4.4. Rational Form 當

4.4. Rational Form

當 V 是 over F 的 vector space 且 T : V→ V 為 over F 的 linear operator. 若 F 不是 algebraically closed, 則 T 的 characteristic polynomial 並不一定可以完全分解成 F[x] 上的 一次多項式的乘積. 我們將探討在這種情形之下, 如何找到合適的 V 的 ordered basis 使得 T 的 representative matrix 可為較簡單的形式.

要將 T 的 representative matrix 化為簡單的 form, 就必須將 V 寫成一些 T -invariant subspaces 的 direct sum. 寫成越多維度小的 T -invariant subspaces 的 direct sum, T 的 representative matrix 就可寫成越簡單的 form. 例如 T 是 diagonalizable 時, 就表示 V 可 以寫成一些 1-dimensional T -invariant subspaces 的 direct sum. 接下來我們就是要討論若 v∈ V, 則包含 v 最小的 T-invariant subspace 為何.

假設 W 為包含 v 的 T -invariant subspace. 因為 v∈ W, 故由 W 為 T-invariant, 得 T (v)∈ W. 同理得 T^◦2(v)∈ W, T^◦3(v)∈ W, ..., 故由數學歸納法得 T^◦i(v)∈ W, ∀i ∈ N. 再由 W 為 over F 的 vector space, 可得對任意 a_d, a_d−1, . . . , a1, a0∈ F 皆有

a_dT^◦d(v) + a_d−1T^◦d−1(v) +··· + a1T (v) + a0v∈ W.

換言之, 對於所有 f (x)∈ F[x] 皆有 f (T)(v) ∈ W. 現考慮 C_v={ f (T)(v) | f (x) ∈ F[x]},

我們有 C_v⊆ W. 很容易檢查 Cv 為一個 vector space, 故 C_v 為 W 的 subspace. 又對於任意 w∈ Cv, 我們有 w = a_dT^◦d(v) +··· + a1T (v) + a₀v, 其中 a_d, . . . , a₁, a₀∈ F. 所以

T (w) = a_dT^◦d+1(v) +··· + a1T^◦2(v) + a₀T (v) = g(T )(v)∈ Cv,

其中 g(x) = a_dx^d+1+··· + a1x²+ a₀x∈ F[x]. 這說明了 Cv 是一個 T -invariant subspace. 因 此我們了解一個包含 v 的 T -invariant subspace, 一定包含 C_v 這一個 T -invariant subspace.

也就是說 C_v 是包含 v 最小的 T -invariant subspace. 我們有以下之定義.

Definition 4.4.1. 假設 V 是一個 F-space 且 T : V → V 是一個 F-linear operator. 給定 v∈ V, 考慮 Cv={ f (T)(v) | f (x) ∈ F[x]}. 我們稱 Cv 為一個 T -cyclic subspace spanned by v.

其中 v 也稱作 C_v 的一個 cyclic vector.

要注意 C_v (the T -cyclic subspace spanned by v) 和 T 有關, 由於我們不會探討不同 linear operator 間的關係, 所以為了符號簡便我們省略 C_v中有關 T 的標記. 一般來說 C_v並 不是 the subspace spanned by v, 而且一個 T -cyclic subspace 的 cyclic vector 並不唯一.

Question 4.14. 除了 v 以外, 你能找到另一個 Cv 的 cyclic vector 嗎?

Question 4.15. 在甚麼情況之下 C_v 會等於 Span(v)?

接下來我們要更進一步來了解 C_v 這一個 T -cyclic subspace. 首先由於我們探討的 vector space V 是 finite dimensional, 所以 Cv 也是一個 finite dimensional vector space.

因 此 {v,T(v),T^◦2(v), . . . , T^◦i(v), . . .} 為 linearly dependent. 也就是說存在 k ∈ N, 以及

90

a₀, a₁, . . . , a_k∈ F 不全為 0 使得 akT^◦k(v) +··· + a1T (v) + a₀v = O_V. 這告訴我們, 存在非零多 項式 f (x)∈ F[x] 使得 f (T)(v) = OV. 滿足這個性質的次數最小的 monic polynomial 對於我 們了解 C_v 有很大的用處, 所以有以下之定義.

Definition 4.4.2. 設 V 為一個 finite dimensional F-space, T : V→V 為一個 linear operator.

在所有非零多項式 f (x)∈ F[x] 中滿足 f (T)(v) = OV, 且次數最小的 monic polynomial 稱為 the T -annihilator of v, 我們用µv(x) 來表示.

再次強調 µv(x) 不只和 v 有關和 T 也有關, 不過由於我們只探討單一的 linear operator, 所以省略有關 T 的標記.

Question 4.16. 對於任意的 linear operator T : V→ V, 甚麼是 the T-annihilator of OV? 利用多項式的除法原理 (division algorithm), v 的 T -annihilator 和 Lemma 3.3.5 中有關 於 T 的 minimal polynomial 有著類似的性質, 由於證明方法相同, 這裡就不再贅述.

Lemma 4.4.3. 假設 V 為一個 finite dimensional F-space, v∈ V 且 T : V → V 為一個 linear operator. 則對於 f (x)∈ F[x], f (T)(v) = OV 若且唯若 µv(x)| f (x).

利用 Lemma 4.4.3, 我們馬上知道 µv(x)|χT(x) 且 µv(x)|µT(x), 這 是 由 於 χT(T ) = µT(T ) = O, 所以對任意 v∈ V 皆有 χT(T )(v) =µT(T )(v) = OV.

我們可以透過 µv(x) 來了解 C_v. 事實上我們有以下之結果.

Theorem 4.4.4. 設 V 為一個 finite dimensional F-space, T : V→ V 為一個 linear operator.

若 v∈ V, 且其 T-annihilator 為

µv(x) = x^d+ ad−1x^d−1+··· + a1x + a0, 則

{v,T(v),...,T^◦d−1(v)}

為 C_v 的一組 basis. 另外考慮 T 限制在 C_v 下的 linear operator T|Cv : Cv→ Cv, 我們有 T|Cv 的 characteristic polynomial 和 minimal polynomial 皆等於 v 的 T -annihilator, 亦即 χT|Cv(x) =µT|Cv(x) =µv(x).

Proof. 首先證明 S ={v,T(v),...,T^◦d−1(v)} 為 linearly independent. 若 S 不是 linearly independent, 表示存在次數小於等於 d− 1 的 polynomial f (x) ∈ F[x] 滿足 f (T)(v) = OV. 此和µv(x) 為次數最小的定義相矛盾, 故得證 S 為 linearly independent.

接著證明 C_v= Span(S). 首先很容易觀察

Span(S) ={g(T)(v)|g(x) ∈ F[x],deg(g(x)) ≤ d − 1},

故知 Span(S)⊆ Cv. 然而依定義對於任意 w∈ Cv, 皆存在 g(x)∈ F[x] 使得 g(T)(v) = w.

現若 deg(g(x))≤ d − 1, 則可得 w ∈ Span(S). 而若 deg(g(x)) > d − 1, 則由除法原理, 存在 h(x), r(x)∈ F[x] 其中 deg(r(x)) ≤ d − 1 使得 g(x) = h(x)µv(x) + r(x). 故由 µv(T )(v) = OV, 知

w = g(T )(v) = h(T )(µv(T )(v)) + r(T )(v) = h(T )(O_V) + r(T )(v) = r(T )(v),

4.4. Rational Form 91

得證 w∈ Span(S). 此證得 Cv⊆ Span(S).

現考慮 T|Cv 的 characteristic polynomial χT|Cv(x), 依定義 deg(χT|Cv(x)) = dim(C_v). 而 由 S 為 C_v 的一組 basis, 得 dim(Cv) = d. 又 v∈ Cv, 故依定義 χT|Cv(T )(v) = O_V. 所以 Lemma 4.4.3 告訴我們 µv(x)|χT|Cv(x). 最後由 µv(x) 以及 χT|Cv(x) 皆為 monic 以及它們 的 degree 皆為 d 得證 χT|Cv(x) =µv(x). 同理 µT|Cv(T )(v) = O_V, 故得 µv(x)|µT|Cv(x). 再由 deg(µT|Cv(x))≤ deg(χT|Cv(x)) = deg(µv(x)) 得證 µT|Cv(x) =µv(x).  Question 4.17. 若 deg(µv(x)) = d, 你能證明 C_v 中的元素皆可 “唯一” 寫成 g(T )(v) 其中 g(x)∈ F[x] 且 deg(g(x)) ≤ d − 1 嗎?

Theorem 4.4.4 中 C_v 的這組 basis 很重要, 我們有以下的定義.

Definition 4.4.5. 假設 V 為一個 finite dimensional F-space, v∈ V 且 T : V → V 為一個 linear operator. 設 deg(µv(x)) = d, 我們稱{v,T(v),...,T^◦d−1(v)} 為 Cv 的一組 cyclic basis.

當 deg(µv(x)) = d 時, 我們可以考慮 T|Cv: C_v→Cv對於β = (v,T(v),...,T^◦d−1(v)) 這一個 cyclic basis 所形成的 ordered basis 的 representative matrix 為何. 由於 T (v) = 0 v+1 T (v)+

0 T^◦2(v) +··· + 0T^◦d−1(v), 我們知道此 matrix 的第一個 column 應為 (0, 1, 0, . . . , 0)^t, 同理 因 T (T (v)) = 0 v + 0 T (v) + 1 T^◦2(v) +··· + 0T^◦d−1(v), 我們知道此 matrix 第二個 column 應 為 (0, 0, 1, 0, . . . , 0)^t, 這 樣 一 直 可 得 到 前 d− 1 個 column. 至於最後一個 column, 由 於 T (T^◦d−1(v)) = T^◦d(v), 故若 µv(x) = x^d+ a_d−1x^d−1+··· + a1x + a₀, 由 µv(T )(v) = O_V, 得 T^◦d(v) + a_d−1T^◦d−1(v) +··· + a1T (v) + a0v = O_V. 亦即

T^◦d(v) =−(a0v + a₁T (v) +··· + ad−1T^◦d−1(v)),

因此得最後一個 column 為 (−a0,−a1, . . . ,−ad−1)^t. 所以知 T|Cv 對於 β 的 representative

matrix 為 









0 0 ··· 0 −a0

1 0 ··· 0 −a1

0 1 . .. 0 −a2

... ... . .. ... ... 0 0 ··· 1 −ad−1











. (4.3)

令 f (x) = x^d+ a_d−1x^d−1+··· + a1x + a₀, 上述矩陣 (4.3) 稱為 the companion matrix of f (x).

Question 4.18. 試計算

det











x 0 ··· 0 a₀

−1 x ··· 0 a₁ 0 −1 . .. 0 a2

... ... . .. ... ... 0 0 ··· −1 x + ad−1









 .

Example 4.4.6. 考慮 T :R³→ R³ 定義為 T (x₁, x2, x3) = (2x1, x1+ x3, x1− x2). 考慮 v = (0, 0, 1), 則 T (v) = (0, 1, 0), T^◦2(v) = (0, 0,−1) = −v. 由 T^◦3(v) =−T(v),... 很容易看出

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C_v = Span({v,T(v)}) = Span({(0,0,1),(0,1,0)}). 由 {v,T(v)} 為 linearly independent 而 {v,T(v),T^◦2(v)} 為 linearly dependent 知 v 的 T-annihilator 為 degree 2 的 polynomial.

事實上因 T^◦2(v) =−v, 即 T^◦2(v) + 0T (v) + 1v = OV, 我們有 µv(x) = x²+ 1. 很容易檢查 χT(x) = µT(x) = (x− 2)(x²+ 1), 所 以 確 實 有 µv(x)|χT(x) 以 及 µv(x)|µT(x). 另 外 考 慮 β = ((0,0,1),(0,1,0)), 我們可以得到 [T|Cv]_β =

( 0 −1 1 0

) .

Question 4.19. 若 k 是最大的正整數滿足 {v,T(v),...,T^◦k−1(v), T^◦k(v)} 為 linearly inde- pendent, 則 deg(µv(x)) 為何?

在處理 finite dimensional vector space 的問題時, 我們通常會用 induction (數學歸納 法). 也就是先探討 dimension 比較小的情況, 再將 dimension 比較大的情形化成比較小的 情形. Quotient space 就是將 dimension 化成較小情形的一個方法 (回顧一下若 W 為 V 的 subspace, 則 dim(V /W ) = dim(V )−dim(W)). 現若 T : V → V 為 linear operator 且 W ⊆ V 為 T -invariant subspace, 則我們可以定一個新的函數 T: V /W → V/W. 其定義為 T(v) = T(v).

我們需說明 T 是 well-defined, 也就是說若 v = u∈ V/W, 則 T(v) = T(u) in V/W. 然而 v = u 表示 v−u ∈ W, 故利用 W 為 T-invariant 得 T(v−w) ∈ W, 即 T(v)−T(w) ∈ W. 這告訴我們 T (v) = T (u) 故依 T 的定義得 T (v) = T (u). 依 T 的定義, 我們很容易得到 T : V /W→ V/W 為 linear operator. 我們稱 T : V /W→ V/W 為 linear operator induced by T on the quotient space V /W . 事實上 T 和 T 有許多的相關性, 我們有以下的性質.

Lemma 4.4.7. 設 T : V→ V 為一個 F-linear operator, W ⊆ V 為 T-invariant subspace 且令 T : V /W→ V/W 為 linear operator induced by T, 則對於任意 g(x) ∈ F[x] 皆有 g(T) = g(T).

Proof. 依 定 義 我 們 知 道 g(T ) 為 V /W → V/W 的 linear transformation 而且若 g(x) = c_nxⁿ+··· + c1x + c₀, 則 對 於 任 意 v∈ V/W, g(T)(v) = cnT^◦n(v) +··· + c1T (v) + c₀v. 又 因 T^◦2(v) = T (T (v)) = T (T (v)) = T (T (v)) = T^◦2(v), 利用數學歸納法可得 T^◦i(v) = T^◦i(v),∀i ∈ N.

因此得

g(T )(v) = c_nT^◦n(v) +··· + c1T (v) + c₀v.

另一方面因 W 亦為 g(T )-invariant (Lemma 3.5.2), 故 g(T ) 亦為 V /W → V/W 的 linear transformation 且

g(T )(v) = g(T )(v) = c_nT^◦n(v) +··· + c1T (v) + c₀v.

最後由 V /W 中元素運算的定義得 g(T )(v) = g(T )(v), ∀v ∈ V/W. 故得證 g(T) = g(T).  利用 Lemma 4.4.7, 我們可以得到 T 和 T 的 minimal polynomial 之間的關係.

Corollary 4.4.8. 設 T : V → V 為一個 F-linear operator, W ⊆ V 為 T-invariant subspace 且令 T : V /W→ V/W 為 linear operator induced by T, 則

µT(x)|µT(x).

另外給定 v∈ V, 令 µv(x) 為 the T -annihilator of v, 則我們有 µv(x)|µv(x).