附錄一：研究問卷
附錄一（1）：數學、學習和教學信念問卷（修改自（Raymond, 1997））
姓名： 教學年資： 年
請依據你的實際教學情形，來表達你的數學教學要讓學生感受到什麼？以下共有 40 個相關的敘述，請表達你的同意程度，請勿遺漏任何一題。謝謝你的幫忙。
非 非 常 常 同 尚 不 不 同 同 同 意 意 可 意 意
1. □ □ □ □ □ 數學是一些不相關事實、規則和技巧知識的匯集。
2. □ □ □ □ □ 數學是可以預測、絕對的、確定和可應用的知識。
3. □ □ □ □ □ 數學大部分是可以預測、絕對的、確定和可應用的知識。
4. □ □ □ □ □ 數學是靜態、固定的、單一整體的知識，其內部結構是互相連結 的知識。
5. □ □ □ □ □ 數學是固定也是可變動的、是可預測也是令人驚奇的、是絕對也 是相對的、是懷疑也是確定的、是可應用也是唯美的知識。
6. □ □ □ □ □ 數學大部分是靜態、單一整體的知識。
7. □ □ □ □ □ 數學是可變動的、涉及問題解決的知識，而且可以持續擴展。
8. □ □ □ □ □ 數學是令人驚奇的、相對的、可懷疑和唯美的知識。
9. □ □ □ □ □ 學生是被動接受教師傳授的知識。
10. □ □ □ □ □ 學生只從課本和學習單來學習數學。
11. □ □ □ □ □ 學習數學大部分是透過記憶和精熟算則。
12. □ □ □ □ □ 學習數學時教師比學生應負更大的責任。
13. □ □ □ □ □ 學生應該透過解決課本中的問題來學習數學。
14. □ □ □ □ □ 學生應該要瞭解且精熟技巧和算則。
15. □ □ □ □ □ 學生應該做相同份量的個人作業和小組作業。
16. □ □ □ □ □ 學習數學不只有一種方法。
17. □ □ □ □ □ 大部分的學生都可以學習數學。
18. □ □ □ □ □ 學生和教師應共同負起學習數學的責任。
19. □ □ □ □ □ 只要努力就可以有助於學習數學。
20. □ □ □ □ □ 透過重複練習可以幫助學生學習數學。
21. □ □ □ □ □ 學生學習數學時大部分是透過解題活動。
22. □ □ □ □ □ 學習數學應該著重能力和瞭解而非記憶和演算。
23. □ □ □ □ □ 學生可以不依靠課本和紙筆活動來學習數學。
24. □ □ □ □ □ 學生是主動的數學學習者。
25. □ □ □ □ □ 教師是要去尋找問題的正確答案而不需要關心學生的想法和解 釋。
非 非 常 常 同 尚 不 不 同 同 同 意 意 可 意 意
26. □ □ □ □ □ 教師只從小考和測驗就可以評量學生的學習成就。
27. □ □ □ □ □ 教師都只教課本的內容。
28. □ □ □ □ □ 教師應提供少許的機會來進行解題活動。
29. □ □ □ □ □ 教師應該透過各種不同的數學活動來進行教學。
30. □ □ □ □ □ 教師應同樣重視過程和結果。
31. □ □ □ □ □ 教師應同樣重視記憶和理解。
32. □ □ □ □ □ 教師是知識的傳達者，也是知識的促進者。
33. □ □ □ □ □ 教師應明確地依據課程計畫進行教學，偶爾可以彈性一點。
34. □ □ □ □ □ 教師應讓學生同時有獨立探索和小組探索的機會。
35. □ □ □ □ □ 教師應同時使用課本和解題活動。
36. □ □ □ □ □ 教師應幫助學生喜愛數學並且發現它是有用的知識。
37. □ □ □ □ □ 教師應重視理解甚於記憶。
38. □ □ □ □ □ 教師應扮演引導學習以及提供挑戰性問題的角色。
39. □ □ □ □ □ 教師應有限制的使用課本。
40. □ □ □ □ □ 教師應盡量促進學生的自動學習。
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附錄一（2）：數學、學習和教學信念問卷的填答結果分析
認同項目 非常同意 同意 尚可 不同意 非常不同意
分數 5 4 3 2 1 題號 總和平均標準差 周老師 王老師 1 1 0 3 9 1 24 2 1.3 2 1 1 5 6 1 1 2 46 3 1.0 3 3 3 6 4 0 1 3 52 4 1.1 4 5 0 2 8 2 2 4 38 3 0.9 3 3 2 8 2 1 1 5 51 4 1.1 4 5 0 0 7 6 1 6 34 2 0.6 2 2 4 8 1 0 1 7 56 4 1.0 4 4 1 8 4 0 1 8 50 4 0.9 3 4
關 於 數 學
總平均 總平均 總平均 總標準差
3 3 3 1.2 0 0 3 7 4 9 27 2 0.7 2 1
0 0 0 10 4 10 24 2 0.5 2 1 0 3 4 5 2 11 36 3 1.0 4 3 1 2 3 7 1 12 37 3 1.1 4 2 0 7 5 1 1 13 46 3 0.9 3 3 2 11 1 0 0 14 57 4 0.5 4 4 0 2 5 6 1 15 36 3 0.9 4 2 11 3 0 0 0 16 67 5 0.4 5 5 4 7 3 0 0 17 57 4 0.7 4 4 9 5 0 0 0 18 65 5 0.5 5 5 4 9 1 0 0 19 59 4 0.6 4 5 1 12 1 0 0 20 56 4 0.4 4 4 0 7 6 1 0 21 48 3 0.6 3 4 5 7 1 1 0 22 58 4 0.9 5 5 1 5 3 5 0 23 44 3 1.0 4 5 6 4 3 1 0 24 57 4 1.0 5 5
關
於 數 學 學 習
總平均 總平均 總平均 總標準差
次
數 分 配︵合計１４人次︶
4 4 3 1.2
0 0 0 8 6 25 22 2 0.5 1 1 0 0 4 9 1 26 31 2 0.6 2 1 0 0 1 10 3 27 26 2 0.5 2 1 2 7 4 1 0 28 52 4 0.8 3 5 2 7 5 0 0 29 53 4 0.7 4 5 4 9 1 0 0 30 59 4 0.6 4 5 1 9 3 1 0 31 52 4 0.7 4 3 3 10 1 0 0 32 58 4 0.5 5 4 2 8 3 1 0 33 53 4 0.8 4 4 4 8 1 1 0 34 57 4 0.8 4 5 1 11 2 0 0 35 55 4 0.5 4 5 7 5 1 1 0 36 60 4 0.9 5 4 7 5 1 1 0 37 60 4 0.9 5 5 6 6 2 0 0 38 60 4 0.7 5 5 0 8 3 3 0 39 47 3 0.8 4 4 7 7 0 0 0 40 63 5 0.5 5 5
關
於 數 學 教 學
總平均 總平均 總平均 總標準差
4 4 4 1.1
附錄二：兩位教師教學概念命題
附錄二（1）：周師對不同類型班級的教學差異
1. 美術班可以自學，普通班需要老師引導提示。
美術班：課本自我評量以及隨堂練習，是由學生自己寫，教師再訂正答案。
普通班：課本自我評量會先講解過再讓學生寫，隨堂練習會幫學生分好步驟或是給 提示。
2. 美術班講解精簡且補充延伸教材，普通班講解詳細且重視課本內容。
美術班：①講解自我評量時，大都口頭訂正答案並講解，對於簡單的題目不會在黑 板上列出算式。
②講解習作時，只講解學生做錯或是有疑問的題目。
③講解班上自行訂購的坊間講義。
普通班：①講解自我評量時，會在黑板上列式講解。
②講解習作時，除了講解學生做錯的題目之外，也會講解老師認為學生容 易出錯的題目。
3. 美術班強調課後練習，普通班較少。
美術班：固定每週末有回家作業，平常在每小節上完後，會把 1~3 頁的講義題目當 回家作業，題數大約在 20 題以內。
普通班：重視課堂上的練習，較少回家作業，而且次數不多。
附錄二（2）：周師整體的教學概念命題 1. 把數學概念生活化。
例如：①利用手指頭來介紹間隔數。
②利用剪刀介紹大角對大邊。
③利用書局所販售的三角板來介紹等腰直角三角形。
④利用撕下一張三角形海報的三個角，來介紹三角形內角和是 180 度。
2. 教學受到以前教學經驗和數學學習經驗的影響。
例如：①利用舊教材中所提到的高斯的故事來介紹數形關係。
②強調課本某些例題很重要，是因為以前學習數學時，很容易搞混。
3. 改編或是刪除課本部分內容。
例如：①多邊形內角和的計算方式課本有介紹第二種算法，但是怕學生搞迷糊，所 以刪去不教。
②課本探索活動，因為活動傳達的觀念很直觀，所以刪去不教。
4. 隨時關懷學生的學習狀況。
例如：①時常詢問學生「會不會講太快」、「有沒有問題」、「會不會講的很複雜」。 ②會把較複雜的題目再講解一遍。
附錄二（3）：王師對不同類型班級的教學差異
1. 普通班可以自學，體育班要老師帶領學習。
普通班：①數型關係單元的探索活動讓學生自行填答，教師訂正答案。
②課本隨堂練習會給時間讓學生寫。
③會利用扣條解釋題目要用到的圖形觀念，並且讓學生自行畫圖。
體育班：①數型關係單元的探索活動是老師帶領學生填答。
②課本隨堂練習老師直接講解。
③會利用扣條解釋題目要用到的圖形觀念，以及帶領學生畫圖。
2. 普通班常讓學生發表，體育班較少。
普通班：數型關係單元作分組教學，並讓其中一組上台發表。
體育班：數型關係單元作分組教學，沒有讓學生上台發表。
3. 普通班作重點整理，體育班重視課本字句。
普通班：課本第四頁，作重點整理。
體育班：課本第四頁，帶著學生去唸課文。
4. 普通班教學內容詳細，體育班教學內容精簡。
普通班：多邊形內角和，有處理邊數較多的問題，如：25 邊形。
體育班：多邊形內角和，沒有處理邊數較多的問題。
5. 普通班講解過程精簡，體育班講解過程詳細。
普通班：①直接列出一個式子來講解題目。
②分開介紹多邊形的內角和，但是沒有依序推導，而在最後統整時，口述 公式（n－2）×180。
體育班：①講解題目時會把算式分開列。
②依序講解四邊形、五邊形、六邊形的內角和求法，來導出（n－2）×180 公式。
6. 體育班在解題會盡量利用簡單觀念，普通班沒有這方面考量。
普通班：隨堂練習，會要求學生用兩種方法做做看。
體育班：隨堂練習，僅要求學生使用課本所介紹的算法來作。
附錄二（4）：王師整體的教學概念命題 1. 把數學視覺化。
例如：①數型關係利用分組教學，讓學生操作教具，去看出規律。
②課本例題會利用扣條展示給學生看。
③利用珍珠板介紹三角形的兩組外角和都是 360 度。
2. 利用直觀方式去解釋幾何名詞。
例如：圓周角，就是頂點在圓周上；圓心角就是頂點在圓心。
3. 教學受到以前學習經驗、坊間參考書和考卷的影響。
例如：①利用以前大學老師所說的高斯故事來介紹數型關係。
②補充互餘，是因為參考書以及考卷中有出現。
4. 改編或是刪除課本內容。
例如：①有時會在課本的探索活動中，添加不同的操作步驟。
②考量到學生的語文能力，所以刪除課本部分短文或活動。
5. 關懷學生的學習狀況。
例如：發現學生會皺眉頭、愣住或是擔心他們會搞混，就會把內容再講一遍。
附錄三：訪談與教學轉譯資料
附錄三（1）：周師訪談逐字稿
註：由於此筆資料量頗為繁多，在此僅呈現兩位教師一個教學單元的教學前、教學後訪 談逐字稿。
（T1,DL5,20050331）
R ：第二章的部分打算怎麼安排妳的教學？
T1：我覺得第二章課本太多活動了，這些我大概會講，可是我大概提一下，我比較著重 紙筆的計算，例如對應邊，比例、面積的關係，兩個班都會比較注重這個。然後就 是對對碰吧，就是點跟點要碰到，這些我都會講。然後這個我可能只會做一點點題 目而已，不會完全的做，就是畫圖放大縮小那個，其實我是覺得重複的東西太多，
所以課本就會帶比較快一點。然後我會在裡面多補充一些計算的題目，普通班比較 不會帶很快，普通班可能補充的題目會更多，美術班是因為還有講義，普通班沒有 講義，所以我可能會跟他們說把這一題寫在下面，補充的題目跟美術班是類似的。
那是因為美術班的講義的題目比較簡單，所以就加在普通班這邊，美術班講義比較 難的，我也不會補充給他們。所以像 54,55 頁我可能很快就講完了，他們小學有學 過一點點。
R ：妳怎麼知道學生有學過？
T1：因為剛好學校的資優教育有叫我出考題，我剛好翻了一下他們國小六年級在學什麼
。他們沒有那麼詳細，他們沒有講到對應邊，只有講放大和縮小，然後幾倍。例如 甲是乙的 1.5 倍，沒有問到角度，也沒有問到面積，就是用影印去放大，就是講一 點點沒有那麼詳細。沒有實際上給他們幾何圖形，我是看題目的啦，我沒有看他們 的教材。
R ：我在看你第一章的教學時，發現普通班回家比較少有功課，反而是美術班比較有？
T1：因為寫不完，普通班就是我出功課他們也不會寫，他們就是用抄的，所以我就是盡 量在課堂上搞定。美術班比較乖，會寫的人是大多數，不會寫的是少數，普通班出 功課回去的話，我覺得根本不知道他們是眞的了解還是假的。因為他們根本就沒有 看過題目，他們就自然不會發問，我在檢討的時候根本就不會發問，因為他們就不 是自己寫的。普通班會寫的大概不超過 5 個，以他們班的素質來講，眞的會回家寫 功課的不超過 5 個。我就盡量在學校把它趕完所有的東西，雖然他們班只比他們少 一本講義，可是他們班有一本黃本，而且還比他們少一節課，我就會盡量在那邊把 所有的東西他們該寫的該做的，就跟美術班差不多，就趕快把錯的修補起來。因為 我覺得回去讓他們寫，那張考卷根本就是廢紙一張，我檢討他們也沒問題，乾脆就 在學校把它講完、寫完、考完。
（T1,EL5,20050407）
R ：剛開始要進入這一節的時候，你都是用影印機來做例子，在美術班有提電腦的例子，
在普通班就沒有提。
T1：因為我最熟的就是那個！投影機什麼我都沒用過，而且學生也用過影印機吧，課本 的例子投影機，學生應該也沒自己操作過。電腦的話我大概提一下，我沒有特別注 意在美術班有提，在普通班沒提，我是覺得影印機是大家都有操作過，放大縮小他 們都有操作過，我自己也是最熟的。電腦，反而我自己也不大會用電腦，投影機是
我連用都沒用過，原因就是我自己不熟。然後我舉例子也只有用放大鏡，因為我一 時之間也想不起來。
R ：在要引入課本 p55 第二句話時，你在美術班就提到放大縮小是有比例的，可是變胖 變瘦是沒有比例的，然後就引到這句話；在普通班是直接告訴他們這句話是重點。
T1：我禮拜三有講，我有講說，我在普通班就有提，放大縮小是指長跟寬，不會讓你變 胖或變瘦，我有在補充說明。
R ：那為什麼會想說直接給普通班這個觀念？
T1：因為這邊有寫啊（課本 p54 漫畫中有寫）！它寫他變瘦啦，那我是覺得對啊！他有 變胖跟變瘦。我是跟他們說，你的圖形，你洗照片放大或是洗大張一點或是洗小張 一點，不會讓你人變胖或變瘦，我是用那邊想到的。因為他們班（美術班）先上，
普通班他們課比較沒有，那我就直接講。
R ：為什麼在介紹等比例放大縮小的時候，在美術班和在普通班畫的圖不一樣，而且在 普通班還有舉反例，美術班在後面才用選擇題的方式補充？
T1：因為那個比較不好懂啊！如果我在普通班講這個，他們一定不知道我在說什麼，一 定會花很多的時間，所以就直接把它拆開來，那會比較好懂。
R ：那為什麼對美術班用選擇題的方式普通班不用選擇題？
T1：沒有時間啊！我就直接舉三個例子，因為是沒有時間的關係，我就很想要把進度跟 美術班一樣。我上普通班的時候希望進度不要跟美術班差太多，我這樣一直趕還是 差一節，而且美術班講解比較沒有那麼多，普通班講解一張考卷就是要 1 節課，美 術班可能只要半節。普通班還是會比較慢，美術班雖然是有上講義，但是他們還是 會比較快。像講義習作的問題啊，美術班就比較沒有問題，如果上普通班的話每一 題就要講解，所以我覺得很難追啦。
R ：p56 有介紹 2 的某次方剛好就是開數，為什會想介紹？
T1：因為他們以前的題目啊！以前三年級的複習，歷屆的考題都有這類題目，就想說在 這個地方跟他們講一下。他們有 4 開 16 開啊，只是單純順便介紹一下，讓他們知 道壁報紙沒有 20 開、沒有 18 開，把它跟生活結合在一起。
R ：在介紹面積是跟邊長成平方的關係，妳兩個班都有舉例跟他們講，除此之外，還介 紹單位，為什麼會想從單位去看，可以看出平方和立方的關係？
T1：這是我自己想出來的，我以前小時後學數學的時候我自己想的，因為公分、平方公 分、立方公分，剛好比例就是整數比、平方比、再來是立方比。我們老師也沒有這 樣講，是我自己想出來的。
R ：那為什麼會想去補充體積比？
T1：就跟剛剛講的一樣！就是平方公分、立方公分，剛好就是邊長的三次方，就是因為 單位的關係，可是我體積比只講一點點，就是順帶提一下。
R ：在講完 p57 隨堂練習之後，在美術班會問那影印機放大 110 倍啊，那面積會放大幾 倍，在普通班就沒有問？
T1：因為他們反應比較快吧！我在普通班沒講喔，咦！我都不記得了，可能美術班的時 間比較多吧。可能上普通班的時候我的心情比較，就是想要求快，就比較沒有那麼 放鬆，我在美術班比較放鬆，所以我反應出來的東西大概就比較少吧！然後可能補 充的東西就比較少吧！就想說趕快把它帶過去帶過去，趕快把他們的進度變一樣。
R ：在做教學前訪談時，有想說在普通班要講比較多的例子，但是實際教學時卻沒有？
T1：因為來不及啊！因為我根本忘記清明節放假，所以就一直趕。我覺得 2-2 就沒有什 麼重點啊，所以 2-1 的時候我就反覆給他們練習啊，所以我在上普通班的時候我才 會強調，我就會給他們一直練習。因為我禮拜一才教過他們都不會，所以就有一點 擔心，原來禮拜一上的太快了或是怎樣，所以我昨天就一直給他們反覆練習，就會
舉例子啊。因為我覺得上這麼快，沒有效果，也等於是 0，那還不如重上一次好了，
所以一直在重複，補充禮拜一講太快的東西。不過我昨天眞的很擔心，都不會，我 就很害怕，我昨天最擔心的就是這個，我昨天是最緊張的。不會吧！我白教了！我 就開始補救前面的，所以我後面沒有進很多東西。你看後面的自我評量很難耶！不 是很難，是數字不好算，我在上美術班的時候就沒有講完，我就在想我上普通班的 時候是不是要講更久，而且這對他們都不太好想吧。
R ：之前放大縮小都只有邊會放大縮小，講完比例關係之後，兩個班都有，你就會問他 們角會不會放大勒，就舉 30 度角，放大之後還是 30 度角，介紹完之後，就說我們 在多舉一些例子，比如說正三角形放大之後還是正三角形，為什麼要舉這個例子還 有長方形的例子？
T1：因為這個例子最好懂啊！因為這兩個例子是最普通的啊！最常用的例子！等腰直角 三角形還沒那麼常用。因為正三角形的角度是固定的，等腰直角三角形的角度也是 固定的，可是正三角形比等腰直角三角形還常用，所以我就舉那個固定角度的例子 。任意三角形或是任意四邊形那個角度就不是固定的，學生就不容易看出它的一致
性，所以就找角度是固定的，不可能變的。
R ：課本 p61 頁普通班有講，美術班跳過，在普通班還問面積會放大幾倍，還有出數字。
T1：他們是美術班自己就會畫了，普通班可能眞的是被考卷影響了，因為我覺得很驚訝 才幾題而已（四題時間 20 分鐘）居然沒寫完，而且大部分的人都沒寫，還跟我說 很難。可能普通班比較笨吧，我是希望能夠直接幫他們敲到腦袋裡，不要學過還不 記得，所以我就會一直重複，所以在舉例之後，再驗證跟他們說，是真的不是假的，
不要用背的，用算的也可以。
R ：課本 62 討論問題為什麼要跳掉？
T1：因為它很無聊，它還要去描，我就覺得很無聊，就叫他們直接做 p63 頁的隨堂練習 就好了。
R ：課本 p67 探索活動沒有做，在美術班就直接舉正方形和菱形他們不會相似？
T1：因為我覺得這個活動會讓學生更難懂，我就直接舉實際的例子他們更容易懂。對應 邊成比例對應角不相等，它這樣很多文字我覺得太複雜了，我覺得做這個要浪費很 多時間。你看這個折來折去，不需要，我覺得很麻煩，這要怎麼操作，我在黑板上 難道每根吸管都要用磁鐵，我就沒有去操作這個。
（T1,EL5,20050412）
R ：在介紹對應邊成比例不能推到對應角相等，妳舉了正方形和菱形的例子，為什麼會 想要舉這個例子？
T1：因為最好懂，其他的比較不好懂。因為他們還沒學過平行，如果我教三年級的話，
我就會舉五邊形，可是那是用對應角相等，因為平行的話同位角相等，對應角相等 對應邊沒成比例，所以它不會相似。可是他們沒有學過平行，他們學過的性質沒有 很多，所以我就先講菱形跟正方形。
R ：那為什麼會想在普通班用畫圖舉例子，在美術班用口頭講？
T1：因為我覺得抽象的東西，普通班不畫圖應該很難聽得懂我在講些什麼東西，而且我 覺得普通班比較不專心。
R ：上次我們在教學前訪談的時候，有講過 p67~p69 的活動會跳過，原因是因為？
T1：我覺得它觀念太籠統，而且我覺得經過它的操作，會讓學生更迷糊，我就沒有操作，
我覺得很難操作。第二個是我自己的原因啦，我想省事，覺得那個不好操作，那種 立體的怎麼把它固定在黑板上。對啊，學生也沒那個器具，還要叫他準備吸管，所 以就把它跳過。
R ：最後這裡跟之前有點不大一樣的地方，就是你在寫自我評量時，美術班都會讓他們 自己寫，然後對答案，但是這次卻是帶著他們寫？
T1：因為這次我看過它的題目，我覺得它的不太好寫，不像以前就是顯而易見，很容易 懂，淺顯易懂，這個比較不好寫。你看那題目都不太好寫，而且我覺得像這種題目 它都容易讓他們誤解，會看這一塊和這一塊，所以我就把它重新畫一遍，就是要整 個看這樣子。我都是一題一題講，因為我覺得他們不太能夠理解。像這一題（課本 p72）我應該就沒講，叫他們自己寫，因為那面就很簡單，所以就叫他們自己寫，
我想他們自己應該會做，如果不會做就表示他們都沒在聽吧。那這種的我就會提示
（課本 p71）。
R ：你會要求美術班和普通班就是你講解完之後，他們自己寫一遍，不要抄黑板的算式，
就是在 2-1 的時候，包含美術班上講義的時候也是，為什麼會開始要求他們？
T1：因為我覺得他們抄習慣了不會讓他們有進步！對啊，可是我還是會寫在板上，雖然 我希望他們不要抄我的，可是我希望他們寫一寫，寫不出來的話可以抬頭看一下，
可是完全抄我的，那內容還是我的啊，並不是他們自己想出來的，我希望經過他們 自己懂了之後，他們自己寫出來。所以就會要求他們不要抄黑板的，這樣他們才會 進步，因為他們學這章學得很差。我覺得沒有像以前我一講他們就懂的那種表情，
我不知道耶，那時候教美術班講義的時候，我覺得他們的表情讓我覺得好像很難。
【翻習作】你看習作都是這樣畫開的啊，只有最後一題是合在一起的，就是這樣，
所以他們習作就比較沒有那麼難寫。所以如果圖擠在一起，我就會特別講解，我就 會特別在黑板上畫一次那個圖，只看部分那就錯，而且觀念也錯。而且本來在講相 似形的時候，底邊的比，本來就是一段比整段，我都說段比整段，他們疑惑的表情 比之前上課疑惑的表情多很多，我覺得啦！
R ：課本 p73 自我評量最後一題，甲三角形是畫普通的三角形，為什麼不想把它畫成直 角三角形？
T1：因為他們還沒有學過商高定理，他們不知道 3、4、5 是直角三角形。我在美術班有 把它畫成直角，3、4、5 就是直角，可是在普通班就沒有，我就說它是直角，我就 給它對邊，然後在普通班是完全沒有講。如果我現在跟他們講，他們一定也不會記 得，可是我知道他們補習班有講，我不是有把他們考卷訂正收回來看，然後他們就 說這補習班有教，這是商高定理的三邊關係，我知道補習班有講。然後我是覺得說 幹麻要講，我跟他們講他們也不會記得，而且他們也不知道商高定理到底是什麼，
所以我就畫成普通三角形。美術班我稍微提一下，因為美術班先教嘛，可是後來在 普通班就覺得沒有必要，不是因為普通班程度的關係，而是覺得沒有必要，以後他 們自己會知道。而且這題不一定要寫成 3、4、5 啊，就把它當成普通的題目來講就 好了，可能就是 5、6、7 啊，都也是一樣的三邊關係，我沒有特別強調 3、4、5。
就是在美術班有稍微提，可是我沒有要他們記住的意思，就是提一下它是直角三角 形。
附錄三（2）：王師訪談逐字稿
（T2,DL4,20050314）
R ：1-3 打算要怎麼上？
T2：老實說 1-3 前面的地方我不打算上！因為我覺得很奇怪，我可能不會上短文，會上 下面討論問題。因為我在其他普通班上效果很差，老實說國文程度不好的人完全猜 不出來是男還是女。然後跟圓有什麼關係，然後就有人問說為什麼要有這個東西？
這跟圓有什麼關係？為什麼要有這個短文？或許它提到的東西下面有，那我直接講 下面就好了。這部分我先不讓他們上課本，因為國小的時候介紹過了，所以希望他 們自己畫一個圖，然後在圖中把圓心和圓周，然後半徑、直徑，它們的英文代號等 先稍微介紹一遍，再把課本看過一遍。
R ：有沒有想過要設計活動讓他們操作？
T2：目前沒有耶！因為圓的部分有很多名詞，怕他們搞混，主要是針對名詞作釐清吧！
不太會有什麼活動，而且其實我看過課本的探索活動都還蠻無聊的，我在其他普通 班帶學生作說很無聊。
（T2,EL4,20050321）
R ：習作第 11 頁第 5 題的圖形，有讓普通班的學生發表，而體育班就沒有讓學生去發 表，就直接告訴他們答案，而且題目說要說明理由，在普通班有慢慢唸讓學生抄，
但是體育班在你講完後，就要他們用自己的話來寫，為什麼會有這樣子的區別？
T2：因為我記得這題是體育班先講，我後來想一下應不應該要統一這樣子寫。因為我覺 得理由這種東西，你了解每個人說出來的話不一定一樣。其實，我是比較想看他們 能夠寫出什麼東西來，主要是想看有在聽的人能夠寫出什麼東西來。普通班雖然上 課狀況不錯，可是他們有時候會比較不知所措，就是比如說，這題沒有標準答案，
那我要怎麼寫？會有這狀況，這是我的感覺啦！因為我問普通班為什麼時，通常 S1 都會回答，或是最少會有兩三個男生會回答。那其實只要有人回答，那他們就 會聽到有個答案出現。問題是當沒有人回答，我要他們自己寫的時候，我有試過很 像益智遊戲的題目，大家都呆在那裡寫不出來。其實我會有一個這種感覺，他們是 乖，但是有時候讓我覺得沒有創意，就比較沒有自己的原創的感覺。可是體育班會 有讓人很意外的表現，就是他寫得可能不通順，可是有時候我會叫他解釋給我聽，
可是他在解釋時我聽一聽，我大概知道你懂了，所以我會想看體育班他們自己寫的 東西是什麼。
R ：教學前曾說過不上這個短文，不上這短文除了去考量到他們的語文能力之外，還有 沒有其他因素？
T2：其實沒有耶！只是我在第一個班上這個短文我發現效果很差，他們會覺得奇怪為什 麼來一個短文？那還不如直接切入主題，就是日常生活中常見的圓形，所以我有上 討論問題。所以我的感覺可能是第一個班上課狀況很差，所以後來這兩個班就直接 上討論問題。
R ：在介紹半徑和直徑以及弦等等，不是用課本圖形，而是自己畫一個圖講解，為什麼 會想自己畫一個，可是到最後又回過頭去解釋課本圖形？
T2：其實我覺得都是一樣的，我一開始丟給他們只是這個章節一個大概的新名詞的簡介
，所以我沒有用課本的圖形是不希望他們搞混。其實，後來一個一個在介紹我還是 都有介紹，也還是都分開來講，可是一開始那個圖只是給他們一個印象而已，所以 我沒有跟課本的圖用在一起。我覺得 1-3 有很多新的名詞，一開始聽到新的名詞都
會覺得這要幹嘛，與其我是一個一個慢慢講，還不如我一次通通丟給你。然後他的 新名詞其實也是很多，其實還好，一次統整完大家了解它的意義之後，我們等一下 遇到的每一個，我就會說你看我們前面講過了對不對，還記得嗎？然後我們來看課 本上的定義怎麼講。我介紹的跟課本上的定義不一樣。我介紹的是用比較直觀的方 法去看，像圓心角我就用為什麼叫圓心角？這個角是不是可能就在圓心上面。可是 課本的定義是有兩個半徑所夾的角度。那其實後來我都會交互再講一次，我覺得我 先講一個我用比較直觀的方法去看，然後後面一個一個介紹的時候我會再講一次，
只是想要給他們一個印象而已。
R ：為什麼會想用直觀的方式去定義名詞？
T2：這樣比較好記啊！不會搞混啊！數學其實很多東西，它的定義名詞都是你眼睛見到 什麼就是什麼。那既然這麼直觀的話，你還不如用一個比較口語的方法、用直觀的 方法去解釋它，讓它好記，你好記之後我們在來看它真正的定義是什麼。
R ：那你會比較想讓學生記直觀上的定義還是正式定義？
T2：其實都可以，因為就像圓心角，定義就是兩個半徑所夾的角度，可是如果你能夠畫 出來，其實你看也知道那兩個是半徑。尤其是像幾何的地方，我會一直很希望他們 畫圖，只要他們可以畫出來，其實很多東西是他們可以看出來的。
R ：本節帶著學生去唸課文的頻率很高，而且幾乎都是唸上面的文字，唸完之後就畫圖 講解，為什麼這節會想讓你帶學生去閱讀文字？
T2：因為圓形比較多名詞，那名詞你就需要一個一個仔細的去解釋，雖然它跟小學重複 的東西很高，但是還是希望他們對這個能有比較清楚的概念，所以我還是會一段一 段帶著他們去看。
R ：介紹弦的定義時，兩個班的學生都提出一個問題”直徑是不是最長的弦？”在體育班 就反問他，你覺得勒？在普通班就說我們從定義去看？
T2：一開始沒什麼特別的意思，可能是蠻想知道他的想法是什麼。因為還蠻難得有人會 發表意見，因為他們班，像他講了，那其他人可能會有意見，我覺得怎樣怎樣，因 為我覺得很難得有人問問題，會希望大家發表一下自己的意見，然後在針對他哪裡 有講不對的話，再去做修正。普通班就是他打亂我上課的步驟，我還愣了一下，因 為我本來正準備接下去就是要講這個，結果他就剛好問了，既然剛好，那就來講，
所以沒有特別的意思。
R ：講解直徑是最長的弦，為什麼利用在圓內畫出很多平行的弦來介紹？
T2：我純粹是想讓學生去感受圓的弧和由邊邊最小的弦然後慢慢放大，放大到最大然後 又變小，讓他去看到說直徑真的是最長的弦。所以說我是先解釋直徑是最長的弦，
解釋完之後，如果有交錯的圖，他就可以依據這個東西去判斷，斜的這條是直徑，
所以他是最長的弦，我這個圖只是讓學生去看你的弦變長，然後變短。
R ：介紹圓心角和圓周角都不是按照課本的定義，都是用你自己的定義去解釋它，為什 麼會有這樣子的做法？
T2：因為圓心角、圓周角我一開始就丟給他們一個比較大的統整，它通通在同一個圖裡 面，像這些定義其實你可以用口語化的方式去解釋它，讓它很好記，先記住這個東 西，長得怎樣，然後會分辨之後，我在後面講的時候會再帶一次看課本的定義。其 實你用直觀的方式比較容易記起來，尤其是對新的東西來說，我覺得數學的東西就 是跟他看到的東西其實是很像的，他利用它外表啦，或是其他東西來命名，所以我 才會先給他們一個圖，先用自己的方式去解釋，所以一開始並沒有要求他們要記原 始的定義，等講到那個部分的時候再把課本的敘述一次。
（T2,EL4,20050328）
R ：在介紹 p46 隨堂練習（2）中大扇形是小扇形的幾倍時，在普通班說要看分子，在 體育班說很容易看出答案，沒有這樣解釋？
T2：因為體育班有回答耶，其實我那時候覺得還蠻驚訝的！我本來以為他們看不出來，
可是我發現體育班回答的人還挺多的。我後來想一想，小學的時候分數的乘法是好 像是寫在分子上面，我覺得他們對這個還蠻有概念的，我看下去，有在聽的都有回 答，哪我就不解釋了，省的麻煩，我想趕快講下去。普通班是大家都呆呆的，我怕 他們不懂，就是他們沒有回答，我就不知道他們的反應嘛，那我就會怕他們不懂，
那我就會多講一下。
R ：為什麼同樣隨堂練習的第三題，在普通班是用比例關係，在體育班是用設未知數？
T2：因為我覺得用比例的比較容易啊，我本來在備課時想說用比例講好了，我大概講太 快了，就很順，照我的做法直接做下去，我大概就講太快了。
R ：課本例題 3 在普通班有補充長方形和正方形對角線的性質，還有畫圖解釋，但是在 體育班卻沒有？
T2：因為體育班先講，我把體育班的課上完之後，我才想到我們應該先補充這個，再講 隨堂練習，這樣他們比較能夠分辨。所以我在普通班才會先補充，其實我常這樣子，
就是講第二次的班就修正一下，只是它還蠻顯而易見的，如果你把圖畫出來的話，
大部分的人都還能分辨出來，所以我在體育班上的時候沒有遇到很大的問題，所以 他們也能夠接受。
R ：自我評量第三題在體育班有介紹到秒針，但在普通班沒有？
T2：因為現在題目已經很少秒針了，然後體育班是因為他們有問，有問我才講。所以我 在普通班有講說其實也有秒針，你可以自己做。可是現在題目真的很少問到秒針，
所以時針和分針你能分清楚就很棒，所以我才沒有多花時間去介紹。
R ：習作第 17 頁第 1 題，在體育班有提到 BC 是 13，是用畢氏定理求出來的，但是在 普通班就沒有？
T2：我本來想用畢氏定理講，後來想想不對，畢氏定理還沒講到，因為以前小學教材裡 面是有畢氏定理的，我發現有的小學老師有講，有的沒有。我第一次在體育班提的 時候，有人點頭，有人搖頭，而且只有一個人點頭，所以就用另外一個課本上的方 式來講。我本來想說如果他們知道畢氏定理的話，我就直接介紹有幾個常見的比例
，可是既然沒有介紹那我們就換一個課本上用的方法來講。可是這方法它有點繁雜
，有的人看不出來，就覺得我為什麼要把 BC連起來，就變成我敘述的比較久一點。
因為他們都是差不多同一間小學畢業的，我想說如果體育班沒有很多人講過，普通 班應該也是有人沒學到，那沒學到就算了，就直接用課本的方式。
R ：在介紹第二題時，為何會提到它是何種三角形？
T2：只是加強印象而已，但是 3,4,5 是一個補充啦，但是其他是複習。
R ：p18 第五題，在之前也有類似的題目，之前（第十頁）是要他們把性質填進去，但 是這題卻沒有，為什麼？
T2：我覺得這個比較簡單，這個比前面簡單，因為它兩個意思不一樣，前面是作分類，
作分類必須要這個有，這個沒有，可是這裡是你只要找到這裡有 A 和 F 就好，我本 來也想說要這樣填進去，然後想想，他們已經 RUN 過一次了，有些小朋友只要看 到 A 和 F，不用看圖形，他就知道是正方形，然後再上去找圖形。我覺得有的小朋 友已經可以做到這樣，所以我就沒有叫他們做填進去的動作。
附錄三（3）四位受訪學生訪談逐字稿
（S甲,CL1,20050117）
R ：你喜不喜歡數學？為什麼？
S 甲：有點喜歡。因為有時候數學，老師考卷上會有一些題目很難啊，就會把我弄得，
哎呀！怎麼這個都想不出來，那個也想不出來，就覺得很討厭，之前就是有一陣子 啊，就是因為數學不是學的很好，所以遇到分數，尤其是分數就特別討厭，就覺得 哎呀！數學怎麼這麼難啊，那現在有學到數型關係啊，就覺得蠻有趣的。
R ：你覺得數學重不重要？為什麼？
S 甲：很重要，因為生活上常常會很多地方用到數學，像買賣東西都一定要用到數學，
有時候數學可以訓練自己的大腦，然後你讀起書來也比較容易。
R ：讀起書來是指讀？
S甲：就是各科都一樣，就是記憶、理解方面都會比較好，我覺得是這樣。
R ：有沒有去問過老師問題？
S甲：有啊，就是有一些題目他是屬於比較深的嘛！所以你自己找規律還是找不太出來，
就是要去問老師。
R ：我們已經上了半學期的課，你覺得老師的教法是比較民主，還是比較權威的？是在 什麼地方感受到？
S 甲：我覺得她很民主！因為她上課的時候不會很嚴肅，她會尊重學生的意見，不會自 己想怎麼樣就怎麼樣，她就是比較年輕吧！就比較能跟我們打成一片，她講的話我 們也可能比較容易理解。
R ：就是她講的話你們比較聽的進去？
S甲：對啊，不是只有數學上其他一些瑣事也是。
R ：那你以後想不想當數學老師？
S甲：沒有！我有別的志願。
（S乙,CL1,20050117）
R ：你喜不喜歡數學？為什麼？
S乙：不喜歡，因為要解題啊就很煩，然後本身對數學沒興趣。
R ：那你為什麼又是數學小老師？
S乙：就倒楣嘛！就畢業考那次考 100 就倒楣嘛！
R ：是老師選的還是同學選的？
S乙：老師選的。
R ：你覺得數學重不重要？
S乙：蠻重要的！因為以後都會用到。
R ：以後是指哪些方面？
S乙：財金方面，就算錢啊，有時候做生意都要用到，以後大學也是有這一科啊。
R ：那你覺得數學有不有趣？為什麼？
S乙：不有趣，就是沒興趣。
R ：老師在上課的時候是很民主的還是很威嚴的？為什麼？
S乙：很威嚴，她很兇耶！
R ：兇就叫威嚴嗎？
S乙：不是，就是上課我們都不敢輕舉妄動！
R ：為什麼？
S乙：因為你一動就，ㄉ一ㄥ。
R ：她會看到？
S乙：對，很可怕。
R ：你覺得老師注意到的原因是什麼？
S乙：希望我們能夠……..阿，我不會講。
R ：有希望你們能夠專心嗎？
S乙：嗯！希望我們能夠進步。
R ：那你覺得這樣的上課方式給你什麼感受？
S乙：怕被點到。
R ：3-4 題目做不出來會怎麼辦？
S乙：就放棄！
R ：不會去問老師嗎？為什麼？
S乙：不會，我不知道為什麼。
R ：會怕嗎？
S乙：會啊！
R ：你從來沒去問過？
S乙：對啊！
R ：你要不要試著去問問看？
S乙：不要！
R ：你是小老師啊，每次去那邊不是都會遇到老師嗎，可以順便問一下啊？
S乙：能閃就閃！
R ：你以後希不希望當數學老師？為什麼？
S乙：不要，很辛苦耶！就是還要登記分數、算成績。
R ：以後會不會試著去問老師問題？
S乙：如果真的覺得不行了，才會去問吧！
R ：對數學課有沒有什麼期望？
S乙：我不知道耶！我到是希望老師放鬆一點，她整個上課都好嚴肅，沒有人敢講話，
希望老師多出一點應用題。
R ：那你覺得老師的優點是什麼？
S 乙：很負責、很認真的教，可是我們班還是….爛。可是老實講，她是我們全部科目裡 面，最認真的老師，就像我們平常不認真的時候，她會講到什麼馬上就問你，就是 要你牢牢的記住重點，然後有時候她會用她下班的時間把我們留下來教數學。
R ：所以你的感受是？
S乙：有的時候會很感激老師。
R ：所以你會如何形容周老師？
S乙：嗯！一個很有愛心的老師。
（S丙,CL1, 20050117）
R ：喜不喜歡數學？
S丙：ㄟ…..算蠻喜歡的！
R ：所以我發現你在上課都會回答老師的問題，為什麼？
S丙：不知道耶，可能上課反應吧。
R ：那你覺得上數學課反應是很重要的嗎？
S丙：應該算是還蠻重要的吧！
R ：為什麼你還覺得蠻重要的？
S丙：因為老師講什麼你要聽的懂啊，那聽的懂的話，聽起來的話你就會覺得這樣子可 以啊，然後就會想要回答老師的問題。
R ：那你覺得數學有不有趣？
S丙：嗯。
R ：哪方面讓你覺得數學很有趣？
S丙：就是他們的規律，我就覺得很有趣。
R ：你喜歡找規律啊，所以有沒有覺得學 3-4 有點成就感？
S丙：有點。
R ：那你在學 3-4 有沒有遇到困難？
S丙：有啊！
R ：那你會怎麼辦？
S丙：我都是去問爸爸或是爸爸不會我就去問老師。
R ：問周老師嗎？
S丙：嗯。
R ：所以你喜歡問老師問題？
S丙：嗯，有點。
R ：有沒有日常生活中的哪件事情讓你覺得數學很重要？
S丙：比如說有時候補習班也會要用到啊！媽媽去菜市場要幫他算錢，或者是媽媽會叫 我幫他拔菜要平分成三等分。
R ：你已經上老師的課大約半學期了，你覺得老師的上課風格是很民主還是很威嚴？
S丙：應該是蠻民主的！
R ：為什麼你會覺得老師很民主勒？
S丙：因為有些人不專心老師就會叫他來多聽一些，叫他來多問一些問題，也不會特別 說考不好啊，就會打人。
R ：所以你覺得很威嚴的老師就是考不好會打人？
S丙：也不是，就是很威嚴的話好像學生就不太喜歡上數學課。
R ：那你們班很喜歡上數學？
S丙：大部分！
R ：那你以後會不會想要當數學老師？為什麼？
S丙：不會耶！因為我對美術比較有興趣。
R ：那你覺得美術上面有沒有用到數學？
S丙：有啊，像要擺位子的時候要畫一些分格線，然後要用比例去畫。
R ：有沒有想過其他科目可不可以用在數學上面？
S丙：其他科目喔！我不知道耶，沒有想過。
R ：老師在課堂上有提到高斯的故事，你以前有沒有聽過？在哪裡聽過？
S丙：有，在小學補習班的時候。
R ：那你覺得老師為什麼要講這個故事？
S丙：因為要找規律的時候，就會用到那個高斯的數學。
R ：你對老師的感覺是什麼？為什麼？
S丙：很崇拜周老師啊！因為我覺得她講什麼我都聽的懂，可是有時候補習班老師講的 就聽不懂。
（S丁,CL1,20050117）
R ：那你喜不喜歡數學？
S丁：有一點啦！
R ：為什麼上課的時候會很喜歡回答老師的問題？
S丁：應該是覺得很有趣吧！
R ：那你覺得數學重不重要？
S丁：不錯重要。
R ：什麼是不錯重要？
S丁：很重要啊。
R ：為什麼？
S丁：我也不知道耶。
R ：有沒有什麼事情讓你覺得這個數學不會不行耶，這個數學很重要，不會會吃虧？
S丁：應該是算術吧！
R ：老師這一節是讓你們去操作，那你覺得操作比較容易理解，還是老師用講的？
S丁：我覺得用操作的。
R ：你覺得老師的教法是很民主還是很權威？
S丁：一半一半！不會很民主也不會很權威。
R ：你覺得很民主的是什麼？權威又是什麼？
S丁：我也不知道，就是感覺啦，我的感覺。
R ：以後會想當數學老師嗎？為什麼？
S丁：不會，因為我不是全部都很喜歡數學。
R ：所以你覺得要當一個數學老師就是要很喜歡數學？
S丁：嗯！然後功課也要很好！
R ：你覺得當運動選手在做動作的時候，跟數學有沒有關係？
S丁：有啊！
附錄三（4）：教學轉譯稿
註：由於教學活動是國中的幾何單元，其操作性活動是教學中較特別的部分，因此，僅 呈現兩位教師在不同班級，其四邊形單元的操作性活動之教學活動轉譯稿。
（T1丙,BL3,20050307）
T1：對起來的對不對？我對的是這樣。你們勒？要把不同的顏色對在一起喔【教師展示 她所操作的】，對起來了喔，是不是不同的顏色要對在一起啊？
S ：嗯。
T1：四個顏色啦，可以嗎？四個顏色對起來，好來，合起來會不會變成一個圓啊？合起 來會變成 p27 探索活動，可不可以？那這四個顏色代表四邊形的四個角對不對？那 我們把它對在一起是什麼意思？把這四邊形的四個角組合在一起會變成一個圓，就 表示這四個角合在一起是幾度啊？
S ：360 度。
T1：這四個角和在一起是不是變成這樣？總共和在一起是幾度？
S ：360 度。
T1：所以四邊形的內角和幾度？360 度。
T1：那我們看一下 27 頁按照國小的來算，來，用對角線的畫法可不可以畫啊？可不可 以算四邊形的內角和是幾度啊？隨便一個四邊形喔，來固定一個頂點，做一條對角 線，總共可以做幾條對角線啊？
S ：2 條。
T1：一條，啊！兩條啊！一個頂點，還能做哪一條你告訴我，對角線這能做嗎？所以固 定一個頂點只能做幾個對角線？
S ：一條。
T1：一條，那這一條對角線，固定一個頂點喔，只有一條對角線，還有第二條嗎？還有 沒有第二條？沒有了吧！所以這一條對角線可以把四邊形分成幾個三角形？
S ：兩個。
T1：兩個，1 號跟 2 號，那 1 號的內角和是幾度啊？
S1：300 度。
S ：180 度。
T1：啊！S1，來一個三角形是 180 對不對？2 號內角和勒？
S ：180 度。
T1：所以四邊形有幾個 180？
S ：2 個。
T1：2 個 180，所以它的內角和一樣是？
S ：360。
T1：沒錯吧！那看五邊形，隨便一個五邊形喔，固定一個頂點可以做幾條對角線？
S ：兩條。
T1：可以把五邊形分成幾個三角形？
S ：三個。
T1：三個。那有幾個 180？
S ：3 個。
T1：3 個，那內角和就是，這國字就是五邊形喔，總共有 3 個三角形，三個三角形一個 都是？
S ：180 度。
T1：所以它的內角和就是？
S ：540 度。
T1：沒問題吧！國小應該都有學過，好那慢慢推，那六邊形勒？來固定一個頂點，可以 畫幾條對角線？
S ：3 條。
T1：可以畫幾條對角線？3 條，所以六邊形可以分割成幾個三角形？
S ：四個。
T1：每一個都多少？
S ：180 度。
T1：所以總共有四個 180，可以喔，那我問你十邊形呢？可以畫幾條對角線？
S ：9 條。
T1：啊！7 條，可以畫 7 條對角線，知不知道七條怎麼來的？
S ：10-3。
T1：為什麼？四邊形畫幾條？
S ：1 條。
T1：差幾？
S ：3。
T1：五邊形畫幾條？
S ：2 條。
T1：是不是差 3，六邊形可以畫幾條對角線？
S ：3 條。
T1：3 條對不對？所以十邊形可以畫幾條對角線？
S ：7 條。
T1：7 條，那可以畫成幾個三角形啊？
S ：8 個。
T1：8 個三角形，所以就有……那是不是就可以推 n 邊形呢？它的內角和是幾度啊？
S ：（n-2）×180。
T1：請你告訴我那個公式，要不要背？n 邊形可以畫幾個三角形？
S ：n-2 個乘以 180。
T1：就是內角和對不對？有沒有問題會不會講太快？不會喔！那我們來看一下，第 28 頁，上面的動動腦，分成兩個三角形你要怎麼說明四邊形的內角和是 360 度呢？兩 個三角形，一個 180，所以兩個 180，好例題 1 做一做，四邊形 ABCD 你就要想到 他的內角和是幾度啊？
S ：360 度。
T1：360，已經知道角 B 幾度，72，角 C，76，角 D 呢 90 度，請問你角 A 幾度啊？怎 麼算？S2。
S2：360-72-76-90。
T1：對，趕快算角 A 幾度啊？然後隨堂練習做一做，就做這兩題我不寫黑板喔！
T1：角 A 幾度，122 度。
T1：好下面的角 C 的外角，它問你外角喔，所以角 C 幾度啊？
S ：70 度。
T1：角 C 幾度啊？
S ：70 度。
T1：剛好 70 喔，所以它的外角呢？
S ：110 度。
T1：對，會不會很難？【結束於 8 分 18 秒】
（T1乙,BL3,20050308）
T1：來你看喔！這四個是不是完全都一樣的？【教師手中拿著四個附件】這四個完全都 一樣，來最右上面的角它用紫色來代表對不對，然後勒？左上用什麼顏色？綠色，
然後在用藍色跟橘色，這四個角每一個圖都一樣，就用四個顏色來代表，就把這四 個顏色拼在一起，要不同的顏色拼在一起喔，來會有什麼結果？拼的起來嗎？拼拼 看【留時間給學生拼】，四個不同的顏色喔！不是紫色碰紫色喔！是不同的顏色拼 起來，拼的起來嗎？拼拼看，四個不同的顏色拼起來，拼起來的舉手！
S ：【部分學生舉手】。
T1：拼起來了對不對，好拼起來的話會變成一個什麼角？是不是變成一個圓形啊？有沒 有變成一個圓周角啊？那一個圓周角是幾度？
S ：360 度。
T1：所以這四個角加在一起會幾度？
S ：360 度。
T1：對，所以四邊形總共有幾個角啊？
S ：四個。
T1：四邊形一共有幾個角？不管哪一種四邊形，他有四個邊、四個角對不對？把四個角 加在一起，你看喔！把這四個角加在一起會等於幾度啊？
S ：360 度。
T1：對，會拼成一個圓形，所以是 360 度。沒問題吧！國小是用這個方法嗎？
S ：不是。
T1：不是，那我們來複習一下國小怎麼算四邊形內角和，好來看一下，拼好了對不對？
直接看到 28 頁，來國小怎麼算四邊形內角和啊？好我們看一下這是四邊形對不對？
來三角形內角和是幾度我問你們？
S ：180 度。
T1：一個三角形的內角和是？
S ：180 度。
T1：好那我們來看一下四邊形喔，四邊形的話從一個對角線，不對，從一個頂點，固定 一個頂點，可以畫幾條對角線？一條對不對？可以把四邊形分成幾個三角形？
S ：兩個。
T1：兩個，那一個三角形是幾度啊？
S ：180 度。
T1：那這裡的內角和也是？
S ：180 度。
T1：所以四邊形的四個角加在一起是？
S ：360 度。
T1：幾個 180？
S ：兩個。
T1：所以總共內角和？
S ：360 度。
T1：沒錯吧！來那我們看五邊形喔，固定一個頂點，它的對角線可以畫幾條？
S ：兩條。
T1：畫幾條？兩條，可以把五邊形分成幾個 180？
S ：3 個。
T1：所以五邊形的內角和就是？它內角和總共幾度？
S ：540 度。
T1：那六邊形勒？固定一個頂點可以畫幾條對角線？
S ：3 條。
T1：那可以畫四個三角形對不對？每一個三角形都是？
S ：180 度。
T1：所以，四個，所以六邊形的內角和幾度？沒錯吧！
T1：七邊形勒？固定一個頂點可以畫幾個三角形？幾個？
S ：四個。
T1：所以它的內角和怎麼算？四個三角形？
S ：5 個。
T1：5 個吧！它的內角和是幾度？
S ：900 度。
T1：好那我問你喔！那 N 邊形呢？可以畫成幾個，割成幾個三角形啊，來不知道，四 邊形會有幾個？
S ：兩個。
T1：五邊形呢？
S ：三個。
T1：六邊形呢？
S ：四個。
T1：七邊形呢？
S ：五個。
T1：好那我問你十邊形？
S ：8 個。
T1：為什麼是 8 個？
S ：都減 2。
T1：好來看一下，4 變 2 對不對，5 變 3 對不對，6 變 4 對不對，7 變 5，所以 8 變？
S ：7。
T1：8 變？
S ：6。
T1：所以都差幾啊？
S ：2。
T1：所以十邊形的話會有？
S ：8 個。
T1：所以十邊形的內角和就是 8 乘以 180，沒錯吧！好那請問你，我們來導公式喔，N 邊形呢？
S ：n-2。
T1：它的內角和怎麼算？
S ：n-2 乘以 180。
T1：這麼多個三角形，對不對？是不是可以畫成那麼多個三角形？每一個都是？
S ：180 度。
T1：好所以現在不管算幾邊形都可以算了，我現在要算九邊形可不可以？九邊形要怎麼 算？帶進去...
T1&S：9-2。
T1&S：7。
T1：7 個 180，20 邊形可不可以算？有幾個 180？
T1&S：20-2。
T1：有幾個 180？
T1&S：18。
T1：這就是多邊形，多邊形喔，多邊形什麼意思啊？四以上，的內角和公式，有沒有問 題啊？那我們看一下 28 頁，來動動腦做一做，對角線可以把四邊形變成兩個三角 形，所以它的內角和就是 180 乘以 2，自己寫一下 180 乘以 2，等於幾啊？
S ：360。
T1：所以任意四邊形的內角和是幾度啊？
T1＆S：360 度。
T1：是不是 360？好例題一做一做。如果 A 這邊，B 這邊我可不可以這樣子啊？
S ：不行。【有學生搖頭】。
T1：這樣可不可以？為什麼不行？一定要怎麼樣？順時針走或逆時針？
S ：逆時針。
T1：如果 AB 我這邊應該是什麼？
S ：C。
T1：這裡？
S ：D。
T1：沒問題吧！一定要繞一圈喔，你不可以跳著，如果我讓這邊 ABCD 可不可以？
S ：可以。
T1：可以喔，那我 A 可以在這裡，B，C 可以在這裡嗎？
S ：不行。
T1：那要怎麼樣，C，D，這是逆時針對不對，那我順時針可不可以？隨便你高興，喜 歡這邊當 A，然後順時針可不可以啊？可以，知道嗎？就是不能跳，聽懂我再講什 麼嗎？那我們的習慣，每個人的習慣不同喔，可是大部分人的習慣，都是按照逆時 針，那我畫一個草圖，它說四邊形 ABCD，角 B 幾度？
S ：72 度。
T1：角 C 勒？
S ：76 度。
T1：角 D 勒？
S ：90 度。
T1：請問你角 A 幾度啊？怎麼算？我們剛寫啦四邊形內角和是幾度？
S ：360 度。
T1：扣掉他們三個人，是不是就是角 A 啊，所以角 A 怎麼算？360 度去扣掉他們三個 人，扣掉他們三個人的和是不是就是角 A 啊？那角 A 幾度啊
S ：122 度。
T1：好隨堂練習做一做，角 C 要怎麼算？用 360 去減對不對？好算出來多少？幾度？
S ：70 度。
T1：70 度整嗎？ 【結束於 10 分 44 秒】
（T2甲,BL3,20050303）
【開始於 20’05”】
T2：我們前面有講定義，我們講長方形就好，我們在規定定義的時候，我們說長方形是 怎樣的圖形？四個角都是？
S ：直角。
T2：直角對不對？那所謂的內角和是什麼？
T2：你這個角加起來對不對？那你看長方形，長方形是不是四邊形啊？
S ：對。
T2：是啊，那長方形內角，這四個角的和是多少？
S ：360 度。
T2：360，因為 90、90、90、90 嘛對不對，所以 90 乘 4 是 360，那正方形勒？
S ：也是。
T2：也是啊，正方形是不是也是四個直角？四個直角它內角和也是 360 啊，那這裡我們 要講的是四邊形的內角和，四邊形的內角和眞的都是 360 嗎？都是嗎？梯形是嗎？
S ：是。
S1：把它四個角撕下來。
T2：梯形是嗎？
S ：不是。
T2：你覺得它四個角的和是不是 360？
S ：是。
S ：不是。
T2：有的人覺得是，有的人覺得不是，我們今天就是要講這個東西。所以請你看下面的 漫畫，科西用這個同樣全等的四邊形，他用好幾個同樣的四邊形，總成一個像毛毯 一樣的東西，然後這個東西到底是怎麼組成的呢？來我們來試試看喔，請你看課本 附件的地方，課本附件有一個 1-2 對不對？這不是梯形喔，這是四邊形，你看它是 不是幫你把四個角用不同的顏色標起來，對不對？
S ：對。
T2：然後這四個是全等的四邊形，這不是梯形喔，我們剛講梯形是不是要有一組對邊要 平行？
S ：對。
T2：這只是一般的四邊形，你把它撕下來之後你在這四個角標∠1、∠2、∠3、∠4。
S ：隨便標？
T2：對，隨便標，你要注意喔，如果我要讓紫色的是∠1，那你四個紫色通通都是∠1 喔，你不可以 1234 然後轉過來 2314，不可以喔！如果紫色是∠1，就要四個通通是
∠1，如果綠色是 2 的話，就四個綠色通通是 2，把那個角標好喔，然後我們來看看，
你有沒有辦法把這四個圖形組合在一起，就像課本上一樣，然後當你組合完成之後
，你在去找有沒有別的辦法一樣把它組合到密和在一起，我們是不是可以先排跟課 本上一樣的對不對？
S ：嗯。
T2：那有沒有別的辦法再去排一個跟課本上不一樣的，然後把它組合在一起？
S1：瞎咪。
T2：試試看！我們先排一個跟課本上一樣的，課本上是四個全等的圖形對不對？然後他 問你說可不可以拼成一個周角 360 度？先排排看，可以嗎？
S ：可以啊。
T2：可以嗎？
S ：可以啊。
T2：角度是不是 1、2、3、4 都用到，如果你要用兩個∠1 去跟其他的兜起來，兜的起 來嗎？
S ：兜不起來。
T2：好像完全沒有辦法弄成一個周角對不對？
S ：是啊。
T2：對喔！這裡這個東西是要讓我們去體驗說，這活動其實要讓我們看就是說我們在拼 的時候是不是∠1∠2∠3∠4 都有用到，那在四邊形裡面，這四個角拼起來剛剛好會 是一個周角，就是一圈一個圓，也就是說我們可以印證到說這個四邊形的內角和，
四個角拼起來剛好是周角，所以內角和剛好是 360 度。那譬如說有人用，用兩個∠
1，一個∠2，另一個隨便湊，湊的起來嗎？其實不一定，不一定湊的起來啦！要看 他的角度剛好才可以嘛對不對？但是我們可以百分之百確定就是說，如果我四個角 都用上，∠1∠2∠3∠4，它一定可以湊成 360 度，這樣懂嗎？
S ：懂。
T2：拼好了，可以喔，這是一個活動。那第二個就是說有沒有別的方法可以說明四邊形 的內角和是 360 度？其實是有的，我用畫的好了。除了剛剛我們是用拼起來的，讓 你看出來四邊形的內角和是 360 度，那有沒有別的方法呢？去想啊，如果我們要用 新的方法我們是不是要用我們以前學過的東西？我們 1-1 是不是才學過三角形，而 且才學到三角形內角和，那我們可以想辦法用三角形的內角和去推論出來四邊形的 內角和，怎麼推論？你有沒有發現四邊形，可以把它切成一堆三角形？可不可以？
你看喔，如果我從這個點，這樣切切過來，切到這個點，你有沒有發現一個四邊形 就直接被我切割成兩個三角形，好，那首先我們先看左邊三角形，左邊三角形的內 角是不是這三個圓圈，右邊三角形的內角，我用黃色來代表它，這三個內角加起來，
這內角和是 180，紅色的部分這裡的內角和也是 180，那三個黃色三個紅色組合起 來，你看組合起來的時候在這一個部分，剛好組合成大的四邊形的一個內角，然後 這裡也是，也組合成大的四邊形的內角，我的兩個三角形的內角拼起來剛好變成四 邊形的四個內角。所以這邊內角和總共是多少？是不是用 180 加上 180 等於 360，
除了剛剛我們用拼的之外，你也可以用三角形切割的方法，你可以去看出來，四邊 形的內角和是 360 度，所以我講的就是 28 頁動動腦的部分，好這是動動腦的部分。
那我們可以得到的結論就是說任意四邊形的內角和是 360 度。【結束於 28 分 45 秒】
（T2丁,BL3,20050304）
T2：上次要你把附件 1-2 撕下來對不對？我現在要你把它拿出來，請你按照課本的去排 列一次看看，看能不能眞的像課本講的一樣，可以把它排成一個密合的圖形，然後 角度啊都非常的密合，先按照課本的排排看，第 26 頁，我們進入到附件 1-2。
S ：1-2 好【教師走下去巡視】。
T2：中間是不是用了四個不同的角度？對不對？1234，先排排看，按照課本排不排的出 來？
S ：有。
T2：按照課本排的圖形，邊都可以密合的很好對不對？
S ：對啊。
T2：好假如按照課本排他是不是可以密合的很好？
S ：對。
T2：好，那如果我不照課本排，請你隨便排排看，比如說我們是不是有要你說用不同的 顏色標∠1∠2∠3∠4，對不對？請你做，比如說我們想要用兩個∠1，然後兩個∠3，
試試看可不可以排成也是一樣很密合的狀態？
S ：不行啊！1,1 不行。
T2：試試看，可不可以，可以隨便去翻轉它。
S ：不行。
S ：老師只要角度那一點就好了嗎？
T2：對啊，角的那個頂點要接在一起喔！
S ：好了。
S1 ：不行啦。【教師下去巡視】
T2：我們來看喔，請你看 P27 探索活動，你有沒有發現我昨天在要求你標角度的時候我
有講過說，因為這是一模一樣的四邊形，如果你要把角度標成，比如說按照它的順 序 1234，我是不是有要求你這四個紙片，這四個一模一樣的四邊形∠1∠2∠3∠4 順序不可以亂掉，對不對？
S ：嗯。
T2：那你按照他課本在拼的時候，你有沒有發現這中間就為成一圈的部分，有∠1∠2
∠3∠4，這中間圍成的是不是就是∠1∠2∠3∠4？好那你可以看到這∠1∠2∠3∠4 分別代表我們這四邊形的四個內角，那這四個內角如果我把它拼接起來，可以形成 好像一個圓的東西，這是不是形成一個周角？那周角就是 360 度，那這裡的活動就 是告訴我們說，如果我四邊形有這四個內角，那我把它拼起來的時候，它會是 360 度，也就是說結論，四邊形的四個內角和，它會變成 360 度。
S ：對。
T2：那為什麼我後來會叫你做一個隨便排呢？因為你可以看當你隨便排的時候，它不一 定能夠拼成一個圓對不對？它有時候太多有時候太少，對不對？
S ：嗯。
T2：所以四邊形的四個內角加起來就一定會剛剛好拼成一個圓，可以嗎？
S ：可以。
T2：好，課本上這是一個活動。但是其實還有另外一個方法來說明它，我們來看 27 頁 的下面，柯西說啊，他也可以用畫對角線的方式，來說明這個四邊形的四個內角和 是 360 度。怎麼畫呢？我們來看，比如說一樣我這樣子的一個四邊形，然後呢他說 要畫對角線，對角線是什麼記得嗎？小學有學過對角線？
S ：好像有。
T2：好像有，那對角線是什麼還記不記得？
S ：記得。
S2 ：忘記了。
T2：什麼叫做對角線，就是如果我有兩個角是相對的，請你把它連接起來，比如說，我 以這個角為主好不好？
S ：好。
T2：另外三個點是不是在這邊？
S ：嗯。
T2：對喔，這個點跟這個點連起來就叫做邊對吧！
S ：對。
T2：那這個點跟它，本身並沒有用邊去直接做相連。
S ：對。
T2：如果這樣子把它畫過來，像這種東西叫做對角線。
S ：好。
T2：可以喔？
S ：嗯。
T2：那其實我們可以用畫對角線的方式，怎麼用畫對角線的方式？這個四邊形，我如果 用這個對角線切過去，你有沒有發現它切成，2 個三角形，對不對？
S ：對。
T2：記不記得我們在 1-1 講過，三角形的內角和，記得嗎？三角形內角和幾度？幾度？
S ：180 度。
T2：那這裡有兩個三角形，對不對？
S ：對。
T2：你看喔，上面這個三角形它的內角是不是在我橘色打圈圈的地方？
S ：對。
T2：然後呢下面這個三角形，是不是在我黃色打圈圈的地方？你有沒有發現這兩個三角 形的內角啊，這裡跟這裡還有這兩個，剛剛好構成了我們四邊形四個內角，也就是 說，如果我把三角形這個內角和是 180 度，這個內角和也是 180 度，那這兩個內角 和加起還是不是應該整個四邊形的內角和，所以 180 加 180 等於？
S ：360 度。
T2：360 度，那用這樣的方式也可以說四邊形的內角和是 360。【結束於 6 分 06 秒】
