2013-04-27 國立成功大學 101 學年度基礎學科「微積分」競試 5-1

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2013-04-27 國立成功大學 101 學年度基礎學科「微積分」競試 5-1

學系：__________________ 學號：__________________ 姓名：____________________

注意：禁止使用計算器。

問題 1：10 分 2：10 分 3：10 分 4：10 分 5：10 分總分：100 分

得分

問題 6：10 分 7：10 分 8：10 分 9：10 分 10：10 分

得分

1. 是非題：對的打○，錯的打╳，無需寫出任何計算過程。(每小題 2 分)

_____ ①如果 f(x)是連續函數，且 f(1)=1，則存在δ＞0 使得對所有 x，| | 成立。

_____ ②如果 _→ 與 _→ 都存在且相等，則 f(x)在 x=0 可微分。

_____ ③如果 _→ ，則瑕積分。

_____ ④已知 f(x)是連續函數，若收斂，則 _→ 。

_____ ⑤若 _→ 及 _→ ∙ 皆收斂，則 _→ 亦收斂。

2. 令 , ，求 y=f(x)的垂直與水平漸近線。

(2)

5-2

3. , 求 ?

4. 已知對所有實數而言，，若 f(x)是可微分函數，求 f(x)的所有可能性並解

釋為何你的答案是完整的。

(3)

5-3

5. 求 ∙ 之值。

6. 令，證明對所有實數 x，恆成立。

(4)

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7. 令Ω為，y 軸與 y=9 所圍成的區域。求Ω繞 y 軸旋轉所得旋轉體的體積。

8. 令且，證明 _→ 存在，並求此極限。

(5)

5-5

9. 判斷下列敘述是否正確，並解釋你的判斷根據。

①若∑ 收斂，則∑ 也收斂。

②若∑ 與∑ 皆收斂，則∑ 也收斂。

10. ①求之值。

②利用①求∑ _! 之值。

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