關係數由負 到正，其 INL 與 DNL 的變化顯示於圖 5-3

圖 5-3 不同相關係數 INL 及 DNL 之分佈圖

從圖中可看出當相關係數由負變化到正時其 INL 與 DNL 的偏移量化 有變小的趨勢，因此電阻之間的相關性越大，對於整個電路的特性會 越理想。[10]

V_REF+

V_REF-

DAC output Voltage

follower R2

R1 R0

S0 S1 S2

VREF+ (3v±10%) S3

R2 (10k±80%)

R1 (10k±80%)

R0 (10k±80%) VREF- (0v±10%)

- 0 . 4 - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1

0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 0 . 1 2 0 . 1 4

C o r e r c o e f

Static Parameter

D N L ( 3 s t d )

D N L ( m e a n ) I N L ( 3 s t d )

I N L ( m e a n )

第六章 結論

以元件之間的變動是有相關性的，來取代傳統上認為不相關的觀 點是有必要的。產生多組獨立的隨機變數並不是一件難事，但若考慮 變數之間的相關性就必須經過一些數學式子的運算。

在本篇論文中我們完成了一個多維常態隨機向量產生器，可依使 用者的需要產生出完全符合使用者期望的平均值、標準差、及相關係 數。

參考文獻

[1]M.W.Johnson,Q.p.Herr,and J.W.Spargo “Monte-Carlo Yield Analysis”

in VOL,9,No.2,JUNE 1999

[2]李信廷，QsY_ST:規格轉換於良率提昇之研究，中華大學電機工程 學系碩士班電子電路組，2001

[3]Fukunaga Keinosuke, Introduction to Statistical Pattern Recognition, 2nd Edition,Academic Press, Inc., 1990

[4]張素梅 著，統計學(上)(下) ，初版，三民書局，1997[民 86]

[5]張輝煌 編譯，實用多變量分析，建興出版社，1998

[6]Richard A. Johnson, Dean W. Wichern, Applied Multivariate Statistical Analysis, Prentice-Hall Inc., 1998

[7]郭文寧，MN-RVG:一個用於測試良率/品質評估的多為常態隨機向 量產生器，中華大學電機工程學系碩士班電子電路組，2000 [8]Michael A. Trick Mon Aug 24 13:24:14 EDT 1998

[9]邱星團，類比數位轉換器靜態參數的容忍度分析，中華大學電機 工程學系碩士班電子電路組，2001

[10]陳壽榮，數位類比轉換器靜態參數的容忍度分析，中華大學電機 工程學系碩士班電子電路組，2001

[11]Dagnupar J.，Principles of Random Variate Generation，Clarendon Press：Oxford，U.K. ，1988